RANK MATRIKS ADJACENCY DARI GRAF Ln X Pm Repository - UNAIR REPOSITORY

  ADJACENCY DARI GRAF RANK MATRIKS SKRIPSI NOVITA ADELIA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2012

  RANK MATRIKS ADJACENCY DARI GRAF SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Oleh : NOVITA ADELIA NIM. 080810550 Tanggal Lulus : 14 Agustus 2012 Disetujui Oleh : Pembimbing I Nenik Estuningsih,S.Si, M.Si NIP. 19720630 199702 2 001 Pembimbing II Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si NIP. 19641224 199102 2 001

  LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

  Judul : Rank Matriks Adjacency dari Graf Penyusun : Novita Adelia NIM : 080810550 Pembimbing I : Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si Pembimbing II : Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si Tanggal Seminar : 14 Agustus 2012

  Disetujui Oleh : Pembimbing I Pembimbing II

  Nenik Estuningsih,S.Si, M.Si Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si NIP. 19720630 199702 2 001 NIP. 19641224 199102 2 001

  Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika,

  Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga

  Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002 iii Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

  Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga

  iv

  KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

  Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Rank Matriks Adjacency dari Graf ”. Dalam penyusunannya, penyusun memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penyusun mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

  1. Kedua orang tua tercinta, Achwan Arif dan Siti Lailatul Badriyah, serta adik tersayang Dendy Adityawan P. yang telah memberikan dukungan, kasih sayang, harapan dan kepercayaan yang begitu besar.

  2. Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si dan Dra.Yayuk Wahyuni, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan banyak arahan, masukan, perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai harganya.

  3. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si selaku dosen penguji bersama Dr. Miswanto, yang telah memberikan saran-saran untuk kesempurnaan skripsi ini.

  4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan arahan dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa Matematika. v vi

  5. Segenap dosen Departemen Matematika Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan bimbingan dan masukan mulai dari awal hingga akhir masa perkuliahan.

  6. Mas Edi, mas Udin, mas Aziz, mas Khoni, Pak Budi dan segenap karyawan yang telah membantu memperlancar keperluan di kampus.

  7. Mas Indra Kurniawan dan keluarga yang telah banyak memberikan semangat dan motivasi. Terima kasih buat ketulusan dan kasih sayangnya.

  8. Sahabatku Faizah, Safiq, Mbak Mei, Zuda, Citra, Arifah, Mas Aga, Mas Hari yang banyak memberikan support .

  9. Teman-teman Matematika 2008 atas kekompakan dan rasa kekeluargaan yang begitu hangat.

  10. Gesty, Mbak Astrid dan teman-teman kos Hayu Karang Menjangan, Ani, Bayu, Vembri, Cahyono, dan teman-teman Nimsener, terima kasih atas dukungan dan hiburannya.

  11. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.

  Penyusun menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan, untuk itu mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini.

  Akhir kata, penyusun berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca. Wassalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

  Surabaya, Agustus 2012 Penyusun

  .

  Novita Adelia, 2012, Rank Matriks Adjacency dari Graf Skripsi ini di bawah bimbingan Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si dan Dra.YayukWahyuni, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

  ABSTRAK

  Graf dan matriks memiliki banyak peranan penting dalam kehidupan sehari- hari. Karena itulah banyak penelitian telah dilakukan mengenai graf, salah satunya adalah tentang rank matriks adjacencynya. Selama beberapa tahun terakhir sejumlah penelitian telah dilakukan mengenai rank matriks adjacency dari cross product dua graf khusus. Matriks adjacency dari graf dengan titik, adalah suatu matriks dengan jika titik terhubung dengan titik di dan jika titik dan tidak terhubung, dengan and adalah titik-titik di . Sedangkan rank adalah banyaknya baris atau kolom dari matriks tersebut yang bebas linier.

  Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menentukan hubungan antara

  rank

  matriks adjacency dengan rank matriks adjacency dari masing-masing graf tangga dan graf path . Sebelum menentukan bentuk umum dari matriks

  adjacency

  graf terlebih dahulu ditentukan bentuk umum dari matriks

  adjacency

  graf tangga . Selanjutnya untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf tangga dan graf digunakan program M-file MATLAB. Hasil program tersebut kemudian dianalisis sesuai dengan konsep aljabar. Dari hasil analisis diperoleh rumusan umum rank matriks adjacency dari graf tangga adalah untuk dan untuk dengan . Sementara dari hasil analisis rank matriks adjacency dari graf , tidak ditemukan keteraturan pola rank berdasarkan dan .

  Kata Kunci: Graf Tangga, Matriks Adjacency, Rank. _{Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita} vii

   Graph.

  Novita Adelia, 2012, The Rank of Adjacency Matrices from This final project is under advised by Nenik Estuningsih, S.Si, M.Si and Dra. Yayuk Wahyuni, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.

  ABSTRACT

  Graphs and matrices have many important roles in everyday life. That's why a lot of research has been done on the graph, one of which is about the rank of its adjacency matrix. During recent years numerous studies have been done regarding the rank of the adjacency matrix from the cross product of two special graphs. The adjacency matrix of a graph with vertices, is a matrix in which if vertex is adjacent to in and , otherwise, where and are vertices of . While rank is the number of rows or columns of the matrix which are linearly independent.

  The purpose of this final project is to determine the relationship between the rank of adjacency matrix from graph and the one from ladder graph and path respectively. Before determining the general form of adjacency matrix from graph, first we determine the general form of the adjacency matrix from ladder graph . Then, to determine the rank of the adjacency matrix from ladder graph and graph we use M-file MATLAB program. The results of the program is then analyzed according to the concepts of algebra. From the analysis we obtain the formula of the rank of adjacency matrix from ladder graph is for and for where . While, from the analysis of the rank of adjacency matrix from graph, it can’t be found the regularity of the pattern of rank according to and .

  Kata Kunci: Ladder Graph, Adjacency Matrix, Rank. _{Skripsi Rank Matriks Adjacency dari Graf Ln x Pm Adelia, Novita} viii

  DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................ ii LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................................... iv KATA PENGANTAR ........................................................................................ v ABSTRAK ........................................................................................................ vii ABSTRACT ..................................................................................................... viii DAFTAR ISI ...................................................................................................... ix DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... x DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xi

  BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

  1.1 Latar Belakang Masalah .......................................................................... 1

  1.1 Rumusan Masalah ................................................................................... 3

  1.2 Tujuan ..................................................................................................... 3

  1.3 Manfaat ................................................................................................... 3

  BAB II TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................... 4

  2.1 Graf ......................................................................................................... 4

  2.2 Matriks .................................................................................................... 6

  BAB III METODOLOGI PENELITIAN.......................................................... 15 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 18

  4.1 Rank Matriks Adjacency dari Graf Tangga .......................................... 18

  4.2 Rank Matriks Adjacency dari Graf ......................................... 33

  BAB V PENUTUP ............................................................................................ 46

  5.1 Kesimpulan ........................................................................................... 46

  5.2 Saran ...................................................................................................... 46 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 47 LAMPIRAN ix

  x

  DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Gambar Halaman

  1 Gambar 1 4

  2 Gambar 2 5

  3 Gambar 3 6

  4 Gambar 4 18

  5 Gambar 5a 33

  6 Gambar 5b 33

  7 Gambar 5c 34

  DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Lampiran

  1. Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf tangga dengan M-File MATLAB beserta outpunya pada command window.

  2. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf Tangga dengan

  3. Program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf dengan menggunakan bantuan M-File MATLAB beserta outputnya di

  command window .

  4. a. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan dan b. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan dan c. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan dan d. Tabel Rank Matriks Adjacency dari Graf dengan dan xi

  Teori graf merupakan bagian penting dari ilmu pengetahuan dan teknologi saat ini. Hal ini disebabkan teori graf banyak diaplikasikan pada berbagai macam bidang, di antaranya adalah kimia, fisika, biologi, teknik lingkungan, arsitektur, jaringan transportasi, riset operasi, teknik industri, teknik sipil, bahkan di bidang ekonomi. Karena alasan itu pula sejumlah penelitian telah dilakukan untuk mengembangkan teori-teori yang sudah ada sebelumnya.

  Salah satu penelitian yang banyak dilakukan adalah penelitian tentang keterhubungan suatu graf. Hal ini berkaitan erat dengan salah satu aplikasi graf dalam kehidupan sehari-hari yaitu untuk menentukan lintasan terpendek (shortest path) dengan ketentuan bahwa suatu titik harus terhubung dengan titik-titik yang lain.

  V G

  Graf G didefinisikan sebagai himpunan berhingga yang tidak

  E

  kosong yang anggota-anggotanya disebut titik (vertice) dan himpunan G yang mungkin kosong, yang anggota-anggotanya terdiri dari himpunan bagian

  V

  dari G dengan dua elemen dan disebut garis (edge). Sebuah graf dapat disajikan dalam suatu matriks yang dinamakan matriks adjacency (matriks keterhubungan) dengan baris dan kolomnya menyatakan titik – titik graf dan elemen matriks menyatakan keterhubungan antar titik graf tersebut. Jika kedua titik dalam graf tersebut terhubung maka elemen matriks tersebut bernilai 1

  1

  2 dan jika kedua titik dalam graf tersebut tidak terhubung maka elemennya bernilai 0.

  Rank matriks adalah banyaknya baris atau kolom dari matriks tersebut yang bebas linier. Penelitian tentang rank matriks adjacency dari graf khusus (graf sikel, lengkap, bintang dan path) serta join dua graf khusus telah dilakukan oleh Estuningsih (2008). Selain operasi join, dalam graf juga terdapat operasi hasil kali kartesian antara dua graf (cross product), yaitu graf yang terbentuk dari keterhubungan antar setiap titik-titik pada dua graf.

  Penelitian tentang rank matriks adjacency hasil cross product graf path dengan graf sikel telah dilakukan oleh Handayani (2011). Penelitian tentang rank matriks adjacency hasil cross product graf star dengan graf sikel telah dilakukan oleh Latifah (2011). Sedangkan penelitian tentang rank matriks

  adjacency

  hasil cross product graf sikel dengan graf sikel telah dilakukan oleh Istiqomah (2012). Berdasarkan uraian tersebut peneliti tertarik untuk melanjutkan penelitian menentukan rank dari matriks adjacency hasil cross

  product

  dua graf yang merupakan pengembangan dari graf-graf khusus yang telah disebutkan di atas. Graf yang digunakan adalah graf tangga dan graf path dengan ordo . Graf tangga sendiri adalah graf hasil cross

  product

  dari graf path berordo dengan graf , dengan kata lain (Ngurah, dkk, 2010). Selanjutnya akan diteliti mengenai hubungan antara rank matriks adjacency dari graf hasil cross product antara graf tangga dan graf path dengan rank matriks adjacency dari masing-masing graf tangga dan graf path dan kemudian dianalisis menurut konsep aljabar.

  3

  1.2 Rumusan Masalah

  Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana hubungan rank matriks adjacency graf tangga , dan graf path dengan rank matriks

  adjacency

  dari graf ?

  1.3 Tujuan

  Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah menentukan hubungan rank matriks adjacency graf tangga , dan graf path dengan rank matriks adjacency dari graph .

  1.4 Manfaat

  Manfaat dari tulisan ini diharapkan dapat menambah keluarga graf yang sudah diketahui rank matriks adjacencynya. Selain itu, informasi yang didapat dari penulisan ini akan membantu penelitian lebih lanjut tentang matriks

  adjacency dari cross product antara dua graf khusus yang lain. didefinisikan sebagai himpunan berhingga yang tidak kosong yang anggota-anggotanya disebut titik (vertice) dan himpunan yang mungkin kosong, yang anggota-anggotanya terdiri dari himpunan bagian dari dengan dua elemen dan disebut garis (edge).

  Elemen dari dinotasikan dengan dan elemen dari dinotasikan dengan . Jika terdapat garis yang menghubungkan titik dan , maka dikatakan adjacent dengan , dalam hal ini titik dan dikatakan

  incident dengan .

  (Chartrand dan Oellerman, 1993) v e v

  2

  2

  3 e ⁸ e

  6 e

  1 e

  7 e

  3 v

  4 v

  1 e ⁹ e

  4 v

v e

⁵

  5

  6 Gambar 1. Graf

  Contoh 1 : Pada Gambar 1 graf terdiri dari dan .

  4

  Definisi 2.2

  Jumlah titik dalam sebuah graf dinamakan ordo (order) dari , dan jumlah garis dalam graf dinamakan ukuran (size) dari . Ordo dari dapat ditulis dan ukuran dari dapat ditulis .

  (Chartrand dan Oellerman, 1993) Definisi 2.3 Perjalanan ( walk)

  dari graf adalah rangkaian secara bergantian elemen dan elemen yang berbentuk yang diawali dan diakhiri dengan titik, sehingga setiap garisnya incident dengan dua titik terdekat sebelum dan sesudahnya. Penulisan dapat disingkat menjadi .

  Panjang walk adalah banyaknya garis dalam walk tersebut.

  (Chartrand dan Oellerman, 1993) Definisi 2.4 Lintasan ( Path ) adalah walk yang semua titiknya berbeda.

  Graf path

  merupakan graf dengan ordo yang merupakan lintasan. Graf

  path dengan ordo n dinotasikan dengan .

  (Chartrand dan Oellerman, 1993) v ^{1 v}

^{2 v}

^{3 v 4 v 5} Gambar 2

  Contoh 2 : Pada Gambar 2, merupakan titik-titik pada graf path yang dinotasikan dengan .

  Definisi 2.5 Hasil kali kartesian ( cross product)

  dua graf dan dinotasikan dengan didefinisikan sebagai graf yang memiliki himpunan titik

   ,

  dan dua titik dan adjacent pada jika hanya jika

  2

  dan E(G ) , atau

  1

  dan E(G ) (Chartrand dan Oellerman, 1993)

  Gambar 3 Contoh 3 : Pada Gambar 3, merupakan titik-titik pada graf hasil cross pruduct graf path berordo 3 dengan graf path berordo 2 yang dinotasikan dengan .

  Definisi 2.6 Graf tangga

  ( ) merupakan hasil cross product dari graf path berordo n dengan graf path berordo dua, atau dapat ditulis .

  (Ngurah, dkk, 2010)

  Bahasan mengenai matriks dapat menyangkut banyak hal, mulai dari jenis- jenisnya hingga komponen-komponen yang ada di dalamnya. Salah satu jenis matriks yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah matriks simetri yang dijelaskan dalam definisi berikut

  Definisi 2.7 Matriks simetri

  merupakan sebuah matriks persegi yang hasil transposenya adalah dirinya sendiri . Dengan kata lain untuk setiap baris ke-i dan kolom ke-j dengan dan berlaku

  , dengan ) menyatakan elemen ke – dari matriks .

  (Jacob, 1990)

  Selain jenis-jenis matriks, bahsan mengenai matriks juga menyangkut komponen-komponen di dalamnya, seperti ruang baris, ruang kolom, dan rank.

  Sebelum membahas tentang rank terlebih dahulu diberikan definisi mengenai operasi baris elementer, ruang baris, dan ruang kolom, serta basis dan dimensi.

  Definisi 2.8

  Diberikan sebarang matriks berukuran , sebuah operasi

  baris [kolom] elementer

  yang diterapkan pada matriks adalah salah satu dari aturan berikut: i. Menukar baris [kolom] ke-i dan baris [kolom] ke-j, dinyatakan dengan

  b ij ij [k ]. l

  ii. Menggandakan setiap elemen baris [kolom] ke i dengan skalar , _{i (l) i (l)} dinyatakan dengan b [k ]. iii. Menambahkan l kali elemen-elemen baris [kolom] ke-j (l skalar) _{ij (l) ij (l)} kepada baris [kolom] ke-i, dinyatakan dengan b [k ].

  (Friedberg, Insel dan Spence, 2003) Definisi 2.9 Matriks Elementer

  adalah matriks yang didapat dari matriks identitas berukuran dengan satu operasi baris elementer.

  (Jacob, 1990)

  Teorema 2.10

  Diberikan matriks berukuran dan matriks yang diperoleh dari dengan satu operasi baris elementer, maka terdapat sebuah matriks elementer berukuran yang memenuhi , dimana diperoleh dari sebuah matriks identitas berukuran dengan operasi baris elementer yang sama yang diterapkan pada untuk mendapatkan . Sedangkan jika matriks yang diperoleh dari dengan satu operasi kolom elementer, maka terdapat sebuah matriks elementer berukuran yang memenuhi , dimana diperoleh dari sebuah matriks identitas berukuran dengan operasi kolom elementer yang sama yang diterapkan pada untuk mendapatkan .

  (Friedberg, Insel dan Spence, 2003) Teorema 2.11

  Setiap matriks elementer mempunyai invers, dan invers dari matriks elementer adalah matriks elementer.

  (Jacob,1990) Definisi 2.12

  Misalkan adalah sebuah matriks berukuran atas bilangan real. Ruang bagian dari ruang vektor yang dibangun oleh baris-baris dalam matriks disebut sebagai ruang baris dari , dan dinotasikan row( ). Sedangkan ruang bagian dari ruang vektor yang dibangun oleh kolom-kolom dalam matriks disebut sebagai ruang kolom dari , dan dinotasikan col( ).

  Ruang bagian dari yang berisi semua penyelesaian dari disebut ruang

  null dari , dan dinotasikan ker( ). (Jacob, 1990) Definisi 2.13

  Suatu vektor dapat disebut sebagai kombinasi linier (linear

  combination

  ) dari vektor-vektor , jika dapat dinyatakan sebagai jumlahan berhingga yang berbentuk . dengan merupakan skalar,

  (Jacob, 1990) Definisi 2.14

  Sebuah himpunan vektor-vektor dikatakan bebas

  linier ( linearly independent)

  jika mengakibatkan skalar .

  (Jacob, 1990) Definisi 2.15

  Himpunan semua kombinasi linier dari disebut ruang bagian yang dibangun oleh dan dinotasikan atau span . Dalam hal ini dikatakan sebagai pembangun atau generator dari span .

  (Jacob, 1990) Definisi 2.16

  Himpunan vektor-vektor disebut basis dari ruang vektor jika : i. bebas linier. ii. = span Banyaknya vektor dalam suatu basis disebut dimensi.

  (Jacob, 1990) Teorema 2.17

  Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.

  (Jacob, 1990)

  Dalam teori matriks, dikenal suatu bentuk matriks yang dinamakan bentuk eselon baris tereduksi. Bentuk ini didapatkan dengan cara melakukan sejumlah operasi baris elementer tertentu pada suatu matriks. Berdasarkan Teorema 2.17, ruang baris dari suatu matriks adalah sama dengan ruang baris dari bentuk eselon baris terduksinya, sehingga dapat dicari basis dari ruang baris dan ruang kolom suatu matriks dengan menggunakan bantuan dari bentuk eselon baris tereduksinya. Sehingga hal tersebut dituliskan dalam teorema berikut

  Teorema 2.18

  Misalkan adalah matriks berukuran dan adalah bentuk eselon baris tereduksi dari , maka i. Basis dari row( ) adalah baris-baris tidak nol dari . ii. Basis dari col( ) adalah kolom-kolom yang bersesuaian dengan kolom-kolom yang memuat 1 utama pada .

   (Jacob, 1990) Definisi 2.19

  Misalkan adalah matriks berukuran , rank dari matriks adalah dimensi dari ruang baris atau ruang kolom , dinotasikan dengan

  rk( ) .

  (Jacob, 1990)

  Berdasarkan teorema 2.18, dari definisi di atas didapatkan

  Akibat 2.20

  Rank matriks adalah jumlah baris dalam matriks tersebut yang saling bebas linier.

   (Abadir dan Magnus, 2005)

  Teorema 2.21

  Misalkan merupakan matriks berukuran . Jika dan merupakan matriks yang mempunyai invers yang masing-masing berukuran dan maka berlaku:

  a. rank rank

  b. rank rank

  c. rank rank

  (Friedberg, Insel dan Spence, 2003)

  Dalam aplikasinya di kehidupan sehari-hari, sering dijumpai matriks dengan ukuran dan yang besar. Hal tersebut tentu menyulitkan dalam melakukan analisis terhadap matriks tersebut. Maka dari itu matriks yang berukuran besar tersebut dapat dijadikan matriks dengan ukuran yang lebih kecil, dengan cara mempartisinya menjadi beberapa blok baris dan blok kolom. Secara detail penggambaran matriks partisi dijelaskan dalam definisi berikut

  Definisi 2.22 Matriks partisi

  (blok) merupakan matriks yang terdiri dari submatriks-submatriks dan terpartisi menjadi blok baris dan blok kolom, berbentuk Submatriks-submatriks yang terletak pada satu blok kolom, memiliki jumlah kolom yang sama. Submatriks-submatriks yang terletak pada satu blok baris, memiliki jumlah baris yang sama.

   (Abadir dan Magnus, 2005)

  Jika dalam matriks dikenal operasi baris elementer, maka dalam matriks partisi juga berlaku operasi yang analog dengan operasi baris elementer, yang dinamakan operasi blok baris elementer. Bedanya, dalam operasi blok baris elementer tidak dilakukan operasi pertukaran blok baris, perkalian blok baris dengan skalar, atapun penjumlahan suatu blok baris dengan blok baris yang lain seperti dalam operasi baris elementer. Dalam operasi blok baris elementer setiap operasinya diwakili oleh perkalian matriks tersebut dengan suatu matriks blok elementer tertentu yang didefinisikan sebagai berikut

  Definisi 2.23

  Operasi blok baris elementer pada matriks partisi yang berbentuk

  A B

=

  C D

  didefinisikan sebagai: 1. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer .

  2. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer 3. Mengalikan dari kiri dengan matriks blok elementer .

   (Abadir dan Magnus, 2005) Teorema 2.24

  Misalkan Z ^{1 merupakan matriks partisi yang berbentuk}

  A B Z = ₁ C D _{1 1} CA B

  dengan A matriks non singular, maka rk(Z ) = rk(A) + rk(D )

   (Abadir dan Magnus, 2005)

  Akibat 2.25

  Misalkan Z ² merupakan matriks partisi yang berbentuk

  Z

^{2 =}

D O B A

  dengan A matriks non singular, maka rk(Z ² ) = rk(A) + rk(D).

   (Abadir dan Magnus, 2005)

  Bahasan mengenai graf dan matriks tentu tidak lepas dari suatu bentuk matriks yang disebut matriks keterhubungan atau yang sering disebut dengan matriks adjacency. Penjelasan mengenai matriks keterhubungan dituliskan dalam definisi berikut

  Definisi 2.26 Matriks Keterhubungan ( Adjacency Matrix)

  sebuah graf adalah suatu matriks dengan baris dan kolomnya menyatakan titik – titik graf dan elemen matriks menyatakan keterhubungan antar titik graf tersebut. Jika kedua titik dalam graf tersebut terhubung maka elemen matriks tersebut bernilai 1 dan elemennya bernilai 0 jika kedua titik dalam graf tersebut tidak terhubung. Matriks adjacency merupakan matriks simetri.

   (Foulds, 1992)

  Contoh 4 : Graf pada Gambar 1 dapat disajikan dalam matriks adjacency , yaitu

  Teorema 2.27

  Misalkan matriks merupakan matriks adjacency dari graf path berordo . Untuk sebarang dengan , bentuk umum adalah:

  , , dengan

   (Estuningsih dan Wahyuni, 2008)

  Contoh :

  Teorema 2.28

  Rank matriks adjacency graf path bernilai untuk genap dan bernilai untuk gasal.

  (Estuningsih dan Wahyuni, 2008) Definisi 2.29 Algoritma

  adalah suatu himpunan langkah-langkah atau instruksi yang telah dirumuskan dengan baik (well defined) untuk memperoleh suatu keluaran khusus (spesific output) dari suatu masukan khusus (spesific input) dalam langkah yang jumlahnya berhingga.

  (Chartrand and Oellerman, 1993 ) dalam penelitian ini adalah:

  1. Mengkaji hasil penelitian sebelumnya tentang hubungan antara graf path dengan matriks adjacencynya serta rumusan umum untuk rank matriksnya.

  2. Menggambarkan graf tangga sebagai hasil cross product dari graf dengan graf .

  3. Menentukan pola penomoran titik-titik pada graf tangga yang terbentuk pada langkah 2 dan menyajikannya dalam matriks adjacency .

  4. Mengulangi langkah 2 dan 3 untuk graf .

  5. Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf tangga.

  6. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 5 untuk graf tangga dengan .

  7. Membuat algoritma dan program dari bentuk umum matriks adjacency graf tangga dengan bantuan M-file MATLAB untuk menentukan bentuk matriks

  adjacency

  dari graf dan menghitung ranknya dengan bantuan paket program dari software MATLAB.

  8. Mengulangi langkah 7 dengan memasukkan nilai .

  9. Menggunakan hasil pada langkah 7 untuk menentukan rumusan umum rank matriks adjacency dari graf tangga.

  10. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 8 untuk graf tangga dengan .

  15

  11. Menggambarkan graf sebagai hasil cross product dari graf dengan graf .

  12. Menentukan pola penomoran titik-titik pada graf yang terbentuk pada langkah 11 dan menyajikannya dalam matriks adjacency .

  13. Mengulangi langkah 11 dan 12 untuk graf .

  14. Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf .

  15. Mengulangi langkah 13 dan 14 dengan mengubah nilai (ordo graf path) dengan .

  16. Menentukan bentuk umum dari matriks adjacency graf .

  17. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 15 untuk graf dengan .

  18. Membuat algoritma dan program dari bentuk umum matriks adjacency graf dengan bantuan M-file MATLAB untuk menentukan bentuk matriks adjacency dari graf dan menghitung ranknya dengan bantuan paket program dari software MATLAB.

  19. Mengulangi langkah 17 dengan memasukkan nilai .

  20. Menggunakan hasil pada langkah 19 untuk menentukan rumusan umum rank matriks adjacency dari graf .

  21. Mengulangi langkah 18 dan 19 dengan memasukkan nilai .

  22. Menggunakan hasil pada langkah 21 untuk menentukan rumusan umum rank matriks adjacency dari graf .

  23. Menguji hasil yang diperoleh pada langkah 22 untuk graf dengan .

  24. Menganalisis dan menyimpulkan hubungan antara rank matriks adjacency graf dengan rank matriks adjacency graf tangga dan graf path sesuai dengan konsep aljabar.

  adjacency

  dari graf dengan rank matriks adjacency dari graf tangga dan graf path. Sejauh ini peneliti hanya menemukan literatur mengenai rumusan umum rank matriks adjacency dari graf path. Jadi, sebelum menentukan hubungan antara rank matriks adjacency dari graf dengan rank matriks

  adjacency

  dari graf tangga dan graf path, terlebih dahulu akan dicari bentuk umum matriks adjacency dari graf tangga dan graf serta rumusan umum ranknya.

  Berdasarkan Definisi 2.6, graf tangga ( ) merupakan hasil cross product dari graf path berordo n dengan graf path berordo dua, atau dapat ditulis . Dalam tulisan ini disebut panjang graf tangga atau dapat dikatakan terdiri dari anak tangga.

  Contoh : Gambar 4.

  Panjang graf tangga adalah 3, sehingga dapat dikatakan graf terdiri dari 3 anak tangga.

  18

  ,

  Misalkan adalah matriks adjacency dari graf tangga maka ada banyak bentuk tergantung pada cara penamaan titik-titiknya. Sebagai contoh untuk penamaan graf dan dapat dilakukan dengan beberapa cara, di antaranya adalah : a) berdasarkan aturan ini diperoleh Dengan rank dan rank

  b) berdasarkan aturan ini diperoleh Dengan rank dan rank

  c) berdasarkan aturan ini diperoleh dengan rank dan rank

  d) berdasarkan aturan ini diperoleh Dengan rank dan rank Perbedaan bentuk matriks-matriks adjacency tersebut merupakan akibat dari perbedaan penomoran titik-titik pada graf tangga, dan perbedaan aturan penamaan pada graf tangga tersebut sebenarnya hanyalah pertukaran posisi antar titiknya. Dalam matriks adjacencynya, pertukaran posisi antar titik tersebut diwakili oleh pertukaran baris dan kolom. Jadi, setiap matriks adjacency dari suatu graf tangga dapat diperoleh dari matriks adjacency lain dari graf tangga yang sama dengan melakukan berhingga banyak pertukaran baris dan kolom. Pertukaran baris dan kolom ini dipresentasikan oleh perkalian matriks-matriks permutasi atau matriks elementer jenis pertukaran baris dan kolom.

  Misalkan dan masing-masing adalah matriks adjacency dari graf dengan aturan penomoran titik yang berbeda. Berdasarkan penjelasan di atas, dapat diperoleh dari yang dikenai berhingga banyak operasi pertukaran baris dan kolom. berdasarkan Teorema 2.10, hubungan antara dan ini dapat ditulis sebagai berikut : dengan adalah perkalian berhingga matriks permutasi baris dan adalah perkalian berhingga matriks permutasi kolom. . Karena masing-masing matriks permutasi tersebut nonsingular, maka dan juga nonsingular. Sehingga berdasarkan Teorema 2.21: rank rank , sehingga rank rank

  Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa perbedaan urutan penomoran titik-titik pada graf tangga hanya mempengaruhi bentuk matriks

  adjacency nya saja, tetapi tidak berpengaruh terhadap nilai ranknya.

  Walaupun setiap aturan akan menghasilkan nilai rank yang sama, tetap harus dipilih satu aturan yang paling efektif untuk penamaan titik-titik pada graf tangga. Tujuannya adalah untuk mempermudah dalam menentukan rumusan umum matriks adjacency dari graf tangga tersebut. Dari beberapa aturan di atas dipilih aturan penamaan b yang secara umum membentuk pola sebagai berikut :

  Penamaan dimulai dari pojok kiri atas dilanjutkan ke kanan sampai titik ke- kembali lagi ke titik pojok bawah dan berlanjut ke kanan lagi sehingga titik terletak tepat di atas titik .

  Berdasarkan aturan penamaan tersebut, penyajian matriks dapat ditulis dalam bentuk matriks partisi sebagai berikut:

  . . .

  Sehingga dapat disimpulkan bahwa rumusan umum matriks adjacency graf tangga adalah dengan adalah matriks adjacency dari graf path dan adalah matriks indentitas.

  Matriks adjacency dari graf tangga dapat juga dinyatakan dengan bentuk , , yang didefinisikan sebagai berikut : dengan

  . Adapun program untuk menentukan rank matriks adjacency dari graf tangga disajikan pada Lampiran 1. Dari running program tersebut dengan memasukkan banyaknya yang berbeda-beda diperoleh beberapa rank matriks

  adjacency

  sesuai dengan . Selanjutnya hasil rank tersebut dinyatakan dalam tabel rank dengan yang disajikan pada Lampiran 2. Dari tabel tersebut dapat diperoleh rumusan rank matriks adjacency dari graf tangga berdasarkan banyaknya . Dari hasil perumusan rank tersebut terlihat bahwa terdapat matriks

  adjacency

  yang mempunyai rank penuh dan juga terdapat matriks adjacency yang mempunyai rank tidak penuh. Pada matriks adjacency yang mempunyai rank penuh, semua baris-barisnya bebas linear. Sedangkan pada matriks adjacency yang mempunyai rank yang tidak penuh terdapat baris yang bergantung linear dimana baris tersebut merupakan kombinasi linear dari baris-baris yang lain. Untuk mengetahui baris manakah yang bergantung linear pada suatu matriks, perlu dilakukan pengecekan pada setiap baris dalam matriks tersebut. Selanjutnya perumusan tersebut disajikan sebagai teorema berikut.

  Teorema 4.1

  Misalkan merupakan matriks adjacency dari graf tangga dengan , maka

  (i) untuk , dan (ii) untuk .

  Bukti.

  (i) Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika atas . Diketahui matriks adjacency berukuran . Jika rank , berarti terdapat dua baris yang merupakan kombinasi linier dari baris-baris yang lain. Dengan menggunakan induksi matematika akan ditunjukkan bahwa rumus benar dengan sebagai variabelnya.

  Pangkal. Untuk , maka . Bentuk adalah Dari matriks tersebut terlihat bahwa baris pertama sama dengan baris keempat dan baris kedua sama dengan baris ketiga. Baris pertama dan baris kedua saling bebas linier, sehingga rank( .

  Langkah. Misalkan rumusan benar untuk , maka . Dalam hal ini matriks berukuran dan rank

  . Bentuk umum dari adalah Dari matriks tersebut diperoleh dua baris yang merupakan kombinasi linear dari baris-baris yang lain yaitu baris yang pertama dan baris ke- , dalam hal ini adalah baris ke- ). Rumusan baris yang merupakan kombinasi linear dari baris-baris yang lain pada matriks adjacency graf tangga tersebut dinyatakan sebagai berikut _o

  ,

  Untuk maka

  Untuk maka Selanjutnya akan dibuktikan rumus benar untuk , yaitu rank

  o ,

  . Graf dapat diperoleh dari graf dengan menambahkan 3 anak tangga, yang berarti penambahan 6 titik pada graf tangga tersebut. Berdasarkan aturan penamaan graf tangga, titik-titik yang ditambahkan tersebut akan dinamai dan , dengan adjacent dengan , adjacent dengan , dan

  adjacent dengan .

  Berdasarkan aturan di atas, maka matriks dibentuk dari dengan penambahan 6 baris dan 6 kolom sebagai berikut dengan dan adalah baris yang ditambahkan, serta dan adalah kolom yang ditambahkan. Dengan demikian ukuran dari matriks adalah . Bentuk matriks di atas dapat juga dinyatakan sebagai

  Berdasarkan bentuk tersebut dapat dipastikan bahwa baris-baris pada bukan merupakan kombinasi linier dari baris ke- dan baris-baris di atasnya.

  Baris-baris pada tersebut juga bukan merupakan kombinasi linier dari baris- . baris di bawahnya, yaitu baris di bawahnya, maupun baris-baris pada Begitu pula dengan baris –baris pada yang bukan merupakan kombinasi linier dari baris di atas dan baris di bawah .

  Selain itu, penambahan 6 baris serta 6 kolom tersebut tidak mengubah pola umum dari matriks , sehingga posisi baris-baris yang tidak bebas linier juga tidak berubah. Baris-baris tersebut adalah baris pertama yang dinotasikan dengan dan baris ke- , dalam hal ini adalah baris ke- yang dinotasikan dengan . Rumusan baris yang merupakan kombinasi linear dari baris-baris yang lain tersebut dinyatakan sebagai berikut _o

  ,

  Untuk maka

  Untuk maka sehingga untuk terdapat dua baris yang bergantung linier dengan baris- baris yang lain. Dengan demikian banyaknya baris-baris yang bebas linier adalah , sehingga rank .

  o ,

  (ii) Untuk akan dicari nilai rank dari masing-masing untuk dan . Diketahui bentuk umum dari adalah Untuk menghitung rank dilakukan perkalian dengan matriks blok elementer sebagai berikut:

  1. Mengalikan dengan matriks blok elementer , yaitu Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka, rank = rank

  2. Mengalikan matriks hasil operasi pada langkah 1 dengan matriks blok elementer , yaitu Berdasarkan Teorema 2.21, karena adalah matriks nonsingular, maka rank = rank .

  Dari langkah 1 dan 2 di atas diperoleh rank = rank . Berdasarkan Akibat 2.25, rank rank rank , sehingga rank rank rank . Diketahui rank , sehingga untuk menghitung rank terlebih dahulu akan dicari rank dari matriks .

  Bentuk umum dari matriks adalah Matriks dapat juga dinotasikan dengan , dengan Untuk menghitung rank dari dilakukan serangkaian operasi baris elementer untuk membawa ke dalam bentuk matriks segitiga atas.

  Rangkaian operasi baris elementer ini dibedakan menjadi dua, yaitu untuk dan +1.

  Untuk , algoritmanya adalah sebagai berikut: 1. a. menukar baris pertama dengan baris ke-3

  b. menukar baris ke- dengan baris ke-( sehingga bentuk menjadi 2. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , dengan

  b. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , dengan c. menukar baris ke- dengan baris ke- , dengan 3. mengulangi langkah 2 untuk sehingga bentuk menjadi 4. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke-

  b. baris ke- dikurangi dengan baris ke- sehingga bentuk menjadi Untuk , algoritmanya adalah sebagai berikut: 1. a. menukar baris pertama dengan baris ke-3

  b. menukar baris ke- dengan baris ke-( sehingga bentuk menjadi 2. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , untuk

  b. baris ke- dikurangi dengan baris ke- , untuk

  c. menukar baris ke- dengan baris ke- , untuk 3. a. mengulangi langkah 3.a untuk

  b. mengulangi langkah 3.b untuk

  c. mengulangi langkah 3.c untuk sehingga bentuk menjadi 4. a. baris ke- dikurangi dengan baris ke-

  b. baris ke- dikurangi dengan baris ke- sehingga bentuk menjadi Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rank rank . Karena operasi baris elementer tidak mengubah nilai rank, maka rank ,

  ,

  rank rank sehingga rank rank rank .

  Hasil yang didapat dari analisis mengenai matriks adjacency graf tangga di atas selanjutnya digunakan untuk menentukan bentuk umum matriks adjacency dari graf hasil cross product graf tangga ( ) dengan graf path berordo ( ) yang dapat dinotasikan dengan , serta rumusan umum ranknya.

  Gambar 5a. Gambar 5b.

  Gambar 5c. Misalkan matriks adjacency dari graph dinotasikan dengan dengan merupakan panjang graf tangga dan merupakan ordo dari graf

  path

  . Seperti graf tangga, graf pada Gambar 5a, 5b, dan 5c juga dapat disajikan dalam banyak matriks adjacency tergantung pada penentuan titik awal serta urutan penempatan titik-titik pada baris dan kolom. Walaupun terdapat banyak matriks adjacency dari graf tersebut, semua nilai ranknya tetap sama.