Nilai dan Vektor Eigen dan vektor

Nilai dan Vektor Eigen

Mengingat kembali: perkalian
matriks
•

Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w

•

Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor
yang sejajar dengan vektor semula

2 0
A 

4 1

Jawab:

1 

v 
4

0
w  
4

5
u 
 4

 2 0 1   2
1 
Av  
2


  4  8 
4  2 v
4

1

    
 
2 0 0 0
Aw  
  4    4   1. w
4
1

    

 2 0   5  10 
Au  
    ku



 4 1   4   24 
untuk semua k  R

v dan Av sejajar
w dan Aw sejajar
u dan Au TIDAK sejajar

Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan
1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa
kesimpulanm tentang A?

Jawaban:
A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0

2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa
kesimpulanmu tentang A dan det(A)?

Jawaban:
A tidak mempunyai inverse.
Det(A) = 0

Perkalian vektor dengan matriks

A

x = λ x

Ax

x
x
Ax

x dan Ax sejajar

Perkalian vektor dengan matriks
 2 0  1 
4 1 4

 

=2

1 
4
 

2 0 0
4 1 4

 

Au = 2u

2 0 5
4 1 4

  

0
=1  
4

10
24

y

2
8
0
4

1
4

x



5
k 
4

Aw ≠ kw

Av = v
y

y

=

10 
 24 
 

5
4
x

x

Definisi: Nilai dan Vektor Eigen
Definisi:
Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen
dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga
Av = λv.
λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan λ .
Syarat perlu: v ≠ 0

(1) λ ≥ 1

(2) 0 ≤ λ ≤ 1

(3) -1 ≤ λ ≤ 0

(4) λ ≤ - 1

Masalah Vektor Eigen
Diberikan matriks persegi A,

A

x

A

x

sejajar
=

x

λ x

Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax
adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x).
atau
Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx
untuk suatu skalar λ

Masalah Nilai Eigen
Diberikan matriks persegi A.

A x

=

λ x
x vektor tak nol

Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu
vektor tak nol x.
atau
Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan

Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol

Pernyataan-pernyataan ekuivalen
Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen

1.  nilai eigen A
2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x
3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)
4.  adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0

Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian
persamaan det(I-A) = 0

Persamaan Karakteristik
Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ,
p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik
Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan
karakteristik

A

det A-λI

-

λI

=

A-λI

•persamaan
karakteristik

= λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0

Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi
matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.

Contoh

2 0
Mencari semua nilai eigen A=  4 1 



Mencari semua penyelesaian persamaan det

2-λ

0

4

1-λ

=0

Mencari penyelesaian persamaan karakteristik (2 - λ )(1 - λ ) = 0
1  2,
Nilai eigen A adalah
2  1

Prosedur: menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi A.
Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:
1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0
tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ
2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak
karakteristik:
λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen
merupakan penyelesaian persamaan tersebut.

Contoh: Menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi

 1 1 1
A   0 3 3


 2 1 1

1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0
1
1 
1  
det( A   I )  det  0
3
3 
 2
1
1   

(1   ) 2 (3   )  6  2(3   )  3(1   )  0

2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:

(1   )2 (3   )  (3   )  0
 (  2)(3   )  0

3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen

Nilai-nilai eigen A:
λ1 = 0
λ2 = 2
λ3 = 3

Nilai eigen matriks diagonal
Diberikan matriks diagonal

2
0
A 
0

0

0 0 0
5 0 0 
0 6 0

0 0 1

0
0
0 
2  
 0



5
0
0

A I  
 0
0
6
0 


0
0
1  
 0

•Persamaan karakteristik: (2   )(5   )(6   )(1   )  0
•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1
(merupakan entri diagonal utama)
Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal
utamanya.

Bagaimana menentukan apakah suatu skalar
merupakan nilai eigen?
•

Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.
2 2 0
A  0 4 0


 0 1 0 

Jawab:
Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ , aka erupaka ilai eige , kalau = ,
maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.
2
0 
2  2

det( A  2 I )  det  0
42
0   0
 0
1
0  2 

2 adalah nilai eigen A

2
0 
2  0

det( A  0 I )  det  0
40
0   8  0
 0
1
0  0 

0 bukan nilai eigen A

2
0 
2  4
det( A  4 I )  det  0
44
0   0
 0
1
0  4 

4 nilai eigen A

Kelipatan skalar vektor eigen
•

Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai
eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A
 1 1 1
A   0 3 3 ,


 2 1 1

 4 
x   6 
 
 2 

 2 
1 x   3
2
 
 1 

 1 1 1  4   8 
Ax   0 3 3  6    12   2 x

  

 2 1 1  2   4 

 40 
10 x   60 
 20 

 20 
5 x   30 
 10 

 1 1 1  40 
A(10 x)   0 3 3  60  



 2 1 1  20 

Ax = 2 x

 80 
 120   2(10 x)


 40 

A(10x) = 2 (10x)

λ

A

x =

A

(10) x =

x
λ

(10) x

Kelipatan skalar vektor eigen
 1 1 1
A   0 3 3 ,


 2 1 1

 4 
x   6 
 
 2 

 2 
1 x   3
2
 
 1 

 1 1 1  4   8 
Ax   0 3 3  6    12   2 x

  

 2 1 1  2   4 

 1 1 1  2 
A( 12 x)   0 3 3  3 

 
 2 1 1  1 

Ax = 2 x
A

x =

 4 
 6   2( 1 x)
2
 
 2 

A(1/2 x) = 2 (1/2 x)

λ

x

A

(1/2) x =

λ (1/2) x

Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah
vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama

Menentukan semua vektor eigen Eλ
•

Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.

•

Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan
menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)

Null(A - λ I)

Himpunan semua penyelesaian
SPL (A - λ I)x = 0

Himpunan semua vektor eigen
bersesuaian dengan

0
Null(A - λ I)-{0}

λ

Ruang Eigen
Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol
Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

Null(A - λ I)x

0

Ruang Eigen

Eλ

Null(A - λ I) = Eλ
Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x =

0

Menentukan ruang eigen Eλ
•

Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan
semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.
 1 1 1
A   0 3 3


 2 1 1

1  3
A  I   0

 2

SPL (A - 3 I)x = 0

1
1   x1 
1  3
( A  3I ) x   0 3  3 3   x2  
 2
1 1  3  x3 

Penyelesaian x1
x2
x3



1
33
1

1 
3 
1  3

0 
0 
 
0 

a

 2a
 0

Himpunan penyelesaian

2 x1  x2  x3
3 x3
2 x1  x2  2 x3

 0

 0
 0

 1 

  

a  2  , a  R 
 0

  


 1 

  
Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 : a  2  , a  0, a  R 
 0

  


Nilai eigen matriks pangkat
•

Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.

•

Tentukan nilai eigen untuk

•

Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka
terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga
Ax = λx
kalikan kedua ruas dengan matriks A
A.Ax = A λx
A2x = λ(Ax)
substitusi Ax dengan λx
A2x = λ2x
jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2
Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn
adalah nilai eigen An

•

 1 1 1
A   0 3 3


 2 1 1

 1 5 5 
A2   6 12 12  , A13 , A20


 4 2 1 

Nilai eigen matriks singular

•

Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A.

Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik:
dengan menganti  dengan 0, diperoleh c0 = 0.
Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0.
Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.

•

Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil  = 0.Jadi det(A) = c0.
Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0.
Sehingga  = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;
 = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.

0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A
tidak mempunyai inverse.

Nilai eigen matriks transpose
det(B) = det(BT)
(A-  I)T = (AT- I)
Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A,
 maka det(A-  I)= 0
Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,
 maka det(A-  I)T= 0
Karena (A-  I)T = (AT- I) ,
 maka det(AT-  I)= 0
Jadi,  adalah nilai eigen dari AT
A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama

A dan A-1 mempuyai nilai

eigen yang sama

Diagonalisasi
Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang
mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal.
5 6


Contoh: A  

3 4 

 2 1
P 

1
1



P -1AP=

 1 1
P 1  

 1 2 

 1 1 5 6   2 1
2 0 
 1 2  
 1 1   0 1  D

3
4


 
 



Matriks
diagonal

A dapat didiagonalkan

Kapan matriks A dapat didiagonalkan?
•

Teorema:
Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen:
1. A dapat didiagonalkan
2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier

Bukti (1)  (2)  a11

Diberikan A A   a 21


 a n1

a12
a 22
an2

a1n 
a 2 n 


a nn 

Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse
 p11
p
21
P 


 pn1

p12
p22
pn 2

 p11
p
AP=PD   21


 pn1

p1n 
p2 n 


pnn 

p1n 
p2 n 


pnn 

p12
p22
pn 2

Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal
 1 p11 2 p12
 p
 1 21 2 p22


 1 pn1 2 pn 2

n p1n 
n p2n 


n pnn 

1 0
0 
2
D


0 0

0
0 


n 

Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt)
P-1AP = D, kalikan dengan P-1,
AP = PD
 p11
p
21
PD  


 pn1

AP = PD, jadi

p12
p22
pn 2

 a11 a12
a
21 a 22
AP  


 a n1 a n 2

Ap1  1 p1

p1n 
p2 n 


pnn 

a1n 
a 2 n 


a nn 

Ap2  2 p2

1 0
0 
2



0 0

 p11
p
 21


 pn1

p12
p22
pn 2

0
0 


n 

 1 p11 2 p12
 p
2 p22
  1 21


 1 pn1 2 pn 2

p1n 
p2 n 


pnn 

  Ap1

n p1n 
n p2n 


n pnn 

Ap2

 1 p1 2 p2

n pn 

Apn 

Apn  n pn

Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom
nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn
merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah
vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya
inverse)

Bukti untuk (2)  (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk
memperdalam pemahaman.

Prosedur mendiagonalkan matriks
•

Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.

Prosedur
1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn
3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1,
λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj u tuk j = , , , …, n

Contoh: mendiagonalkan matriks
•

Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.

5 6 
A 

3
4




Prosedur
1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya
yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian
dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh

2
p1   
1 

1
p2   
1

2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.

 2 1
P 

1 1

P

1

 1 1


1
2




3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2
berturut-turut

2 0 
D


0
1



Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen
• Masalah vektor eigen
Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen?
• Masalah diagonalisasi
Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian
hingga nP-1AP adalah matriks diagonal?
Teorema:
Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier.
Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di R n merupakan basis Rn.
Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi