Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

Matematika Dasar

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga
limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu :
lim sin x = sin a

x→ a

dan

lim cos x = cos a

x →a

Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu :
h
 h

2 sin   cos  a + 

d (sin a)
 2

sin ( a + h ) − sina
2
= lim
= lim
dx
h
h
h →0
h→0
 h
2 sin 
d (sin a)
 2
Karena lim
= 1 maka
= cos a
h

dx
h→a

Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut:
h
 h

− 2 sin   sin  a + 
d cos a
cos ( a + h) − cos a
 2

2
= lim
= lim
= − sin a
dx
h
h
h →0

h→ 0

(

)

Untuk turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan
rumus perhitungan turunan :
d (tan x) d
.
=
dx

(sin x cos x) = sec2 x
dx

d (cot x ) d
2.
=
dx

(cos x sin x) = − csc2 x

(

dx

)

1
d (sec x ) d cos x
3.
=
= sec x tan x
dx
dx

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

(

)

1
d (csc x) d sin x
4.
=
= − csc x cot x
dx
dx

Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit
tak hingga , digunakan sifat atau teorema yang diberikan tanpa bukti berikut.

Teorema
Misal f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) berlaku untuk setiap x di dalam domainnya.
Bila lim f ( x ) = lim h( x ) = L maka lim g( x ) = L

x→∞

x→∞

x→∞

Contoh
Hitung limit berikut ( bila ada )
1.

a.

sin x
x→∞ x
lim

1 + cos x
x→ 0+ sin x
lim

Jawab :
a. Misal

f (x ) =

sin x
. Dari
x

-1 ≤ sin x

≤ 1 maka

− 1 sin x 1
≤
≤ . Karena
x
x
x

−1
1
sin x
= lim
= 0 maka lim
= 0.
x→∞ x
x→∞ x
x→∞ x
lim

b. Bila x mendekati nol dari arah kanan maka 1 - cos x mendekati 2, sedangkan nilai sin
x akan mengecil atau mendekati nol. Oleh karena itu, bila 2 dibagi dengan bilangan
positif kecil sekali ( mendekati nol ) maka akan menghasilkan bilangan yang sangat
besar

( mendekati tak hingga ). Jadi

1 + cos x
=∞

x→0 + sin x
lim

Soal latihan
( Nomor 1 sd 7 ) Hitung limit fungsi berikut ( bila ada )
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

1.
2.

1 + cos x
x→ 0− sin x
lim

lim cos x

x→∞

3.

 1
lim sin 
 x
x→∞

4.

 1
lim x sin 
 x
x→∞

5.

 π 1
lim sin + 
x→∞  6 x 

6.

 
1

lim  sin x +  − sin x

x
x→∞  

7.


x  1 − cos
x→ −∞ 
lim

1

x

( Nomor 8 sd 10 ) Tentukan turunan pertama dari:
8. y =

1 − sin x
cos x

9. y =

cos x
x

10. y =

tan x
sin x − cos x

11. Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik ( a,b ) dengan gradien m dinyatakan
dengan : y - b = m ( x - a ). Sedangkan persamaan garis normal dari y = f ( x,y ) ( garis
yang tegak lurus terhadap suatu garis singgung ) yang melalui titik ( a,b ) mempunyai
persamaaan :

y - b = -1/m ( x - a ). Tentukan persamaan garis singgung dan normal

kurva berikut di titik yang diketahui dengan menghitung gradiennya terlebih dahulu.
2

a. y = x - 2x di ( 0,0 )
b. y = tan x di x = ¼ π

Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Matematika Dasar

12. Tentukan nilai a agar fungsi berikut kontinu di x = 0
 sin 3x
, x≠0
a. f ( x ) =  x
 a
x=0
 tan ax
,x