Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com Peubah dan Fungsi Kompleks

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  

Peubah dan Fungsi Kompleks

Bilangan Nyata dan Bilangan Khayal

  Kita tinjau sebuah persamaan s

  1 . Akar-akar persamaan ini adalah = s = −

• 2

  1

12 Akar ini adalah suatu bilangan yang kita sebut bilangan khayal atau bilangan imajiner,

  yang hanya dapat kita angankan. Bilangan ini berbeda dari apa yang kita sebut bilangan

  

nyata, seperti 1, 2, 4 dan seterusnya; akar kwadrat dari bilangan nyata positif adalah juga

  merupakan bilangan nyata, misalnya

  1

1 ;

  4 2 ;

  16 4 . Sebutlah akar kwadrat = ± = ± = ± bilangan nyata negatif di atas sebagai j = − 1 . Dengan menggunakan pengertian j = −

  1

  sebagai satuan, maka kita dapat mengatakan bilangan imajiner yang lain seperti j

  1 , j 2 , j 4 ...

  dan seterusnya.

  Definisi Bilangan Kompleks

  Suatu bilangan kompleks s merupakan kombinasi antara bilangan nyata dan bilangan imajiner, dan didefinisikan sebagai

  = σ ω

• +

  s j

  (1) di mana dan keduanya adalah bilangan nyata. Dalam bahasa matematika kita katakana

  σ ω

  bahwa dan keduanya merupakan elemen dari suatu set bilangan nyata, , dan kita

  σ ω ℜ tuliskan dengan menggunakan simbol dan .

  σ ∈ ℜ ω ∈ ℜ

  Representasi bilangan kompleks seperti (1) di atas disebut representasi sudut siku, dan kita sebut sebagai bagian nyata dari s dan ditulis Re(s) = , adalah bagian imajiner dari s

  σ σ ω

  dituliskan Im(s) = . Catatan: singkatan Re dari real (nyata) dan Im dari imaginer (khayal,

  ω imajiner).

  Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Penjumlahan dan Pengurangan. Penjumlahan bilangan kompleks adalah sebagai berikut.

s s ( j ) ( j ) ( ) j ( )

  = σ ω ω = σ σ ω ω σ + + + + + + +

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  

s s ( j ) ( j ) ( ) j ( )

− = σ ω − σ ω = σ − σ ω − ω

+ + +

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 Perkalian. Perkalian dua bilangan kompleks adalah sebagai berikut.

  ( s )( s ) = ( σ j ω )( σ j ω + = σ σ − ω ω +

• ) ( ) j ( ω σ σ ω )

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2 Jika s s j

  1 maka ( s )( s ) j 1 j 1 j

  1 = = = × = = −

  1

  2

  1

2 Pembagian. Pembagian satu bilangan kompleks oleh bilangan kompleks yang lain adalah sebagai berikut.

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic s σ j ω σ − j ω ( σ σ ω ω ) j ( ω σ − σ + +

  ω + )

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  = × =

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  σ ω

• 2

  2

  s j ω j ω σ σ − +

  2 CONTOH-1. : Jika maka

  s = + + 2 j 3 dan s = 3 j

  4

  1

  2

  

7

  1

  2 s s ( 2 j 3 ) ( 3 j 4 ) 1 j

  2 j 3 ) ( + + + + + s s = ( 3 j 4 ) = 5 j

  

1

− = − = − − + +

  1

  2 ( s )( s ) ( 2 j 3 )( 3 j 4 ) (

  6

12 ) j (

  8 9 ) 6 j

  17 = = − = − + + + + +

  1

  2 s

  2 j

  3 3 − j 4 (

  6 12 ) j ( −

  18

  1

  8 + + + + 9 )

  = × = = j

• 1

  2

  

2

s 3 j

  4 3 j

  4

  25

  25 −

  2

  3

4 Representasi Grafis Bilangan Kompleks

  Suatu bilangan kompleks dapat kita pandang sebagai pasangan berurut dari dua bilangan riil.

  s j = σ + ω (penulisan bentuk sudut siku)

  ( , ) (pasangan berurut dari dua bilangan riil) (2)

  σ ω

  Dengan pandangan ini kita dapat menggambarkannya dalam sistem koordinat Cartesian seperti pada Gb.1.a. Bidang dengan sumbu koordinat Re (sumbu riil) dan Im (sumbu imajiner) ini disebut bidang kompleks atau bidang s. Suatu kumpulan bilangan kompleks akan terletak di bidang kompleks ini.

  Pasangan berurut ( , ) dapat pula diasosiasikan dengan sebuah vektor seperti terlihat

  σ ω

  pada Gb.1.b.; dengan kata lain vektor tersebut merepresentasikan bilangan kompleks. Jadi suatu bilangan kompleks

  s j

= σ ω dapat kita nyatakan sebagai s = ρ cos θ j ρ sin θ

+ +

  dengan adalah panjang vector dan adalah sudut antara vector dengan sumbu

  ρ θ nyata.

   ( , ) j

σ ω ω

^* ρ θ

   Re Re σ

a) Pasangan berurut bilangan

  b). Representasi bilangan kompleks secara vektor ( σ , ω ) dalam koordinat Cartesian Gb.1. Representasi grafis bilangan kompleks.

  

Representasi Bilangan Kompleks Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar

Pernyataan Bilangan Kompleks. Ada dua cara untuk pernyataan vektor dari suatu

  bilangan kompleks yaitu bentuk sudut siku dan bentuk polar. Bentuk sudut siku adalah

  = σ ω

• s j seperti yang kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu .

  Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi geometri sederhana

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  σ = ρ cos θ dan ω = ρ sin θ   (3)

  ω

  2

  1

  −  

  ρ = σ ω dan θ = tan  

• 2

  σ

  yang digambarkan pada Gb.1.b. Dengan menggunakan persamaan atau identitas Euler, yaitu

  j θ e cos j sin (4)

  = θ + θ

  representasi polar dari bilangan kompleks menjadi

  j θ s e

  = ρ

  (5)

  2 Nilai absolut (magnitude) s adalah , ditulis | s | = ρ = σ ω . Sudut disebut sudut fasa,

• 2

  ρ θ s = dituliskan .

  ∠ θ j0,5

  CONTOH-2 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = 10 e . s = 0,5 rad.

  Nilai bilangan kompleks ini adalah |s| = 10 dan sudut fasanya

  ∠

10 (cos ,

5 j sin , 5 ) = 10 ( , 88 j , + + + Bentuk sudut sikunya adalah: s = 48 ) = 8 , 8 j 4 ,

  8 CONTOH-3 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = 3+ j4.

  2

  2

  3

4 =

• Nilai absolut s adalah | s | = ρ =

  5

  4

  1 −

  Sudut fasanya adalah ∠ s = θ = tan = , 93 rad .

  3 j0,93

  Representasi polar adalah: s = 5e

  CONTOH-4 :

  Misalkan suatu bilangan kompleks s = 1.

  − j π − j π

  Representasi polar adalah : s = 1 = e = e

  −  

  1 −

  Pemahaman :   tan

  tidak bernilai tunggal. Kita harus berhati-hati menentukan

   1  − sudut fasanya. Di sini kita harus memilih rad.

  π CONTOH-5 :

  Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.

  θ

^{1 θ}

^{2 θ 1 θ 2} ( s )( s ) e e e

• j j j ( )

  

= ρ ρ = ρ ρ

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  j θ ₁ s e

  1 ρ 1 ρ 1 j ( ) θ − θ _{1 2} e

  = = j

  θ ₂ s

  ρ 2 e

  2 ρ

2 Konjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan

  = σ ω = σ − ω −

• j . Jika mengganti j dengan s j maka konjugatnya adalah s j . Perhatikan Gb.2.

  Im s = σ + j ω

  Re s*= σ − j ω

• * atau | | *) )( (

• 1

  ρ

  = j e s , dan tinjau suatu fungsi kompleks

  2

  1

  ) ( s s s F × = .

  ) 5 / ) 2 (

  ( 5 / ) ( 5 /

  2

  1

  ( 2 ) π π π

  α = × ρ = × = j j j

  F e e e s s s

  dengan

  α

  = 2

  Karena |

  2

  Fungsi kompleks pada contoh-6 di atas mudah untuk digambarkan karena sudut fasa fungsi,

  bervariasi, sehingga kumpulan fungsi kompleks akan mengisi seluruh domain di bidang kompleks. Dalam praktik tidak pula kita memerlukan gambaran fungsi di seluruh

  ρ

  maupun

  θ

  , bernilai konstan. Pada umumnya fungsi kompleks tidaklah demikian; sudut

  θ

  Pole dan Zero

  ρ

  b) Gb.3. Kumpulan bilangan kompleks s 1 dan F(s).

  a)

  1 , seperti terlihat pada Gb.3.b.

  | juga akan bervariasi secara kontinyu. Jika fungsi kompleks ) (s F digambarkan di bidang kompleks, maka ) (s F akan terlihat sebagai kumpulan bilangan kompleks yang lain, yang merupakan peta dari kumpulan s

  α

  | bervariasi secara kontinu maka |

  2 π

  ) ( 5 /

  Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Gb.2. Konjugat bilangan kompleks.

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  ; * ; *

  2

  1

  ( )( )

  |s| s s s s s = = ; [ ] [ ]

  2

  Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah sebagai berikut:

  1

  s s s s s s s s s s s s

  dengan sumbu nyata seperti terlihat pada Gb.3.a. Misalkan suatu bilangan kompleks

  π

ρ =

j

e s

  π 5 / = θ

  adalah konstan, maka kumpulan bilangan kompleks ini jika digambatkan di bidang komples akan terlihat sebagai garis lurus yang membentuk sudut

  5 / π = θ

  | bervariasi secara kontinyu, sementara

  ρ

  Jika |

  1

  =    

  ( 5 /

  Tinjaulah suatu kumpulan bilangan kompleks )

  CONTOH-6:

  Fungsi kompleks F(s) memetakan suatu set bilangan kompleks ke dalam satu set bilangan kompleks. Satu set bilangan kompleks yang dipetakan itu merupakan peubah bebas sedangkan hasil pemetaan yaitu F(s) adalah peubah tak bebas (lihat pembahasan tentang fungsi). Untuk memperjelas pernyataan ini kita akan lihat suatu contoh.

  Fungsi Kompleks

    = + = +

  Re Im Re Im Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  domain, melainkan pada titik-titik tertentu yang memberikan nilai kritis pada fungsi kompleks. Nilai-nilai kritis tersebut adalah pole dan zero.

  Pole. Suatu fungsi kompleks F(s) dikatakan mempunyai pole di s = p 1 jika lim F ( s ) = ∞ (6) s → p ₁ Jadi pole merupakan peubah bebas kompleks yang apabila mendekatinya maka nilai fungsi akan mendekati tak hingga. Itulah sebabnya pole disebut nilai kritis.

  Zero. Suatu fungsi kompleks F(s) dikatakan mempunyai zero di s = z jika

  1 lim F ( s )

  (7)

  

=

s z

  → ¹ Jadi zero merupakan peubah bebas kompleks yang apabila mendekatinya maka nilai fungsi akan mendekati nol. Itulah sebabnya zero juga disebut nilai kritis. s b

  − CONTOH-7 :

  Tinjau suatu fungsi kompleks F ( s ) = , a ≠ b . Tentukan pole dan zero

  s − a fungsi ini.

  Fungsi ini mempunyai pole di s = a karena pada nilai s = a fungsi akan bernilai tak menentu. Fungsi ini mempunyai zero di s = b karena pada nilai s = a fungsi akan bernilai nol.

  Fungsi Rasional Kompleks

  Fungsi rasional kompleks adalah fungsi kompleks yang merupakan rasio dua polinom kompleks dengan koefisien nyata.

  m m

  1 − b s b s b B ( s )

• L

  m m

  1 −

  F ( s )

  (8)

  = = n n

  1 −

  A ( s ) a s a s a

• L

  n n

  1 −

  Koefisien b , b , , b adalah bilangan-bilangan nyata; demikian pula a , a , , a juga

  L L m m

  1 n n

  1 −

  −

  bilangan nyata. Didefinisikan bahwa orde dari fungsi ini adalah n. Fungsi rasional kompleks

  F(s) dikatakan proper jika m

  n ; dikatakan not proper jika m > n. Fungsi rasional yang not

  ≤ proper, dengan m > n, sering juga disebut fungsi non-kausal. b m

  Dengan mengeluarkan factor kita dapat menuliskan fungsi rasional (8) menjadi

  a n b b m

m

1 m

  1 − − s s

• L

  b b b m m m

  F ( s ) = a a a n n 1 n

  1 n − − s s

  L + + + a a n n

  (8.a)

  b b m m 1 m

  1 − − s s

• + + +

  L

  b b m m

  K = a a n n

1 n

  1

− −

s s

  L + + + a a n n Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  Jika F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien nyata, kita dapat menyatakan pembilang dan penyebut dalam faktor-faktor linier.

  K ( s − z )( s − z ) ( s − z )

  1

  2 L m F ( s )

  =

  (9)

  ( s − p )( s − p ) ( s − p ) L

  1 2 n

  Jika koefisien F(s) nyata maka akar-akar kompleks dari pembilang dan penyebut akan berupa pasangan konjugat. (Kita ingat bahwa perkalian dua bilangan kompleks konjugat akan berupa bilangan nyata). Pernyataan fungsi rasional dalam bentuk seperti (9) ini memperlihatkan dengan jelas pole dan zero-nya. Pada umumnya kita menghadapi fungsi yang proper, sehingga jumlah zero lebih kecil dari jumlah pole. Dalam keadaan demikian m) zero di tak hingga. sering dinganggap bahwa fungsi demikian mempunyai (n

  − 1 )( s + + ( s 2 )

  CONTOH-8 : Misalkan kita mempunyai fungsi rasional F ( s ) = .

• ( s 2 )( s

  4 ) ( s 1 )( s 2 ) ( s 1 )

  F ( s ) Fungsi ini dapat ditulis sebagai = = .

  1 ( s + + + 2 )( s 4 ) ( s 4 )

  F 1 (s) merupakan bentuk tereduksi dari F(s). Pembilang dan penyebut dari fungsi F(s) mempunyai faktor yang sama yaitu (s + 2) dan faktor yang sama ini dapat dieliminir.

  Pembilang dan penyebut dari fungsi tereduksi F (s) mempunyai pula faktor sama, yaitu

  1

1. Jadi faktor yang sama antara polinom B(s) dan A(s) pada F

  1 (s) adalah 1; dua polinom

  yang demikian ini disebut coprime. Dalam menangani fungsi rasional kita bekerja pada bentuk yang tereduksi; kita menganggap bahwa pembilang dan penyebut adalah

  coprime.

  Diagram Pole-Zero. Fungsi rasional dapat direpresentasikan secara grafis dengan

  hanya menggambarkan posisi-posisi nilai kritis pole dan zero dalam bidang kompleks. Pole diberi tanda “ ” sedangkan zero diberi tanda “o”. Hasilnya kita sebut diagram pole-zero. Kita

  × lihat contoh berikut.

  5 ( s 1 ) −

  CONTOH-9 : F ( s ) Tinjau fungsi = .

  1 )( s 2 j

+ + + + ( s

1 )( s 2 − j 1 ) Im ×

1 Zero ada di s = 1 ;

  × × Re

2 Pole ada di s = 1, ( 2 j1), ( 2+j1).

  − − − − − −

  1

  2

  1 − ×

  Perhatikan bahwa koefisien K tidak mempengaruhi posisi pole dan zero.