ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR CAMPURAN TERGENERALISIR

  

ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR

CAMPURAN TERGENERALISIR

Wahyuning Widiyastuti

  

Abstract

We will develops a technique for finding robust maximum

likelihood estimates of the model parameters in generalized

linear mixed models. The asymptotic properties of the robust

estimates lies in the presence of outliers, and these estimates also

compared to the ordinary classical estimates. By starting from a

natural class of robust estimators for generalized linear models

based on the notion of likelihood, we define robust deviances

that can be used for stepwise model selection as in the classical

framework. The binomial models are treated in detail.

Application to real data and a sensitivity analysis show that the

inference obtained by means of the new techniques is more

reliable than that obtained by classical estimation and testing

procedures.

  

Key words : Generalized linear models, Mixed models, Maximum

likelihood

  

Abstrak

Akan dibangun teknik untuk mencari estimasi Maksimum

Likelihood Robust dari Model Linear Campuran yang

Tergeneralisir. Sifat asimtotis dari estimator robust diselidiki

dalam kehadiran outlier, estimasi ini juga dibandingkan

dengan estimasi klasik yang biasa. Dengan berawal dari model

asli estimator robust untuk model linear yang tergeneralisir,

kita akan mendefinisikan alat yang robust yang dapat kita

gunakan untuk menyelesaikan model yang klasik. Model

Binomial akan diperlakukan secara detail. Aplikasi untuk data

yang nyata dan analisis sensitifitas menunjukkan bahwa dapat

digeneralisir teknik baru ini lebih reliable daripada model

klasik untuk mendapatkan estimasi klasik dan teknik

prosedur.

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

1. Pendahuluan

  Pendekatan analisis regresi merupakan analisis yang digunakan untuk mempelajari bentuk ketergantungan Antara satu peubah tak bebas dengan satu atau lebih peubah bebas, yang didalamnya terdapat asumsi-asumsi pokok yang mendasari. Misal di berikan model regresi linear Y = Xβ + ε dengan Y dan ε adalah vector- vektor random berdimensi n x p dan β berdimensi p, yaitu parameter yang diestimasi. ε diasumsikan berdistribusi Normal ₂ . independen dengan mean nol dan variansi berhingga σ

  Dalam prakteknya terjadi antara lain sebaran data yang normal, tetapi mengandung pengamatan yang merupakan outlier. Adanya data yang merupakan outlier dapat memberikan pengaruh terhadap hasil analisisnya, seperti terjadinya koefisien regresi yang seharusnya signifikan menjadi tidak signifikan. Dengan kondisi demikian ini dikatakan bahwa parameter-parameter dalam model yang diestimasi bersifat tidak tegar terhadap outlier, artinya nilai estimasinya dapat dipengaruhi secara kuat oleh adanya data yang merupakan outlier.

  Data yang merupakan outlier adalah suatu penyimpangan atau keganjilan dan menandakan suatu data yang sama sekali tidak tipikal dibandingkan dengan data yang lain. Penolakan begitu saja terhadap outlier bukanlah prosedur yang bijaksana, karena adakalanya suatu outlier memberikan informasi yang tidak dapat diberikan oleh data yang lain. Prosedur yang bersifat robust ditujukan untuk mengakomodasi adanya data outlier dan sekaligus meniadakan pengaruhnya terhadap hasil analisis tanpa terlebih dahulu mengadakan identifikasi terhadap data yang tidak cocok dengan model. Prosedur ini lebih bersifat otomatis dalam menanggulangi data outlier. Karenanya diperlukan metode estimasi parameter yang bersifat tegar untuk mengatasi outlier, dimana nilai dugaannya tidak banyak dipengaruhi oleh perubahan kecil dalam data. Robust dapat diartikan sebagai suatu analisis yang tidak terlalu tergantung secara kritis pada asumsi distribusi tertentu. Prosedur analisis statistic yang kita harapkan adalah prosedur yang menghasilkan keluaran cukup baik, meskipun beberapa asumsinya tidak terpenuhi secara sempurna.

  Wahyuning Widiyastuti

  Model Linear Campuran Tergeneralisir (Generalized Linear Mixed Model) berguna dalam analisis dari data outlier. Model ini berguna untuk mengakomodasi disperse berlebih yang sering teramati diantara respon distribusi normal. Biasa diasumsikan bahwa efek random mempunyai distribusi normal multivarian yang komponen variansinya diestimasi dari data. Aplikasi untuk model statistik linear merupakan kejadian yang relative dibutuhkan saat ini, artinya sebagai alat matematika, model linear campuran tergeneralisir membantu dalam memahami aspek khususnya prosedur analisis yang berkaitan dengan model linear terutama analisis data. Maksimum Likelihood analisis berdasar pada distribusi bersama likelihood yang dapat berguna untuk mengestimasi parameter-parameter efek acak maupun efek tetap dalam model linear campuran tergeneralisi, ini membutuhkan teknik integrasi numeric untuk menghitung log-likelihood, persamaan skor, dan elemen informasi matrik. Meskipun demikian, kegunaan model linear campuran tergeneralisir terbatasi untuk model yan relative simple,dengan ditemukan bahwa model ini tidak mudah dipecahkan untuk masalah lebih rumit yang mengandung integral berdimensi tinggi dengan jumlah yang tidak terbatas. Untuk menghindari masalah perhitungan seperti ini, beberapa pendekatan Bayesian disarankan untuk memperumum sampel.

  Dalam penulisan ini akan dibangun Maksimum Likelihood Robust melalui algoritma Newton Raphson untuk mendekati estimasi maksimum Likelihood Robust akan dibandingkan dengan estimasi Maksimum Likelihood eksak atau estimasi Maksimum Likelihood klasik untuk model sederhana. Nantinya ditemukan bahwa estimasi Maksimum Likelihood Robust menurunkan sifat dari estimasi Maksimum Likelihood eksak.

  Analisis klasik dari model linear campuran tergeneralisir dapat sangat sensitive terhadap outlier, dengan menganggap analisis maksimum likelihood robust dari model linear campuran tergeneralisir dalam bingkai kerja Maksimum Likelihood. Estimasi Maksimum Likelihood Robust dengan parameter regresi dan komponen variansinya dalam model linear campuran tergeneralisir mengandung spesifikasi dari distribusi posterior efek acak. Ini mungkin untuk mendekati distribusi posterior yang dimaksud

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

  dengan menghaslkan gambaran acak dari distribusi dengan tidak membutuhkan spesifikasi dari distribusi posterior.

  Sifat asimtotis estimator Maksimum Likelihood Robust diselidiki dibawah kondisi regular. Estimator Maksimum Likelihood Robust terlihat konsisten dan berdistribusi asimtotis dengan mean vector dan covarian matrik tertentu. Simulasi dilakukan untuk menggali perilaku sampel dari esimasi maksimum likelihood robust dengan adanya outlier. Hasil simulasi mengindikasikan bahwa tidak seperti maksimum likelihood robust berguna untuk menurunkan bobot titik yang berpengaruh dalam data ketika mengestimasi parameter pada model linear campuran tergeneralisir. Untuk itu dalam penulisan ini akan dibahas mengenai analisis robust dari model linear campuran yang tergeneralisir, dibahas pula mengenai penduga maksimum likelihood robust, yang merupakan estimasi parameter yang bersifat robust, sebagai alternative pemecahan adanya data yang merupakan outlier.

  Permasalahan dirumuskan bagaimana bentuk dan karakteristik estimator maksimum likelihood robust serta membandingkannya dengan estimasi maksimum likelihood klasik

  Tulisan ini bertujuan menjawab permasalahan yang telah dikemukan sebelumnya, yaitu menaksir estimator maksimum likelihood robust, serta membandingkan estimasi maksimum likelihood robust dengan estimasi maksimum likelihood klasik. Sehingga diharapkan dapat memberikan manfaat dalam memperkuat pengetahuan tentang teori estimasi. Dapat memberikan informasi bagi penulis lain, khususnya untuk masalah yang relevan dengan tulisan ini.

2. Model Linear Tergeneralisir

  Menurut Mc Cullagh dan Nelder (1983), model linear tergeneralisir merupakan perluasan dari proses pemodelan linear yang mengijinkan penentuan model dari suatu data yang berdistribusi Normal seperti Poisson, Binomial, Multinomial dan lainnya. Uji hipotesis yang diterapkan dalam model linear tergeneralisir tidak memerlukan asumsi kenormalan dari variable responnya ataupun kehomogenan variansi. Sehingga dengan dmikian model linear tergeneralisir tak hanya dapat digunakan pada variable

  Wahyuning Widiyastuti

  respon yang berdistribusi selain Normal dan variansi yang tak konstan/homogeny. Misalnya data yang berbentuk cacah akan lebih cocok dianalisa sebagai variable random yang berdistribusi Poisson pada konteks model linear tergeneralisir. Komponen-komponen dalam model linear tergeneralisir, yaitu : 1. ^{1 ,y 2 n i}

  Variabel dependennya, y ,…,y dengan mean E(y) = μ diasumsikan merupakan bagian dari distribusi keluarga eksponensial.

  2. (px1) dan variable independen x i(px1) Sekumpulan parameter β y dengan penjelas x ^{1 p merupakan suatu Model Linear}

  ,…,x Tergeneralisir bila memenuhi kondisi berikut : (i) i

  Distribusi setiap elemen y dari Y dengan i = 1,…,n nilai xi1,…,xip diketahui, menjadi anggota keluarga eksponensial, dengan bentuk umum

   y   b   

   i i   i exp  c y ,      i a 

     

  untuk fungsi tertentu a( ), b( ) dan c( ) Jika diketahui, maka fungsi tersebut merupakan anggota keluarga eksponensial dengan parameter kanonik θ.

  (ii) i mempengaruhi y i Vektor x dalam bentuk predictor linear μ, sehingga untuk setiap I, berlaku

  p    x i j ij

  

1 Harga harapan dari setiap observasi dapat diekspresikan

  sebagai suatu fungsi yang diketahui dari predictor linearnya yaitu E( Yi) = μi = g(ηi), Fungsi g( ) dikenal sebagai fungsi link.

  Beberapa Teorema penunjang yang akan dikemukakan, yaitu sebagai berikut :

  Teorema 2.1 (Teorema Limit Pusat) _{1 2 n}

  Jika X , X sampel random dari suatu distribusi dengan mean µ , … , X dan variansi

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR... n

  X  n  ₂ T 

  > 0, maka limit distribusi adalah normal baku σ

  t

  1  Z  n n  d

  untuk

    Z   Z ~ N ( , 1 ) n n

  Definisi 2.2 _n

  Barisan {Z }, untuk dikatakan konvergen hamper pasti

  n  

  (almost surely = a.s) atau konvergen dengan probabilitas satu ke Z

   n  

  jika untuk setiap s S dan untuk

   Z n (s) konvergen ke Z, kecuali mungkin pada W S dengan P(W) = 0.

  Secara singkat

  a . s P Z     Z 

  1 Z   Z  n  n n  

  ditulis untuk atau . Jadi Z n

  n  

  konvergen ke _c Z untuk n    (komplemen

  , artinya untuk setiap ε > 0 dan s W W) terdapat N ,

  (ε,s) Z ( s )  Z ( s )   n

  sehingga untuk semua n N  berlaku

  (ε,s) Teorema 2.3 _n

  Misal Q _n (ω,β) fungsi terukur pada ruang ukuran Ω dan untuk setiap ω ϵ Ω Q (ω,β) adalah sampel log likelihood dikenal juga sebagai regresi jumlah kuadrat, maka terdapat

  ˆ Q  ,  _n n   n

  fungsi terukur , sedemikian hingga Q

  inf

  ( ω, ) =

  ˆ ˆ n n n   a . s

  

ˆ

Q (  ,  )  Q (  ,  )  

  untuk

  n n n

  untuk setiap ω ϵ Ω. Jika

  _n Wahyuning Widiyastuti ˆ n

  semua β ϵ Θ, Q ( ω, ) equikontinu, dan mempunyai sifat

• teridentifikasi minimal secara tunggal

  

  n

  , untuk n = 1, … , maka

• n n

  a . s

  untuk n  

      

  Bukti Ambil ε > 0 sebarang.

  ˆ  (  ) ˆ

  Karena ada dan   n teridentifikasi secara tunggal, maka

  n

    c ^*

  N

  terdapat barisan min Q ( ) Q ( ) dengan adalah      _{n n n n} n   _c

    N _n

   

   (  )  

  komplemen dari N n dan , n

• c

   N

  sedemikian hingga kompak, Q n n

  ˆ n ( ω, ) dan tidak n

  dibutuhkan untuk konvergen kesetiap limit sehingga

      n

  untuk semua tetapi berhingga untuk n, yang mana secara tidak langsung berlaku bahwa terdapat beberapa n (ε) sedemikian hingga untuk

     

  semua n ≥ n (ε) berlaku maka

  n  ˆ

  Q (  ,  )  Q (  ,  )  n n n

  2 sehingga untuk semua n cukup besar.  ˆ  N n n 3.

   Robust

  Menurut Huber, “Robustness” (ketegaran) berarti ketidakpekaan terhadap perubahan-perubahan kecil dari asumsi- asumsi. Dan secara umum arti dari robust menyatakan suatu analisis yang tidak terlalu tergantung secara kritis pada asumsi distribusi tertentu.

  Pertama kali yang perlu diperhatikan adalah ketegaran distribusi, yaitu bentuk distribusi yang sebenarnya menjadi dasar

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

  yang sedikit menyimpang dari model yang diasumsikan, hal ini penting dan baik untuk dipahami. Beberapa prosedur statistik klasik memperlihakan sangat kurangnya ketegaran distribusi. Pencilan (outlier) memberikan sebuah contoh diantaranya. Selain pengamatan (data) yang ekstrim atau outlier, factor-faktor yang mempengaruhi ke”robust”an/ketegaran antara lain : tidak atau kurang terpenuhinya asumsi-asumsi standar stokastik, misalnya : independensi, distribusi identic, keacakan(random) dan lain-lain.

  4. Outlier

  Tidak semua pengamatan akan mempunyai pengaruh atau peran yang sama dalam pencocokan estimasi dan analisis yang mengikutinya. Adalah diluar kebiasaan dalam regresi linier bahwa terdapat satu atau lebih kasus di dalam suatu analisis dengan pengamatan yang menyimpang dari model yang sesuai, saat dimana sebagian besar dari data yang ada kelihatan cocok dan baik.

  Setiap kumpulan data pada umumnya akan memiliki nilai- nilai yang ekstrim, akan tetapi tidak selalu bahwa suatu nilai yang ekstrim tersebut adalah suatu outlier. Tetapi suatu pengamatan dengan nilai ekstrim merupakan kandidat utama untuk outlier. Outlier didefinisikan sebagai pengamatan yang mempunyai nilai sisaan mutlak yang cukup besar jika dibandingkan dengan pengamatan yang lain dalam kumpulan data. Outlier diidentifikasikasi secara subyekif sebagai sebuah observasi yang menmbulkan “kejutan” pada nilainya relative terhadap anggota- anggota sampel yang lain. Outlier bukanlah sebuah nilai ekstrim yang sederhana tetapi dia mempunyai suatu bentuk pemrosesa. Outlier sangatlah relative dan perlakuan outlier pada dasarnya bergantung pada asumsi distribusi yang mendasarinya. Untuk mendeteksi adanya outlier dapat dilakukan dengan melalui plot residual. Dengan membuat plot residual terhadap fitted value maka data yang menrupakan outlier akan dapat diidentifikasi karena terletak jauh dari pola data umumnya. Cara ini adalah pendekatan kasar dalam mendeteksi adanya

  5. Model Linear Campuran Tergeneralisir

  Model linear campuran tergeneralisir merupakan pengembangan model linear klasik. Pengembangan ini berdasarkan pada suatu

  Wahyuning Widiyastuti

  penemuan bahwa distribusi Normal termasuk dalam keluarga distribusi yang lebih luas, yaitu keluarga eksponensial. Diasumsikan observasi y i mempunyai distribusi yang termasuk dalam keluarga eksponensial dengan fungsi densitas seperti :

      ( y  b ( ))

i i i

f ( y u ,  ,  )  exp  c ( y ,  ) i  i  yi u

a (  )

 

  untuk beberapa fungsi a, b, dan c

  T T

  Bentuk kanonik parameter   x   z u

  

i i i

  dengan

  T

  adalah kolom ke-i dari matrik X untuk efek tetap dan

  x i T

  adalah kolom ke-i dari matrik Z untuk efek acak

  z i

  Kita juga mengasumsikan bahwa vector efek acak u berdistribusi ₂ normal dengan rata- atau ₂ rata 0 dan variansi σ ) u ~ N ( 0 , σ

6. Model Campuran Biner

  Anggap model campuran biner dengan 1 efek random dan 1 efek tetap

  y u ij

_ij

  ~ independen Bernoulli (p ), dengan i = 1,…,n dan j = 1,…,k

  p ij

    log ij

  1  p ij

    x  u ij j ₂

  u j ) ~ independen N ( 0 , σ dengan u j efek random dari model biner campuran

  Dalam model ini,

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

  E Y u   (  , u )   ij ij

  (  x  u ) ij j

   exp 1  exp(  x  u ) ij j

2 Var Y u   (  , u )

    ij ij (  x  u ) ij j

   exp

  2 [ 1  exp(  x  u ) ]

ij j

  Perhitungan persamaan dapat berbentuk

   

   n     y   (  , u )  i i

  E   (  , u )  ( x ) x  q (  , u ) y     c i i i 

      (  , u ) i 1 i

   n k

         

    E  ( r (  , u ))  (  , u )  ( x ) x  q (  , u ) y 

   

   c ij i i i    i  1 j 

  1   

  dengan

  y   (  , u ) ij ij r (  , u )  ij

   (  , u ) ij

   ij

   (  , u )  ij

  1   ij n k

  1   q (  , u )  E  ( r (  , u )) u  (  , u )  ( x ) x

   c ij  ij ij ij  nk   i  1 j 

  1 

  _{u u k 2} Wahyuning Widiyastuti

  Distribusi f dalam u ~ f I ) (u ) dipilih N ( 0 , σ

  n   1  exp(  x  u )  ij j 

• u   

  

• 1  exp(  x  u

  i 1 ij j   

  Persamaan iterasi Newton Raphson adalah

  

  1 N  

  1 ( m  1 ) ( m ) T ( m ) ( s ) ( m ) ( s )

     

  X W (  , u ) D (  , u )

  X  

     N s 

  1  

  N  

1 T ( m ) ( s ) ( m ) ( s )

  X W (  , u ) d (  , u )  

     N s

  1   

  dengan : _T u = ( u ^{1 k )} , … , u _{ij ) dengan W ij =   } ( , u ) ( x )

  W(β,U) = diagonal ( W ij ij

        d ( r ( , u )) E ( r ( , u ))) u _{ij c ij  c ij }

  Vektor d(β,U) dengan elemen _{ij )} D(β,u) = diagonal ( D

      

  dengan D ij = 

  d _ij     _ij  

    

    ( r ( , u )) E ( r ( , u )) u

        _{c ij  c ij }  

    _ij  

  Selanjutnya

         r  p  ij ij

  '        ( r )   ( r ) c ij c ij

           p   ij ij ij

        Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

          ij ij ij ij ij ' c r p

      

     ) p 1 ( p p r

  ) r (

ij ij

ij ij ij

  ' c





     

     

      

         

  2

      ij ij ij

  1 ) p ) 1 ( p r (

      ) u r ( E p

  2

  1 ) u r ( E ) p ) 1 ( p u r ( E ij ' c ij ij ' c ij ij ij c ij

     

         

     

     

  D d     

     

  sehingga Selanjutnya

  ) y ( f ) r ( u ) r ( E 

  ) r ( r p

  2

  1 ) r ( ) p 1 ( p ij ' c ij ij ij ' c ij ij

     

          

   

 

     

        y ij u y ij c ij ij c ij

    

         

           

     

     

       y ij u y ij ij c ij u y

ij c

ij

  ) y ( f ) r ( ) y ( f ) r (  

    )) u u , ( r ( E ) u , )( r ( ij c ij c ij

          

    ) u r ( r E ) p ) 1 ( p u r ( E ij c ij ij ij ij c ij

      

  Wahyuning Widiyastuti     ( r )(  , u )  E  ( r (  , u )) c ij  c ij 

      ij ij

   ( r ( , u )) E ( r ) u p ( 1 p ) E r ( r ) u

         

  c ij  c ij  ij ij  ij c ij 

   

  ij _{' ' '} 1   p ( _{ij ij c ij ij ij c ij ij ij  c ij } 1  p )  ( r )     p  r  ( r )  p ( 1  p ) E  ( r ) u

  2  

  1 ' ' 

     p E r  ( r ) u  p ( 1  p ) E r  ( r ) u  ij   ij c ij  ij ij  ij c ij 

  2   _{' '  ' '}

  1 p ( 1 p ) ( r ) E ( ( r ) u ) p r ( r ) E r ( r ) u

          

_{ij ij  c ij c ij  ij  ij c ij  ij c ij  }  

  2 _'  

  p ( 1 p ) E r ( r ) u    _{ij ij  ij c ij  2} menjadi

  Maka estimasi dari σ

  N

  1

  1 2 ( m  1 ) ( s ) T ( s )

    u u 

  N k s

  1 

7. Analisis Data Guide

  Untuk mengevaluasi hasil dari maksimum likelihood robust, studi simulasi kecil dilakukan dengan kehadiran dari outlier. Bagaimanapun, obyek utama dari studi ini adalah untuk menggali tampilan dari teknik robust dalam kasus dari outlier. Metode robust diharapkan lebih efisien dari metode klasik ketika data terkontaminasi dengan outlier. Estimasi klasik sering berpengaruh besar oleh outlier semacam ini. Disini sangat penting untuk diperhatikan bahwa dalam kasus model biner campuran, respon y adalah biner, dan outlier dapat muncul hanya melalui nilai x.

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

  Diselidiki juga keberadaan daerah gambaran dari estimasi, seperti yang diperoleh maksimum likelihood robust, yang memadai untuk memperbolehkan teori normal prosedur inferensi dalam sampel dari ukuran yang cukup. Hasil dari teorema memberikan jawaban asimtotis untuk pertanyaan ini, tetapi dibawah kondisi campuran yang sulit diverifikasi secara empiris. Jadi untuk menyelidiki jika kedatangan dari normalitas adalah cukup sederhana seperti dampak merugikan teori normal inferensi parametrik. Digunakan interval z untuk menemukan interval konfidensi baik β. Disini maksimum likelihood robust memberikan alasan cakupan baik dalam campuran biner maupun poisson. Maksimum likelihood robust juga menampilkan hasil lebih baik dari metode klasik.

  Preisser dan Qaqish (1999) menganalisa himpunan data yang menarik dari GUIDE ( Guidelines of Urinary Incontenance Discussion and Evaluation) studi. Tujuan dari studi ini adalah untuk mengidentifikasi faktor diantara keterbatasan urin laki-laki dan perempuan dari umur 76 ke atas diperkirakan respon mereka dengan pertanyaan apakah suatu individu dalam kelompok umur tersebut menganggap adanya ketergangguan dari masalah urine dalam aktivitas sehari-hari atau mengganggu mereka dalam hal lain. Dalam studi ini, 137 pasien dari 38 praktek medis diselidiki. Respon variable biner y ij = 1 jika pasien ke j dari praktek medis i “terganggu/bothered” oleh pengeluaran urine mereka, dan 0 jika mereka tidak terganggu. Prediktornya antara lain “gender” yaitu laki- laki atau perempuan, “umur/age” menunjukkan umur 76 tahun ke atas, “weekacc” berarti berapa banyak urine yang dikeluarkan pasien dalam rata- rata minggu, “severe” mempunyai kategori 1 jika hanya menciptakan kelembaban ketika pasien mengeluarkan urine, kategori 2 jika ini menyebabkan kebasahan pada pakaian dalam mereka, kategori 3 jika menetes sampai μpaha, kategori 4 jika ketika mengeluarkan urine sangat banyak sampai menyebabkan lantai menjadi basah, dan predictor “toilet/kamar kecil” menunjukkan berapa sering selama sehari pasien biasa ke kamar kecil untuk mengeluarkan urine.

  _{ij ij} Wahyuning Widiyastuti

  = E(Y ) dengan predictor umur = Maka modelnya μ

  ( umurdalamt ahun  76 ) accper min ggu , acc per hari = ,

  10

  7 “severe/berapa parah keluaran urine pasien”, “toilet/kamar kecil” dan variable indicator gender.

  Dengan menganalisis data GUIDE menggunakan model dengan independent besyarat dan mean bersyarat untuk pasie ke j dari _T pr ^{ij ) =} X   u , efek acak _{ij i i )} aktek medis ke i terspesifikasi oleh logit (μ ₂ ε diasumsikan i.i.d N ( 0 , σ Dengan hipotesis ₂ H o = 0 ₁ : σ ₂ H > 0

  : σ Tingkat signifikansi α = 0,05

  Kita dapatkan bahwa dari maksimum likelihood robust diperoleh hasil yang lebih mewakili daripada maksimum likelihood. Tidak seperti estimasi Maksimum Likelihood Robust, estimasi Maksimum Likelihood tampak terpengaruh oleh beberapa pengamatan dasar dalam data. Prediktor berat dan acc per hari ditemukan signifikan secara tinggi baik oleh Maksimum Likelihood dan Maksimum Likelihood Robust. Tetapi predictor perempuan dan kamar kecil signifikan hanya oleh metode Robust Maksimum Likelihood. Adanya outlier memberikan efek harga parameter β menjadi lebih kecil, sehingga nilai x tidak begitu berpengaruh terhadap y.

  Berikut ini perbandingan estimasi parameter dengan menggunakan estimasi Robust Maksimum Likelihood dan Maksimum Likelihood

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

  Tabel 1 : Nilai estimasi parameter Parameter RML MLE

  Intercept -3,0553 -3,2930 Female -0,7753 -0,6723

  Age -0,9756 -0,6406 Dayacc 0,4918 0,4154 Severe 0,8128 0,8285

  Toilet 0,1078 0,1108 ₂ 1,7305 1,2179

  σ Berikut adalah hasil selengkapnya iterasi dari perhitungan estimasi robust maksimum likelihood

  Tabel 2 : Hasil iterasi Iterasi Intercept Female Age Dayacc Severe Toilet 1 1,0058 -1,6459

  76 2,3315 1,8124 1,1078 2 -2,5691 -0,7783 76 1,3901 1,2171 1,0003 3 -3,0568 -0,7556 76 0,7928 0,8129 0,9878 4 -3,0557 -0,7592 77 0,5918 0,8024 0,6062 5 -3,0553 -0,7453 77 0,5116 0,7072 0,4478 8.

   Penutup

  Dari pembahasan dapat diambil kesimpulan mengenai analisis robust dari model linear campuran tergeneralisir mengindikasikan tujuan maksimum likelihood robust yaitu berguna untuk mengestimasi parameter model linear campuran tergeneralisir dengan menurunkan bobot pengamatan yang berpengaruh dalam data. Outlier umum dalam data dan analisis robust sering dipinjam untuk menghadapi outlier ini. Hasil simulasi menguatkan kemampuan dari maksimum likelihood robust untuk mewakili pendekatan inferensi yang benar pada koefisien regresi dalam model linear campuran tergeneralisir. Sanjoy Sinha telah mengembangkan riset dengan menggunakan maksimum likelihood robust untuk studi simulasi.

  Wahyuning Widiyastuti

  Didapatkan bentuk estimasi maksimum likelihood robust untuk parameter β dan Σ dari model linear campuran tergeneralisir dengan menggunakan iterasi adalah sebagai berikut :

  

  1 ( m  1 ) ( m ) T ( m ) ( m )

      E

  X W  , U D  , U X y

     

  

 

T ( m ) ( m )

  E

  X W (  , U ) d  , U y

 

    N

  1 ( m  1 ) ( s )

    ln f ( u  ) u

   N s 

1 Adaya outlier memberikan efek harga parameter β menjadi lebih kecil, sehingga nilai x tidak begitu berpengaruh terhadap y.

  Cara diatas tidak mendorong untuk menghilangkan outlier, disini hanya menyajikan suatu analisis yang robust dalam model linear campuran tergeneralisir. Jika ditemukan outlier, hendaknya meninjau kembali pada data yang diperolehnya, untuk dapat menjelaskan dari mana outlier berasal dan mungkin mengoreksi data yang menyebabkan sumber outliernya, kemudian meneruskan untuk mengambil keputusan selanjutnya.

  Metode ini dapat dikembangkan lebih lanjut. Baik sebagai perluasan dari metode robust maksimum likelihood, maupun sebagai metode pembanding yang lebih baik. Pengembangan model ini adalah model dengan variabel respon tidak hanya yang termasuk dalam keluarga eksponensial, tetapi variable respon yang tidak diketahui distribusinya.

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  ANALISIS ROBUST DARI MODEL LINEAR...

  

Daftar Pustaka

  Bain, L.J. and Englehardt, M. 1992. Introduction To Probability and Mathematical Statistics. Duxbury Press, California

  Cantoni, E., and Rochetti, E. 2001, Robust Inference for Generalized Linear Models, Journal of the American Statistical Association, 96, 1022-1030 Dudewicz, E. J and Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern.

  Terjemahan. R. K Sembiring. Penerbit ITB Bandung McCullagh, P. and Nelder, J. A. 1989, Generalized Linear Models, 2 ^nd edn, London. Chapman and Hall