PENENTUAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 131 – 139

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

PENENTUAN HARGA OPSI CALL TIPE EROPA

MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL

  

MIKA ALVIONITA S, RIRI LESTARI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

  

Alvionita0905@gmail.com

Abstrak. Dalam makalah ini akan dibahas opsi call tipe Eropa menggunakan metode

trinomial. Metode trinomial memiliki perubahan harga saham yang dipengaruhi oleh

koefisien naik turun yang relatif sama dengan suku bunga. Permasalahan yang timbul

dalam metode ini adalah persamaan linier yang digunakan overdetermined. Persamaan yang overdetermined diselesaikan dengan menggunakan invers semu (pseudoinverse). Kata Kunci: Overdetermined, invers semu (pseudoinvers)

1. Pendahuluan

  Dalam melakukan investasi terdapat bermacam-macam aset yang dapat diperjual- belikan seperti uang, obligasi, saham, suku bunga dan lainnya. Seiring perkemban- gan zaman, pemilik aset ingin memiliki produk derivatif yang dapat meminimalkan kerugian dan memaksimalkan keuntungan dari aset yang diperjualbelikan. Produk derivatif tersebut yaitu opsi. Penentuan harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial ini mempunyai tiga kemunginan nilai perubahan harga saham.

  Metode trinomial yang digunakan dalam penentuan harga opsi call Eropa memi- liki masalah karena persamaan linier yang digunakan overdetermined yaitu sistem persamaan dengan jumlah persamaan yang lebih banyak daripada jumlah vari- abel yang dicari. Persamaan linier yang overdetermined dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks A m×n yang disebut invers semu (pseudoinverse), dino-

• tasikan A . Definisi 1.1.

  [5] Misalkan matriks A merupakan matriks yang berukuran m × n. Matriks A dikatakan matriks invers tergeneralisasi jika terdapat matriks X yang memenuhi syarat-syarat berikut.

  (i) AXA = A. (ii) XAX = X. t (iii) (XA) = XA. t

  Mika Alvionita, Riri Lestari

  Diketahui P −

  1

  1 P = , P = S S ,

  1

  2 P

  2 _{− T}

  1

  1 Q = Q Q , Q = ,

  1

  2 T

  2 B 0 P AQ = 0 0 dimana B adalah suatu matriks nonsingular berukuran r × r.

• Untuk menentukan matriks invers semu A dapat dicari dengan memanfaatkan teorema berikut. Teorema 1.2. [5] Misalkan A adalah matriks berukuran m × n dan P AQ = B 0

  , dimana B adalah matriks nonsingular berukuran r × r. Misalkan X adalah 0 0 _{− − Z U}

  1

  1 matriks berukuran n × m yang didefinisikan sebagai Q

  XP = . Maka

  V W ₋

  1 (a) X adalah invers tergeneralisasi dari A jika dan hanya jika Z = B . ₋

  1 (b) X adalah invers tergeneralisasi refleksif dari A jika dan hanya jika Z = B dan W = V BU .

  (c) X adalah invers tergeneralisasi lemah kanan dari A jika dan hanya jika _{− −} 1 + +

1 Z = B , U = −B P P , dan W = −V P P .

  1

  1

  2

  2 (d) X adalah invers tergeneralisasi lemah kiri dari A jika dan hanya jika Z = ^{− −} +

  1 1 + B , V = −Q Q B , dan W = −Q Q U .

  1

  1

  2

  2 ₋

  1 (e) X adalah invers semu dari A jika dan hanya jika Z = B , U = _{− − −}

  1 + 1 + + 1 + −B P

  1 P , V = −Q Q

  1 B , dan W = Q Q

  1 B P 1 P .

  2

  2

  2

  2 P dan Q adalah matriks hasil operasi elementer baris dan kolom matriks A m×n , sedangkan r adalah rank matriks A m×n .

  Pada metode ini diasumsikan pergerakan naik-turunnya harga saham (S) dalam periode tertentu memiliki tiga kemungkinan pergerakan saja. Di dalam pasar saham berlaku suku bunga bank pada periodenya yaitu sebesar r. Dengan pergerakan naik-turunnya harga saham (S), terdapat koefisien perubahan pergerakan tersebut yaitu a , a , dan a dimana hubungan antara koefisien perubahan pergerakan naik-

  1

  2

  3 turunnya harga saham adalah a > a > a [2].

  1

  2

  3

2. Opsi pada Satu Periode

  Pada bagian ini akan ditentukan nilai opsi call yang jatuh tempo pada akhir peri- ode pertama. Misalkan harga saham (S) pada saat t = 0 adalah S dan koefisien perubahan harga saham adalah a , a , dan a dengan a > a > a . Maka pada

  1

  2

  3

  1

  2

  3 saat periode t = 1, harga saham akan berubah menjadi S 1 dengan perubahan sebe- sar a

  1 S , a

  2 S , dan a

  3 S dalam setiap pergerakan harga saham memiliki peluang P p Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial

  dapat dituliskan dengan _{ } S 1 (1) = (1 + a 1 )S , dengan peluang p 1 , S =

  (2.1)

  1 S _ 1 (2) = (1 + a 2 )S , dengan peluang p 2 , S 1 (3) = (1 + a 3 )S , dengan peluang p 3 .

  Selanjutnya, misalkan C adalah nilai opsi call pada saat t = 0 dan C adalah

  1 nilai opsi call pada t = 1 (yaitu pada akhir periode pertama).Karena harga saham pada periode satu (S ) memiliki tiga kemungkinan nilai, maka nilai opsi call pada

  1 saat t = 1 juga memiliki tiga kemungkinan nilai. Sehingga nilai opsi call diakhir periode pertama adalah _

  C (1) = max {(1 + a )S − K, 0} , dengan peluang p , _

  1

  1

  1 C = C (2) = max {(1 + a )S − K, 0} , dengan peluang p , (2.2)

  1 _

  1

  2

  2 C (3) = max {(1 + a )S − K, 0} , dengan peluang p .

  1

  3

  3 Persamaan (2.2) juga merupakan fungsi pay off (fungsi keuntungan) dari opsi call bagi pembeli opsi call merupakan kewajiban bagi penerbit opsi untuk menye- diakan dana sebesar C (1), C (2), dan C (3) diakhir periode t = 1. Oleh karena

  1

  1

  1 itu, penerbit opsi membentuk portofolio replikasi. Portofolio replikasi yang dibentuk terdiri dari saham (γ) dan tabungan (β).

  Portofolio pada awal periode yaitu pada t = 0 adalah X . Nilai portofolio ini pada akhir periode pertama diharapkan sama dengan C . Portofolio ini disusun

  1 dalam bentuk γ lembar saham yaitu γS dan dalam bentuk tabungan sebesar β yaitu X = S γ + β.

  Karena portofolio dibentuk dari penjualan opsi call pada awal periode (t = 0) maka diperoleh hubungan X = C . Pada akhir periode pertama (t = 1), nilai porofolio akan menjadi X dan terdiri dari bentuk saham sebesar S γ dan dalam

  1

  1 bentuk tabungan sebesar (1 + r)β. Jadi, bentuk portofolio diakhir periode (t = 1), yaitu

  X = S γ + (1 + r)β. (2.3)

  1

1 Karena portofolio pada akhir periode diharapkan cukup untuk memenuhi kewa-

  jiban penerbit opsi kepada pembeli opsi maka diperoleh hubungan X = C . (2.4)

  1

  1 Dari Persamaan (2.3), maka akan ditentukan nilai γ dan β agar Persamaan (2.4) terpenuhi. Nilai S akan berubah menjadi tiga kemungkinan nilai, sehingga nilai C

  1 1 juga mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu C (1), C (2), dan C (3). _

  1

  1

  1 C (1) = (1 + a )S γ + (1 + r)β, dengan peluang p , _

  1

  1

  1 C = C (2) = (1 + a )S γ + (1 + r)β, dengan peluang p , (2.5)

  1 _

  1

  2

  2 C (3) = (1 + a )S γ + (1 + r)β, dengan peluang p .

  1

  3

  3 Pada Persamaan (2.5), nilai γ dan β tidak diketahui. Untuk menentukan nilai γ dan β, persamaan (2.5) diubah menjadi matriks dengan pemisalan a = b, a = c

  1

  2 dan a 3 = a, sehingga diperoleh: _{−    }

  1 S (1 + b) 1 + r C (1)

  1 γ _{   }

  = S (1 + c) 1 + r C (2) (2.6)

  1 β

• m×n

  1

  2 − bc − ac))

  2

  1 (2)(2rc − ra − rb + b

  2 − bc)

  2 − ab + b

  2 − ca + a

  (1 + r)(c

  2 ))

  2

  1 (1)(2rb − ra − rc − ab − bc + a

  2 (C

  β C =

  2 − ca + a

  1 γ

  Setelah diperoleh nilai γ dan β maka nilai opsi pada awal periode pertama t = 0 bisa ditentukan, yaitu C = S

  2 − bc) ^{                          }

  2 − ab + b

  2 − ca + a

  2 2(1 + r)(c

  2 − ca − ab + b

  2 − bc) c − 2a + b + c

  2 − ab + b

  2 − ca + a

  2

  2

  (1 + r)(c

  2 − ab + b

  1

  3 p

  1 r

  1 1 1 ⁻

  2 ^{ } = b c a

  1 p

  3 = a, maka _{ } p

  2 = c, dan a

  1 = b, a

  Persamaan (2.5) dan Persamaan (2.6) diatas dapat dibentuk dalam bentuk ma- triks dan akan dicari nilai probabilitas untuk perubahan harga saham dengan meng- gunakan invers semu. Misalkan nilai a

  3 = 1.

  2

  1

  3 = r dan diketahui pula p

  2

  2 − bc)

  2 p

  1

  1 p

  Pada penentuan harga opsi menggunakan metode trinomial diasumsikan E(ρ i − r) = 0 sehingga diperoleh hubungan a

  2 − bc)

  2 − ab + b

  2 − ca + a

  (1 + r)(c

  2 − ac − ab))

  2

  1 (3)(2ra − rb − rc + c

  (2.7)

  2 − bc − ca − 2c + a

  2 − bc)

  1 (2.8)

  ab +b

  1 S (b − c) −

  bc ^{#!     }

  2 ₋

  ab +b

  2 ₋

  ca +a

  2 ₋

  (a−b)(b−c) c

  2

  1

  bc 0 1

  2 ₋

  2 ₋

  1 (c − a) b − c a − b b − c

  ca +a

  2 ₋

  (c−2a+b) c

  

2

  

1

  1 0 ⁻

  1 1+r ^{  "}

  S (1 + c) 1 + r

  1 −

  = ^{   }

  Karena jumlah baris dan kolom berbeda maka invers matriks ditentukan dengan invers semu (pseudoinverse) sesuai dengan Teorema 1.2. Dengan memanfaatkan Teorema 1.2 maka invers semu dari matriks tersebut yaitu A

  Mika Alvionita, Riri Lestari Pada persamaan (2.6) terdapat matriks yang harus ditentukan inversnya.

  1 S (b − c)

  1 ^{    } = ^{             } _{        }

  2 − ab + b

  −

  2 − ca + a

  (1 + r)(c

  2 − ab)

  2 − bc + c − 2b + a + a

  2 (c

  1

  2 − bc)S

  2 − ab + b

  2 − ca + a

  (c

  2 (c − 2a + b)

  1

  2 − bc)

   _{  } −

  2 − ab + b

  2 − ca + a

  S (c

  2 (c + a − 2b)

  1

  −

  2 − bc)

  2 − ab + b

  2 − ca + a

  S (c

  2 (−2c + a − b)

  1

• b + b
• a (1 + r)(c
• c
• a
• (C
• b
• (C
• a
• a
• p
• p

  Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial

  Dengan memanfaatkan Teorema (1.2) maka invers semu Persamaan (2.8) untuk nilai probabilitas tersebut yaitu _{   } c c − a _{ } 1 − 1 _{ b − c b − c     }

  1 _{ }

  1 b a − b _{ } b

• A =

  m×n   ^{ }

  2

  1 b − c b − c −

  2 _{  1/2(c − a)(−b + c) 1/2(−c + ac − ab + b )(−b + c  }

  1

  2

  2

  2

  2

  2 2 b _ 1 c − ca + a − ab + b − bc c − ca + a − ab + b − bc _

  2

  2 1 −2b + a + c 1 −ab − bc + a + c

  − _

  2

  2

  2

  2

  2

  2 _{ } 2 (c − ac + a + b − ab − bc) 2 (c − ac + a + b − ab − bc) _{ }

  2

  2

  1 1 b − 2c + a b − bc − ac + a _ ^ _

• A = −

  m×n _

  2

  2

  2

  2

  2

  2 _{ } 2 (c − ac + a + b − ab − bc) 2 (c − ac + a + b − ab − bc) _{ }

  2

  2 _ 1 −c + 2a − b 1 −c + ac − b + ab

  −

  2

  2

  2

  2

  2

  2 2 (c − ac + a + b − ab − bc) 2 (c − ac + a + b − ab − bc)

  Setelah diperoleh invers semu dari Persamaan (2.8) maka nilai probabilitasnya, yaitu _{ }

  2

  2 1 2rb − ra − rc − ab − bc + a + c _{   }

  2

  2

  2 2 (c − ac + a + b − ab − bc) p  

  1 _

  2

  2 1 2rc − ra − rb + b  _{   } + a − bc − ac p =

  (2.9)

  2 _{ }

  2

  2

  2 _{ } 2 (c − ac + a + b − ab − bc) p

  2

  2

  3 _{ } 1 2ra − rb − rc + c + b − ac − ab

  2

  2

  2 2 (c − ac + a + b − ab − bc)

  Nilai p , p , dan p merupakan probabilitas semu. Disebut sebagai probabilitas

  1

  2

  3 semu karena probabilitas yang didapatkan dari hubungan antara E(ρ i − r) = 0 sehingga nilai probabilitas ini berada diantara 0 sampai 1. Dari harga opsi call pada Persamaan (2.6) dan probabilitas semu pada persamaan (2.9) maka

  2

  2 1 (C (1)(2rb − ra − rc − ab − bc + a + c )

1 C =

  2

  2

  2 2 (c − ca + a − ab + b − bc)(1 + r)

  2

  2 1 (C (2)(2rc − ra − rb + b + a − bc − ac))

  1

• 2

  2

  2 2 (c − ca + a − ab + b − bc)(1 + r)

  2

  2 1 (C

  1 (1)(2ra − rb − rc + c + b − ac − ab))

• 2

  2

  2 2 (c − ca + a − ab + b − bc)(1 + r) _X

  3

  1 = (C 1 (i) × p i ) 1 + r i _ =1 _X

  1 _X

  1

  1

  1 _ i j 1−i−j i = p p p max 0, (1 + a )

  1

  1

  2

  3 1 + r i!j!(1 − i − j)! i j

  =0 =0 j 1−i−j (1 + a ) (1 + a ) S − K

  2

  3 berlaku untuk i + j ≤ 1. (2.10)

  Persamaan (2.10) diatas merupakan rumus harga opsi call tipe Eropa menggu- nakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode pertama. Kemudian akan ditentukan hubungan antara a i (i = 1, 2, 3) dan r. Dalam menentukan hubun-

  Mika Alvionita, Riri Lestari

  asumsi E(ρ i − r) = 0 dan p + p + p = 1 maka akan diperoleh hubungan antara

  1

  2

  3 p dan p sebagai berikut:

  1

  2 r − a 3 a 3 − a

  1 p = p + > 0,

  2

  1 a − a a − a

  2

  3

  2

  3 a − a < 0 ⇔ r − a + (a − a )p ≤ 0,

  2

  3

  3

  3

  1

  1 a − r

  3 0 ≤ < 1. a − a

  3

1 Kemudian, ditentukan hubungan p dan p

  3

  1 r − a a − a

  2

  2

  3 p 1 = p + 3 > 0, a + a a − a

  1

  2

  1

  2 a − a < 0 ⇔ r − a + (a − a )p ≤ 0,

  1

  2

  2

  2

  3

  3 a 2 − r 0 ≤ < 1. a − a

  2

  3 Jadi, hubungan a dan r yaitu i a < 0 ≤ r ≤ a < a .

  3

  2

  1

3. Opsi pada Dua Periode

  Pada bagian sebelumnya telah diperoleh harga opsi call tipe Eropa dengan meng- gunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada periode pertama. Selanjutnya akan ditentukan harga opsi call tipe Eropa yang jatuh tempo pada akhir periode kedua. Misalkan harga saham (S) pada saat t = 0 adalah S dan koefisien peruba- han harga saham adalah a , a , dan a dengan a > a > a . Dengan melakukan

  1

  2

  3

  1

  2

  3 tahapan yang sama sesuai dengan opsi satu periode maka akan diperoleh nilai opsi call yang jatuh tempo pada periode kedua, yaitu _

  2

  2

  2 C (11) = (1 + a ) S γ + (1 + r) β, dengan peluang p

  2

  1 _{  } 1 _

  2 C (12) = (1 + a )(1 + a )S γ + (1 + r) β, dengan peluang p p _{  }

  2

  1

  2

  1

  2 _

  2 _ C (13) = (1 + a )(1 + a )S γ + (1 + r) β, dengan peluang p p _{  }

  2

  1

  3

  1

  3 _

  2 C (21) = (1 + a )(1 + a )S γ + (1 + r) β, dengan peluang p p _

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2 C = C (22) = (1 + a ) S γ + (1 + r) β, dengan peluang p

  2

  2

  2 _ 2 _{ C (23) = (1 + a )(1 + a )S γ + (1 + r) β, dengan peluang p p }

  2 _{  }

  2

  2

  3

  2

  3 _

  2 C (31) = (1 + a )(1 + a )S γ + (1 + r) β, dengan peluang p p _{  }

  2

  1

  3

  1

  3 _

  2 _ C (32) = (1 + a )(1 + a )S γ + (1 + r) β, dengan peluang p p _{ }

  2

  2

  3

  2

  3

  2

  2

  2 C (33) = (1 + a ) S γ + (1 + r) β, dengan peluang p

  2

  3

  3 Kemudian akan ditentukan nilai C dengan memperhatikan hubungan C , C , dan

  1 C . Hubungan antara C (i) dan C (ij) dapat dibentuk harga opsi call pada akhir

  2

  1

  2 periode kedua yaitu:

  1 C (1) = ((C (11) × p ) + (C (12) × p ) + (C (13) × p )) .

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  3 1 + r

  1 C (2) = ((C (21) × p ) + (C (22) × p ) + (C (23) × p )) . (3.1)

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  3 1 + r

  1 C (3) = ((C (31) × p ) + (C (32) × p ) + (C (33) × p )) .

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  3 Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial

  Jadi, harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial pada dua peri- ode dengan memandang γ dan β memiliki fungsi yang sama di setiap periodenya, sebagai berikut:

  2

  1

  2

  2 C = max 0, (1 + a ) S − K p + (max {0, (1 + a )(1 + a )S − K} p p )

  1

  1

  2

  1

  2

  1 1 + r

• (max {0, (1 + a )(1 + a )S − K} p p ) + (max {0, (1 + a )(1 + a )S − K} p p )

  1

  3

  1

  3

  2

  1

  2

  1

  2

  2

• max 0, (1 + a ) S − K p + (max {0, (1 + a )(1 + a )S − K} p p )

  2

  2

  3

  2

  3

  2

• (max {0, (1 + a )(1 + a )S − K} p p ) + (max {0, (1 + a )(1 + a )S − K} p p )

  3

  1

  3

  1

  3

  2

  3

  2

  2

  2

• max 0, (1 + a ) S − K p

  (3.2)

  3 _

  3

  2 _X

  2 _X

  2 1 2! _

  C = 1 + r i!j!(2 − i − j)! i j

  =0 =0 i j 2−i−j i j 2−i−j p p p max{0, (1 + a 1 ) (1 + a 2 ) (1 + a 3 ) S − K} (3.3)

  1

  2

  3 berlaku untuk i + j ≤ 2.

  Persamaan diatas merupakan rumus harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode kedua.

4. Opsi pada n Periode

  Misalkan S n adalah harga saham pada periode ke-n dengan a , a , dan a koefisien

  1

  2

  3 perubahan harga saham. Hubungan antara S n dan S n− 1 dinyatakan oleh

  S n (W , W , · · · , W n− , a i ) = a i S n− (W , W , · · · , W n− )

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  1 dengan S n (W , W , · · · , W n− , a i ) adalah perubahan harga saham yang dipengaruhi

  1

  2

  1 oleh koefisien perubahan harga saham sebesar a i , dengan i = 1, 2, 3. Harga opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode ke-n dengan strike price K adalah

  C n (W , W , · · · , W n ) = max {S n (W , W , · · · , W n ) − K, 0}

  1

  2

  1

  2 Portofolio replikasi yang dibentuk oleh penerbit opsi call pada awal periode pertama cukup untuk memenuhi kewajiban penerbit opsi kepada pembeli opsi pada akhir periode ke-n sehingga diperoleh hubungan

  X n (W 1 , W 2 , · · · , W n ) = C n (W 1 , W 2 , · · · , W n ) sedangkan hubungan antara nilai portofolio X n dan X n− dinyatakan oleh 1 n−

  1

1 C n− ((W , W , · · · , W n− , a i ) = ((C n × p ) + C n × p ) + C n × p ))

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  3 1 + r Mika Alvionita, Riri Lestari

  Secara rekursif harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode ke-n diperoleh sebagai berikut. C =

5. Harga Opsi Call yang Jatuh Tempo pada Akhir Periode ke-n

  0, 00

  15 R p

  10.510, 00

  90 R p

  16.959, 00 165 R p

  17.000, 00

  20 R p 12.360, 00

  95 R p 16.971, 00 170 R p 17.000, 00

  25 R p 13.6880, 00 100 R p 16.979, 00 175 R p 0, 00

  30 R p

  14.637, 00 105 R p

  16.985, 00 180 R p

  35 R p 110 R p 16.989, 00 185 R p 0, 00 Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa harga opsi call yang jatuh tempo pada saat periode ke-175 sampai periode ke-n dari saham ABC adalah R p

  10 R p 7.960, 00

  0, 00 karena harga opsi call diakhir periode telah melebihi strike price. Oleh sebab itu harga opsi call tidak digunakan.

  Harga opsi call tipe Eropa dengan menggunakan metode trinomial yang jatuh tempo pada akhir periode ke-n dapat dirumuskan dengan C =

  1 1 + r n ^ _ n _X i

  =0 n _X j =0 n! i!j!(n − i − j)! p i

  1 p j

  2 p n−i−j

  3 max

  0, (1 + a 1 ) i

  (1 + a 2 ) j

  (1 + a 3 ) n−i−j

  S − K

  85 R p 16.943, 00 160 R p 17.000, 00

  80 R p 16.920, 00 155 R p 16.999, 00

  1 1 + r n ^ _ n _X i =0 n _X j =0 n! i!j!(n − i − j)! p i

  2 R p 1.980, 00

  1 p j

  2 p n−i−j

  3 max 0, (1 + a

  1 ) i

  (1 + a

  2 ) j

  (1 + a

  3 ) n−i−j

  S − K (4.1) berlaku untuk i + j ≤ n.

  Saham ABC diperdagangkan di bursa dengan harga R p 17.000, 00 perlembar. Ade membeli satu opsi call untuk satu lembar saham ABC dan jatuh tempo dalam satu bulan kedepan. Harga exercise opsi call tersebut sebesar R p 18.000, 00 serta suku bunga sebesar 7%. Koefisien perubahan pergerakan naik-turunnya berikut. n C n C n C

  1 R p 1.042, 00

  40 R p 15.798, 00 115 R p 16.992, 00

  45 R p 16.143, 00 120 R p 16.995, 00

  9 R p 7.351, 00

  3 R p 2.870, 00

  50 R p 16.389, 00 125 R p 16.99, 00

  4 R p 3.688, 00

  55 R p 16.564, 00 130 R p 16.997, 00

  5 R p 4.499, 00

  60 R p 16.689, 00 135 R p 16.998, 00

  6 R p 5.281, 00

  65 R p 16.779, 00 140 R p 16.999, 00

  7 R p 6.006, 00

  70 R p 16.842, 00 145 R p 16.999, 00

  8 R p 6.701, 00

  75 R p 16.887, 00 150 R p 16.999, 00

6. Kesimpulan dan Saran

  Penentuan Harga Opsi Call Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial

  Pada penulisan jurnal ini, harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode tri- nomial dengan tiga kemungkinan perubahan harga saham yang merupakan fokus pembahasan. Setiap perubahan harga saham dipengaruhi oleh koefisien naik tu- runnya harga saham. Koefisien naik turun harga saham relatif sama dengan suku bunga. Selanjutnya untuk penelitian berikutnya dapat dibahas penentuan harga opsi call tipe Eropa menggunakan metode trinomial dengan koefisien naik-turun harga saham berbeda dengan suku bunga.

7. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, Bapak Dr.

  Admi Nazra dan Ibu Radhiatul Husna, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Korn O. dan Koziol C. 2006. Bond Portfolio Optrimization A Risk-Return Ap- proach, The Journal of Fixed Income [2] Kwok, Yue-Kuen. 1998. Mathematical Models of Financial Derivatives. Second

  Edition. Springer, Singapore [3] Ross, M.S. 1999. Introduction To Mathematical Finance: Option and Other Top- ics. Cambridge University Press, Cambridge [4] Schoot, J.R. 1997. Matrix Analysis for Statistics. A Wiley Interscience Publica- tion, New York [5] Thomas, L.B dan P.L. Odell. 1971. Generalized Inverse Matrices. John Wiley dan Sons. Inc, United States of America