PENDEKATAN NUMERIK KONTROL SISTEM PILOT OTOMATIS UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT DENGAN METODE PARKER-SOCHACKI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENDEKATAN NUMERIK KONTROL SISTEM PILOT
OTOMATIS UNTUK GERAK LONGITUDINAL
PESAWAT DENGAN METODE PARKER-SOCHACKI
SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika oleh
NIKEN SAWITRI NIM: 073214001
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2011
NUMERICAL APPROACH FOR AUTOMATIC CONTROL
OF THE LONGITUDINAL MOTION OF FLIGHT SYSTEM
SCRIPTION Presented as Partial Fulfillment for the Requirement to Obtain the Sarjana Science in Physics Department by
NIKEN SAWITRI NIM : 073214001
PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE DAN TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2011
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
USING PARKER-SOCHACKI METHODS
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
tiada burung yang terbang terlalu tinggi saat dia
terbang dengan sayapnya sendiri usaha yang tanpa menyerah jauh lebih berharga dibanding hasil yang gemilang
Saya persembahkan karya ini kepada
Orang tua dan Kakak tercinta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
PENDEKATAN NUMERIK KONTROL SISTEM PILOT OTOMATIS
UNTUK GERAK LONGITUDINAL PESAWAT DENGAN METODE
PARKER-SOCHACKI
Telah dilakukan pendekatan numerik menggunakan metode Parker-Sochacki untuk melakukan simulasi kontrol gerak longitudinal dan respon sistem pesawat Boeing 747 yang didesain dengan metode ruang keadaan. Sistem tersebut mendapatkan gangguan angin yang konstan sehingga keadaan sistem berubah-ubah. Hasil yang diperoleh dari pendekatan numerik ini lebih akurat dibandingkan terhadap pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta untuk interval waktu yang sama. Untuk tingkat akurasi yang sama, metode Parker-Sochacki membutuhkan waktu yang lebih singkat untuk menyelesaikan simulasi kontrol dan respon pesawat tersebut. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
NUMERICAL APPROACH FOR AUTOMATIC CONTROL OF THE
LONGITUDINAL MOTION OF FLIGHT SYSTEM USING PARKER-
SOCHACKI METHODS
Numerical approach using Parker-Sochacki method was done for simulating control of longitudinal motion and respond of the Boeing 747 aircraft system that designed using the state space method. The system undergoes constantly gust disturbances such that the state of the system changes continuously. The result of Parker-Sochacki numerical approach is more accurate than the numerical approach using Runge-Kutta method for the same time interval. For the same level of accuracy, the Parker-Sochacki method need less time than the Runge-Kutta method for simulating the control and respond of the aircraft.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HalamanHALAMAN JUDUL ................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................... iv
HALAMAN MOTTO .................................................................................. v
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................... vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA
ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ....................................... vii
ABSTRAK .................................................................................................. viii
ABSTRACT ................................................................................................ ix
KATA PENGANTAR ................................................................................. x
DAFTAR ISI ............................................................................................... xii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................... xv
BAB I PENDAHULUAN .................................................................1
1.1. Latar Belakang Masalah .............................................
2.3. Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta
Orde Empat ................................................................3.4. Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat Sebagai Pembanding ..................................................
21
20 3.3. Penerapan Metode Parker-Sochacki ...........................
3.2. Penyelesaian Analitik Sistem Kontrol Pilot Otomatis Sebagai Pembanding ..................................................
17
17 3.1. Desain Sistem Kontrol Pilot Otomatis ........................
12 BAB III METODE PENELITIAN ......................................................
10 2.4. Persamaan Gerak Longitudinal Pesawat .....................
9
1 1.2. Rumusan Masalah ......................................................
2.2. Pendekatan Numerik dengan Metode Parker- Sochacki ....................................................................
6
6 2.1. Sistem Kontrol ...........................................................
5 BAB II DASAR TEORI ....................................................................
4 1.6. Sistematika Penulisan ................................................
4 1.5. Manfaat Penelitian .....................................................
3 1.4. Tujuan Penelitian .......................................................
3 1.3. Batasan Masalah ........................................................
24 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3.5. Algoritma ..................................................................
26 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ..............................................
29
4.1. Komputasi Penyelesaian Analitik Sistem Kontrol Pilot Otomatis untuk Penerbangan ......................................
30
4.2. Pendekatan Numerik Sistem dengan Gangguan dan Tanpa Kontrol ............................................................
34
4.3. Pendekatan Numerik Sistem Terkontrol dengan
Gangguan Bervariasi dengan Metode Parker-Sochacki36
4.4. Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta Sebagai Pembanding ..................................................
44 BAB V KESIMPULAN .....................................................................
51 5.1. Kesimpulan ................................................................
51 5.2. Saran .........................................................................
52 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................
53 Lampiran .....................................................................................................
54 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 : Grafik pendekatan Runge-Kutta ........................................12 Gambar 2.2 : Gambar arah gerak pesawat ...................................................
15 Gambar 3.1 : Algoritma penyelesaian analitik sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan .............................................
26 Gambar 3.2 : Algoritma pendekatan numerik penyelesaian sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan dengan metode Parker-Sochacki ................................................................
27 Gambar 3.3 : Algoritma pendekatan numerik penyelesaian sistem kontrol pilot otomatis untuk penerbangan dengan metode Runge-Kutta .....................................................................
28 Gambar 4.1 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) dengan penyelesaian analitik .........................................................
31 Gambar 4.2 : Perbandingan penyelesaian analitik, pendekatan numerik Parker-Sochacki, dan pendekatan numerik Runge-Kuta ....
32 Gambar 4.3 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) tanpa kontrol berdasarkan persamaan 4.2 dan 4.3 ........................
35 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.4 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) dan elevatorGambar 4.8 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) dan elevator45 Gambar 4.11 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) untuk ℎ = 0,01 s .........................................................................
Gambar 4.10 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) untuk ℎ = 0,1 s43 = 100 ft/s, = 100 ft/s, dan
−2 derajat/s ...................................................
( ∆ ) untuk R = 1 × 10
Gambar 4.9 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) dan elevator42 = 100 ft/s, = 100 ft/s, dan
−3 derajat/s....................................................
( ∆ ) untuk R = 1 × 10
41 = 100 ft/s, = 100 ft/s, dan
( ∆ ) tanpa gangguan angin, dengan kontrol .....................
−4 derajat/s ....................................................
( ∆ ) untuk R = 1 × 10
Gambar 4.7 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) dan elevator39 = 500 ft/s, = 500 ft/s, dan
( ∆ ) untuk R = 0 derajat/s ................................................................
Gambar 4.6 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) dan elevator38 = 100 ft/s, = 100 ft/s, dan
) untuk R = 0 derajat/s ................................................................
37 Gambar 4.5 : Perubahan sudut kemiringan pesawat ( ∆ ) dan elevator ( ∆
46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47 ℎ = 0,001 s .......................................................................
Gambar 4.13 : Perbandingan simulasi menggunakan pendekatan numerik Runge-Kutta untuk interval waktu 0,1 detik, 0,01 detik,dan 0,001 detik dengan pendekatan numerik Parker-Sochacki untuk interval waktu 0,1 detik ................
49 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada saat pesawat terbang dibuat dan diterbangkan pertama kali, pesawat
tersebut hanya mampu bekerja dalam waktu yang relatif singkat. Seiring dengan perkembangan teknologi, kemampuan kerja pesawat terbang mulai ditingkatkan melalui berbagai penelitian. Kemampuan kerja yang meningkat tersebut memungkinkan pesawat untuk terbang lebih jauh dan lebih lama. Penerbangan yang lebih lama membutuhkan konsentrasi tinggi dan terus menerus dari pilot yang menerbangkannya. Hal tersebut dapat menimbulkan kelelahan yang mengakibatkan menurunnya konsentrasi pilot sehingga dapat terjadi kecelakaan pesawat terbang.
Untuk mengatasi hal tersebut, mulai dikembangkan sistem untuk mengendalikan laju pesawat terbang tanpa pengawasan manusia. Sistem ini sering disebut sistem pilot otomatis. Sistem pilot otomatis berfungsi mengatur gerak kontrol pesawat untuk menggerakkan pesawat sesuai dengan yang diharapkan . Ada beberapa
jenis gerak pesawat, salah satunya adalah gerak longitudinal, yaitu gerak pesawat
naik dan turun yang disebabkan perubahan sudut antara pesawat dengan garis
horisontal. Gerak pesawat ini diatur menggunakan bagian pesawat yang disebut
elevator [Nelson, 1998]. Oleh karena itu, untuk mengendalikan gerak longitudinal
pesawat, perlu didesain kontrol otomatis untuk mengatur gerak elevator.PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk mendesain kontrol
sistem pilot otomatis. Salah satunya adalah dengan metode state space (ruang
keadaan). Metode ini pada dasarnya digunakan untuk mendeskripsikan karakteristik
suatu sistem dalam bentuk persamaan diferensial [Groesen dan Molenaar, 2007].
Dengan mengetahui karakteristik suatu sistem, dapat dicari kontrol yang tepat untuk
mengendalikan sistem agar stabil.Persamaan-persamaan diferensial yang merupakan karakter sistem yang
telah dikontrol tersebut dapat disimulasikan menggunakan pendekatan numerik.
Simulasi ini berguna untuk memprediksi respon sistem terhadap kontrol yang
diberikan sebelum kontrol yang sebenarnya dibuat. Hal ini membantu menekan biaya
eksperimen dengan mencegah kesalahan yang mungkin dibuat dalam mendesain
kontrol sistem tersebut.Salah satu pendekatan numerik yang dapat dilakukan adalah dengan metode
iterasi Picard. Kelebihan dari metode iterasi ini adalah akurasi nilai keluaran yang
lebih tinggi untuk pendekatan dengan orde yang lebih tinggi. Namun, karena
menggunakan integrasi untuk menyatakan pendekatan pada setiap orde, untuk orde
yang semakin tinggi, iterasi Picard semakin sulit dilakukan [Steward dan Bair, 2009].
Untuk menanggulangi kelemahan dari metode iterasi Picard, G. Edgar
Parker dan James S. Sochacki melakukan modifikasi untuk menyatakan iterasi Picard
dalam bentuk yang lebih sederhana. Modifikasi ini kemudian disebut metode Parker-
Sochacki [Steward dan Bair, 2009]. Berkat metode Parker-Sochacki, pendekatan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
numerik suatu persamaan diferensial lebih mudah dilakukan dengan hasil yang lebih
akurat dibandingkan dengan solusi menggunakan metode numerik lainnya.Pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki ideal digunakan untuk
melakukan simulasi kontrol dan respon sistem pilot otomatis untuk penerbangan yang
dirumuskan dengan metode ruang keadaan. Selain itu, metode pendekatan numerik
ini mampu memprediksi keadaan sistem dengan lebih akurat sehingga kontrol sistem
dapat disesuaikan dengan keadaan sistem secara lebih cepat dan akurat. Dengan
demikian, diharapkan dapat dirumuskan desain kontrol sistem pilot otomatis untuk
penerbangan yang lebih baik dengan bantuan metode ini.1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah disampaikan, yang menjadi
permasalahan adalah perumusan desain kontrol sistem pilot otomatis gerak
longitudinal pesawat menggunakan kombinasi antara metode ruang keadaan dan metode pendekatan numerik Parker-Sochacki.
1.3. Batasan Masalah
Permasalahan yang diteliti pada penelitian ini dibatasi pada masalah yang menyangkut:
1. Penggunaan metode ruang keadaan untuk merumuskan karakter sistem dan kontrol optimal pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat yang dilakukan terhadap pesawat Boeing 747.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2.
Penggunaan penyelesaian analitik untuk merumuskan respon pesawat yang tidak terkena gangguan terhadap kontrol dan dibandingkan dengan penyelesaian menggunakan pendekatan numerik dengan metode Parker- Sochacki dan metode Runge-Kutta untuk kasus yang sama.
3. Penggunaan kombinasi metode ruang keadaan dan pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki untuk merumuskan desain kontrol dan respon sistem pilot otomatis pesawat yang mendapatkan gangguan.
4. Penggunaan kombinasi metode ruang keadaan dan pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta untuk merumuskan desain kontrol untuk pesawat yang dikenai gangguan dan dibandingkan dengan pendekatan numerik menggunakan metode Parker-Sochacki untuk kasus yang sama.
1.4. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk merumuskan desain kontrol sistem
pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat menggunakan kombinasi metode ruang keadaan dan pendekatan numerik dengan metode Parker- Sochacki.
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Mendapatkan desain optimal kontrol sistem pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat yang terkena gangguan angin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2.
Menambah pustaka di bidang fisika komputasi mengenai pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki untuk melakukan desain kontrol sistem pilot otomatis untuk mengendalikan gerak longitudinal pesawat.
1.6. Sistematika Penulisan
BAB I Pendahuluan Pada bab I akan diuraikan latar belakang masalah, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II Dasar Teori Bab II berisi penguraian tentang sistem kontrol dengan metode ruang
keadaan, pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki, pendekatan numerik dengan metode Runge-Kutta orde 4, dan persamaan gerak longitudinal pesawat terbang.
BAB III Metode Penelitian Bab III menguraikan langkah-langkah yang dilakukan saat penelitian. BAB IV Hasil dan Pembahasan Pada bab IV akan diuraikan hasil penelitian dan pembahasan penelitian. BAB V Penutup Bab V berisi kesimpulan dari penelitian yang dilakukan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II DASAR TEORI 2.1. Sistem Kontrol Sistem merupakan kumpulan berbagai elemen yang saling berinteraksi
sedemikian rupa sehingga perubahan keadaan sebuah elemen akan mempengaruhi
keadaan elemen yang lain. Interaksi antar elemen tersebut dapat dikendalikan
sedemikian rupa sehingga dihasilkan keadaan elemen yang sesuai dengan keluaran
yang diharapkan. Sistem yang telah dikendalikan disebut sistem terkontrol [Meyers,
1992].Perumusan proses kontrol sebuah sistem dimulai dengan menganalisis
karakter sistem tersebut. Untuk mempermudah proses analisis, suatu sistem dapat
dinyatakan dalam bentuk persamaan-persamaan diferensial. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyatakan persamaan karakter sistem adalah metode ruang keadaan (state space). Metode ruang keadaan pada dasarnya merupakan perumusan persamaan-persamaan diferensial orde satu yang mendeskripsikan karakteristik sistem yang dianalisis [Nelson, 1998].
Metode ruang keadaan dinyatakan dalam bentuk persamaan [Ogata, 1985] (2.1)
⃗̇ = ⃗ + ⃗ (2.2)
⃗ = ⃗ Dengan adalah matriks keadaan sistem, adalah matriks masukan, adalah matriks keluaran,
⃗ adalah variabel keadaan, ⃗ adalah masukan yang diberikan, dan ⃗ adalah keluaran yang dihasilkan.
Dengan memperhitungkan pengaruh gangguan pada sistem, persamaan ruang keadaan suatu sistem juga dapat dituliskan sebagai berikut [Nelson, 1998] ⃗̇ = ⃗ + ⃗ + ⃗
(2.3) ⃗ = ⃗
(2.4) Dengan adalah matriks gangguan sistem dan ⃗ adalah variabel gangguan.
Pengendalian pada sistem dalam bentuk ruang keadaan dengan menggunakan karakter sistem melalui huku m kontrol dinyatakan dalam persamaan
[Nelson, 1998] ⃗ = − ⃗ + ′
(2.5) dengan adalah transpose feedback dan ′ adalah masukan yang diberikan tanpa adanya feedback (masukan awal).
Persamaan (2.1) yang dikombinasikan dengan persamaan (2.5) akan mengubah persamaan ruang keadaan sistem terkontrol menjadi [Nelson, 1998] ⃗̇ = ( −
) ⃗ + ′
(2.6) Desain kontrol suatu sistem dapat dilakukan dengan cara menyamakan persamaan karakteristik sistem tersebut dengan persamaan karakteristik yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
diharapkan. Persamaan karakteristik sistem diperoleh melalui persamaan [Nelson, 1998]
| (2.7)
)| = 0 − ( −
Sedangkan, karakteristik sistem yang diharapkan ditunjukkan melalui persamaan [Nelson, 1998]
2
2
2
2
- 2 + 2 (2.8) � � � � = 0
- Dengan adalah damping ratio untuk pergerakan dalam waktu singkat (short
phugoid motion ), adalah frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan dalam
waktu singkat, adalah damping ratio untuk pergerakan dalam waktu yang lama adalah frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan
(long phugoid motion) dalam waktu yang lama. Kontrol optimal diperoleh dengan memasukkan persamaan karakteristik sistem yang diharapkan ke dalam persamaan karakteristik sistem yang dimiliki sehingga dapat diperoleh nilai k yang optimal untuk setiap keadaan.
Persamaan (2.1) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik dengan persamaan sebagai berikut
−1 −1
[( ] (2.9)
( ) = ℒ − ) (2.10)
⃗( ) = ( ) ⃗(0) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan ( ) adalah transisi matriks keadaan dan ⃗(0) adalah keadaan awal (pada saat t = 0). Persamaan (2.9) dan (2.10) adalah penyelesaian persamaan keadaan dengan matriks transisi dengan metode transformasi Laplace [Nelson, 1998].
2.2. Pendekatan Numerik dengan Metode Parker-Sochacki
Metode ruang keadaan digunakan untuk menyatakan kontrol sistem dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial ini dapat dijabarkan melalui pendekatan secara numerik menggunakan metode Picard. Metode ini pada dasarnya digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial sederhana berbentuk
′
( ) = ( , )
(2.11) �
) = ( dari hubungan berulang yang memenuhi [Parker dan Sochacki, 1996]
- , dengan asumsi
(2.12) ( ) =
∫ � , ( )�
). Secara khusus, dan ⁄ kontinyu di daerah sekitar ( hubungan berulang tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk [Parker dan Sochacki, 1996]
(0)
( ) =
(2.13) �
( ( ) −1)
( ( , ) = )� = 1,2, …. ∫ � ,
- Untuk orde n yang semakin tinggi, metode tersebut semakin sulit dilakukan.
G. Gerard Parker dan James S. Sochacki melakukan modifikasi terhadap metode
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Picard pada persamaan diferensial sederhana dengan = 0. Persamaan diferensial sederhana tersebut dikonversi menjadi persamaan polinomial menggunakan substitusi dan sistem penjumlahan [Parker dan Sochacki, 1996].
Pada metode ini, variabel sistem dengan orde yang lebih tinggi diselesaikan menggunakan kondisi awal yang adalah variabel sistem orde sebelumnya. Bentuk umum dari modifikasi iterasi Picard oleh Parker-Sochacki yaitu [Steward dan Bair, 2009]:
( (2.14) ( + ) = ( ) + ∑ )
=1
dengan adalah komponen y.
( ) adalah nilai pada iterasi sampai ke ,
Metode Parker-Sochacki menawarkan penyelesaian yang lebih sederhana
dibandingkan dengan metode Picard, dengan tingkat ketelitian yang sama. Hanya
diperlukan satu persamaan untuk mendapatkan pendekatan numerik untuk setiap nilai
pada .2.3. Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat
Selain menggunakan metode Parker-Sochacki, pendekatan numerik untuk menjabarkan persamaan diferensial suatu sistem dapat dilakukan dengan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta yang paling sering digunakan adalah metode Runge-Kutta orde empat. Pada metode ini, persamaan diferensial dengan ketentuan seperti pada persamaan (2.11), didekati dengan menggunakan persamaan [Chapra, 2008] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
- =
(2.15) ℎ
- 1
1
(
- 1
2
3
4
- 2 + 2 ) (2.16) =
6
= , ) (2.17)
1 (
1
1
- =
(2.18)
2
� ℎ, ℎ �
1
2
2
1
1
= (2.19)
3 � ℎ, ℎ 2 �
2
2
= ) + + (2.20)
4 ( ℎ, ℎ
3 Dengan
adalah
adalah fungsi penambahan, ℎ adalah interval waktu yang dipilih,
1
slope pertama, adalah slope kedua, adalah slope ketiga, adalah slope
2
3
4 keempat.
Grafik metode Runge-Kutta digambarkan pada grafik 2.1. adalah
1 kemiringan grafik pada awal interval waktu (pada saat t = ). Kemiringan grafik
1
ini kemudian digunakan untuk menentukan pendekatan pertama titik y dengan
1kemiringan grafik dan berada di t = . Kemiringan grafik kemudian
2
- 2 2
- 3 2
- 1
- 1
- (2.23) cos cos = ( ̇ + − )
- =
- = ∆ ∆ ∆ ∆
- ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
- ∆
- Δ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
- ∆
- = + + + ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
Dengan adalah perubahan sudut elevator, adalah perubahan sudut rudder,
∆ ∆ adalah perubahan sudut aileron. - �
- ∆ = ∆
- � − ∆ � − ∆ = ∆
- � − ∆ �
- � − ∆ �
- ⎢ ⎥
- 3,61 + 9,05 + 0,126 (3.4)
- 0,09 = 0 Pada penelitian, diambil nilai , , , , , , , ,
- 8,899 × 10
- 1,7022
- (0,502087 + 0,234752
- (0,502087
- 1
- ∆
- ∆ >⋯
- 1
- ∆
- ∆ >⋯
- 1
- ∆
- ∆ >⋯
- 1
- ∆
- ∆ >⋯
- 2
- 4
- 2 >⋯ + ( +
- 2
- 4
- 2 >⋯ + ( + 1)∆ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
- 2
- 2
- 2 + 4 ∆ ̇( ) = ∆ ∆
- 2 ∆ + 3 ∆ ∆
- 2
- 2 + 4 ∆ ̇( ) = ∆
- 2 �∆
digunakan untuk menentukan pendekatan titik y dengan kemiringan grafik yang
13
juga berada di titik t = . Kemiringan grafik digunakan untuk menentukan
pendekatan ketiga titik y dengan kemiringan grafik yang berada di t = .
4
Kemiringan grafik , , , dan kemudian dioperasikan sesuai dengan persamaan
1
2
3
4 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI (2.16) untuk menghasilkan kemiringan rata-rata
dalam menentukan pendekatan terakhir titik y di t = [Chapra, 2008].
Persamaan Gerak Longitudinal Pesawat
Pesawat di udara dan lingkungan di sekitarnya merupakan salah satu bentuk sistem. Gerak pesawat yang terbang di udara dipengaruhi gaya dan momentum aerodinamis yang bekerja pada pesawat tersebut. Selain itu, gangguan berupa angin juga mempengaruhi gerak pesawat. Sehingga, pada saat mendesain kontrol gerak pesawat otomatis, pengaruh-pengaruh tersebut perlu diperhatikan.
Bentuk umum persamaan gaya dan momentum sudut aerodinamis yang bekerja pada pesawat adalah [Nelson, 1998] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
(2.21) − = ( ̇ + − )
(2.22) cos sin = ( ̇ + − )
(2.24) ̇ − ̇ + � − � −
2
2
= ( (2.25) ) + )
̇ + ( − − =
(2.26) − ̇ + ̇ + � − � + dengan , , adalah komponen gaya aerodinamis, komponen
, , dan momentum sudut aerodinamis, komponen kecepatan linier pesawat, komponen kecepatan sudut pesawat, dan komponen momen inersia pesawat searah sumbu x, ,
, adalah komponen gaya aerodinamis, komponen momentum sudut , , dan aerodinamis, komponen kecepatan linier pesawat, komponen kecepatan sudut pesawat, dan komponen momen inersia pesawat searah sumbu y, , ,
, , dan adalah komponen gaya aerodinamis, komponen momentum sudut aerodinamis, komponen kecepatan linier pesawat, komponen kecepatan sudut pesawat, dan komponen momen inersia pesawat searah sumbu z, adalah massa pesawat, adalah sudut kenaikan pesawat, dan adalah produk komponen momen inersia searah sumbu x dan z. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Didefinisikan
(2.27)
(2.28) =
(2.29) =
∆ ∆ ∆ ̇ ∆ ̇ ∆ (2.30) =
(2.31) =
∆ ∆ ∆ ̇ ∆ ̇ ∆ (2.32)
∆ Pada pesawat yang bergerak dengan tenang (tidak melakukan gerakan yang
ekstrim), gerak pesawat tersebut dapat diasumsikan terbagi menjadi dua grup
persamaan yaitu, persamaan gerak longitudinal (gerak yang disebabkan perubahan
sudut ) dan persamaan gerak lateral (gerak yang disebabkan perubahan sudut ).Persamaan gerak longitudinal terdiri dari persamaan gaya terhadap sumbu x ( ),
persamaan komponen gaya searah sumbu z ( ) , dan persamaan komponen
momentum sudut searah sumbu y ( ). Sedangkan, persamaan gerak lateral terdiri
dari persamaan komponen momentum sudut searah sumbu x ( ) , persamaan
komponen momentum sudut searah sumbu z ( ), dan persamaan komponen gaya
searah sumbu y ( ) [Nelson, 1998].Gambar 2.2 Gambar arah gerak pesawatPersamaan gerak longitudinal dan lateral pesawat yang bergerak tenang
dapat dianalisis secara terpisah. Untuk persamaan gerak longitudinal, pada proses
analisis variabel, ,
, dan turunannya dianggap nol. Dengan adanya
pengaruh angin pada atmosfer, melalui proses linearisasi, persamaan gerak longitudinal pesawat menjadi [Nelson, 1998]
� − � ∆ +
− ∆ �
(2.33) � − � ∆ +
(2.34) � − � ∆ +
= ∆
(2.35) ∆ ̇ = ∆
(2.36)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
, ≡
, ≡
, ≡ ,
≡ ,
≡ , ≡
, ≡
, ≡
, ≡ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Desain Sistem Kontrol Pilot Otomatis Analisis sistem yang terdiri atas pesawat dan lingkungan di sekitarnya yang
mempengaruhi gerak pesawat tersebut dilakukan dengan menggunakan metode ruang keadaan. Berdasarkan persamaan umum dari metode ruang keadaan pada persamaan (2.3), persamaan gerak longitudinal pesawat (persamaan (2.33) sampai (2.36)) dituliskan sebagai berikut
∆ ̇( ) ⎡ ⎤
∆ ̇( ) ⎢ ⎥ =
∆ ̇( ) ⎢ ⎥ ⎣ ∆ ̇( )⎦
∆ ( ) − − −
⎡ ⎤ ∆ ( )
− − [
⎢ ⎥ ( � � � � + ∆ )] + � � � �
∆ ( ) − − −
⎢ ⎥ 1 ∆ ( ) ⎣ 0 ⎦
(3.1) Persamaan (3.1) tersebut kemudian ditata ulang menjadi
( ) −
∆ ̇( ) −
⎡ ∆ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
∆ ̇( ) ′ ∆ ( ) −
⎢ ⎥ [
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ( (3.2) � � ∆ )]
∆ ̇( ) ∆ ( ) −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
′ ⎣ ⎣ ∆ ̇( )⎦
0 ⎦ ⎣ ∆ ( ) ⎦
∆ ( ) ′
dengan =
∆ ( )− PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Secara umum, persamaan (3.2) dapat ditulis
′
( (3.3)
̇ = − ) +
′
Dari persamaan ini diperoleh matriks keadaan sistem yang baru ( ) yang berubah-
′ ubah sesuai dengan nilai .
Dipilih = 0,6, = 0,05, = 3,0 derajat/s , dan = 0,1 derajat/s.
Nilai yang diberikan ini mempengaruhi kontrol dan gerak pesawat sebagai respon terhadap kontrol. Damping ratio dan frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan dalam waktu singkat mempengaruhi pola gerak pesawat saat mulai mendapat gangguan (awal dilakukan simulasi). Sedangkan, damping ratio dan frekuensi natural tak teredam untuk pergerakan dalam waktu yang lama mempengaruhi pola gerak pesawat selama simulasi dilakukan. Diperoleh persamaan karakteristik yang dikehendaki, yaitu
4
3
2
, , , dan dari data penanganan pesawat Boeing 747 [Heffley dan Jewell, 1972]. Matriks keadaan sistem dan matriks masukan menjadi
0,1220 −0,0209
−32,2 218,5725
′ −0,2020
−0,5120 ′ = �
�
−4
0,0018 1,170 × 10 −0,3570
′
−2
)
1 − (1,1706 × 10 −1
′)
2 −
(1,3975 × 10
−2
)
3 − (2,1269 × 10 −1
)
4 ′ − 7,4382 × 10 −3
′ + 1,2618 × 10
� (3.7)
∶ �(1,7209 ′ − 1,0433 × 10
∶ (6,5978
1 ′ − 2,4828 2 ′ − 1,3975 × 10 −2 4 ′ − 9,5839 ×
10
−3
′) (3.8)
Dengan menyamakan konstanta persamaan (3.4) dengan persamaan (3.5) sampai (3.8), diperoleh nilai
1 ,
2 ,
3
, dan
4
sebagai kontrol yang sesuai untuk sistem tersebut. Sehingga, sesuai dengan persamaan (2.5), tanpa adanya masukan awal,
−1
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
= � 0,959
−6,420 −0,378
�
Persamaan karakteristik sistem dicari menggunakan persamaan (2.7). Nilai
′ dan dimasukkan ke dalam persamaan tersebut sehingga diperoleh konstanta persamaan karakteristik sistem untuk setiap orde sebagai berikut
3
∶ (0,959
1 − 6,42 2 − 3,78 × 10 −1
3
−1
) (3.5)
∶ �(5,0131 × 10
� (3.6)
−2
)
1 − (2,6198 + 82,6204 ′) 2 − (2,1269 ×
10
−1
)
3 − (3,78 × 10 −1
)
4 ′ − (3,8687 × 10 −1
) ′ + 2,2559 ×
10
−1
∆ (
−1
�
1 −32,2
−0,3570
0,0018 218,5725
0,1220 −0,5120
−4
1,170 × 10
−0,0209 −0,2020
Diberikan = �
= 0).
yang terus berubah menyebabkan ( ) juga terus berubah. Artinya, penyelesaian analitik untuk setiap nilai berbeda. Hal ini sangat sulit dilakukan. Karena itu, sebagai pembanding, dilakukan penyelesaian analitik sistem kontrol pilot otomatis tanpa gangguan (
′
Namun, nilai ′ yang terus berubah karena adanya varibel
] (3.12)
[( − ′′)
) = − �
−1
Dengan menggunakan persamaan (2.9), diperoleh ( ) = ℒ
− (3.11)
′
=
′′
(3.10)
( − )
′′
Berdasarkan persamaan (2.6), persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai berikut ̇ =
Penyelesaian Analitik Sistem Kontrol Pilot Otomatis Sebagai Pembanding
∆ ( )� (3.9) 3.2.
4
1 �∆ ( ) − � + 2 �∆ ( ) − � + 3 �∆ ( ) − � +
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
3
(3.16) ∆ ( ) = ∆
1
2 + ∆
3
2
4
3
(3.17) sehingga ∆ ̇( ) = ∆
2
∆
3 + 3 ∆
4
2
∆
5
3
(3.18) ∆ ̇( ) = ∆
2
∆
3 + 3 ∆
4
2
∆
5
3
2
2 + ∆
3
Untuk mengawali metode Parker-Sochacki, diperlukan pendefinisian beberapa variabel, seperti ∆ ( ) = ∆
Jika matriks dan dimasukkan ke dalam persamaan (3.11) dan dengan nilai awal ∆ (0) = 0, ∆ (0) = 0, ∆ (0) = 0, ∆ (0) = 5, berdasarkan persamaan (2.10) dan (3.12) diperoleh penyelesaian
∆ ( ) = 5 �(−0,00208712 − 0,0102818 )
( −1,80014 −2,40155 )
− (0,00208712
− 0,0102818 )
( −1,80014 +2,40155 )
)
(
−0,00499923 −0,0998723 )
− 0,234752 )
( −0,00499923 +0,0998723 )
� (3.13) 3.3.
Penerapan Metode Parker-Sochacki
1
1
2 + ∆
3
2
4
3
(3.14) ∆ ( ) = ∆
1
2 + ∆
3
2
4
3
(3.15) ∆ ( ) = ∆
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
3
3 + 3 ∆ 4 ∆ 5 ⋯ + ( + 1)∆
(3.20)
2
3
3
4 5 ⋯ + ( + 1)∆
(3.21) Berdasarkan persamaan ruang keadaan sistem pilot otomatis,
( ∆ ̇( ) = �∆ ( ) − � + �∆ ( ) − � − ∆ ( ) + ∆ )
(3.22)
′
∆ ̇( ) = �∆ ( ) − � + �∆ ( ) − � + �∆ ( ) − � +
(3.23)
( ∆ )
�∆ ( ) − � + �∆ ( ) − � + �∆ ( ) − � + ∆ ̇( ) =
(
(3.24)
∆ )
′
(3.25) ∆ ̇( ) = �∆ ( ) − � Melalui proses substitusi persamaan (3.14) sampai (3.21) ke dalam persamaan (3.22) sampai (3.25), diperoleh
= ( ) ( (3.26) ∆
1 − � + ∆ 1 − − ∆ 1 ∆ ) ′
= ( ) + ( ) + ( �∆ � +
∆
2 1 − ∆ 1 − ∆ 1 − ∆ )
(3.27) PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∆ , ∆ , ∆ , dan ∆ pada saat . Dengan demikian, komputasi dari pendekatan numerik dengan metode Parker-Sochacki sistem pilot otomatis untuk penerbangan dapat dilakukan.
∆
Melalui persamaan (3.26) sampai (3.33), didapatkan nilai setiap variabel pada persamaan (3.14) sampai (3.17). Dari persamaan-persamaan tersebut diperoleh nilai
(3.33) dengan n = 2, 3, 4, ... adalah orde persamaan (3.14) sampai (3.17).
= ′∆
(3.32) ∆
( )
= ∆
(3.31) ∆
( )
∆
= ∆
(3.30) ∆
( )
= ∆
) (3.29) dan
∆
1 −
= ′(∆
2
(3.28) ∆
( )
) + ∆
1 −
) + ( ∆
1 −
( ∆
1 − � +
= �∆
2