Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

Matematika Dasar

DALIL DELHOSPITAL

Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit
0 ∞
, , 0 .∞ dan ∞ − ∞ . Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan
0 ∞

yaitu :

oleh Delhospital.

Bentuk

0
∞
dan
0
∞

Misal
lim

lim f(x) = lim g(x) = 0 atau lim f(x) = lim g(x) = ∞.

f (x )
f ' (x )
. Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan
= lim
g (x )
g ' (x )

bentuk

Maka

0
∞
atau
0

∞

maka dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan merupakan bentuk
tak

tentu

tersebut.

Penulisan

lim

lim , lim , lim , lim atau lim .

x →a x→ a + x→ a − x → −∞

x →∞

Contoh :

Hitung limit berikut
a. lim

x→ 0

b.

lim

1 − cos 2x
x2
x 3 + 2x

x→∞ x 4 + 1

Jawab :
a. lim

x →0

b.

lim

1 − cos 2 x
x2
x3 + 2x

x→∞ x 4 + 1

2 sin 2 x
4 cos 2 x
= lim
=2
x →0 2 x
x →0 2

= lim

= lim

x→∞

3x 2 + 2
4x3

= lim

6x

x→∞ 12 x 2

6
=0
x→∞ 24 x

= lim

Bentuk 0 . ∞
Danang Mursita

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

mengandung

maksud

Matematika Dasar

Misal lim f(x) = 0 dan lim g(x) = ∞. Maka lim f(x) g(x) merupakan bentuk 0 . ∞ .
Untuk

menyelesaikannya

kita

ubah

f (x )
g (x )
lim f ( x) g ( x ) = lim 1

= lim 1
.
g (x )

menjadi

bentuk

Selanjutnya

0
0
solusi

atau
dari

∞
∞

yaitu

limit

tersebut

:

f ( x)

diselesaikan dengan cara seperti bentuk sebelumnya.

Contoh :
Hitung limit berikut
a.

π

lim  x −  sec x
2

x →π / 2 

b. lim x 2 csc x
x→0

Jawab :
π
x−
π
1

2 = lim
a. lim  x −  sec x = lim
= −1
2
x →π / 2 
x→π / 2 cos x
x→π / 2 − sin x
x2
2x

2
b. lim x csc x = lim
= lim
=0
x →0
x→0 sin x x→0 cos x
Bentuk ∞ - ∞
Misal lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka untuk menyelesaikan lim [ f(x) - g(x) ]
dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f(x) - g(x) ] sehingga dapat dikerjakan
menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya.

Contoh
Hitung lim (csc x − cot x )
x→ 0

Jawab :

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

 1
cos x 
1 − cos x
sin x
lim (csc x − cot x ) = lim 
−
 = lim
= lim
=0
x →0
x→0  sin x sin x  x→0 sin x
x→0 cos x
Sebagai catatan bahwa tidak semua bentuk limit tak tentu dapat diselesaikan
menggunakan dalil Delhospital. Hal ini seringkali terjadi di dalam menyelesaikan limit
fungsi f(x) dengan f(x) bukan merupakan fungsi rasional. Untuk lebih jelasnya diberikan
contoh berikut.

Contoh
Hitung limit berikut :
a.

b.

x 2 − 3x
1− x

lim

x→−∞

lim  x 2 + x − x 2 + 1

x→∞

Jawab:
a.

x2 − 3x x
x 2 − 3x (− x )
= lim
=1
2
1− x
x x→−∞ 1 − x
x

lim

x→−∞

x −1
b. lim  x 2 + x − x2 + 1 = lim
 x→∞ 2
x→∞
x + x + x2 + 1

x2 1
=
x
2

Soal latihan

Hitung limit berikut ( bila ada )
1.

2.

2x + 1
x→+∞ 2 − 5x
lim

lim

4x2 − x

x→−∞ 2x 3 − 1

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

5 − 3x 3
3. lim
x→+∞ x + 4
4.

5.

6.

3x − 5
lim 3
x→+∞ 6x + 2
lim

x→+∞

lim

x→−∞

2x2 − 1
1+ x
2x + 1
1 + 2x2

7. lim 2 x csc x
x→0

8. lim cot 2 x (1 − cos 2x )
x→ 0

9.

lim  x 2 + x − x
x→+∞

10. lim  x 2 + 3 − x
x→+∞
11. lim  x 2 + x − x 2 − x 
x→+∞
12. lim  x 2 − 3x − x 2 − 3
x→−∞
13. l i m

x → +∞




x 2 + 6 x − 5 − x 

sin( ax )
x→0 ax

14. lim

tan 5x
x→0 sin2 x

15. lim

16. lim

x→0

sin2 ( 5x )
x2

sin x
x→0 1− cos x

17. lim

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

x sin x
x→0 1 − cos x

18. lim

cos 2 x − 1
x→0 1− cos 5x

19. lim

x2
x→0 1− cos x

20. lim

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung