Soal dan Pembahasan Matriks. docx
Nama : Fajrin Puspa Indah
Kelas : XII MIA 3
Soal dan Pembahasan Matriks
Soal No. 11
Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai
berikut:
Tentukan A − B
Pembahasan
Operasi pengurangan matriks:
Soal No. 12
Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini,
Tentukan 2A + B
Pembahasan
Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan
dengan penjumlahan:
Soal No. 13
Matriks P dan matriks Q sebagai berikut
Tentukan matriks PQ
Pembahasan
Perkalian dua buah matriks
Soal No. 14
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini
Diketahui bahwa P = Q
Pembahasan
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa
3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y=6
y=2
Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16
Soal No. 15
Tentukan determinan dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13
Soal No.16
Diberikan sebuah matriks
Tentukan invers dari matriks P
Pembahasan
Invers matriks 2 x 2
Soal No. 17
Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris
menjadi kolom seperti contoh berikut:
Soal No.18
Diketahui persamaan
matriks
Nilai a + b + c + d =....
A. − 7
B. − 5
C. 1
D. 3
E. 7
Pembahasan
Jumlahkan dua matriks pada ruas kiri, sementara kalikan dua matriks
pada ruas kanan, terakhir gunakan kesamaan antara dua buah
matriks untuk mendapatkan nilai yang diminta.
2 + a = −3
a=−5
4+b=1
b=−3
d−1=4
d=5
c−3=3
c=6
Sehingga
a + b + c + d = −5 − 3 + 6 + 5 = 3
Soal No. 19
Diketahui matriks
Apabila B − A = Ct = transpos matriks C, maka nilai x .y =....
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
(UN 2007)
Pembahasan
Transpos C diperoleh dengan mengubah posisi baris ke kolom, B − A
adalah pengurangan matriks B oleh A
Akhirnya, dari kesamaan dua matriks:
y−4=1
y=5
x
x
x
x
+
+
+
=
y−2=7
5−2=7
3=7
4
x . y = (4)(5) = 20
Soal No. 20
Jika
maka x + y =....
A. − 15/4
B. − 9/4
C. 9/4
D. 15/4
E. 21/4
(Soal UMPTN Tahun 2000)
Pembahasan
Masih tentang kesamaan dua buah matriks ditambah tentang materi
bentuk pangkat, mulai dari persamaan yang lebih mudah dulu:
3x − 2 = 7
3x = 7 + 2
3x = 9
x=3
4x + 2y = 8
22(x + 2y) = 23
22x + 4y = 23
2x + 4y = 3
2(3) + 4y = 3
4y = 3 − 6
4y = − 3
y = − 3/4
Sehingga:
x + y = 3 + (− 3/4) = 2 1/4 = 9/4
Soal No. 21
Invers dari matriks A adalah A−1.
Jika
tentukan matriks (A−1)T
Pembahasan
Invers matriks dan tranpos sebuah matriks.
Misalkan:
Sehingga:
Soal No. 22
Tentukan nilai x agar
matrik
merupakan sebuah matriks yang tidak memiliki invers!
Pembahasan
Matriks yang tidak memiliki invers, disebut matriks singular.
Determinan dari matriks singular sama dengan nol.
det P = ad − bc = 0
(2)(x) − (3)(5) = 0
2x − 15 = 0
2x = 15
x = 15/2
Soal No. 23
Diketahui
matriks
da
,n
Jika A = B, maka a + b + c =....
A. − 7
B. − 5
C. − 1
D. 5
E. 7
(UN Matematika Tahun 2010 P37 Matriks)
Pembahasan
Kesamaan dua matriks:
4a = 12
a=3
3a = − 3b
−3a = − 3b
−3(3) = − 3b
−9 = − 3b
b=3
3c = b
3c = 3
c= 1
a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 7
Soal No. 24
Diketahui
matriks
memenuhi AX = B, tentukan matriks X
Pembahasan
Jika AX = B, maka untuk mencari X adalah
X = A−1 B
Cari invers matriks A terlebih dahulu, setelah ketemu kalikan dengan
matriks B
Soal No. 25
Matriks P dan matriks Q sebagai berikut
Tentukan matriks PQ
Pembahasan
Perkalian dua buah matriks
Soal No. 26
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini
Diketahui bahwa P = Q
Pembahasan
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa
3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y=6
y=2
Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16
Soal No. 27
Tentukan determinan dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13
Soal No. 28
Diberikan sebuah matriks
Tentukan invers dari matriks P
Pembahasan
Invers matriks 2 x 2
Soal No. 29
Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris
menjadi kolom seperti contoh berikut:
30. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini
Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah
31. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini
Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah
Hitunglah operasi matriks berikut ini
32.
33.
34.
35.
Pembahasan :
32.
33.
34.
35.
36. Buktikan bahwa A.I=I.A dimana I adalah matriks identitas
Pembahasan :
Berapakah hasil kali matriks A.B dan B.A jika diketahui matriksnya adalah
37.
Pembahasan :
38.
Tentukan determinan dan invers dari matriks dibawah ini
39.
40.
Pembahasan :
39.cara mendapatkan determinan matriks A adalah
cara mendapatkan invers dari matriks A adalah
40.cara mendapatkan determinan matriks A adalah
cara mendapatkan invers dari matriks A adalah
41. Jika A adalah invers dari matriks
, maka
menghasilkan nilai x dan y yang memenuhi 2x + y = ...
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : Dari soal diketahui A adalah invers dari matriks
atau
Jadi nilai 2x + y = 2(-10/3) + 19/3 = -1/3
42. Jika
, maka
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
akan
I adalah matriks identitas sehingga diperlukan sedikit ketabahan untuk
mengalikan matriks beberapa kali
43. Jika matriks A diketahui seperti di bawah ini, maka determinan A
adalah...
A. (a + b)(4a - b)
B. (4a + 4b)(a -b)
C. (4a + 2b)(4a + b)
D. (4a + 4b)(4a - 2b)
E. (4a + b)(4a - 4b)
Pembahasan : ⇒ det A = 4a2 - 4b2 = 4 (a2 - b2) ⇒ det A = 4 {(a + b)(a b)}
⇒ det A = (4a + 4b)(a - b) ---> opsi B
44. Matriks P dan Q adalah matriks ordo 2x2
seperti di bawah. Agar determinan matriks P sama dengan dua kali
determinan Q,
maka nilai x yang memenuhi adalah...
A. x = -6 atau x = -2
B. x = 6 atau x = -2
C. x = -6 atau x = 2
D. x = 3 atau x = 4
E. x = -3 atau x = -4
Pembahasan : ⇒ det P = 2 det Q ⇒ 2x2 - 6 = 2 (4x - (-9)) ⇒ 2x2 - 6 = 8x +
18 ⇒ 2x2 - 8x - 24 = 0 ⇒ x2 - 4x - 12 = 0 ⇒ (x - 6)(x + 2) = 0 ⇒ x = 6 atau x
= -2 ---> opsi B
45. Determinan matriks B yang memenuhi persamaan di bawah ini
adalah...
A. 3
B. -3
C. 1
D. -1
E. 0
Pembahasan : Misalkan komponen B adalah a,b,c, dan d sebagai berikut :
Dari persamaan di atas diperoleh : ⇒ 2a + c = 4 ⇒ a + 2c = 5 --->
a = 5 - 2c ---> substitusi ke persamaan 2a + c = 4 ⇒ 2 (5-2c) + c = 4 ⇒ 10
- 4c + c = 4
⇒ -3c = -6 ⇒ c = 2 Selanjutnya : ⇒ 2a + 2 = 4 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1
Mencari nilai d : ⇒ 2b + d = 5 ⇒ b + 2d = 4 ---> b = 4 - 2d
---> substitusi ke persamaan 2b + d = 5 ⇒ 2 (4 - 2d) + d = 5 ⇒ 8 - 4d + d = 5
⇒ -3d = -3
⇒ d = 1 Mencari nilai b : ⇒ 2b + 1 = 5 ⇒ 2b = 4 ⇒ b = 2
Jadi komponen matriks B adalah sebagai berikut : Maka diperoleh :
det B = ac - bd = 1 - 4 = -3 ---> opsi B
46. Diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini. Jika determinan matriks
A = -8, maka determinan matriks B adalah...
A. 96
B. -96
C. -64
D. 48
E. -48
Pembahasan : Determinan A det A = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi) =
-8
Determinan B ⇒ det B = (-12aei + (-12bfg) + (-12cdh)) - (-12ceg + (-12afh)
+ (-12bdi)) ⇒
det B = -12 { (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi)} ⇒ det B = -12 det A ⇒
det B = -12 (-8) ⇒
det B = 96 ---> opsi A
47. Nilai z yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah...
A. 2
B. -2
C. 4
D. 3
E. -3
Pembahasan : ⇒ 2z2 - (-6) = 8 - (-z(z-1)) ⇒ 2z2 + 6 = 8 - (-z2 + z) ⇒ 2z2 +
6 = 8 + z2 - z
⇒ z2 + z - 2 = 0 ⇒ (z + 2)(z - 1) = 0 ⇒ z = -2 atau z = 1 ---> opsi B
48. Hubungan dua matriks seperti di bawah ini. Nilai a yang memenuhi
persamaan
tersebut adalah...
A. 8
B. 24
C. 64
D. 81
E. 92
Pembahasan :
2 8log a - 4a = 4a - (- 2log 6 . 6log 16) ---> ingat kembali
sifat logaritma : alog b . blog c = alog c ⇒ 2 8log a = 2log 16 = 4
⇒ 8log a = 2 ⇒ a = 82 ⇒ a = 64
---> opsi C
49. Bila determinan matriks A adalah 4 kali determinan matriks B, maka
nilai x adalah...
A. 4/3
B. 8/3
C. 10/4
D. 5/3
E. 16/7
Pembahasan : ⇒ det A = 4 det B ⇒ 4x (16x) - (-16) = 4 (108 - (-152))
⇒ 4x (42x ) + 16 = 4 (260) ⇒ 43x = 4(260) - 16 ⇒ 43x = 4(260) - 4(4)
⇒ 43x = 4 (260 - 4) ⇒ 43x = 4 (256) ⇒ 43x = 4. 44 ⇒ 43x = 45
⇒ 3x = 5 ⇒ x = 5/3 ---> opsi D
Soal no. 50
Kelas : XII MIA 3
Soal dan Pembahasan Matriks
Soal No. 11
Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai
berikut:
Tentukan A − B
Pembahasan
Operasi pengurangan matriks:
Soal No. 12
Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini,
Tentukan 2A + B
Pembahasan
Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan
dengan penjumlahan:
Soal No. 13
Matriks P dan matriks Q sebagai berikut
Tentukan matriks PQ
Pembahasan
Perkalian dua buah matriks
Soal No. 14
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini
Diketahui bahwa P = Q
Pembahasan
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa
3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y=6
y=2
Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16
Soal No. 15
Tentukan determinan dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13
Soal No.16
Diberikan sebuah matriks
Tentukan invers dari matriks P
Pembahasan
Invers matriks 2 x 2
Soal No. 17
Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris
menjadi kolom seperti contoh berikut:
Soal No.18
Diketahui persamaan
matriks
Nilai a + b + c + d =....
A. − 7
B. − 5
C. 1
D. 3
E. 7
Pembahasan
Jumlahkan dua matriks pada ruas kiri, sementara kalikan dua matriks
pada ruas kanan, terakhir gunakan kesamaan antara dua buah
matriks untuk mendapatkan nilai yang diminta.
2 + a = −3
a=−5
4+b=1
b=−3
d−1=4
d=5
c−3=3
c=6
Sehingga
a + b + c + d = −5 − 3 + 6 + 5 = 3
Soal No. 19
Diketahui matriks
Apabila B − A = Ct = transpos matriks C, maka nilai x .y =....
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
(UN 2007)
Pembahasan
Transpos C diperoleh dengan mengubah posisi baris ke kolom, B − A
adalah pengurangan matriks B oleh A
Akhirnya, dari kesamaan dua matriks:
y−4=1
y=5
x
x
x
x
+
+
+
=
y−2=7
5−2=7
3=7
4
x . y = (4)(5) = 20
Soal No. 20
Jika
maka x + y =....
A. − 15/4
B. − 9/4
C. 9/4
D. 15/4
E. 21/4
(Soal UMPTN Tahun 2000)
Pembahasan
Masih tentang kesamaan dua buah matriks ditambah tentang materi
bentuk pangkat, mulai dari persamaan yang lebih mudah dulu:
3x − 2 = 7
3x = 7 + 2
3x = 9
x=3
4x + 2y = 8
22(x + 2y) = 23
22x + 4y = 23
2x + 4y = 3
2(3) + 4y = 3
4y = 3 − 6
4y = − 3
y = − 3/4
Sehingga:
x + y = 3 + (− 3/4) = 2 1/4 = 9/4
Soal No. 21
Invers dari matriks A adalah A−1.
Jika
tentukan matriks (A−1)T
Pembahasan
Invers matriks dan tranpos sebuah matriks.
Misalkan:
Sehingga:
Soal No. 22
Tentukan nilai x agar
matrik
merupakan sebuah matriks yang tidak memiliki invers!
Pembahasan
Matriks yang tidak memiliki invers, disebut matriks singular.
Determinan dari matriks singular sama dengan nol.
det P = ad − bc = 0
(2)(x) − (3)(5) = 0
2x − 15 = 0
2x = 15
x = 15/2
Soal No. 23
Diketahui
matriks
da
,n
Jika A = B, maka a + b + c =....
A. − 7
B. − 5
C. − 1
D. 5
E. 7
(UN Matematika Tahun 2010 P37 Matriks)
Pembahasan
Kesamaan dua matriks:
4a = 12
a=3
3a = − 3b
−3a = − 3b
−3(3) = − 3b
−9 = − 3b
b=3
3c = b
3c = 3
c= 1
a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 7
Soal No. 24
Diketahui
matriks
memenuhi AX = B, tentukan matriks X
Pembahasan
Jika AX = B, maka untuk mencari X adalah
X = A−1 B
Cari invers matriks A terlebih dahulu, setelah ketemu kalikan dengan
matriks B
Soal No. 25
Matriks P dan matriks Q sebagai berikut
Tentukan matriks PQ
Pembahasan
Perkalian dua buah matriks
Soal No. 26
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini
Diketahui bahwa P = Q
Pembahasan
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa
3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
y=6
y=2
Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16
Soal No. 27
Tentukan determinan dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13
Soal No. 28
Diberikan sebuah matriks
Tentukan invers dari matriks P
Pembahasan
Invers matriks 2 x 2
Soal No. 29
Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini
Pembahasan
Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris
menjadi kolom seperti contoh berikut:
30. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini
Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah
31. Carilah matriks tranpose dari matriks berikut ini
Pembahasan :
Matriks tranpose A dari matriks A adalah
Hitunglah operasi matriks berikut ini
32.
33.
34.
35.
Pembahasan :
32.
33.
34.
35.
36. Buktikan bahwa A.I=I.A dimana I adalah matriks identitas
Pembahasan :
Berapakah hasil kali matriks A.B dan B.A jika diketahui matriksnya adalah
37.
Pembahasan :
38.
Tentukan determinan dan invers dari matriks dibawah ini
39.
40.
Pembahasan :
39.cara mendapatkan determinan matriks A adalah
cara mendapatkan invers dari matriks A adalah
40.cara mendapatkan determinan matriks A adalah
cara mendapatkan invers dari matriks A adalah
41. Jika A adalah invers dari matriks
, maka
menghasilkan nilai x dan y yang memenuhi 2x + y = ...
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab : Dari soal diketahui A adalah invers dari matriks
atau
Jadi nilai 2x + y = 2(-10/3) + 19/3 = -1/3
42. Jika
, maka
A.
B.
C.
D.
E.
Jawab :
akan
I adalah matriks identitas sehingga diperlukan sedikit ketabahan untuk
mengalikan matriks beberapa kali
43. Jika matriks A diketahui seperti di bawah ini, maka determinan A
adalah...
A. (a + b)(4a - b)
B. (4a + 4b)(a -b)
C. (4a + 2b)(4a + b)
D. (4a + 4b)(4a - 2b)
E. (4a + b)(4a - 4b)
Pembahasan : ⇒ det A = 4a2 - 4b2 = 4 (a2 - b2) ⇒ det A = 4 {(a + b)(a b)}
⇒ det A = (4a + 4b)(a - b) ---> opsi B
44. Matriks P dan Q adalah matriks ordo 2x2
seperti di bawah. Agar determinan matriks P sama dengan dua kali
determinan Q,
maka nilai x yang memenuhi adalah...
A. x = -6 atau x = -2
B. x = 6 atau x = -2
C. x = -6 atau x = 2
D. x = 3 atau x = 4
E. x = -3 atau x = -4
Pembahasan : ⇒ det P = 2 det Q ⇒ 2x2 - 6 = 2 (4x - (-9)) ⇒ 2x2 - 6 = 8x +
18 ⇒ 2x2 - 8x - 24 = 0 ⇒ x2 - 4x - 12 = 0 ⇒ (x - 6)(x + 2) = 0 ⇒ x = 6 atau x
= -2 ---> opsi B
45. Determinan matriks B yang memenuhi persamaan di bawah ini
adalah...
A. 3
B. -3
C. 1
D. -1
E. 0
Pembahasan : Misalkan komponen B adalah a,b,c, dan d sebagai berikut :
Dari persamaan di atas diperoleh : ⇒ 2a + c = 4 ⇒ a + 2c = 5 --->
a = 5 - 2c ---> substitusi ke persamaan 2a + c = 4 ⇒ 2 (5-2c) + c = 4 ⇒ 10
- 4c + c = 4
⇒ -3c = -6 ⇒ c = 2 Selanjutnya : ⇒ 2a + 2 = 4 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1
Mencari nilai d : ⇒ 2b + d = 5 ⇒ b + 2d = 4 ---> b = 4 - 2d
---> substitusi ke persamaan 2b + d = 5 ⇒ 2 (4 - 2d) + d = 5 ⇒ 8 - 4d + d = 5
⇒ -3d = -3
⇒ d = 1 Mencari nilai b : ⇒ 2b + 1 = 5 ⇒ 2b = 4 ⇒ b = 2
Jadi komponen matriks B adalah sebagai berikut : Maka diperoleh :
det B = ac - bd = 1 - 4 = -3 ---> opsi B
46. Diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini. Jika determinan matriks
A = -8, maka determinan matriks B adalah...
A. 96
B. -96
C. -64
D. 48
E. -48
Pembahasan : Determinan A det A = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi) =
-8
Determinan B ⇒ det B = (-12aei + (-12bfg) + (-12cdh)) - (-12ceg + (-12afh)
+ (-12bdi)) ⇒
det B = -12 { (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi)} ⇒ det B = -12 det A ⇒
det B = -12 (-8) ⇒
det B = 96 ---> opsi A
47. Nilai z yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah...
A. 2
B. -2
C. 4
D. 3
E. -3
Pembahasan : ⇒ 2z2 - (-6) = 8 - (-z(z-1)) ⇒ 2z2 + 6 = 8 - (-z2 + z) ⇒ 2z2 +
6 = 8 + z2 - z
⇒ z2 + z - 2 = 0 ⇒ (z + 2)(z - 1) = 0 ⇒ z = -2 atau z = 1 ---> opsi B
48. Hubungan dua matriks seperti di bawah ini. Nilai a yang memenuhi
persamaan
tersebut adalah...
A. 8
B. 24
C. 64
D. 81
E. 92
Pembahasan :
2 8log a - 4a = 4a - (- 2log 6 . 6log 16) ---> ingat kembali
sifat logaritma : alog b . blog c = alog c ⇒ 2 8log a = 2log 16 = 4
⇒ 8log a = 2 ⇒ a = 82 ⇒ a = 64
---> opsi C
49. Bila determinan matriks A adalah 4 kali determinan matriks B, maka
nilai x adalah...
A. 4/3
B. 8/3
C. 10/4
D. 5/3
E. 16/7
Pembahasan : ⇒ det A = 4 det B ⇒ 4x (16x) - (-16) = 4 (108 - (-152))
⇒ 4x (42x ) + 16 = 4 (260) ⇒ 43x = 4(260) - 16 ⇒ 43x = 4(260) - 4(4)
⇒ 43x = 4 (260 - 4) ⇒ 43x = 4 (256) ⇒ 43x = 4. 44 ⇒ 43x = 45
⇒ 3x = 5 ⇒ x = 5/3 ---> opsi D
Soal no. 50