Aplikasi Metode Branch And Cut Dalam Optimasi Produksi Pot Bunga (Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI
PRODUKSI POT BUNGA
(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
SKRIPSI
NUSAIBAH KHOLILAH
100803035
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
(2)
APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI
PRODUKSI POT BUNGA
(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains
NUSAIBAH KHOLLAH
100803035
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
(3)
i
PERSETUJUAN
Judul : Aplikasi Metode Branch and Cut Dalam
Optimasi Produksi Pot Bunga (Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
Kategori : Skripsi
Nama : Nusaibah Kholilah
Nomor Induk Mahasiswa : 100803035
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, April 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Dr. Elly Rosmaini, M.Si. Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si.
NIP. 196005201985032002 NIP. 195312181980031003
Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP. 196209011988031002
(4)
ii
PERNYATAAN
APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI PRODUKSI POT BUNGA
(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, April 2015
NUSAIBAH KHOLILAH 100803035
(5)
iii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Aplikasi Metode Branch and Cut dalam Optimasi Produksi Pot Bunga (Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur).
Terimakasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Terimakasih kepada dosen pembanding, Bapak Dr. Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT dan Ibu Dra. Asima Manurung, M.Si atas saran yang membangun dalam penulisan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. Terimakasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staff dan Dosen Matematika serta rekan-rekan kuliah. Akhirnya tidak terlupakan kepada Ayahanda Muhammad Dongan dan Ibunda Hamidah serta saudara-saudari yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.
(6)
iv
APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI PRODUKSI POT BUNGA
(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
ABSTRAK
UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti merupakan usaha kecil dan menengah yang memproduksi pot bunga dengan berbagai bentuk dan ukuran. Perusahaan ini melakukan produksi berdasarkan persediaan bahan baku dan jumlah permintaan yang ada. Oleh karena itu, perusahaan perlu melakukan perencanaan produksi agar dapat memproduksi pot bunga secara optimal. Metode yang digunakan untuk menentukan jumlah produksi optimal adalah metode branch and cut. Metode
branch and cut merupakan gabungan dari metode branch and bound dan metode
cutting plane. Metode ini mampu menyelesaikan permasalahan integer programming dengan lebih baik dibandingkan dengan metode branch and bound
murni. Hasil penelitian diperoleh bahwa terdapat 2 alternatif jumlah produksi optimal dari masing-masing pot bunga, yaitu 70 buah pot segi minimalis, 90 buah pot sampan minimalis, 117 buah pot petak segi besar bonsai, 99 buah pot bulat besar ukir bonsai, 77 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil, atau 70 buah pot segi minimalis, 92 buah pot sampan minimalis, 115 buah pot petak segi besar bonsai, 98 buah pot bulat besar ukir bonsai, 81 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil dengan kentungan sebesar Rp 11.554.000.
Kata kunci: Integer programming, branch and cut, optimasi, perencanaan produksi.
(7)
v
APLICATION OF BRANCH AND CUT METHOD IN OPTIMIZATION OF FLOWER POT PRODUCTION
(Case Study: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
ABSTRACT
UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti are small and medium enterprises which produce the flower pot with a various of shapes and sizes. This company production based on inventory of raw materials and the amount of the demand. Therefore, companies need to make production planning in order to produce an optimal flower pots. The method used to determine the optimal production is the branch and cut method. Branch and cut method is a combination of branch and bound method and cutting plane method. This method is able to solve the integer programming problems better than pure branch and bound method. The results obtained that there are 2 alternative optimal production of each flowerpot, namely 70 pieces square minimalist pots, 90 pieces canoe minimalist pots, 117 pieces large square bonsai pots, 99 large round carved bonsai pots, 77 pieces square carved bonsai pots, 68 medium jar pots and 58 pieces small jar pots, or 70 pieces square minimalist pots, 92 pieces canoe minimalist pots, 115 pieces large square bonsai pots, 98 large round carved bonsai pots, 81 square carved bonsai pots, 68 pieces medium jar pots and 58 pieces small jar pots with profits at Rp 11.554.000.
Keywords: Integer programming, branch and cut, optimization, production planning.
(8)
vi DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI vi
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR LAMPIRAN ix
Bab 1. PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Batasan Masalah 2
1.4 Tinjauan Pustaka 3
1.5 Tujuan Penelitian 5
1.6 Manfaat Penelitian 5
1.7 Metodologi Penelitian 5
1.6.1 Studi Pendahuluan 5
1.6.2 Pengumpulan Data 5
1.6.3 Pengolahan Data 6
Bab 2. LANDASAN TEORI 7
2.1 Perencanaan Produksi 7
2.2 Program Linier 9
2.2.1 Unsur – Unsur Program Linier 10
2.2.2 Asumsi Dasar Program Linier 10
2.3 Program Bilangan Bulat Linier 11
2.4 Metode Simpleks 13
2.4.1 Langkah – Langkah Metode Simpleks 15
2.5 Metode Dual Simpleks 16
2.6 Metode Branch And Bound 17
2.7 Metode Cutting Plane 19
2.8 Metode Branch And Cut 23
Bab 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 26
3.1Pengumpulan Data 26
3.2Pengolahan Data 29
3.2.1 Perumusan Fungsi Tujuan 29
3.2.2 Perumusan Fungsi Kendala 30
(9)
vii
Bab 4. KESIMPULAN DAN SARAN 67
4.1 Kesimpulan 67
4.2 Saran 68
DAFTAR PUSTAKA 69
(10)
viii
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
Tabel
2.1 Tabel Optimum Program Masalah Linier 20
2.2 Setelah Penambahan Pemotongan Fraksional 22
3.1 Data Volume Penjualan Pot Bunga Bulan Januari – Juni 2014 26
3.2 Komposisi Bahan Baku Produk 27
3.3 Persediaan Bahan Baku Selama Satu Bulan 27
3.4 Biaya Produksi Setiap Produk 28
3.5 Harga Jual Produk 28
3.6 Keuntungan Tiap Satu Unit Produk 29
3.7 Jumlah Produksi Pot Bunga Bulan Maret 2015 29
3.8 Iterasi Awal Metode Dual Simpleks 34
3.9 Iterasi 1 Metode Dual Simpleks 36
3.10 Iterasi 2 Metode Dual Simpleks 38
3.11 Iterasi 3 Metode Dual Simpleks 40
3.12 Iterasi 4 Metode Dual Simpleks 42
3.13 Iterasi 5 Metode Dual Simpleks 44
3.14 Iterasi 6 Metode Dual Simpleks 46
3.15 Iterasi 7 Metode Dual Simpleks 48
3.16 Iterasi 8 Metode Dual Simpleks 50
3.17 Iterasi 9 Metode Dual Simpleks 52
3.18 Tabel Simpleks Optimal Sub-Masalah 2 57
3.19 Tabel Simpleks Optimal Sub-Masalah 5 62
3.20 Solusi Optimal 65
(11)
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Halaman
Lamp
1 Hasil Perhitungan Sub-Masalah 1 dengan Bantuan Software 70 POM-QM for Windows
2 Hasil Perhitungan Sub-Masalah 2 dengan Bantuan Software 71 POM-QM for Windows
3 Hasil Perhitungan Sub-Masalah 3 dengan Bantuan Software 72 POM-QM for Windows
4 Hasil Perhitungan Sub-Masalah 4 dengan Bantuan Software 73 POM-QM for Windows
5 Hasil Perhitungan Sub-Masalah 5 dengan Bantuan Software 74 POM-QM for Windows
6 Hasil Perhitungan Sub-Masalah 6 dengan Bantuan Software 75 POM-QM for Windows
7 Diagram Penyelesaian dengan Menggunakan Metode Branch 76
and Cut
8 Hasil Perhitungan dengan Metode Branch and Bound 77 Menggunakan Software POM-QM for Windows
(12)
iv
APLIKASI METODE BRANCH AND CUT DALAM OPTIMASI PRODUKSI POT BUNGA
(Studi Kasus: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
ABSTRAK
UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti merupakan usaha kecil dan menengah yang memproduksi pot bunga dengan berbagai bentuk dan ukuran. Perusahaan ini melakukan produksi berdasarkan persediaan bahan baku dan jumlah permintaan yang ada. Oleh karena itu, perusahaan perlu melakukan perencanaan produksi agar dapat memproduksi pot bunga secara optimal. Metode yang digunakan untuk menentukan jumlah produksi optimal adalah metode branch and cut. Metode
branch and cut merupakan gabungan dari metode branch and bound dan metode
cutting plane. Metode ini mampu menyelesaikan permasalahan integer programming dengan lebih baik dibandingkan dengan metode branch and bound
murni. Hasil penelitian diperoleh bahwa terdapat 2 alternatif jumlah produksi optimal dari masing-masing pot bunga, yaitu 70 buah pot segi minimalis, 90 buah pot sampan minimalis, 117 buah pot petak segi besar bonsai, 99 buah pot bulat besar ukir bonsai, 77 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil, atau 70 buah pot segi minimalis, 92 buah pot sampan minimalis, 115 buah pot petak segi besar bonsai, 98 buah pot bulat besar ukir bonsai, 81 buah pot segi ukir bonsai, 68 buah pot guci sedang dan 58 buah pot guci kecil dengan kentungan sebesar Rp 11.554.000.
Kata kunci: Integer programming, branch and cut, optimasi, perencanaan produksi.
(13)
v
APLICATION OF BRANCH AND CUT METHOD IN OPTIMIZATION OF FLOWER POT PRODUCTION
(Case Study: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti, Gelugur)
ABSTRACT
UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti are small and medium enterprises which produce the flower pot with a various of shapes and sizes. This company production based on inventory of raw materials and the amount of the demand. Therefore, companies need to make production planning in order to produce an optimal flower pots. The method used to determine the optimal production is the branch and cut method. Branch and cut method is a combination of branch and bound method and cutting plane method. This method is able to solve the integer programming problems better than pure branch and bound method. The results obtained that there are 2 alternative optimal production of each flowerpot, namely 70 pieces square minimalist pots, 90 pieces canoe minimalist pots, 117 pieces large square bonsai pots, 99 large round carved bonsai pots, 77 pieces square carved bonsai pots, 68 medium jar pots and 58 pieces small jar pots, or 70 pieces square minimalist pots, 92 pieces canoe minimalist pots, 115 pieces large square bonsai pots, 98 large round carved bonsai pots, 81 square carved bonsai pots, 68 pieces medium jar pots and 58 pieces small jar pots with profits at Rp 11.554.000.
Keywords: Integer programming, branch and cut, optimization, production planning.
(14)
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persaingan pasar yang semakin meningkat menuntut perusahaan menyusun strategi dengan baik agar mampu bertahan. Perusahaan harus membuat keputusan yang tepat dengan mempertimbangkan batasan-batasan yang ada. Dalam suatu usaha, batasan tersebut dapat berupa ketersediaan bahan baku, peralatan, mesin, waktu, biaya, dan tenaga kerja. Keputusan-keputusan dalam dunia usaha mengandung resiko besar yang perlu didukung oleh perhitungan-perhitungan yang teliti untuk menghindari resiko kerugian. Dalam hal ini pertimbangan-pertimbangan naluriah saja tidak cukup, sehingga diperlukan peralatan-peralatan, teknik-teknik atau metode-metode kuantitatif yang lebih lengkap untuk menyelesaikannya. Salah satu keputusan yang harus diambil adalah dalam hal perencanaan produksi. Perencanaan produksi merupakan perencanaan tentang produk apa saja dan berapa jumlah yang akan diproduksi oleh perusahaan dalam waktu satu periode yang akan datang. Perencanaan produksi bertujuan untuk optimasi produksi sehingga dapat memaksimalkan pendapatan. Salah satu cara untuk optimasi perencanaan produksi adalah dengan menggunakan metode
branch and cut.
UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti merupakan usaha kecil dan menengah yang memproduksi pot bunga dengan berbagai bentuk dan ukuran. Usaha ini merupakan usaha turun temurun yang pada awalnya dikelola oleh kakeknya alm. Ali. Dalam proses produksi, pengusaha melakukan perencanaan produksi hanya berdasarkan intuisi dan jumlah pesanan yang ada. Usaha ini sering dihadapkan pada kondisi bahwa produk yang diminta pelanggan belum siap untuk dipakai tetapi pelanggan tetap mendesak untuk membelinya. Hal ini menyebabkan produk tersebut mudah rusak dan berpotensi membuat tingkat kepercayaan pelanggan terhadap perusahan tersebut menurun, oleh karena itu pengusaha perlu membuat
(15)
perencanaan produksi yang optimal. Untuk mengoptimalkan jumlah produksi tersebut digunakan metode branch and cut.
Metode branch and cut adalah pendekatan yang dilakukan dengan memadukan metode branch and bound dan cuting plane sebagai pendekatan model program integer. Kombinasi kedua pendekatan tersebut merupakan kombinasi yang baik untuk digunakan sebagai penyelesaian dalam persoalan program integer (Taruna, 2011).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana mengoptimalkan jumlah produksi pot bunga dengan menggunakan metode branch and cut sehingga perusahaan dapat memperoleh keuntungan yang maksimal.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Variabel keputusan dalam penelitian ini adalah jumlah masing-masing jenis pot bunga yang akan diproduksi, yaitu:
�1 = Banyaknya pot bunga jenis segi minimalis diproduksi
�2 = Banyaknya pot bunga jenis sampan minimalis diproduksi
�3 = Banyaknya pot bunga jenis petak segi besar bonsai diproduksi
�4 = Banyaknya pot bunga jenis bulat besar ukir bonsai diproduksi
�5 = Banyaknya pot bunga jenis segi ukir bonsai diproduksi
�6 = Banyaknya pot bunga jenis guci sedang diproduksi
�7 = Banyaknya pot bunga jenis guci kecil diproduksi
2. Permasalahan optimalisasi produksi dalam penelitian ini dibatasi pada kendala berupa ketersediaan bahan baku dan jumlah permintaan.
3. Data yang diambil adalah data satu kali tahapan produksi dan data bulan Januari-Juni 2014.
(16)
4. Kondisi perusahaan dianggap dalam keadaan normal serta faktor-faktor lain dianggap tidak mempengaruhi proses produksi.
5. Biaya penyimpanan dianggap tidak ada. 6. Waktu produksi produk tidak diperhitungkan.
1.4 Tinjauan Pustaka
Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan linear programming, di antaranya adalah metode grafik, metode interior point, metode simpleks dan metode dual Simpleks. Dalam solusi yang diperoleh dengan menggunakan metode tersebut terkadang masih terdapat beberapa variabel yang tidak bernilai integer. Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan permasalahan optimasi yang mengandung kendala linier di mana seluruh atau beberapa variabel keputusannya harus bernilai integer. Permasalahan ini dinyatakan sebagai masalah integer linear programming. Permasalahan integer linear programming tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai metode di antaranya adalah metode branch and bound, metode cuting plane dan metode
branch and cut.
Model awal dari Integer Linear Programming (ILP) dinyatakan dengan:
Maximum ��� Kendala: �� ≤ �
� ∈ �+ 1.1
di mana x dan c adalah vektor dengan jumlah elemen sebanyak n dan b adalah vektor dengan jumlah elemen sebanyak m dan A adalah matriks ��, dan solusi penyelesaian diperoleh dari variabel yang bersifat biner (Taruna, 2011).
Konsep dasar dari metode branch and bound adalah membagi dan menyelesaikan. Karena masalah awal sulit untuk diselesaikan secara langsung, maka masalah awal tersebut dibagi menjadi sub-masalah yang lebih kecil hingga sub-masalah tersebut dapat diselesaikan (Hillier & Lieberman, 2001).
(17)
Operasi pencabangan pada metode branch and bound akan menelusuri semua solusi integer fisibel yang mungkin, sedangkan konsep pembatasan dipakai untuk mempersempit daerah yang layak penelusuran sehingga beberapa solusi integer fisibel yang tidak potensial bisa dibuang. Dengan demikian, algoritma pada teknik pencabangan dan pembatasan akan selalu konvergen dengan ditemukannya solusi optimum integer atau diperoleh kesimpulan bahwa masalah semula tidak fisibel (Sinurat, 2008).
Ide mendasar dari metode cutting plane adalah bahwa solusi integer optimal berada dekat dengan solusi program linier, namun tidak berada pada perpotongan kendala sehingga diperlukan kendala tambahan. Akibatnya, beberapa kendala ditambahkan untuk menekan solusi program linier yang tidak integer menjadi tidak layak tanpa menghilangkan setiap solusi integer. Hal ini dilakukan dengan menambahkan sebuah kendala untuk menekan variabel nonbasis menjadi lebih besar daripada sebuah nilai kecil tak nol (McCarl & Spreen, 1997).
Metode branch and cut dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah. Penelitian yang dilakukan oleh Amalia (2014) membahas tentang implementasi metode branch and cut untuk menyelesaikan masalah multiobjektif integer programming. Dalam penelitian ini diperoleh bahwa kinerja metode
branch and cut dalam menyelesaikan masalah multiobjektif integer programming
lebih efektif dibandingkan dengan metode branch and bound dan cutting plane.
Masalah lainnya yang dapat diselesaikan dengan metode branch and cut di antaranya adalah masalah program stokastik biner campuran (Ardiana, 2012),
minimum cost multi-level network design (Chopra dan Tsai, 1998) dan traveling salesman problem (Perez et al. 2004).
(18)
1.5 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan jumlah produksi pot bunga optimal sehingga dapat memaksimalkan keuntungan dengan menggunakan metode branch and cut.
1.6 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui jumlah produksi pot bunga yang optimal dengan menggunakan metode branch and cut.
2. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai tambahan referensi bagi pengusaha pot bunga untuk membuat keputusan yang lebih baik dalam hal perencanaan produksi.
3. Hasil Penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan bagi peneliti selanjutnya yang akan melakukan penelitian yang berkaitan.
1.7 Metodologi Penelitian 1.7.1 Studi Pendahuluan
Untuk memecahkan masalah yang ada sampai kepada tahap menganalisis dan mengambil keputusan diperlukan studi pendahuluan berupa studi literatur.
1.7.2 Pengumpulan Data
Dalam melakukan penelitian, penulis mengumpulkan data sekunder yang diperoleh dari perusahaan. Data-data yang dibutuhkan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Data penjualan pot bunga pada bulan Januari – Juni 2014.
2. Data komposisi bahan baku yang diperlukan dari setiap jenis pot bunga. 3. Data biaya produksi pot bunga.
(19)
1.7.3 Pengolahan Data
1. Formulasi Fungsi
a. Penentuan Variabel Keputusan
Variabel keputusan merupakan output yang akan dioptimalkan sehingga memenuhi kriteria tujuan dan kendala.
b. Perumusan Fungsi Tujuan
Dalam penelitian ini yang dijadikan sebagai fungsi tujuannya adalah maksimasi keuntungan penjualan pot bunga. Koefisien dari variabel keputusannya adalah keuntungan dari masing-masing jenis pot bunga. c. Perumusan Fungsi Kendala
Fungsi kendala dirumuskan berdasarkan persediaan bahan baku yaitu semen, pasir, kawat, cat hitam, cat wash, cat retak dan tiner serta jumlah permintaan pot bunga.
2. Penyelesaian Model
Model diselesaikan secara iterative menggunakan metode branch and cut dan bantuan software POM-QM for Windows.
3. Membuat Kesimpulan
Langkah terakhir dalam metode penelitian ini adalah membuat kesimpulan yang diperoleh dari hasil pengolahan data.
(20)
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Perencanaan Produksi
Produksi yang dalam bahasa inggris disebut production adalah keseluruhan proses yang dilakukan untuk menghasilkan produk atau jasa. Produk yang dihasilkan sebagai output dari proses tersebut dapat berupa produk akhir (finished product) yang sering disebut juga produk jadi, produk setengah jadi (work-in-process) atau bahan baku (raw materials) yang semuanya bersifat tangible (berwujud fisik). Jasa (services) adalah output yang bersifat intangible (berwujud non-fisik).
Aktifitas produksi sebagai suatu bagian dari fungsi organisasi perusahaan bertanggung jawab terhadap pengolahan bahan baku menjadi produk jadi yang dapat dijual. Untuk melaksanakan fungsi produksi tersebut diperlukan rangkaian kegiatan yang akan membentuk suatu sistim produksi.
Sistim produksi merupakan kumpulan dari sub-sistim yang saling berinteraksi dengan tujuan mentransformasi input produksi menjadi output
produksi. Input produksi ini dapat berupa bahan baku, mesin, tenaga kerja, modal dan informasi sedangkan output produksi merupakan produk yang dihasilkan berikut hasil sampingannya seperti limbah, informasi, dan sebagainya. Sub-sistim dari sistim produksi tersebut antara lain adalah perencanaan dan pengendalian produksi, pengendalian kualitas, penentuan standar-standar operasi, penentuan fasilitas produksi, perawatan fasilitas produksi dan penentuan harga pokok produksi.
Tujuan akhir dari suatu perusahaan adalah untuk memperoleh keuntungan disamping tercapainya kelanjutan dan pengembangan usaha. Salah satu fungsi yang terpenting dalam mendukung usaha untuk mencapai tujuan tersebut adalah perencanaan produksi. Perencanaan produksi dapat didefinisikan sebagai proses untuk merencanakan aliran material yang masuk, mengalir dan keluar dari sistim
(21)
produksi atau operasi sehingga permintaan pasar dapat dipenuhi dengan jumlah yang tepat.
The American Production and Inventory Control Society mendefinisikan perencanaan produksi sebagai suatu kegiatan yang berkenaan dengan penentuan apa yang harus diproduksi, berapa banyak diproduksi, kapan diproduksi, dan apa sumber daya yang dibutuhkan untuk mendapatkan produk yang telah ditetapkan (Sinulingga, 2009).
Perencanaan produksi dilakukan dengan tujuan menentukan arah awal dari tindakan-tindakan yang harus dilakukan di masa mendatang, apa yang harus dilakukan, berapa banyak melakukannya, dan kapan harus melakukan. Karena perencanaan ini berkaitan dengan masa mendatang, maka perencanaan disusun atas dasar perkiraan yang dibuat berdasarkan data masa lalu dengan menggunakan beberapa asumsi.
Kegunaan dari pelaksanaan perencanaan produksi adalah:
1. Suatu perencanaan meliputi usaha untuk menetapkan tujuan yang dipilih untuk dicapai sehingga dengan adanya perencanaan produksi dapat memberikan arah bagi setiap kegiatan produksi. Dengan adanya kejelasan arah tersebut maka kegiatan akan dapat dilaksanakan dengan efektif.
2. Dengan perencanaan produksi yang berisi formulasi tujuan yang hendak dicapai maka akan memungkinkan untuk mengetahui apakah tujuan tersebut telah tercapai atau tidak. Dengan demikian, koreksi-koreksi terhadap penyimpangan dari tujuan yang telah ditetapkan dapat diketahui secepatnya sehingga pemborosan dan usaha yang tidak menunjang pencapaian tujuan dapat dihindari.
3. Memudahkan pelaksanaan kegiatan untuk mengidentifikasi hambatan-hambatan yang mungkin muncul dalam usaha pencapaian tujuan tersebut. 4. Menghindarkan pertumbuhan dan perkembangan yang tidak terkendali.
(22)
selalu menambah jumlah dan jenis tenaga kerja yang sudah dimiliki untuk memperbaiki mutu serta jumlah output.
2.2 Program Linier
Konsep linear programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh George Dantzig. Program linier merupakan suatu metode untuk membuat keputusan di antara berbagai aternatif kegiatan dibatasi oleh kendala tertentu. Keputusan yang diambil dinyatakan sebagai fungsi tujuan sedangkan kendala-kendala yang dihadapi dalam membuat keputusan tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi-fungsi kendala. Fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut berupa fungsi linier, baik dalam bentuk persamaan maupun pertidaksamaan pada variabel-variabel keputusannya.
Bentuk umum dari permasalahan LP adalah:
Maximum ���
Kendala: �� ≤ � 2.1
Beberapa contoh aplikasi LP yang telah berhasil diterapkan dalam bidang militer, industri, dan sosial adalah:
1. Mengembangkan jadwal produksi yang bertujuan memuaskan konsumen terhadap produk yang dikonsumsikan dan pada saat yang sama dapat meminimalisasi biaya produksi dan persediaan.
2. Penentuan kombinasi produk (product-mix), yaitu menentukan produk mana dari sejumlah alternatif kemungkinan produksi yang dapat memaksimalkan keuntungan.
3. Penentuan sistim distribusi yang akan meminimalisasi biaya total pengiriman dengan menggunakan mobil box dari gudang ke berbagai pasar.
4. Menganalisis portofolio investasi dari berbagai alternatif investasi dalam saham dan obligasi sehingga seorang investor dapat menentukan portofolio yang dapat memaksimumkan pengembalian investasi.
(23)
5. Menentuan penjadwalan untuk melakukan aktifitas produksi bagi tenaga kerja di perusahaan.
2.2.1 Unsur – Unsur Program Linier
Adapun unsur-unsur dalam program linier adalah: a. Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan ini tidak negatif. b. Fungsi Tujuan
Adapun tujuan dalam program linier adalah masalah optimasi yakni tujuan memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu di mana tingkat pencapaian tujuan ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan yang dimiliki.
c. Kendala Tujuan
Kendala merupakan batasan-batasan yang harus diperhatikan dalam penyelesaian program linier. Kendala tersebut dibuat dalam fungsi linier.
2.2.2 Asumsi Dasar Program Linier
Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan program linier menjadi absah, adapun asumsi program linieradalah sebagai berikut:
1. Asumsi kesebandingan (proposionality)
a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
2. Asumsi penambahan (additivity)
a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
(24)
b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.
3. Asumsi pembagian (divisibility)
Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan.
4. Asumsi kepastian (certainty)
Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.
2.3 Program Bilangan Bulat Linier
Program bilangan bulat linier (Integer Linear Programming / ILP) adalah bentuk khusus dari permasalahan program linier di mana pada solusi optimalnya beberapa atau seluruh variabelnya dibatasi harus berupa bilangan bulat (integer) tak negatif. ILP digunakan untuk memodelkan permasalahan yang mengandung variabel keputusan yang harus bernilai integer, misalnya variabel yang menggambarkan jumlah orang atau jumlah unit produk yang akan diproduksi.
Permasalahan di mana seluruh variabelnya dibatasi harus berupa integer tak negatif disebut permasalahan program integer linier murni (Pure Integer Linear Programming / PILP). Jika hanya beberapa variabel saja yang harus bernilai integer, permasalahan ini disebut sebagai permasalahan integer linier campuran (Mixed Integer Linear Programming / MILP). Dalam suatu kondisi khusus di mana seluruh variabel keputusan dalam suatu masalah harus bernilai 0 atau 1 maka permasalahan tersebut disebut Binary Integer Linear Programming
(BILP).
Bentuk umum dari ILP adalah:
����������� ∶ �= � ����
� �=1
(25)
�������: � ����� �
�=1
=�� �� ≥ 0
�� ∈ �+
� = 1,2,3, … ,�;�= 1,2,3, … ,� 2.2 keterangan:
� = Fungsi tujuan
�� = Variabel keputusan j
�� = Koefisien dari variabel keputusan j
��� = Koefisien dari variabel keputusan dalam kendala ke-i
�� = Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i
Banyak permasalahan yang dapat dimodelkan sebagai program integer, misalnya dalam ilmu pengetahuan, teknologi, bisnis dan lingkungan, oleh karena itu tidak mengherankan bahwa banyak metode penyelesaian dan kode yang muncul untuk menyelesaikan program integer. Beberapa metode dapat digunakan untuk seluruh tipe ILP dan beberapa metode hanya diperuntukkan untuk menyelesaikan suatu masalah ILP tertentu.
Pada dasarnya, solusi integer optimal berada dekat dengan solusi program linier. Titik-titik yang berada dalam daerah fisibel (feasible region) berupa titik-titik yang fisibel sebagai koordinat yang bernilai integer disebut integer lattice points. Pemecahan persoalan LP biasa terletak pada batas luar dari daerah fisibelnya, khususnya pada titik-titik ekstrimnya yang disebut vertex.
Misalkan daerah fisibel tersebut dapat diciutkan menjadi convex hull of the feasible lattice points, di mana convex hull merupakan daerah convex terkecil yang memuat semua titik-titik lattice. Convex hull diperoleh sebagai hasil modifikasi dari persoalan asli dengan jalan menambahkan kendala linier baru. Persoalan baru ini mencakup dua aspek berikut:
(26)
1. Mencakup setiap pemecahan integer yang fisibel terhadap persoalan asli. Jadi pemecahan yang menghasilkan bilangan-bilangan bulat atau integer masih merupakan penyelesaian dari persoalan LP yang asli.
2. Setiap pemecahan dasar dari persoalan baru merupakan pemecahan integer. Pemecahan dasar optimal dari persoalan yang baru juga merupakan pemecahan optimal dari permasalahan LP yang asli namun berupa integer.
Dalam prakteknya sukar untuk memotong daerah fisibel menjadi convex hull of the feasible lattice points sehingga diperlukan metode yang terdiri dari urutan langkah-langkah dengan jalan selalu menambahkan kendala baru terhadap persoalan asli sebagai kelanjutan dari hasil perhitungan sebelumnya. Konsep inilah yang diterapkan dalam metode branch and bound, cutting plane dan metode
branch and cut.
2.4 Metode Simpleks
Masalah program linier berkembang pesat setelah ditemukan suatu metode penyelesaian program linier yaitu metode simpleks yang ditemukan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Permasalahan linier sederhana yang mengandung dua atau tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Namun untuk masalah program linier yang mengandung lebih dari tiga variabel, metode grafik tidak dapat digunakan sehingga diperlukan metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan masalah program linier yang rumit. Metode simpleks adalah metode yang dapat menyelesaiakan masalah program linier dengan jumlah variabel yang besar.
Penyelesaian model program linier dengan menggunakan metode simpleks memerlukan pengubahan model formulasi ke dalam bentuk standar dengan syarat sebagai berikut:
1. Semua kendala berbentuk pertidaksamaan yang dibatasi oleh kendala lebih kecil dari (≤) diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan slack
(27)
variable. Untuk pertidaksamaan yang dibatasi oleh tanda lebih besar (≥) diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan surplusvariable. 2. Nilai ruas kanan setiap kendala bertanda positif, jika nilai ruas kanan dari
suatu kendala bertanda negative maka harus diubah menjadi positif dengan mengalikan pertidaksamaan dengan -1.
3. Semua variabel keputusan bernilai nonnegatif.
Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, di antaranya:
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel nonbasis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel nonbasis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan. 5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel
(28)
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variab el basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
2.4.1 Langkah-Langkah Metode Simpleks
Algoritma metode simpleks untuk persoalan maksimasi:
1. Konversikan formulasi model program linier ke dalam bentuk standar. 2. Cari Solusi Basis Feasible (BFS).
3. Jika seluruh variabel nonbasis (NBV) mempunyai koefisien nonnegatif (artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan [baris persamaan � yang biasa disebut baris 0 atau baris (�� − ��)], maka BFS sudah optimal. Jika pada baris 0 masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai paling negatif pada baris 0 itu. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variable, disingkat EV).
4. Hitung rasio dari ruas kanan atau (koefisien EV) pada setiap baris di mana EV mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis (leaving variable, disingkat LV).
(29)
5. Lakukan operasi baris elementer (ERO) untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini menjadi bernilai 1 dan bernilai 0 pada baris-baris lainnya.
6. Kembali ke langkah 3.
2.5 Metode Dual Simpleks
Apabila pada suatu iterasi diperoleh persoalan program linier yang sudah optimum (berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas nonnegatif yang tidak terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual Simpleks. Syarat digunakannya metode ini adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda (≤), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi.
Pada dasarnya metode dual Simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya ditentukan sebagai berikut:
1. Leaving variable (kondisi fisibilitas)
Yang menjadi leaving variable pada dual Simpleks adalah variabel basis yang memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.
2. Entering variable (kondisi optimalitas)
a. Tentukan perbandingan (rasio) antara koefisien persamaan z dengan koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel.
b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio absolut terkecil.
(30)
2.6 Metode Branch and Bound
Metode branch and bound pertama kali dkembangkan pada tahun 1960 oleh Land dan G. Doig yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mixed integer linear programming dan pure integer linear programming secara umum. Selanjutnya pada tahun 1965 E. Balas mengembangkan algoritma tambahan untuk menyelesaiakan masalah binary integer linear programming.
Metode branch and bound awalnya hanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program integer. Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata metode ini juga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah lainnya seperti traveling salesman problem, scheduling dan sebagainya. Ide mendasar dari metode ini adalah membagi daerah layak menjadi beberapa sub-bagian yang mengandung titk-titik fisibel dengan koordinat integer dengan menambahkan kendala tambahan kemudian menyelesaikannya.
Untuk menyelesaikan suatu masalah program integer dengan menggunakan metode branch and bound, langkah pertama adalah mengabaikan kendala integer dari permasalahan awal sehingga terbentuk permasalahan LP relaksasi kemudian diselesaikan. Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan permasalahan LP relaksasi. Namun, metode yang umum digunakan adalah metode simpleks. Jika permasalahan tersebut tidak mempunyai penyelesaian optimum yang bernilai integer, maka dua kendala baru dibentuk. Kendala tersebut adalah batas atas dan bawah dari variabel yang dibatasi harus bernilai integer namun belum bernilai integer.
Konsep dasar dari metode branch and bound adalah pengamatan terhadap tiap-tiap nilai ��, di mana �� adalah variabel yang dibatasi harus bernilai integer. Jika nilai �� belum integer, maka masalah awal dibagi menjadi dua masalah baru dengan menambahkan dua kendala baru yaitu, ���� ≤ �� dan �� ≤ ����+ 1 di mana ���� adalah integer terdekat yang lebih kecil dari ��. Proses inilah yang dinamakan branching (pencabangan). Dalam kasus maksimasi, solusi awal dijadikan sebagai batas atas (upper bound). Penambahan pertidaksamaan sebagai
(31)
pencabangan masalah akan mengakibatkan berkurangnya nilai fungsi tujuan pada solusi optimal.
Sebagai salah satu hasil pencabangan variabel yang belum integer pada setiap cabang, satu dari dua kejadian berikut akan terjadi. Yang pertama, solusi yang diperoleh tidak memenuhi syarat integer dari variabel yang dicabangkan, dan memperoleh nilai fungsi objektif yang kurang sesuai dibandingkan dengan pencabangan lain yang semua solusinya sudah integer, dalam kasus ini pencabangan dilanjutkan. Yang kedua, mungkin diperoleh solusi lain yang sudah memenuhi syarat integer, dalam kasus ini pencabangan dihentikan.
Terdapat dua tahap yang dipakai dalam algoritma branch and bound, yaitu:
1. Pencabangan, yaitu mempartisi masalah tersebut menjadi beberapa sub-masalah dengan cara menambahkan kendala yang merupakan syarat perlu untuk mencari solusi integer fisibel tanpa mengubah himpunan solusi integer semula.
2. Pembatasan, yaitu nilai fungsi objektif dari suatu sub-masalah yang mempunyai solusi integer dipakai sebagai batas nilai fungsi objektif dari sub-masalah lainnya.
Branch and bound adalah algoritma yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah integer programming. Algoritma branch and bound juga telah banyak digunakan sebagai kode program computer, misalnya OSL, LAMPU, dan LINDO.
Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound:
1. Selesaikan masalah program linier relaksasi dengan metode simpleks.
2. Teliti solusi optimalnya, jika variabel keputusan yang diharapkan adalah integer, solusi optimum integer telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan integer, lanjutkan ke langkah 3.
(32)
3. Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah dibulatkan (rounded–down).
4. Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar (artinya bilangan desimal terbesar) dari masing-masing variabel untuk dijadikan pencabangan ke dalam sub-masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel (layak) yang diikutsertakan.
5. Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi optimum yang dibulatkan menjadi batas bawah (solusi yang sebelumnya tidak bulat kemudian dibulatkan). Sub-masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel (layak) adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub-masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub-masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 4.
2.7 Metode Cutting Plane
Metode cutting plane yang digunakan untuk menyelesaikan masalah secara umum, pertama kali dikemukakan oleh Gomory (1963). Metode cutting plane
merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan program integer linier, baik integer murni maupun campuran dengan penambahan batasan baru yang disebut gomory. Batasan gomory diberikan jika nilai dari variabel keputusan belum integer (bernilai pecahan). Batasan-batasan tersebut secara efektif akan menyingkirkan beberapa ruang penyelesaian yang tidak berisi titik integer yang layak, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik integer yang layak (Taha, 1996).
(33)
1. Selesaikan masalah program integer dengan menggunakan metode simpleks. Masalah sederhana dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan gomory kurang efisien.
2. Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih meiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3. 3. Buatlah suatu batasan gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual
Simpleks. Kembali ke tahap 2 (Taha, 1996).
Misalnya diberikan sebuah permasalahan integer programming berikut:
Tabel 2.1 Tabel Optimum Masalah Program Linier
Basis �1 … �� … �� �1 … �� … �� Hasil
� 0 … 0 … 0 �1� … ��� … ����� �0
�1 1 … 0 … 0 �11 … �1� … �1� �1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�� 0 … 1 … 0 ��1 … ��� … ��� ��
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�� 0 … 0 … 1 ��1 … ��� … ��� ��
Tentukan baris sumber dengan menentukan baris variabel keputusan yang akan dibulatkan. Jika lebih dari satu, dipilih nilai pecahan terbesar.
�� =��− � ����� � �=1
; �� tidak integer 2.3
misalkan:
�� = [��] +��
��� =�����+���
di mana:
[��] adalah integer terbesar sehingga [��] ≤ ��.
(34)
Disimpulkan bahwa 0 <�� < 1 dan 0 <��� < 1, yang mana �� dan ��� adalah pecahan positif, sehingga:
�� = ��− � ����� � �=1 �� = [��] +�� − �������+������ � �=1 �� = [��] +�� − �������� +����� � �=1 �� − � ����� � �=1 = �� −[��] +�������� � �=1 2.4
Agar semua variabel �� dan �� adalah integer, maka sisi kanan dari Persamaan 2.4 haruslah integer yang berakibat sisi kiri juga harus integer. Karena
��� ≥0 dan �� ≥0 untuk semua i dan j maka:
� ����� � �=1 ≥ 0 akibatnya, �� − � ����� � �=1
≤ �� ≤ 1
karena ��− ∑��=1����� harus bernilai integer, satu kondisi untuk memenuhi sifat integer ini menjadi:
�� − � ����� � �=1 ≤ 0 ��− � ����� � �=1
+��� = 0
batasannya dapat ditulis dalam bentuk:
��� =� �����
� �=1
− ��
(35)
atau, ��� − � ����� � �=1 = −�� 2.6
Tabel 2.2 Setelah Penambahan Pemotongan Fraksional
Basis �1 … �� … �� �1 … �� … �� ��� Hasil
� 0 … 0 … 0 �1� … ��� … ����� 0 �0
�1 1 … 0 … 0 �11 … � 1
� … �1� 0 �1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�� 0 … 1 … 0 ��1 … ��� … ��� 0 ��
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�� 0 … 0 … 1 ��1 … ��� … ��� 1 ��
��� 0 … 0 … 0 −��1 … −��� … −��� 1 −��
di mana ��� adalah variabel slack nonnegatif yang berdasarkan definisinya haruslah integer. Persamaan batasan ini mendefinisikan pemotong fraksional. Dari Tabel 2.2 �� = 0 dan ��� =−�� tidak layak. Ini berarti bahwa batasan baru tersebut tidak dipenuhi oleh solusi yang diberikan. Metode dual Simpleks dapat dipergunakan untuk mengatasi ketidaklayakan ini yang setara dengan memotong bidang solusi ke arah solusi integer optimal.
Jika solusi baru (setelah menerapkan metode dual Simpleks) adalah integer, proses berakhir. Jika tidak, sebuah gomory baru ditambahkan dari tabel yang dihasilkan dan metode dual Simpleks kembali digunakan untuk mengatasi ketidaklayakan. Prosedur ini dilakukan sampai solusi integer dicapai. Jika di salah satu iterasi metode dual Simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak (Taha, 1996).
(36)
2.8 Metode Branch and Cut
Banyak permasalahan optimisasi dapat diformulasikan sebagai masalah Integer Linear Programming (ILP). Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan metode
branch and bound dan metode branch and cut. Algoritma metode branch and cut
dibuat dari kombinasi metode cutting-plane dengan metode branch and bound. Prosedur metode branch and cut adalah menyelesaikan rangkaian relaksasi program linier dari masalah integer linear programming. Metode cutting plane
memperbaharui relaksasi dari masalah untuk lebih mendekati penyelesaian berupa integer, dan metode branch and bound memproses dengan membagi dan menyelesaikan (devide and conquer) masalah.
Misalkan bahwa titik �∗ adalah solusi layak untuk linear programming. Jika
�∗ berada pada daerah integral, maka � merupakan solusi optimal untuk integer linear programming sudah diperoleh. Jika tidak, maka nilai fungsi objektif merupakan batas atas dari nilai optimum, tetapi dibutuhkan penyelesaian lebih lanjut untuk memperoleh nilai optimum berupa integer. Dengan penambahan bidang pemotongan (cutting plane) atau membagi masalah tersebut menjadi bagian-bagian masalah (branch).
Mitchell (1999) menjelaskan bahwa secara umum algoritma branch and cut adalah sebagai berikut:
1. Inisialisasi: nyatakan persoalan awal ke dalam bentuk ILP0dan titik-titik aktif menjadi �= {���0}. Tetapkan batas bawah menjadi �= −∞. Tetapkan
�� = +∞ untuk sebuah persoalan � ∈ �.
2. Penghentian proses: jika �= ∅ maka solusi �∗ yang menghasilkan nilai � objektif yang terbaik merupakan solusi optimal. Jika tidak ditemukan �∗ (misalnya, �=−∞) maka ILP tidak layak.
3. Pemilihan masalah: pilih dan hilangkan masalah ���� dari L.
4. Relaksasi: selesaikan relaksasi program linier dari ����. Jika relaksasi tidak layak, tetapkan �� = −∞ dan lanjut ke langkah 6. Misalkan � merupakan nilai objektif optimal dari relaksasi dan misalkan ��� merupakan jawaban optimal. Jika relaksasinya layak tetapkan �� = �.
(37)
5. Tambahkan bidang pemotongan: jika diinginkan carilah bidang pemotongan yang akan memenuhi ���, jika sudah ditemukan, tambahkan bidang pemotongan tersebut pada relaksasi dan kembali ke langkah 4. 6. Pengukuran dan pemangkasan:
a. Jika �� ≤ � kembali ke langkah 2.
b. Jika �� > � dan ��� adalah integer yang layak, perbaharui nilai �dengan melakukan teknik rounded down berdasarkan nilai ��, kemudian buang dari L seluruh masalah di mana �� ≤ �, dan lanjut ke langkah 2.
7. Pemilihan: misalkan �����
�=1
�=�
adalah partisi dari kumpulan kendala �� dari masalah ����. Tambahkan permasalahan �������
�=1
�=�
ke dalam L, di mana
����� adalah ���� dengan daerah layak yang terbatas pada ��� dan �
�� di mana
� = 1, … ,� ditetapkan ke dalam nilai �� untuk permasalahan induk. di mana:
ILP0 = Bentuk ILP dari permasalahan awal
���� = Bentuk ILP dari sebuah permasalahan l∈L
L = Himpunan titik-titik aktif dari persoalan ILP
�� = Batas atas dari nilai fungsi tujuan suatu sub-masalah l∈L
z = Batas bawah dari nilai fungsi tujuan
x* = Solusi dari suatu sub-masalah
��� = Solusi optimal dari suatu sub-masalah
�� = Kendala dari masalah ����
�SLj� J=1 J=k
= Partisi dari kumpulan kendala �� Dari masalah ����
����� = ���� dengan daerah layak yang terbatas pada ��� dan �
�� di mana
j = 1, … , k
Pada algoritma branch and cut, diberikan L yang merupakan himpunan titik aktif pada pencabangan branch and cut. Nilai objektif terbaik yang diperoleh dari titik layak dinotasikan sebagai �. Lebih lanjut, �� adalah batas atas nilai optimal dari sub-masalah. Nilai dari sub-masalah tersebut digunakan untuk
(38)
memperbaharui ��. Dalam beberapa kondisi, sejumlah cutting plane ditemukan pada langkah 5, biasanya cutting plane yang diperoleh dipilah dan yang ditambahkan pada persamaan adalah subsetnya. Sub-masalah yang terbentuk pada langkah 7 disebut sub-masalah anak dan sub-masalah pada node sebelumnya sebagai sub-masalah induknya. Biasanya pembagian masalah tersebut menggunakan bentuk dari variabel penghubung �� ≤ � dan �� ≥ � untuk suatu variabel �� dan a merupakan integer. Kendala-kendala tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai metode untuk ILP. Secara khusus pada langkah awal diselesaikan dengan metode simpleks, jawaban berikutnya diperoleh dengan metode dual Simpleks. Solusi dual untuk jawaban sub-masalah akhir adalah layak untuk sub-masalah awal. Lebih lanjut, ketika pemotongan (cut) ditambahkan pada langkah 5, juga memanfaaatkan iterasi dual Simpleks untuk mendapatkan solusi optimal yang integer. Cutting plane yang ditambahkan pada salah satu vertex dari pohon branch and cut mungkin tidak berlaku untuk sub-masalah lain. Dalam hal ini cut ini disebut cut lokal.
(39)
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Pengumpulan Data
Data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah:
1. Data penjualan pot bunga pada bulan Januari-Juni 2014.
2. Data komposisi bahan baku yang diperlukan dari setiap jenis pot bunga. 3. Data biaya produksi pot bunga.
4. Data harga penjualan setiap jenis pot bunga pada UD. Mukhlis Rangkuti. 5. Data jumah produksi pot bunga pada bulan Maret 2015.
Berikut disajikan data volume penjualan pot bunga bulan Januari-Juni 2014 pada UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti
Tabel 3.1 Data Volume Penjualan Pot Bunga Bulan Januari – Juni 2014
No Bulan Jenis Produk Jumlah
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7
1 Januari 63 92 67 80 50 52 49 453
2 Februari 48 84 70 84 57 68 52 463
3 Maret 57 66 78 62 40 47 41 391
4 April 60 60 52 43 64 53 44 376
5 Mei 54 72 56 77 48 62 58 427
6 Juni 70 88 62 98 55 65 52 490
Jumlah 352 462 385 444 314 347 296 2.600
Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti Keterangan:
�1 = Pot bunga jenis segi minimalis
�2 = Pot bunga jenis sampan minimalis
�3 = Pot bunga jenis petak segi besar bonsai
�4 = Pot bunga jenis bulat besar ukir bonsai
�5 = Pot bunga jenis segi ukir bonsai
�6 = Pot bunga jenis guci sedang
(40)
Bahan baku yang diperlukan untuk memproduksi setiap satu buah pot bunga disajikan dalam Tabel 3.2 berikut:
Tabel 3.2 Komposisi Bahan Baku Produk
No Bahan Jenis Produk
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7
1 Semen (dm3) 2,41 2,17 3,61 2,41 1,97 1,81 1,44 2 Pasir (dm3) 7,22 6,50 10,83 7,22 5,91 5,42 4,33 3 Kawat (ons) 0,60 0,60 0,70 0,60 0,50 0,50 0,50
4 Cat Hitam (ml) 50,00 41,67 - - - - -
5 Cat Wash (ml) - - - - 55,56 55,56 41,67
6 Cat Retak (ml) - - 100,00 83,33 - - -
7 Tiner (ml) - - 33,33 33,33 33,33 33,33 33,33 Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti
Bahan baku pot bunga yang disediakan oleh UD. Pot bunga Mukhlis Rangkuti ditampilkan dalam Tabel 3.3.
Tabel 3.3 Persediaan Bahan Baku Selama Satu Bulan
No Bahan Baku Jumlah
1 Semen 48 sak 1.665,6 dm3
2 Pasir 4 truk 5.720 dm3
3 Kawat 30,8 kg 308 ons
4 Cat Hitam 20 L 20.000 ml
5 Cat Wash 20 L 20.000 ml
6 Cat Retak 20 L 20.000 ml
7 Tiner 16 L 16.000 ml
Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti Keterangan:
1. 1 sak semen = 50 kg
Standard massa jenis semen = 1440 kg/m3 Diketahui bahwa:
���������� = �����
������ 3.1
atau
������ = �����
(41)
Dengan menggunakan persamaan 3.2 diperoleh: Volume 1 sak semen = 50 ��
1440 ��/�3 = 0,0347�
3 = 34,7 ��3
2. 1 truk pasir = 22 gerobak sorong 1 gerobak sorong = 65 dm3
maka 1 truk pasir = 22 × 65 = 1430 dm3
Total biaya produksi dari masing-masing satu buah pot bunga termasuk biaya bahan baku dan upah tenaga kerja disajikan dalam Tabel 3.4.
Tabel 3.4 Biaya Produksi Setiap Produk Jenis Produk Biaya Produksi
�1 Rp 15.000
�2 Rp 12.000
�3 Rp 45.000
�4 Rp 35.000
�5 Rp 27.000
�6 Rp 24.000
�7 Rp 20.000
Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti
Harga jual setiap satu buah pot bunga ditampilkan dalam Tabel 3.5.
Tabel 3.5 Harga Jual Produk Jenis Produk Harga Jual
�1 Rp 30.000
�2 Rp 27.000
�3 Rp 75.000
�4 Rp 55.000
�5 Rp 48.000
�6 Rp 42.000
�7 Rp 35.000
Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti
Besar keuntungan yang diperoleh dari setiap unit produk merupakan selisih dari harga jual dengan besarnya biaya produksi yang dikeluarkan. Keuntungan tiap satu unit produk ditampilkan dalam Tabel 3.6.
(42)
Tabel 3.6 Keuntungan Tiap Satu Unit Produk Jenis Produk Keuntungan
�1 Rp 15.000
�2 Rp 15.000
�3 Rp 30.000
�4 Rp 20.000
�5 Rp 20.000
�6 Rp 18.000
�7 Rp 15.000
Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti
Berikut ditampilkan data volume produksi pot bunga bulan Maret 2015 pada UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti.
Tabel 3.7 Volume Produksi Pot Bunga Bulan Maret 2015 Jenis Produk Jumlah
�1 85
�2 86
�3 88
�4 90
�5 80
�6 82
�7 82
Sumber: UD. Pot Bunga Mukhlis Rangkuti
Berdasarkan jumlah produksi tersebut, total biaya produksi yang dikeluarkan oleh perusahaan adalah Rp15.185.000,- dan keuntungan yang diperoleh adalah Rp11.311.000,-.
3.2 Pengolahan data
3.2.1 Perumusan Fungsi Tujuan
Keoptimalan jumlah pot bunga yang diproduksi akan seiring dengan keoptimalan keuntungan yang diperoleh. Dalam penelitian ini yang dijadikan sebagai fungsi objektifnya adalah maksimasi keuntungan penjualan pot bunga. Koefisien dari variabel keputusannya adalah keuntungan dari masing-masing jenis pot bunga yang dirumuskan sebagai berikut:
(43)
Maksimum:
�= 15.000�1+ 15.000�2+ 30.000�3+ 20.000�4+ 20.000�5 +18.000�6+ 15.000�7
di mana:
�1 = Banyaknya pot bunga jenis segi minimalis diproduksi
�2 = Banyaknya pot bunga jenis sampan minimalis diproduksi
�3 = Banyaknya pot bunga jenis petak segi besar bonsai diproduksi
�4 = Banyaknya pot bunga jenis bulat besar ukir bonsai diproduksi
�5 = Banyaknya pot bunga jenis segi ukir bonsai diproduksi
�6 = Banyaknya pot bunga jenis guci sedang diproduksi
�7 = Banyaknya pot bunga jenis guci kecil diproduksi
3.2.2 Perumusan Fungsi Kendala
Fungsi kendala dalam permasalahan ini terdiri dari persediaan bahan baku dan jumlah permintaan.
1. Model Fungsi Kendala Dari Persediaan Bahan Baku
Untuk memodelkan fungsi kendala dari persediaan bahan baku, data yang digunakan adalah data pada Tabel 3.2 dan Tabel 3.3 sehingga dapat dimodelkan sebagai berikut:
Semen : 2,41�1+ 2,17�2+ 3,61�3+ 2,41�4 + 1,97�5+ 1,81�6+ 1,44�7 ≤ 1.665,60
Pasir :`7,22�1+ 6,50�2+ 10,83�3+ 7,22�4+ 5,91�5 + 5,42�6+ 4,33�7 ≤ 5.720
Kawat : 0,60�1+ 0,60�2+ 0,70�3+ 0,60�4 + 0,50�5+ 0,50�6+ 0,50�7 ≤ 340
Cat hitam : 50�1+ 41,67�2 ≤20.000
Cat wash : 55,56�5+ 55,56�6+ 41,67�7 ≤ 20.000
Cat retak : 100�3 + 83,33�4 ≤ 20.000
(44)
2. Model Fungsi Kendala dari Jumlah Permintaan
Data yang digunakan untuk memodelkan fungsi kendala dari jumlah permintaan adalah data volume penjualan yang terdapat pada Tabel 3.1. Agar tidak terjadi kondisi kekurangan barang, maka perusahaan harus memproduksi tiap jenis pot bunga sekurang-kurangnya sama dengan jumlah penjualan terbanyak dari setiap jenis pot bunga. Dimodelkan fungsi-fungsi kendala sebagai berikut:
Pot bunga jenis segi minimalis : �1 ≥ 70
Pot bunga jenis sampan minimalis : �2 ≥92
Pot bunga jenis petak segi besar bonsai : �3 ≥78 Pot bunga jenis bulat besar ukir bonsai : �4 ≥98
Pot bunga jenis segi ukir bonsai : �5 ≥64
Pot bunga jenis guci sedang : �6 ≥68
Pot bunga jenis guci kecil : �7 ≥58
3.2.3 Analisis Metode Branch and Cut
Permasalahan ini dapat diformulasikan sebagai program integer dan akan diselesaikan dengan menggunakan metode branch and cut. Dari permasalahan diperoleh:
Fungsi tujuan: Maksimum:
�= 15.000�1+ 15.000�2+ 30.000�3+ 20.000�4+ 20.000�5 +18.000�6+ 15.000�7
Fungsi kendala:
1. Kendala dari persediaan bahan baku
2,41�1+ 2,17�2+ 3,61�3+ 2,41�4+ 1,97�5+ 1,81�6+ 1,44�7 ≤ 1.665,60
7,22�1+ 6,50�2+ 10,83�3+ 7,22�4+ 5,91�5+ 5,42�6+ 4,33�7 ≤ 5.720 0,60�1 + 0,60�2+ 0,70�3+ 0,60�4+ 0,50�5+ 0,50�6+ 0,50�7 ≤ 340
50�1+ 41,67�2 ≤20.000
(45)
100�3 + 83,33�4 ≤ 20.000
33,33�3+ 33,33�4+ 33,33�5+ 33,33�6+ 33,33�7 ≤16.000
2. Kendala dari jumlah permintaan
�1 ≥70 �2 ≥92 �3 ≥78 �4 ≥98 �5 ≥64 �6 ≥68 �7 ≥58
Bentuk standarnya menjadi:
����= 15.000�1+ 15.000�2 + 30.000�3+ 20.000�4+ 20.000�5 +18.000�6+ 15.000�7
Dengan kendala:
2,41�1+ 2,17�2+ 3,61�3+ 2,41�4+ 1,97�5+ 1,81�6 + 1,44�7+�1 = 1.665,60 7,22�1+ 6,50�2+ 10,83�3+ 7,22�4 + 5,91�5+ 5,42�6+ 4,33�7+�2 = 5.720
0,60�1 + 0,60�2+ 0,70�3 + 0,60�4+ 0,50�5+ 0,50�6+ 0,50�7+�3 = 340 50�1+ 41,67�2+�4 = 20.000
55,56�5+ 55,56�6+ 41,67�7+�5= 20.000 100�3 + 83,33�4+�6 = 20.000
33,33�3 + 33,33�4+ 33,33�5+ 33,33�6+ 33,33�7+�7 = 16.000 −�1+�8 =−70
−�2+�9 =−92 −�3+�10 = −78 −�4+�11 = −98 −�5+�12 = −64 −�6+�13 = −68 −�7+�14 = −58
(46)
Setelah memformulasikan permasalahan produksi tersebut ke dalam model
integer programming, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan model tersebut dengan menggunakan metode dual Simpleks. Penyelesaian menggunakan metode dual Simpleks yang ditampilkan hanya pada iterasi awal, pada iterasi berikutnya penyelesaian model ini dilakukan dengan menggunakan bantuan komputer, mengingat data yang akan dihitung secara iteratif cukup banyak. Persoalan model
integer programming tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan software
POM-QM for Windows yang dapat dilihat pada Lampiran 5. Penyelesaian model ini dimulai dengan merepresentasikan model ke dalam tabel simpleks sebagai berikut:
(47)
34 Tabel 3.8 Iterasi Awal Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 2,41 2,17 3,61 2,41 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0
�2 0 7,22 6,50 10,83 7,22 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0
�3 0 0,60 0,60 0,70 0,60 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0
�4 0 50 41,67 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0
�6 0 0 0 100 83,33 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 33,33 33,33 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0
�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�9 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�10 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
�11 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0
�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
(48)
35 Tabel 3.8 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.665,60
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.720
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 340
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 16.000
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -92
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -78
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -98
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Keterangan:
1. Pada iterasi Tabel 3.8 di atas, �11 = −98 terpilih sebagai leaving variable. 2. ���� =�−20.000−
1 �=20.000 (berarti �4 menjadi entering variable).
3. Baris pivot adalah baris �4 dikalikan -1.
(49)
36 5. Baris �2 yang baru: baris �2−7,22 kali baris �4.
6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,60 kali baris �4. 7. Baris �6 yang baru: baris �6−83,33 kali baris �4. 8. Baris �7 yang baru: baris �7−33,33 kali baris �4.
9. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol). Tabel 3.9 Iterasi 1 Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 2,41 2,17 3,61 0 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0
�2 0 7,22 6,50 10,83 0 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0
�3 0 0,60 0,60 0,70 0 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0
�4 0 50 41,67 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0
�6 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 33,33 0 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0
�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�9 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�10 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
(50)
37 Tabel 3.9 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 0 0 0 2,41 0 0 0 1.429,42
0 0 0 0 0 0 7,22 0 0 0 5.012,44
0 0 0 0 0 0 0,60 0 0 0 281,20
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00
0 1 0 0 0 0 83,33 0 0 0 11.833,66
0 0 1 0 0 0 33,33 0 0 0 12.733,66
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -92
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -78
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58
0 0 0 0 0 0 -20.000 0 0 0 1.960.000
Keterangan:
1. Pada iterasi Tabel 3.9 di atas, �9 =−92 terpilih sebagai leaving variable. 2. ���� =�−15.000−
1 �=15.000 (berarti �2 menjadi entering variable).
3. Baris pivot adalah baris �2 dikalikan -1.
(51)
38 5. Baris �2 yang baru: baris �2−6,50 kali baris �2.
6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,60 kali baris �2. 7. Baris �4 yang baru: baris �4−41,67 kali baris �2.
8. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol).
Tabel 3.10 Iterasi 2 Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 2,41 0 3,61 0 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0
�2 0 7,22 0 10,83 0 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0
�3 0 0,60 0 0,70 0 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0
�4 0 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0
�6 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 33,33 0 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0
�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�10 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
(52)
39 Tabel 3.10 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 0 2,17 0 2,41 0 0 0 1.229,78
0 0 0 0 6,50 0 7,22 0 0 0 4.414,44
0 0 0 0 0,60 0 0,60 0 0 0 226,00
0 0 0 0 41,67 0 0 0 0 0 16.166,36
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00
0 1 0 0 0 0 83,33 0 0 0 11.833,66
0 0 1 0 0 0 33,33 0 0 0 12.733,66
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -78
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58
0 0 0 0 -15.000 0 -20.000 0 0 0 3.340.000
Keterangan:
1. Pada iterasi Tabel 3.10 di atas, �10 =−78 terpilih sebagai leaving variable. 2. ���� = �−30.000
−1 �= 30.000 (berarti �3 menjadi entering variable).
3. Baris pivot adalah baris �3 dikalikan -1.
(53)
40 5. Baris �2 yang baru: baris �2−10,83 kali baris �3.
6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,70 kali baris �3. 7. Baris �6 yang baru: baris �6−100 kali baris �3. 8. Baris �7 yang baru: baris �7−33,33 kali baris �3.
9. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol). Tabel 3.11 Iterasi 3 Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 2,41 0 0 0 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0
�2 0 7,22 0 0 0 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0
�3 0 0,60 0 0 0 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0
�4 0 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0
�6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 0 0 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0
�8 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�3 30.000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
(54)
41 Tabel 3.11 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 0 2,17 3,61 2,41 0 0 0 948,20
0 0 0 0 6,50 10,83 7,22 0 0 0 3.569,70
0 0 0 0 0,60 0,70 0,60 0 0 0 171,40
0 0 0 0 41,67 0 0 0 0 0 16.166,36
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00
0 1 0 0 0 100 83,33 0 0 0 4.033,66
0 0 1 0 0 33,33 33,33 0 0 0 10.133,92
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -70
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92
0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 78
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58
0 0 0 0 -15.000 -30.000 -20.000 0 0 0 5.680.000
Keterangan:
1. Pada iterasi Tabel 3.11 di atas, �8 =−70 terpilih sebagai leaving variable. 2. ���� = �−15.000−
1 �= 15.000 (berarti �1 menjadi entering variable).
3. Baris pivot adalah baris �1 dikalikan -1.
(55)
42 5. Baris �2 yang baru: baris �2−7,22 kali baris �1.
6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,60 kali baris �1. 7. Baris �4 yang baru: baris �4−50 kali baris �1.
8. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol).
Tabel 3.12 Iterasi 4 Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 0 0 0 0 1,97 1,81 1,44 1 0 0 0
�2 0 0 0 0 0 5,91 5,42 4,33 0 1 0 0
�3 0 0 0 0 0 0,50 0,50 0,50 0 0 1 0
�4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 0 0 0 0
�6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 0 0 33,33 33,33 33,33 0 0 0 0
�1 15.000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�3 30.000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
�13 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0
�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
(56)
43 Tabel 3.12 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 2,41 2,17 3,61 2,41 0 0 0 779,50
0 0 0 7,22 6,50 10,83 7,22 0 0 0 3.064,30
0 0 0 0,60 0,60 0,70 0,60 0 0 0 129,40
0 0 0 50 41,67 0 0 0 0 0 12.666,36
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20.000,00
0 1 0 0 0 100 83,33 0 0 0 4.033,66
0 0 1 0 0 33,33 33,33 0 0 0 10.133,92
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 70
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92
0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 78
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58
0 0 0 -15.000 -15.000 -30.000 -20.000 0 0 0 6.730.000
Keterangan:
1. Pada iterasi Tabel 3.12 di atas, �13 =−68 terpilih sebagai leaving variable. 2. ���� = �−18.000−
1 �= 18.000 (berarti �6 menjadi entering variable).
3. Baris pivot adalah baris �6 dikalikan -1.
(57)
44 5. Baris �2 yang baru: baris �2−5,42 kali baris �6.
6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,50 kali baris �6. 7. Baris �5 yang baru: baris �5−55,56 kali baris �6. 8. Baris �7 yang baru: baris �7−33,33 kali baris �6.
9. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol). Tabel 3.13 Iterasi 5Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 0 0 0 0 1,97 0 1,44 1 0 0 0
�2 0 0 0 0 0 5,91 0 4,33 0 1 0 0
�3 0 0 0 0 0 0,50 0 0,50 0 0 1 0
�4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 55,56 0 41,67 0 0 0 0
�6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 0 0 33,33 0 33,33 0 0 0 0
�1 15.000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�3 30.000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�12 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0
�6 18.000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
(58)
45 Tabel 3.13 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 2,41 2,17 3,61 2,41 0 1,81 0 656,42
0 0 0 7,22 6,50 10,83 7,22 0 5,42 0 2.695,74
0 0 0 0,60 0,60 0,70 0,60 0 0,50 0 95,39
0 0 0 50 41,67 0 0 0 0 0 12.666,36
1 0 0 0 0 0 0 0 55,56 0 16.221,92
0 1 0 0 0 100 83,33 0 0 0 4.033,66
0 0 1 0 0 33,33 33,33 0 33,33 0 7.867,48
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 70
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92
0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 78
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -64
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58
0 0 0 -15.000 -15.000 -30.000 -20.000 0 -18.000 0 7.954.000 Keterangan:
1. Pada iterasi Tabel 3.13 di atas, �12 =−64 terpilih sebagai leaving variable. 2. ���� = �−18.000−
1 �= 18.000 (berarti �5 menjadi entering variable).
3. Baris pivot adalah baris �5 dikalikan -1.
(59)
46 5. Baris �2 yang baru: baris �2−5,91 kali baris �5.
6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,50 kali baris �5. 7. Baris �5 yang baru: baris �5−55,56 kali baris �5. 8. Baris �7 yang baru: baris �7−33,33 kali baris �5.
9. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol). Tabel 3.14 Iterasi 6 Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 0 0 0 0 0 0 1,44 1 0 0 0
�2 0 0 0 0 0 0 0 4,33 0 1 0 0
�3 0 0 0 0 0 0 0 0,50 0 0 1 0
�4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 0 0 41,67 0 0 0 0
�6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 0 0 0 0 33,33 0 0 0 0
�1 15.000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�3 30.000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�5 20.000 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
�6 18.000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
�14 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
(60)
47 Tabel 3.14 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 2,41 2,17 3,61 2,41 1,97 1,81 0 530,34
0 0 0 7,22 6,50 10,83 7,22 5,91 5,42 0 2.317,50
0 0 0 0,60 0,60 0,70 0,60 0,50 0,50 0 63,39
0 0 0 50 41,67 0 0 0 0 0 12.666,36
1 0 0 0 0 0 0 55,56 55,56 0 12.666,08
0 1 0 0 0 100 83,33 0 0 0 4.033,66
0 0 1 0 0 33,33 33,33 33,33 33,33 0 5.734,36
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 70
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92
0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 78
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 64
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -58
0 0 0 -15.000 -15.000 -30.000 -20.000 -20.000 -18.000 0 9.234.000 Keterangan:
1. Pada iterasi Tabel 3.14 di atas, �14 =−58 terpilih sebagai leaving variable. 2. ���� = �−15.000−
1 �= 15.000 (berarti �7 menjadi entering variable).
3. Baris pivot adalah baris �7 dikalikan -1.
(61)
48 5. Baris �2 yang baru: baris �2−4,33 kali baris �7.
6. Baris �3 yang baru: baris �3−0,50 kali baris �7. 7. Baris �5 yang baru: baris �5−41,67 kali baris �7. 8. Baris �7 yang baru: baris �7−33,33 kali baris �7.
9. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol). Tabel 3.15 Iterasi 7Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
�2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
�3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
�4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�1 15.000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�3 30.000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�5 20.000 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
�6 18.000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
�7 15.000 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
(62)
49 Tabel 3.15 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 0 0 2,41 2,17 3,61 2,41 1,97 1,81 1,44 446,82
0 0 0 7,22 6,50 10,83 7,22 5,91 5,42 4,33 2.066,36
0 0 0 0,60 0,60 0,70 0,60 0,50 0,50 0,50 34,39
0 0 0 50 41,67 0 0 0 0 0 12.666,36
1 0 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 10.249,22
0 1 0 0 0 100 83,33 0 0 0 4.033,66
0 0 1 0 0 33,33 33,33 33,33 33,33 33,33 3.801,22
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 70
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92
0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 78
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 64
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 58
0 0 0 -15.000 -15.000 -30.000 -20.000 -20.000 -18.000 -15.000 10.104.000 Keterangan:
1. Pada baris ��– ��: −30.000 paling minimum, maka �10 masuk dalam basis. 2. θmin =�687,22
3,61 ,
2.066,36 10,83 ,
34,39 0,70 ,
4.033,66 100 ,
3.801,219
33,33 �= 40,34 (berarti S6 keluar dari basis).
3. Baris pivot adalah baris S10 dikalikan 1 100.
(63)
50 5. Baris �2 yang baru: baris S2−10,83 kali baris S10.
6. Baris S3 yang baru: baris S3−0,70 kali baris S10.
7. Baris S7 yang baru: baris S7−33,33 kali baris S10. 8. Baris �3 yang baru: baris �3 + baris �10.
9. Baris lainnya tetap karena elemen pada kolom pivot sudah bernilai 0 (nol). Tabel 3.16 Iterasi 8 Metode Dual Simpleks
Basis/C 15.000 15.000 30.000 20.000 20.000 18.000 15.000 0 0 0 0
�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �1 �2 �3 �4
�1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
�2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
�3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
�4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
�5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�1 15.000 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�2 15.000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�3 30.000 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
�4 20.000 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
�5 20.000 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
�6 18.000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
�7 15.000 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
(64)
51 Tabel 3.16 Lanjutan
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Quantity
�5 �6 �7 �8 �9 �10 �11 �12 �13 �14
0 -0,04 0 2,41 2,17 0 -0,51 1,97 1,81 1,44 301,21
0 -0,11 0 7,22 6,50 0 -1,80 5,91 5,42 4,33 1.629,51
0 -0,01 0 0,60 0,60 0 0,02 0,50 0,50 0,50 6,16
0 0 0 50 41,67 0 0 0 0 0 12.666,36
1 0 0 0 0 0 0 55,56 55,56 41,67 10.249,22
0 0,01 0 0 0 1 0,83 0 0 0 40,34
0 -0,33 1 0 0 0 5,56 33,33 33,33 33,33 2.456,80
0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 70
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 92
0 0,01 0 0 0 0 0,83 0 0 0 118,34
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 98
0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 64
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 68
0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 58
0 300 0 -15.000 -15.000 0 4.999 -20.000 -18.000 -15.000 11.314.098 Keterangan:
1. Pada baris ��– �� ∶ −20.000 paling minimum, maka �12 masuk dalam basis.
2. ���� = �541,60 1,97 ,
1.629,52 5,91 ,
6,16 0,50,
10.249,22 55,56 ,
2.456,80
33,33 �= 12,33 (berarti �3 keluar dari basis).
3. Baris pivot adalah baris �12 dikalikan 1
100.
(1)
(2)
(3)
(4)
Lampiran 9 Gambar Produk
(5)
Petak Segi Besar Bonsai
(6)
Segi Ukir Bonsai