Percobaan Satu Faktor: Rancangan Acak Kelompok Lengkap (Randomized Block Design)

Percobaan Satu Faktor: Rancangan
Acak Kelompok Lengkap
(Randomized Block Design)
Arum H. Primandari, M.Sc.

Latar belakang
• Rancangan Acak kelompok adalah suatu rancangan acak yang
dilakukan dengan mengelompokkan satuan percobaan ke dalam
grup-grup yang homogen yang dinamakan kelompok dan
kemudian menentukan perlakuan secara acak di dalam masingmasing kelompok.
• Melalui pengelompokkan yang tepat atau efektif, maka
rancangan ini dapat mengurangi galat percobaan yang mana
dengan adanya pengelompokkan, maka dapat membuat
keragaman satuan-satuan percobaan di dalam masing-masing
kelompok sekecil mungkin sedangkan perbedaan antar kelompok
sebesar mungkin

Perhatikan kasus berikut
• Ingin mengetahui pengaruh jenis obat terhadap
kecepatan penyembuhan
Faktor : jenis obat

• Apakah ada faktor lain yang mempengaruhi kecepatan
penyembuhan selain jenis obat?
Mungkin saja: umur pasien, jenis kelamin
(Bila umur pasien sama atau jenis kelamin sama maka
gunakan saja RAL)
• Bila faktor-faktor lain yang dapat mempengaruhi
keragaman respon (selain faktor yang diteliti) tidak
dapat diseragamkan (dikendalikan) oleh peneliti, maka
RAL tidak dapat diterapkan.

Mengapa RAKL?
• Keheterogenan unit percobaan berasal dari satu sumber
keragaman
• Mengatasi kesulitan dalam mempersiapkan unit percobaan
dalam jumlah besar
• Kelompok yang dibentuk harus merupakan kumpulan dari
unit-unit percobaan yang relatif homogen sedangkan
keragaman antar kelompok diharapkan cukup tinggi

Ciri – ciri RAKL

• Pada satuan percobaan/media/bahan percobaan terdapat
faktor yang tidak seragam (heterogen)
• Terdapat 2 sumber keragaman yaitu perlakuan dan kelompok
(plus galat percobaan)
• Keragaman respons disebabkan oleh Perlakuan, Kelompok dan
Galat

Keuntungan / kelebihan RAK
• Lebih efisien dan akurat dibandingkan dengan RAL
- Pengelompokan yang efektif akan menurunkan jumlah
kuadrat galat, sehingga akan meningkatkan tingkat ketepatan
atau bisa mengurangi jumlah ulangan
• Lebih fleksibel dalam hal jumlah perlakuan, jumlah
ulangan/kelompok

• Penarikan kesimpulan lebih luas, karena kita juga bisa melihat
perbedaan antar kelompok

Kekurangan RAK
• Memerlukan asumsi tambahan untuk beberapa uji hipotesis

• Interaksi antara kelompok dan perlakuan sangat sulit
• Peningkatan ketepatan pengelompokan akan menurun dengan
semakin meningkatnya jumlah satuan percobaan dalam
kelompok
• Derajat bebas kelompok akan menurunkan derajat bebas galat,
sehingga sensifitasnya akan menurun terutama apabila jumlah
perlakuannya sedikit atau keragaman dalam satuan percobaan
kecil (homogen)
• Jika ada data yang hilang memerlukan perhitungan yang rumit

Pengacakan dan bagan percobaan
• Misalkan ada 6 perlakuan (P1, P2, P3, P4, P5, P6) dan setiap
perlakuan diulang dalam 3 kelompok.
• Ada 6 unit percobaan pada setiap kelompok
• Total unit percobaan ada 6 × 3 = 18 unit percobaan
• Pengacakan dilakukan pada masing-masing kelompok
• Salah satu bagan percobaan :

Kelompok 1
P1 P3 P2 P4 P6 P5 

Kelompok 2
P3 P5 P6 P4 P1 P2 
Kelompok 3
P1 P5 P3 P4 P2 P6 

Tabulasi Data
• Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut:
Perlakuan

A

B

C

Total
Kelompok

1

Y11

Y21

Y31

Y1

2

Y12

Y22

Y32

Y2

3

Y13

Y23

Y33

Y2

Total

Y1

Y2

Y3

Y

Rata-rata

Y1

Y2

Y3

Y

Kelompok

Model linier aditif RAKL
i  1,2,...,t
j  1,2,...,r

Model linier aditif dari RAKL yaitu:

Yij    i j  ij

iid



Dimana:
ij N 0, 2
Yij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan kelompok ke-j
μ: rataan umum
τi: pengaruh perlakuan ke-i
ßj: pengaruh kelompok ke-j
εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, kelompok ke-j
t

Asumsi untuk model tetap adalah

r

   0 dan   0
i1

iid

i



j1

Asumsi untuk model acak adalah i N 0, 

2


j

 dan  N 0, 
iid

j

2




Hipotesis model tetap
• Hipotesis pengaruh perlakuan
H0 : 1  2  ...  t  0
Perlakuan tidak berpengaruh terhadap

H1 : i  0,(i  1,2,...,t)

respon yang diamati

• Hipotesis pengaruh kelompok
Kelompok tidak berpengaruh terhadap
H0 : 1  2  ...  r  0

H1 :  j  0,(j  1,2,...,r)

respon yang diamati

Hipotesis model acak
• Hipotesis pengaruh perlakuan
Keragaman perlakuan tidak berpengaruh terhadap
H0 : 2  0
respon yang diamati

H1 : 2  0

Keragaman perlakuan berpengaruh positif
terhadap respon yang diamati

• Hipotesis pengaruh kelompok
Keragaman kelompok tidak berpengaruh terhadap
H0 : 2  0
respon yang diamati

H1 : 2  0

Keragaman kelompok berpengaruh positif
terhadap respon yang diamati

Perhitungan analisis variansi
Y2
FK 
tr
t

r

JKT   Yij2  FK
i1 j1

Yi2
 FK
JKP  
i1 r
t

r

Y 2j

j1

t

JKK  

 FK

JKG  JKT  JKP  JKK

Tabel analisis variansi
SV

db

JK

KT

Fhitung

Perlakuan

t-1

JKP

KTP

KTP/KTG

Kelompok

r-1

JKK

KTK

KTK/KTG

Galat

(t-1)(r-1)

JKG

KTG

Total

tr-1

JKT

Kriteria keputusan :
1. H0 ditolak jika: (untuk perlakuan)

Fhitung  F ,t1,(t1)(r1)

2. H0 ditolak jika: (untuk kelompok)
Fhitung  F ,r1,(t1)(r1)

Efisiensi relatif (ER) dari RAK terhadap RAL
• Ukuran kebaikan RAK dengan RAL

dbb  1  dbr  3 
ˆ r2

 2
ER 
dbb  3dbr  1 ˆ b
• Ragam galat dari RAK dan RAL diduga dengaan rumus:
ˆ b2  KTG


ˆ


2
r

r  1KTK  r  t  1KTG



tr  1
• Nilai ER = 2, maka untuk memperoleh sensitifitas RAL sama
dengan RAK maka ulangan yang digunakan dengan RAL harus 2
kali dari ulangan (kelompok) RAK.

Contoh penerapan
Dalam suatu percobaan di bidang peternakan terdapat suatu
pengaruh tentang berbagai campuran ransum (makanan),
katakanlah campuran A, B, C, D terhadap pertambahan bobot
badan selama masa percobaan (diukur dalam kg). Hewan
percobaan yang digunakan adalah domba jantan yang terdiri dari
umur yang berbeda. Karena berbeda umur, maka dilakukan
pengelompokkan dan terdapat empat kelompok berdasarkan
tingkat umur domba tersebut.

Data pertambahan bobot badan (kg)dari 16 domba jantan yang
memperoleh makanan yang berbeda
Perlakuan

Kelompok
umur

A

B

C

D

1

2

5

8

6

2

3

4

7

5

3

3

5

10

5

4

5

5

9

2

jumlah

13

19

34

18

Penyelesaian
1. Model

Yij    i j  ij ;i  1,2,3,4;j  1,2,3,4
Dimana :
Yij: pertambahan bobot badan dari domba ke-j yang
memperoleh campuran makanan ke-i
μ: nilai tengah umum (rata – rata) pertambahan bobot badan
τi: pengaruh perlakuan makanan ke-i
βj: pengaruh kelompok domba (kelompok umur) ke-j

εij: pengaruh galat percobaan pada domba ke-j yang
memperoleh perlakuan makanan ke-i

2. Asumsi
• Komponen-komponen µ, τi, βj, dan εij bersifat aditif
• Nilai-nilai τi (i= 1,2,3,4) tetap,  i  0 dan E i   i
i

• Nilai-nilai βj (j = 1,2,3,4) tetap, j  0 dan E j    j
j

• εij timbul secara acak, menyebar normal dengan nilai tengah
sama dengan nol dan ragam σ².

3. Hipotesis

H0 : 1  2  3  4  0
H1 : i  0,(i  1,2,3,4)

H0 : 1  2  ...  r  0
H1 :  j  0,(j  1,2,...,r)

Yang berarti tidak ada pengaruh perlakuan
makanan terhadap pertambahan bobot
badan domba jantan.

Yang berarti tidak ada pengaruh kelompok
umur terhadap pertambahan bobot badan
domba jantan.

4.
5.
6.
7.

Taraf signifikasi
Statistik uji
(Kriteria keputusan)
Perhitungan
–
–

perhitungan FK, JKP, JKK, JKT, dan JKG
tabel analisis variansi

8. Kesimpulan
Hitung pula:
1. Koefisien Keragaman (KK)
2. Sensifitas RAK terhadap RAL (ER)

Data Hilang dalam RAK
• Terkadang data dalam satuan percobaan tertentu hilang atau
tidak dapat dipergunakan, misalkan pada kasus percobaan
pemberian ransum pada domba jantan, ada domba yang sakit
atau mati.
• Suatu metode yang dikemukakan oleh Yates (1933)
memungkinkan kita untuk menduga data yang hilang
tersebut.
• Suatu dugaan terhadap data yang hilang tidak akan
memberikan tambahan informasi kepada peneliti, tetapi
hanya sebagai fasilitas untuk analisis dari data yang tersisa
tersebut.

Kehilangan Data tunggal (Single value)
• Untuk data tunggal dalam RAK yang hilang, maka dugaannya
dihitung dengan formula:

rB  tT  G
Y
r  1 t  1
Dimana:
r dan t: jumlah kelompok dan perlakuan
B dan T: total nilai pengamatan dalam kelompok dan
perlakuan yang kehilangan satuan percobaannya.
G: total seluruh nilai pengamatan.
• Kemudian nilai dugaan tersebut dimasukkan dalam tabel
pengamatan dan dilakukan analisis variansi.

• Nilai dugaan yang digunakan harus sedemikian rupa sehingga
jumlah kuadrat galat dalam analisis variansi menjadi
minimum. Jumlah kuadrat perlakuan akan berbias ke atas
sebesar:

B   t  1 Y

Bias 

2

t  t  1

• Contoh
Perlakuan

Kelompok
umur

A

B

C

D

Total
kelompok

1

2

5

8

6

21

2

3

4

7

5

19

3

3

h

10

5

18

4

5

5

9

2

21

Total
perlakuan

13

14

34

18

79

rB  tT  G 4  18  4  14  79
Y

 5.4
r  1 t  1 (4  1)(4  1)

• Nilai dugaan 5.4 ini kemudian dicoba sebagai suatu nilai
pengamatan untuk analisis variansi. Dengan demikian total
kelompok ketiga yang tadinya 18 menjadi 23.4 dan total
perlakuan B menjadi 19.4 dan total keseluruhan 84.4.

• Biasnya:

B   t  1 Y

2

Bias 

t  t  1

18  (4  1)5.4


 0.27
4(4  1)
2

• Dengan demikian penduga tak bias bagi JKP yaitu:
JKP (hasil perhitungan) – bias

• Hasil analisis variansi dengan pendugaan data hilang
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

2.43

0.81

Perlakuan

3

61.13+

20.38

Galat

9–1=8

17.39

2.17

Total

15 – 1 = 14

80.95

F

9.39

• Keterangan: +bias = 0.27 sehingga JKP tak bias = 61.13 – 0.27 = 60.86
• Analisis variansi alternatif
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

2.43

0.81

Perlakuan

3

60.86

20.28

Galat

8

17.39

2.17

Total

14

80.65

F
9.35

Kehilangan Data Lebih dari Satu
• Data Pertambahan Bobot Badan (kg) dari Domba Jantan yang
Memperoleh Makanan Berbeda
Perlakuan

Kelompok
umur

A

B

C

D

Total
kelompok

1

2

5

8

6

21

2

3

4

7

h1

14

3

3

h2

10

5

18

4

5

5

9

2

21

Total
perlakuan

13

14

34

13

74

• Prosedur pendugaan dilakukan dengan cara iterasi.

• Prosedur iterasinya:
1. Pendugaan h1 melalui:

Yi  Y j 13 3  14 3

 4.5
h1 
2
2
2. Pendugaan h2 (iterasi pertama) dengan menggunakan rumus
hilang data tunggal sebelumnya.

rB  tT  G 4  18  4  14  (74  4.5)
h2 

 5.5
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

3. Pendugaan h1 (iterasi pertama) dengan rumus sama.

rB  tT  G 4  14  4  13  (74  5.5)
h1 

 3.2
(4  1)(4  1)
r  1 t  1
4. Pendugaan h2 (iterasi kedua) dengan cara sama.

rB  tT  G 4  18  4  14  (74  3.2)
h2 

 5.6
(4  1)(4  1)
r  1 t  1

5. Pendugaan h1 (iterasi kedua)

rB  tT  G 4  14  4  13  (74  5.6)
h1 

 3.2
(4  1)(4  1)
r  1 t  1
6. Pendugaan h2 (iterasi kedua)

rB  tT  G 4  18  4  14  (74  3.2)
h2 

 5.6
(4  1)(4  1)
r  1 t  1
•

Dari proses iterasi terlihat bahwa nilai h1 dan h2 telah
konstan di nilai h1 = 3.2 dan h2 = 5.6

• Datanya menjadi:
Perlakuan

Kelompok
umur

A

B

C

D

Total
kelompok

1

2

5

8

6

21

2

3

4

7

3.2

17.2

3

3

5.6

10

5

23.6

4

5

5

9

2

21

Total
perlakuan

13

19.6

34

16.2

82.8

• Besarnya bias untuk dua data hilang

B   t  1 Y   B   t  1 Y 

Bias 
2

1

1

2

2

t  t  1

2

• Tabel analisis variansi
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

5.21

1.74

Perlakuan

3

64.41

21.47

Galat

9–2=7

15.49

2.21

Total

15 – 2 = 13

85.11

F
9.71

14  (4  1)3.2  18  (4  1)5.6

Bias 
 1.73
4(4  1)
2

2

• Tabel analisis variansi alternatif
SV

db

JK

KT

Kelompok

3

5.21

1.74

Perlakuan

3

62.68

20.89

Galat

7

15.49

2.21

Total

13

83.38

F
9.49

Referensi
• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian
Percobaan, Tarsito, Bandung.
• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,
Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB
Press, Bandung.
• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of
Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.

Thank You