Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton

  Fungsi f(x) dikatakan

• pada interval I jika untuk

  < ⇒ < ∀ ∈ , ,

( ) ( )

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  pada interval I jika untuk pada interval I jika untuk < ⇒ > , ∀ , ∈ .

  ( ) ( )

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Fungsi monoton naik atau turun disebut f(x )

  2 f(x )

  1 f(x f(x ) )

  1 f(x )

  2 x x x x

  1

  2

  1

  2

(a) monoton turun (b) monoton naik Andaikan f diferensiabel di selang I, maka i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika : > ∀ ∈ '( ) 0

  < ∀ ∈ '( ) 0

Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik

dan turun jika :

  3

  2

  ( ) = − −

  3

• 1

  4

  3

  = − − + ⇔ = − −

  3

  &1

  ∞ ( , 1) dan (3, )

  3 f(x) monoton naik pada selang −∞ −

  1

  3 ( 1)( 3)

  2

  2

  ↓ ↓ = − =

  ⇔ − − > ⇔ + − >

  (&) (+) (+)

  2

  3

  '( )

  2

  > ⇔ − − >

  3 Fungsi f(x) monoton naik pada I jika > ∀ ∈ ' ( )

  2

  3 4 '( )

  ( )

  3

  1

  2

  2

  3 (&) (+) (+) f ’ Fungsi f(x) monoton turun pada I jika < ∀ ∈ '( ) 0

  < ⇔ − − < ⇔ + − <

  2

  '( )

  2

  3 ( 1)( 3)

  (&) (+) (+) f ’

  ↓ ↓ = − =

  1

  3 f(x) monoton turun pada selang −

  ( 1,3)

  &1

  3 f ’

• =
• = =

• − + + =
• − − − = − =

  2 2 1)

  2

  2 (2 2)( ) ( 2 1)(1) '( )

  2

  

2

  2

  2

  2

  2

  1 ( )

  2

  2 ( 1)

  2

  2 ( 1) ( )

  Tentukan selang kemonotonan

  1

• Fungsi f(x) monoton naik pada I jika > ∀ ∈ '( ) 0
• − ⇔ >

  1 (&) (+) (&) f ’ (+)

  &1

  1 ( 1)( 1) f(x) monoton naik pada selang − ( 1,0) dan (0,1)

  '( )

  2

  2

  2

  ⇔ <

  < −

  

&1

  ∞ ( , 1) dan (1, )

  1 ( 1)( 1) f(x) monoton naik pada selang −∞ −

  '( )

  2

  2

  2

  ⇔ >

  > −

• Fungsi f(x) monoton turun pada I jika < ∀ ∈ '( ) 0
• − ⇔ <

  1 (&) (+) (&) f ’ (+) Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya.

  Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c ∈ I.

  maksimum

• f(c) disebut nilai global dari f pada I jika

  minimum minimum

  ≥ ( ) ( )

  ∀ ∈ ≤

  ( ) ( )

  maksimum

• f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang

  minimum

  ≥ ( ) ( ) buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada selang

  ≤ ( ) ( ) buka tadi. Min Max global Min global Max

  Min lokal global Max lokal a b c d e f

  Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f] Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis . Ada Ada tiga jenis tiga jenis titik kritis titik kritis : :

  a. Titik ujung selang I =

  

b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) )

  

c. Titik singular ( x = c dimana '( ) tidak ada )

  Min lokal Max global

  Min global Max lokal

  Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner

  lokal a b c d e f

Titik x = e merupakan titik singular

  '( ) > '( ) <

  −

• Jika pada selang ( ε

  , ) dan pada selang ( , ε ) , <

  > '( )

  '( ) maksimum maka f(c) merupakan nilai lokal f. minimum

  f(c) f(c) f(c) c c f(c) nilai min lokal f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik Disebelah kiri c monoton turun

  (f ’>0) dan disebelah kanan c (f ’<0) dan disebelah kanan c

  ''( ) < maksimum Misalkan '( ) = Jika maka f(c) merupakan nilai

  ''( ) > minimum lokaldari f.

  3

  2

  1 Tentukan nilai ekstrim fungsi ( ) = + − −

  3

  4

  3

  1

  3

  2

  2

  3

  3 + ( ) = − − 4 ⇔ '( ) = − 2 −

  '( ) =

  2

  ⇔ − 2 − 3 =

• ⇔ ( 1)( − 3) = ⇔ = − 1 d a n =

  3

  1

  2

  1

  3

  2

  4

  3 + ( ) = − −

  3

  1

  1

  1

  2

  3

  2

  − = − = − − − − − − − − + = − − + = − − − − + = − − + + = + = − − + + = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 1 3 4

  5

  5

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  1

  1

  3

  2

  = − − + = − + = − − + = − (3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9

  4

  5

  3

  3

Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut

  (&) (+) (+) f ’

  &1 &1

  3 '

  3

• −∞ −

  Pada selang ( , 1) , ( ) >

  '

  − Pada selang ( 1,3) , ( ) <

  2 − =

  Jadi ( 1) 5 merupakan nilai maksimum lokal

  3

  '

  − < • Pada selang ( 1,3) , ( )

  '

  ∞ > Pada selang (3, ) , ( )

• Fungsi f(x) dikatakan pada interval I bila '( ) naik pada interval I.
• Fungsi f(x) dikatakan

  pada interval I bila bila '( ) turun pada interval I '( ) turun pada interval I "( ) > 0 , ∀ ∈ Jika maka f(x) cekung ke atas pada I 1. "( ) < 0 , ∀ ∈ Jika maka f(x) cekung ke bawah pada I.

  2.

  3 Tentukan selang kecekungan dari = ( )

  2 = = '( )

  3 dan "( )

  6

• • f cekung ke atas jika pada > ∀ ∈

  " ( ) 0 , "( ) "( ) > > ⇔ ⇔ 6 6 > > ⇔ >

  Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞)

• f cekung ke bawah jika pada " ( ) < 0 , ∀ ∈

  "( ) < ⇔ 6 < ⇔ < Jadi f cekung ke bawah pada selang (&∞, 0) Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) )

disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi

perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b cekung ke bawah atau sebaliknya.

  

Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ). f(c) f(c) c

  (c,f(c)) titik belok c (c,f(c)) titik belok

  Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah

  Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas f(c) c c

  (c,f(c)) bukan titik belok Walaupun di sekitar c Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan Terjadi perubahan kecekungan Kecekungan tapi tidak ada

  Titik belok karena f tidak terdefinisi di c

  

Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :

  3

  = −

  a. ( )

  2

  1

  4

  = = b.

  b. ( ) ( )

  1

  ( ) =

• 3

  1 c. a.

  = • Bila "( ) maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.

• Fungsi f kontinu di x = 0.
• Untuk x < 0 maka Untuk x < 0 maka < , sedangkan untuk x > 0 maka , sedangkan untuk x > 0 maka

  "( ) "( ) > . "( )

  Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = &1. Jadi titik merupakan ! b.

  Dari =

  4

  ( ) maka =

  2 " ( ) 12 .

• Bila = " ( ) 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok
• Fungsi f kontinu di x = 0
• Untuk x < 0 dan x > 0 maka > " ( ) 0 .
• Untuk x < 0 dan x > 0 maka > " ( ) 0 .

  Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi merupakan ! c. = +

  1

  3

  ( ) 1 maka −

  =

  

5

  

3

  2 "( )

  9 .

• Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.
• Fungsi f kontinu di x = 0.
• Untuk x < 0 maka > " ( ) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka Untuk x < 0 maka " ( ) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka < " ( ) 0 .
• Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1.

  Jadi merupakan !

  2

  , tentukan: = − ( )

• 1. Jika

  6

  5

  a. Selang kemonotonan

  b. Ekstrim Lokal

  c. Selang kecekungan

  c. Selang kecekungan

  d. Titik belok (jika ada)

  3

  2

  

6

9 ,tentukan:

• 2. Jika ( ) = −

  a. Selang kemonotonan

  b. Ekstrim Lokal

  c. Selang kecekungan

  c. Selang kecekungan

  d. Titik belok (jika ada)

  3

  2 ( ) =

2 − +

3 −

  12

  8

  ,tentukan:

  a. Selang kemonotonan

  b. Ekstrim Lokal

  c. Selang kecekungan

  c. Selang kecekungan

  d. Titik belok (jika ada)

  =

  ( )

  − ∪ +∞ −∞ − ∪ −

  ( ) ( ) ( ] ( )

  − ∪ +∞ −∞ − ∪ +∞

  ( ( ) ( )

  ] ] [

  −∞ − ∪ −

  ( ) ( )

  = =

  ( ) ( )

  − −∞ − ∪

  −∞ − ∪ − ( , 1] ( 1,0)

  ( ] [ ]

  −∞ − ∪ , 1 1, +∞ − 1,0 ∪ 1, +∞ ( )

  ( ( ) ] [

  ]

  −∞ − ∪ − ( , 1 ) ( 1, 0 )

  

= −

• 1,3

  [ ]

  ( )

  = − + + ( )

  = − = = =

  1

  3

  1

  3 = = −

  3

  1 = − = −

  3

  1 = − + + + + ! ! " " = −

  ( ) ( ) 1 < <

  3 <

  1 < ∪ > <

  3

  1

  3 >

  3

• # " = −

  ( ) −∞

• ∞ ( ,2)

  (2, ) (0,2) ( 2,0) − ( 2, − +∞ )

  $ = − + +

  ( ) (3,4)

  (0,4)

  2

  26 (1,4 )

  ( 2, − − )

  3

  3

  2 (2,4 )

  3

  3

  − %

  =

  ( )

  2 (3, )

  9

  1 (2, )

  4 (1,0)

  3 ( 2, ) −

  4 ( 1, 2) − −

  − & " = ( )

  (0,2) ( −∞ ,0) ∪ (2, +∞ ) (3, +∞ ) ( ( −∞ −∞ ,0) ,0) ∪ ∪ (0,3) (0,3) (0,3)

  − " = ( )

  (0,2) −∞ ∪ +∞ ( ,0) (2, ) (3, +∞ ) ( −∞ ,0) ∪ (0,3) (0,3)