Relasi dan Fungsi dalam Matematika Diskr (2)

Tugas Matematika Diskrit
“Relasi & Fungsi Serta Penerapannya”

OLEH

Albert Ch. Soewongsono

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat
dan rahmatnya makalah Matematika Diskrit mengenai Relasi dan Fungsi ini dapat
terselesaikan.
Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena
itu, penulis senantiasa mengharapkan masukan dan kritik yang membangun dari pembaca
demi penyempurnaan makalah ini. Akhir kata, semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
yang membacanya..

Kupang, 23 Juni 2015

Penulis

DAFTAR ISI

BAB I. PENDAHULUAN
1.1 . Latar Belakang...............................................................................................................1
1.2. Tujuan.............................................................................................................................1
BAB II. ISI
2.1. Pengertian Relasi............................................................................................................ 2
2.2. Representasi Relasi......................................................................................................... 2
2.3. Sifat-Sifat Relasi Biner....................................................................................................6
2.4. Operasi Dalam Relasi Biner............................................................................................9
2.4.1. Relasi Inversi.........................................................................................................9
2.4.2. Komposisi Relasi...................................................................................................9
2.4.3. Mengkombinasikan Relasi....................................................................................11
2.5. Relasi Ekivalen, Kompatibel dan Poset..........................................................................12
2.5.1. Relasi Ekivalen......................................................................................................12

2.5.2. Relasi Kompatibel.................................................................................................12
2.5.3. Poset (Partially Ordered Set)................................................................................13
2.6. Pengertian Fungsi............................................................................................................
13
2.7. Representasi Fungsi ....................................................................................................... 14
2.8 .Jenis-Jenis Fungsi............................................................................................................15
2.9. Fungsi-Fungsi Khusus.....................................................................................................18
2.10. Operasi-Operasi Pada Fungsi........................................................................................20

BAB III. PENUTUP
3.1. Kesimpulan..................................................................................................................... 22
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................... ............ 24

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika diskrit adalah salah satu cabang dari matematika yang membahas segala
sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan (lawan dari
kontinu). Beberapa hal yang dibahas dalam ilmu matematika ini adalah teori himpunan, teori
kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain.

Hubungan antara elemen-elemen dalam suatu himpunan sering dijumpai dalam
kehidupan sehari-hari, misalnya hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah yang
diambil, hubungan antara lama waktu tidur dengan peningkatan prestasi belajar dan lain-lain.
Di dalam bidang ilmu komputer, dapat dicontohkan hubungan antara program komputer
dengan peubah yang digunakan, hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan
(statement) yang sah, hubungan antara plaintext dan chipertext pada bidang kriptografi dan
sebagainya (Munir,2001). Hubungan tersebut dinamakan relasi. Di dalam matematika
terdapat banyak jenis-jenis relasi seperti, relasi dalam himpunan, relasi dalam matriks dan
relasi dalam suatu graf berarah.
Fungsi merupakan suatu bentuk khusus dari relasi. Suatu fungsi merupakan relasi akan
tetapi suatu relasi belum tentu merupakan fungsi. Agar suatu relasi dapat disebut sebagai
fungsi, ada syarat yang harus dipenuhi yaitu setiap anggota dalam suatu himpunan harus
dipasangkan dengan tepat satu anggota dari himpunan lain. Di dalam matematika terdapat
banyak jenis-jenis fungsi antara lain, fungsi injektif, fungsi surjektif dan fungsi bijektif.
1.2 Tujuan
 Mengetahui pengertian relasi dan fungsi
 Mengetahui sifat-sifat relasi
 Mengetahui jenis-jenis relasi dan fungsi
 Mengetahui representasi-representasi dari relasi dan fungsi
 Mengetahui operasi-operasi dalam relasi dan fungsi

BAB II
ISI
2.1 Pengertian Relasi
Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain.
Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan
himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.

 Definisi 1
Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B
didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama
adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adlah anggota himpunan B.
Notasi : A x B = { (x,y) / xϵA dan yϵB}
 Definisi 2
Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A disebut daerah
asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.
Notasi: R  (A  B)
 Definisi 3
Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.
Contoh 1 : Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari

P ke Q dengan (p, q)  R jika p habis membagi q maka kita peroleh R = {(2, 2),
(2,4), (4,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}
Contoh 2 : Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y)ÎR jika x
adalah faktor prima dari y, maka: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
2.2 Representasi Relasi
Dalam penerapannya suatu relasi dalam direpresentasikan dalam berbagai bentuk,
sebagai berikut :

 Representasi Relasi dengan Diagram Panah
Contoh 3 :

via

permen

Andre

coklat

Ita

es krim

Relasi dalam diagram panah diatas, dapat dinyatakan dalam bentuk :
R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B
Contoh 4 :
A
Amir
Budi

B

Q

A

P
IF221

2

IF251

2

2

4

3

A
2
3

Contoh di atas merupakan
suatu bentuk representasi
8
4 relasi dengan
4 diagram panah

IF342
3

Cecep

4

9

8

8

IF323
sebab setiap anggota
dalam himpunan A
dihubungkan
dengan9 anggota dalam
15
9

himpunan B dengan menggunakan panah.
 Representasi Relasi dalam Sistem Koordinat
Suatu relasi dapat direpresentasikan ke dalam sistem koordinat, sebagai contoh :
R = {(Microsoft, Windows), (IBM, OS/2), ( Macintosh, MacOS)}
Relasi tersebut dapat dibuat dalam suatu sistem koordinat, sebagai berikut :

Gambar 1
Tanda titik pada gambar di atas menjelaskan bahwa pasangan tersebut termasuk dalam
relasi.
 Representasi Relasi dengan Tabel
Suatu relasi juga dapat direpresentasikan ke dalam bentuk tabel, sebagai contoh :
Diberikan suatu relasi :
R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)},
relasi di atas dapat dibuat dalam bentuk tabel, sebagai berikut :
Nama

Makanan

Via

Permen

Via

Coklat

Andre

Coklat

Andre

Es Krim

Ita

Es Krim

dimana, kolom pertama pada tabel tersebut menyatakan daerah asal sedangkan

kolom kedua menyatakan daerah hasil.
 Representasi Relasi pada Himpunan
Definisi :
Suatu relasi pada himpunanA adalah relasi dariA ke A.
Definisi :
Relasi pada himpunan A adalah subhimpunan dari A×A.
Contoh 5 :
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Himpunan terurut manakah yang terdapatdalam relasi
R = {(a, b) | a < b} ?
Jawab :
(1, 2),(2),(1, 3),(3),(1, 4),(4),(2, 3),(3),(2, 4),(4),(3, 4)}(4)}
Bentuk yang diperoleh di atas merupakah salah satu contoh penerapan relasi dalam
himpunan.
Banyaknya subhimpunan yang dapat dibentuk dari suatu himpunan dengan m anggota
2

n
adalah 2m. Sehingga, terdapat 2 subhimpunan yang dapat dibentuk dari AxA.

 Representasi Relasi dengan Matriks

Definisi:

Sebagai contoh penerapan relasi dalam matriks, diberikan relasi :
R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
Relasi tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matriks, sebagai berikut :
Permen

Coklat

Es krim

Via

1

1

0

Andre

0

1

1

Ita

0

0

1

Via

[ ]

1 1 0
Andre 0 1 1
0 dan
0 kolom
1 merupakan kodomainnya.
Dimana, baris merupakan domainnya
Ita
 Representasi Relasi dengan Graf Berarah
2
Graf berarah merupakan gambaran yang paling tepat untuk relasi R  X dengan

aturan-aturan, sebagai berikut :
a. Setiap anggota himpunan X digambarkan dengan lingkaran
b. Graf berarah antara lingkaran menggambarkan adanya relasi antar anggota
himpunan, jadi pasangan-pasangan anggota himpunan tersebut termasuk dalam
relasi
Contoh 6 :

a1 prasyarat untuk semua bagian lain
a3 prasyarat untuk a5 dan a6
a6 bukan prasyarat untuk semua bagian lain

Gambar 2
Contoh 7 :
Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi
pada himpunan {a, b, c, d}.
R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

b

a

c

Gambar 3

d

2.3 Sifat-Sifat Relasi Biner
Suatu relasi biner yang didefinisikan dalam sebuat himpunan mempunyai beberapa sifat,
sebagai berikut :
a. Sifat Refleksif dan Irrefleksif
Definisi : (Sifat Refleksif)
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.
Kontraposisi : (Sifat Irrefleksif)
Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)
 R.

Contoh 8 :
Relasi “kenal dengan” bersifat refleksif
Relasi “mengagumi” bersifat irrefleksif
Contoh 9 :
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A,
maka relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat
refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2),
(3,3), dan (4, 4).
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat irrefleksif karena (3, 3)
 R.

Catatan :
 Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal
utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n

[ ]
1

1

⋱

Gambar 4
1
 Graf berarah dari relasi1 yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada
setiap simpulnya.
b. Sifat Simetrik dan Asimetrik
Definisi : (Sifat Simetrik)
Relasi R pada himpunan A disebut simetrik jika untuk semua a, b  A, jika

(a, b) 

R, maka (b, a)  R.
Kontraposisi : (Sifat Asimetrik)
Relasi R pada himpunan A asimetrik jika (a, b)  R sedemikian sehingga (b, a)  R.
Contoh 10 :
Relasi “=“ pada Z bersifat simetrik, karena a, b  Z , berlaku a=b  b=a

Relasi “≤” pada Z tidak simetrik, karena 1  2  2  1
Catatan :
 Relasi yang bersifat simetrik mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah
diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal
utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n.

[ ]
1

0

1

Gambar 5
0 berarah dari relasi yang bersifat simetrik dicirikan oleh, jika ada
 Sedangkan graf
busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

c. Sifat Anti-simetrik
Definisi :
Relasi R pada himpunan A disebut anti-simetrik jika untuk semua a, b  A, (a, b) 
R dan (b, a)  R hanya jika a = b.
Contoh 11 :

Relasi “0
d. Fungsi Eksponensial
n !=

Definisi :

{

1
a = a×a×⋯×a
⏟
n

, n=0
, n>0

n

e. Fungsi Logaritmik
Definisi :
Fungsi logaritmik berbentuk :
y  a log x  x  a y
f. Fungsi Rekursif
Definisi :
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya
sendiri.
Fungsi rekursif tersusun atas 2 bagian, yaitu :
a) Basis
Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini
juga sekaligus mengehentikan definisi rekursif.
b) Rekurens
Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri.
Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih
dekat ke nilai awal (basis)
Contoh 29 :
n! = 1  2  …  (n – 1)  n = (n – 1)!  n.

n !=

{

1
,n=0
n×( n−1)! , n>0

2.10. Operasi – Operasi Pada Fungsi
a. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Buah Fungsi
Definisi :
(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Contoh 30 :
f(x) = x2 + 1
g(x) = x + 6
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
= (x2 + 1) + (x + 6)
= x2 + x +7
b. Perkalian 2 Buah Fungsi
Definisi :
(f.g)(x) = f(x).g(x)
Contoh 31 :
f(x) = x2 + 1
g(x) = x + 6
(f.g)(x) = f(x).g(x)
= (x2 + 1).( x + 6)
= x3+6x2+x+6
c. Komposisi Fungsi
Definisi :

Komposisi fungsi dari fungsi f dan g dinyatakan oleh ( g o f ) atau g.f
Jika f : AB dan g : B  C, maka :
(g o f ) : A  C

( g o f )(a)  g ( f (a))
Contoh 32 :

Contoh 33 :
Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u,
v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y,
z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f  g = {(1, y), (2, y), (3, x) .

BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
 Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain.
Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah
dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari
perkalian kartesian.
 Fungsi adalah sebuah relasi biner dimana masing-masing anggota dalam himpunan A
(domain) hanya mempunyai 1 bayangan pada himpunan B (kodomain).
Notasi fungsi :
f : A B,
dibaca, f adalah fungsi dari A ke dalam B atau f memetakan A ke dalam B.

 Sifat-sifat relasi biner, antara lain:
a. Refleksif dan Irrefleksif
b. Simetrik dan Asimetrik
c. Anti-Simetrik
d. Transitif
 Suatu relasi dapat dikategorikan ke dalam beberapa jenis, antara lain:
 Relasi Ekivalen
 Relas Kompatibel
 Poset (Partially Ordered Set)
 Suatu fungsi dapat dikategorikan ke dalam beberapa jenis, antara lain :
 Fungsi Injektif (Satu-Satu)
 Fungsi Surjektif (Pada)
 Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-Satu)
 Fungsi Invers
 Fungsi Konstan
 Fungsi Floor dan Ceiling
 Fungsi Modulo
 Fungsi Faktorial
 Fungsi Eksponensial
 Fungsi Logaritmik
 Fungsi Rekursif
 Suatu relasi dapat direpresentasikan ke dalam :
 Diagram Panah
 Sistem Koordinat
 Tabel

 Himpunan



Matriks



Graf Berarah



Suatu fungsi dapat direpresentasikan ke dalam :



Himpunan Pasangan Terurut



Formulas Pengisian Nilai (Assignment)



Kata-Kata



Kode Program (Source Code)

Operasi-operasi dalam suatu relasi, antara lain :



Relasi Inversi



Komposisi Relasi



Mengkombinasikan Relasi

 Operasi-operasi dalam suatu fungsi, antara lain :
 Penjumlahan dan Pengurangan 2 Buah Fungsi
 Perkalian 2 Buah Fungsi
 Komposisi Fungsi

DAFTAR PUSTAKA
Jonhsonbaugh, Ricard.2001.”Discrete Mathematics”.New Jersey:Prentice Hall Int.
Munir, Rinaldi.2001.“Matematika Diskrit”.Bandung:Informatika.
Munir, Rinaldi.2003.“Materi Kuliah Matematika Diskrit”.Bandung :Informatika-ITB.
Rosen, Kenneth H.2003.”Discrete Mathematics and Application to Computer Science 5th
Edition”: Mc Graw-Hill.
Witala, Stephen A.1987.”Discrete Mathematics A Unified Approach”.Singapore:McGraw
Hill Int.
http://www.academia.edu/7150505/05_FUNGSI (diakses pada tanggal 22 Juni 2015)
http://haryanto-harrybae61gmailcom.blogspot.com/2012/06/representasi-relasi-kedalamgraf-dan.html (diakses pada tanggal 22 Juni 2015)
http://matdis06141.blogspot.com/2012/10/fungsi.html (diakses pada tanggal 22 Juni 2015)
http://matdisglutton.blogspot.com/2012/09/relasi-matematika-diskrit.html (diakses pada
tanggal 22 Juni 2015)
http://sulistiawan03.blogspot.com/2012/09/relasi_524.html (diakses pada tanggal 22 Juni
2015)
http://www.academia.edu/7150505/05_FUNGSI (diakses pada tanggal 22 Juni 2015)

http://www.slideshare.net/biangreen/materi-1-matriks-relasidanfungsi

(diakses

pada

tanggal 22 Juni 2015)
http://www.slideshare.net/taqwanuddin/makalah-relasi(diakses pada tanggal 22 Juni 2015)