Pengantar Sistem Persamaan Linier dan ma
Pengantar
Sistem
Persamaan
Linier
Manfaat Aljabar Linier
Pengaplikasian vektor pada program aplikasi desain grafis
1.
Program desain vektor dan bitmap
Desain visual vektor : coral draw
Desain visual bitmap : adobe photoshop
Pada citra vektor, gambar dikombinasi dengan rumus
matematika
Pada citra bitmap, gambar dibentuk dengan penyusunan
titik-titik warna (piksel)
2. Program desktop publishing
Program aplikasi yang digunakan untuk keperluan
penerbitan, pembuatan media iklan, serta pembuatan
media cetak. Penggunaan vektor dalam melayout suatu
dokumen
MATERI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Pengenalan Aljabar Linier
Identifikasi Masalah, Pembuatan Model, Pemecahan
Masalah dan Pengujian Keabsahan Model
Metode Grafik
Metode Eliminasi Gauss
Echelon Matriks
Matrik Invers
Determinan
Metode Cramers
Dekomposisi Matriks
Mencari luas segitiga dengan determinan
Matriks Transpose, Trace, Rank
Ruang n-euclid
Transformasi Linier
Mencari nilai akar
Persamaan Linier
Contoh persamaan linier :
+
=
−
+
=
−
+
+
+
+ =
+ =
Pada Persamaan Linier
Tidak melibatkan hasil kali atau akar
peubah
Semua peubah muncul sekali dengan
pangkat satu dan tidak muncul sebagai
peubah bebas dari sebuah fungsi
trigonomerti, logaritma, atau eksponensial
Bentuk umum persamaan linier :
+
+ +
=
Contoh
bukan persamaan linier
+
=
+
− +
=
− sin =
+
+ =
Suatu penyelesaian dari suatu persamaan
linier
+
+ +
= adalah
sederatan n angka � , � , … , � , sedemikian
sehingga persamaan tersebut terpenuhi jika
kita mensubsitusikan
= ,
= ,…,
= .
Himpunan semua penyelesaian persamaan
tersebut disebut himpunan
penyelesaiannya atau kadang-kadang
sebagai penyelesaian umum persamaaan
Contoh
a.
Cari himpunan penyelesaian dari
HP:
Atau
=
=
=
=
−
+
−
=
Contoh
b. Cari himpunan penyelesaian dari
−
+
=
Hp :
= + −
=
=
Sistem Persamaan Linier
Contoh :
− +
=−
+ +
=−
Mempunyai penyelesaian
= ; = ; =−
Karena nilai ini memenuhi kedua persamaan
diatas.
= ; = ; = bukan penyelesaian karena
nilai ini hanya memenuhi persamaan pertama
Sistem Persamaan Linier
Sebuah himpunan terhingga persamaan
linier dalam peubah-peubah , , … , .
Sederet angka , , … , merupakan
penyelesaian dari setiap persamaan pada
sistem.
+ =
+
=
Apakah merupakan sistem persamaan linier?
Apakah mempunyai penyelesaian?
Karena sistem ekuivalen mempunyai persamaan
yang kontradiksi.
Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai
penyelesaian disebut sebagai tak konsisten.
Jika Sebuah sistem persamaan paling tidak ada satu
penyelesaian disebut konsisten.
Tidak mempunyai
penyelesaian
(a)
mempunyai satu
penyelesaian
(b)
mempunyai tak
hingga penyelesaian
(c)
.
.
.
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai
penyelesaian, mempunyai tepat satu penyelesaian, dan
mempunyai tak hingga banyanya penyelesaian
MATRIK
Definisi
Suatu susunan bilangan berbentuk segiempat.
Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut
anggota dalam matriks tersebut
Contoh
−
−
−
Ukuran Matriks
Diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan
kolom (garis vertikal) yang dikandungnya
Contoh:
Ukuran matriks pertama pada contoh diatas
mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga
ukurannya adalah 3x2
Matriks Kolom (Vektor Kolom)
Matriks yang hanya memuat satu kolom
Contoh : matriks 2x1
Matriks Baris (Vektor Baris)
Matriks yang hanya memuat satu baris
Contoh : matriks 1x4
Contoh matriks baris dan matriks kolom :
matriks 1x1
Anggota pada baris I dan kolom j dari
sebuah matriks A akan dinyatakan
Contoh matriks A ukuran 2x3
Matriks umum
…
…
sebagai
…
Keringkasan matriks dinotasikan
atau
�
Aggota matriks dinyatakan
Contoh
−
A=
Kita mempunyai
=
= ;
=− ;
= ;
Untuk matris baris dan matriks kolom dituliskan
dengan huruf kecil dan tebal
�=
…
�=
Matriks bujur sangkar
Sebuah matriks dengan n baris dan m kolom dan
anggota
,
,
,…,
disebut diagonal utama
OPERASIOPERASI
MATRIKS
definisi
1. Dua matriks didefiniskan sama jika keduanya
mempunyai ukuran yang sama dan
anggota-anggotanya berpadanan
Contoh :
=
=
=
2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang
berukuran sama, maka jumlah A+B adalah
matriks yang diperoleh dengan
menambahkan anggota-anggota B dengan
anggota-anggota A yang berpadanan.
Berlaku sama pada selisih matiks
Contoh:
=
=
=
definisi
3. Jika A adalah sebarang matriks dan c
adalah sebarang skalar, maka hasil kali cA
adalah matriks yang diperoleh dengan
mengalikan setiap anggota A dengan c.
Contoh
=
=
Kombinasi linier
Contoh :
=
2A+3B = ….
=
definisi
4. Jika A adalah sebuah matriks × dan B
adalah matriks × , maka hasil kali AB
adalah matriks × yang anggotanya
didefinisikan sebagai berikut.
Untuk mencari anggota dalam baris I dan
kolom j dari AB, pilih baris I dari matriks A
dan kolom j dari matriks B.
Kalikan anggota-anggota yang
berpadanan dari baris dan kolom secara
bersamaan dan kemudian jumlahkan hasil
kalinya
Sistem
Persamaan
Linier
Manfaat Aljabar Linier
Pengaplikasian vektor pada program aplikasi desain grafis
1.
Program desain vektor dan bitmap
Desain visual vektor : coral draw
Desain visual bitmap : adobe photoshop
Pada citra vektor, gambar dikombinasi dengan rumus
matematika
Pada citra bitmap, gambar dibentuk dengan penyusunan
titik-titik warna (piksel)
2. Program desktop publishing
Program aplikasi yang digunakan untuk keperluan
penerbitan, pembuatan media iklan, serta pembuatan
media cetak. Penggunaan vektor dalam melayout suatu
dokumen
MATERI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Pengenalan Aljabar Linier
Identifikasi Masalah, Pembuatan Model, Pemecahan
Masalah dan Pengujian Keabsahan Model
Metode Grafik
Metode Eliminasi Gauss
Echelon Matriks
Matrik Invers
Determinan
Metode Cramers
Dekomposisi Matriks
Mencari luas segitiga dengan determinan
Matriks Transpose, Trace, Rank
Ruang n-euclid
Transformasi Linier
Mencari nilai akar
Persamaan Linier
Contoh persamaan linier :
+
=
−
+
=
−
+
+
+
+ =
+ =
Pada Persamaan Linier
Tidak melibatkan hasil kali atau akar
peubah
Semua peubah muncul sekali dengan
pangkat satu dan tidak muncul sebagai
peubah bebas dari sebuah fungsi
trigonomerti, logaritma, atau eksponensial
Bentuk umum persamaan linier :
+
+ +
=
Contoh
bukan persamaan linier
+
=
+
− +
=
− sin =
+
+ =
Suatu penyelesaian dari suatu persamaan
linier
+
+ +
= adalah
sederatan n angka � , � , … , � , sedemikian
sehingga persamaan tersebut terpenuhi jika
kita mensubsitusikan
= ,
= ,…,
= .
Himpunan semua penyelesaian persamaan
tersebut disebut himpunan
penyelesaiannya atau kadang-kadang
sebagai penyelesaian umum persamaaan
Contoh
a.
Cari himpunan penyelesaian dari
HP:
Atau
=
=
=
=
−
+
−
=
Contoh
b. Cari himpunan penyelesaian dari
−
+
=
Hp :
= + −
=
=
Sistem Persamaan Linier
Contoh :
− +
=−
+ +
=−
Mempunyai penyelesaian
= ; = ; =−
Karena nilai ini memenuhi kedua persamaan
diatas.
= ; = ; = bukan penyelesaian karena
nilai ini hanya memenuhi persamaan pertama
Sistem Persamaan Linier
Sebuah himpunan terhingga persamaan
linier dalam peubah-peubah , , … , .
Sederet angka , , … , merupakan
penyelesaian dari setiap persamaan pada
sistem.
+ =
+
=
Apakah merupakan sistem persamaan linier?
Apakah mempunyai penyelesaian?
Karena sistem ekuivalen mempunyai persamaan
yang kontradiksi.
Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai
penyelesaian disebut sebagai tak konsisten.
Jika Sebuah sistem persamaan paling tidak ada satu
penyelesaian disebut konsisten.
Tidak mempunyai
penyelesaian
(a)
mempunyai satu
penyelesaian
(b)
mempunyai tak
hingga penyelesaian
(c)
.
.
.
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
=
Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai
penyelesaian, mempunyai tepat satu penyelesaian, dan
mempunyai tak hingga banyanya penyelesaian
MATRIK
Definisi
Suatu susunan bilangan berbentuk segiempat.
Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut
anggota dalam matriks tersebut
Contoh
−
−
−
Ukuran Matriks
Diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan
kolom (garis vertikal) yang dikandungnya
Contoh:
Ukuran matriks pertama pada contoh diatas
mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga
ukurannya adalah 3x2
Matriks Kolom (Vektor Kolom)
Matriks yang hanya memuat satu kolom
Contoh : matriks 2x1
Matriks Baris (Vektor Baris)
Matriks yang hanya memuat satu baris
Contoh : matriks 1x4
Contoh matriks baris dan matriks kolom :
matriks 1x1
Anggota pada baris I dan kolom j dari
sebuah matriks A akan dinyatakan
Contoh matriks A ukuran 2x3
Matriks umum
…
…
sebagai
…
Keringkasan matriks dinotasikan
atau
�
Aggota matriks dinyatakan
Contoh
−
A=
Kita mempunyai
=
= ;
=− ;
= ;
Untuk matris baris dan matriks kolom dituliskan
dengan huruf kecil dan tebal
�=
…
�=
Matriks bujur sangkar
Sebuah matriks dengan n baris dan m kolom dan
anggota
,
,
,…,
disebut diagonal utama
OPERASIOPERASI
MATRIKS
definisi
1. Dua matriks didefiniskan sama jika keduanya
mempunyai ukuran yang sama dan
anggota-anggotanya berpadanan
Contoh :
=
=
=
2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang
berukuran sama, maka jumlah A+B adalah
matriks yang diperoleh dengan
menambahkan anggota-anggota B dengan
anggota-anggota A yang berpadanan.
Berlaku sama pada selisih matiks
Contoh:
=
=
=
definisi
3. Jika A adalah sebarang matriks dan c
adalah sebarang skalar, maka hasil kali cA
adalah matriks yang diperoleh dengan
mengalikan setiap anggota A dengan c.
Contoh
=
=
Kombinasi linier
Contoh :
=
2A+3B = ….
=
definisi
4. Jika A adalah sebuah matriks × dan B
adalah matriks × , maka hasil kali AB
adalah matriks × yang anggotanya
didefinisikan sebagai berikut.
Untuk mencari anggota dalam baris I dan
kolom j dari AB, pilih baris I dari matriks A
dan kolom j dari matriks B.
Kalikan anggota-anggota yang
berpadanan dari baris dan kolom secara
bersamaan dan kemudian jumlahkan hasil
kalinya