PENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 140 – 147
ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c
PENURUNAN METODE NICKALLS DAN
PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN
PERSAMAAN KUBIK
MISNAWATI
Program Studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
Abstrak.email : misnawati.ua@gmail.com
Pada paper akan dibahas penurunan metode Nickalls dan implementasi per-
hitungannya pada MATLAB dalam menyelesaikan persamaan kubik. Metode ini meru-
pakan modifikasi dari metode Cardan dengan terlebih dahulu mendefinisikan parameter-
parameter tertentu yang dapat mendeskripsikan solusi yang diperoleh dengan bentuk
geometri dari kurva fungsi kubik. Penyelesaian persamaan kubik dengan metode ini
menghasilkan akar-akar bernilai riil yang dibagi atas tiga kasus berdasarkan hubungan
parameter-parameter didefinisikan.Kata Kunci : Cardan, Titik belok, Kecekungan
1. Pendahuluan Persamaan kubik sudah dikenal sejak zaman Mesir dan Yunani kuno. Persamaan tersebut muncul dari masalah-masalah yang mereka hadapi pada pengukuran tanah.
Beberapa matematikawan Yunani yang berperan dalam pengembangan metode penyelesaian persamaan kubik adalah Hippocrates, Men-aechmus, dan Diophantus. Metode-metode yang mereka gagas kemudian diperbaiki oleh matematikawan Arab seperti Al-Mahani, Abu Jafar Al-Hazin dan Ummar Khayam. Perkembangan selan- jutnya tentang metode penyelesaian persamaan kubik berasal dari matematikawan Eropa seperti Leonardo Pisa, Lucas Pacioli, Scipo Ferro dan Nicolo Brescia.
Metode yang lebih populer untuk masalah kubik ini dikembangkan oleh Tartaglia pada tahun 1541 yang menemukan solusi umum untuk persamaan
3
2
x + px = q dengan melakukan transformasi sedemikian sehingga diperoleh ben-
3
tuk x + mx = n. Metode ini sebetulnya sudah digagas sebelumnya oleh Cardan yang dipublikasikan di Ars Magna. Pada paper ini akan dibahas metode alternatif lain dari penyelesaian persamaan kubik yang merupakan modifikasi dari metode Cardan. Metode alternatif ini digagas oleh Nickalls [2].
2. Parameter-Parameter pada Fungsi Kubik Perhatikan kembali bentuk umum fungsi polinomial berderajat n berikut: n
n−1
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik 141
dengan n adalah bilangan bulat positif dan a i adalah koefisien polinomial dengan
1 , x 2 n adalah akar-akar dari persamaan f (x) = 0
i = 0, 1, 2, · · · , n. Misalkan x , · · · , x a n−1 maka x + x + x n .
1
2 3 + · · · + x = − a n
Sekarang misalkan N (x N , y N ) adalah suatu titik yang terdapat pada kurva poli- N , yaitu nomial f (x) sedemikian sehingga dengan menggeser sumbu−x sejauh x N , membuat jumlah akar-akar dari polinomial menggunakan transformasi z = x − x baru f (z) sama dengan nol, yaitu z + z n = 0. Dari hubungan ini berlaku
1 2 + · · · + z
a
n−1
x N . (2.2) = − na n
Dari persamaan (2.2) diperoleh bahwa jika f (x) merupakan fungsi kubik dengan bentuk umum
3
2 b f (x) = ax + bx + cx + d, (2.3) maka x N . Dengan mensubstitusi x = z + x N ke persamaan (2.3), diperoleh
= −
3a
2
3
b cb 2b
3
- f (z) = az + d + , c − z −
2
3a 3a 27a
′′
yang merupakan fungsi kubik tereduksi. Perhatikan bahwa f (x) > 0 dipenuhi oleh b
′′
x < x N , dan f (x) < 0 dipenuhi oleh x > x N dengan x N . Dari kenyataan = −
3a ini, maka N adalah titik belok pada kurva fungsi kubik (2.3).
Selanjutnya misalkan δ, λ, h didefinisikan sebagai parameter-parameter jarak.
′
Dengan menyelesaikan persamaan f (x) = 0, dimana f (x) adalah fungsi kubik (2.3), diperoleh titik ekstrim pada p
1
2
x , = x N b
1 2 ± − 3ac.
3a 2 2 2 2 √
1 b b +9a δ
2
2
−3ac 2 Tulis δ = b = dan c = . Selanjutnya,− 3ac, sehingga berlaku δ
3a 9a 3a
nilai h diberikan oleh N N δ (2.4)
2
2
3
2 h = −3ax δ − 3ax − aδ − bδ − cδ. b b +9a δ 2 2 2 Dengan mensubstitusikan x N dan c = ke persamaan (2.4), diper-
= −
3a 3a
oleh
3
h = 2aδ . (2.5) Selanjutnya, nilai λ dapat ditentukan dari hubungan
3
2
2
2
ax + (3aλ + b)x + (3aλ + 2bλ + c)x N + bλ + cλ + d = 0 (2.6) N N b Dengan mensubstitusikan x N ke persamaan (2.6), diperoleh solusi
= −
3a
√
2 3b −9ac .λ = 0, ±
3a
√
1
2 Karena λ haruslah positif dan dengan menggunakan hubungan δ = b
− 3ac,
3a
maka √
142 Misnawati
Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk fungsi kubik f (x) dikarak- terisasi oleh parameter δ, yaitu mempunyai nilai maksimum dan minimum yang
2
2
berbeda (untuk δ > 0), atau berimpit di N (untuk δ = 0), atau tidak ada titik
2
ekstrim (untuk δ < 0). Lebih lanjut,
2
2
aδλ aδ3δ
3 = = , (2.8)
3 aδλ 2 h 2aδ
2 yang menunjukkan bahwa bernilai konstan pada sebarang fungsi kubik f (x) = h
3
2 ax + bx + cx + d.
3. Pendekatan Nickalls Pandang kembali persamaan kubik
3
2
f (x) = ax + bx + cx + d = 0. (3.1) Misalkan akar-akar dari persamaan (3.1) adalah α, β, dan γ. Dengan menggunakan substitusi x = x N + z, diperoleh persamaan kubik tereduksi
3
2
az z + y N = 0, (3.2) − 3aδ
√
1
3
2
2
dimana δ = b N = f (x N ) = ax + bx + cx N + d. Jelas bahwa − 3ac dan y N N
3a N N N .
akar-akar dari persamaan kubik (3.2) adalah α − x , β − x , dan γ − x Misalkan z = p + q adalah solusi dari persamaan (3.2). Dengan menggunakan substitusi y N
2
3
3
pq = δ dan p + q , (3.3) = − a maka persamaan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk
3
3
3 (p + q) + q ) = 0.
− 3pq(p + q) − (p Selanjutnya dari persamaan (3.3) diperoleh hubungan
6
δ y N
3
3
2
3
6
p ) + y + N p + aδ = 0. (3.4) = − ⇔ a(p
3
p a Solusi persamaan (3.4) diberikan oleh
2
2
py −y ± N − 4a
6 N δ
3 p = .
2a
2
2
6 Berdasarkan persamaan (2.5) yaitu h = 4a δ , maka q
1
3
2
2
p = N y . (3.5) −y ± N − h
2a Akibatnya n o
3
1
2
2
py q = N . −y ∓ N − h
2a
Dari kedua persamaan terakhir, jelas bahwa solusi persamaan kubik (3.2) mempu- nyai satu solusi riil jika
2
2
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik 143
2
2 Selanjutnya karena y = (y N + h)(y N
N − h − h), maka persamaan (3.5) dapat ditulis kembali dalam bentuk n o
1
3
p = N p(y N + h)(y N . (3.6) −y ± − h)
2a Jika ordinat dari titik ekstrim adalah y T 1 dan y T 2 , maka berdasarkan Gambar 3.1.1 dapat ditulis y N + h = y T 1 dan y N T 2 .
− h = y Dengan demikian persamaan (3.6) menjadi
3 1 √ 1 2 p = N y T y T .
−y ±
2a
Jika diskriminan dari persamaan kubik didefinisikan sebagai berikut : 1
2
2
2
∆
3 = y T y T = y ,
N − hmaka nilai diskriminan ∆
3 ini membedakan akar-akar persamaan kubik atas tiga
kasus berikut:
2
2
(1) Kasus y > h , dimana persamaan kubik memiliki 1 akar riil N
2
2
(2) Kasus y = h , dimana persamaan kubik memiliki 3 akar riil (dengan 2 atau N 3 akar yang sama) (3) Kasus y < h , dimana persamaan kubik memiliki 3 akar riil yang berbeda N Berikut penjelasan masing-masing kasus.
2
2
3.0.1. Kasus y > h N Jelas bahwa pada kasus ini hanya terdapat 1 akar riil. Karena diskriminan ∆
3
bernilai positif, maka nilai akar riil α diberikan oleh α = x N + z = x N + p + q, dimana nilai p diperoleh dari persamaan (3.6), yaitu s 3 q
1
2
2
p = N y , −y ± − h N
2a sedangkan nilai q diperoleh dari persamaan (3.2.11), yaitu s 3 q
1
2
2 q = N y .
−y ∓ − h N 2a
Jadi nilai α adalah s s 3 q q
1 3
1
2
2
2
2
- α = x N N y N y . + −y − h −y − − h N N 2a 2a
- z
- z
- z
3
2a = 2δ. Misalkan 2δ adalah untuk z
3
= 2 3 r 2aδ
Jadi z = p + q = 2 3 r h 2a
= h 2a .
3
= h 2a dan q
Pada subkasus ini diperoleh p
. Dengan melakukan cara yang serupa pada subkasus sebelumnya diperoleh z
(ii) Subkasus y N = −h.
1 ,
2 = δ., yang memberikan solusi z
2
= δ
−2aδ −2aδ
=
3
1
z
(ii) x
Selanjutnya jika y N = h = 0, maka δ = 0, sehingga pada kasus ini terdapat tiga
= x N − 2δ (untuk y N = −h).
3
= x N − δ dan x
2
,
1
= x N − 2δ (untuk y N = h),
, 2 = −δ. Dengan demikian untuk kasus y
3
= x N + δ dan x
2
,
1
diperoleh: (i) x
2
= h
2
1
144 Misnawati
3
. Nilai z
3
2a = −2δ. Misalkan −2δ adalah untuk z
3
= 2 3 r −2aδ
Jadi z = p + q = 2 3 r −h 2a
= − h 2a .
2a dan q
dan z
= −h
3
Pada subkasus ini diperoleh p
2 Jika h 6= 0, maka terdapat dua subkasus : (i) Subkasus y N = h.
= h
2 N
3.0.2. Kasus y
1
2
= 2δ dan z
y N a .
2
1
, maka z
3
= −2δ dan y N = h = 2aδ
1
Karena z
3 = −
dapat ditentukan dari sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar dari persamaan (3.2), yaitu z
z
2
z
1
= 0 dan z
3
2
1
2 N
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik 145
2
2
3.0.3. Kasus y < h N Pada kasus ini terdapat tiga akar riil yang berbeda. Namun, solusi tersebut memuat akar pangkat tiga dari bilangan kompleks, sehingga untuk menyelesaikan persamaan kubik tereduksi pada persamaan (3.2) akan lebih mudah menggunakan substitusi z = 2δ cos ¯ θ ke persamaan (3.2), sehingga diperoleh
3
2
a(2δ cos ¯ θ) (2δ cos ¯ θ) + y N = 0 − 3aδ
3
3
¯ (4 cos θ) + y N = 0. (3.7)
⇔ 2aδ θ − 3 cos ¯
3
3
¯ Karena h = 2aδ dan cos 3¯ θ = 4 cos θ, maka persamaan (3.7) menghasilkan
θ−3 cos ¯ y N cos 3¯ , (3.8)
θ = − h sehingga diperoleh
2k θ = θ + π, k = 0, 1, 2, (3.9)
⇔ ¯ −y N
3
arccos( ) h
dimana θ = . Jadi akar-akar α, β, γ diberikan oleh:
3
α = x N + 2δ cos θ, β = x N + 2δ cos(2π/3 + θ), γ = x N + 2δ cos(4π/3 + θ).
Posisi akar-akar tersebut ditunjukkan pada Gambar 3.1.4 dalam lingkaran de- ngan jari-jari 2δ dan berpusat N . Selanjutnya perhatikan juga bahwa dari per- samaan (3.8) diperoleh hubungan y N
< 1. −1 < h
4. Algoritma Metode Nickalls Berikut ini adalah algoritma metode Nickalls. Masukan : a, b, c, d (koefisien persamaan kubik). Keluaran : α, β, γ (akar-akar riil persamaan kubik). Langkah-langkah:
1. x N := −b/(3a);
3
2
2. y N := ax + bx + cx N + d; N N √
1
2
3. δ := b − 3ac;
3a
3
4. h := 2aδ ;
2
2
5. Jika y > 0 maka N − h s s 3 q q 3
1
1
2
2
2
2
α := x + N N y N y ; + + −y − h −y − − h N N
2a 2a β := x N + 2δ cos(2π/3 + θ); γ := x N + 2δ cos(4π/3 + θ);
2 N − h
2
< 0. Pada MATLAB, akar persamaan kubik (5.2) dapat dihitung dengan memanggil perintah berikut: >> x = nickallskubik(1,-7,14,-8)
2
2 N − h
(5.2) diperoleh y
2
− 7x
3
> 0. Pada MATLAB, akar persamaan kubik (5.1) dapat dihitung dengan memanggil perintah berikut: >> x = nickallskubik(1,-3,1,-1) . maka diperoleh akar x = 2.7693 (dua akar lainnya bernilai kompleks). (ii) Untuk persamaan kubik x
2
− h
2 N
(5.1) diperoleh y
− 3x
146 Misnawati
3
(i) Untuk persamaan kubik x
>> x = nickallskubik (a,b,c,d) dimana {a, b, c, d} adalah koefisien-koefisien persamaan kubik (3.1) dan akar- akarnya diberikan oleh array x. Berikut diberikan contoh penyelesaian tiga per- samaan kubik yang merepresentasikan masing-masing kasus.
5. Pemrograman dan Hasil Sintaks pemrograman metode Nickalls pada MATLAB yang diberikan dalam bentuk program fungsi
− δ; γ := x N + 2δ;
− δ; β := x N
− 2δ; jika tidak maka α := x N
α := x N + δ; β := x N + δ; γ := x N
γ := x N + 2δ cos(4π/3 + θ); jika tidak maka jika y N = h maka
α := x N + 2δ cos θ; β := x N + 2δ cos(2π/3 + θ);
< 0 maka θ := [arccos(−y N /h)]/3;
2
jika y
- x − 1 = 0,
- 14x − 8 = 0,
Metode Nickalls untuk Persamaan Kubik 147
(iii) Untuk persamaan kubik
3
x (5.3) − 3x + 2 = 0,
2
2
diperoleh y = h . Pada MATLAB, akar persamaan kubik (5.3) dapat dihitung N dengan memanggil perintah berikut: >> x = nickallskubik(1,0,-3,2) maka diperoleh akar-akar x 1,2 = 1 dan x
2
= −2
6. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Mahdhivan Syafwan, Ibu Riri Lestari, M.Si, Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Bapak Efendi, M.Si, dan Bapak Narwen, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.
Daftar Pustaka [1] Katz, Victor J. 2012. A History of Mathematics. 2th edition. Pearson, New York.
[2] Nickalls, R. W. D. 1993. A new approach to solving the cubic: Cardan’s solution revealed. The Mathematical Gazette 77 : 354 – 359 [3] Varberg, D., Purcell, E.J., dan Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9th edition. Pear- son, New York. [4] Burnside, W. S dan Panton, A. W. 1881. Theory of Equations. Dublin Univer- sity Press, Dublin.