ART Liek Wilardjo Asas ketakpastian Heisenberg Full text
ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG: KEPANGGAHANNYA DENGAN
PENGGETAR ,\'ELARAS ATAH
Liek Wtlardjo
11110005
ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG:
KEP ANGGAHANNY A DENGAN PENGGETAR
SELARAS RATAH
Liek Wilardjo
Program Studi Teknik Elektro. FakuJtas Teknik- UKSW
Jalan Diponegoro 52-60. Salatiga 50711
INTISAI
Dittmjukkan balm·a eigennilai Hamiltonan Penggetar Selaras
(Linear
Linear
(1
+t)nJ.
Harmonic
Oscillator)
ialah
E11
=
£0
=±no. yang dapat juga diperoleh dengan menerapkan
dengan
tenaga
keadaan
dasarnya.
asas ketakpastian Heisenerg.
1. PENGANTAR
Dalam Mikroelektronika dipakai untai terangkun yang disebut IC (integrated
circuit).
Untai terangkun itu berupa cebis renik (microchip) yang disusun dari
gerbang-gerbang
logika
dengan
arsitektur
tertentu.
melakukan ungsi yang sesuai dengan rancangaya
sehngga sistem itu
dapat
Dalam rangkunan berskala
sangat besar (VLSI). cebis berukuran satu inci persegi dapat memuat ratusan ribu
gerbang. Komponen utama dari gerbang itu erupa peranti (device) yang disebut
trasistor efek medan semipenghantar-oksida Jogam (TEMSOL) atau NJO,S'FET
(Metal-Oxide Semiconductor Field E.ff"ect Transistor).
Berungsinya TEMSOL
ditentukan oleh sifat-sifat bal1an-bal1an penyusmmya dan perlakuan yang dikenakan
pada bahan-balmn itu.
Ini semua ditelaah dalam Fisika yang didasarkan pada
Mekanika Kuantum
99
Techne Jurnal Il.ah Elektroteknika Vol 0 No.
2 Oktober 2011 Hal 99- 08
2. ASAS ETAPASTIAN
Salal1 sau asas yang paling penting dalam Mekanika Kuanum ialah Asas
Ketakpastian. Asas ini menyatakn bahwa pasangan amatan sekawan (cm1Jugate
observahles) tidak dapat kedua-duanya ditentukan dengan pasti. Pasangan amatan.
misalnya P dan Q. disebut seka,Yan kalau komutatonya memenuhi persamaan
[P; .Q .i] = -ito1. 1 I
(1)
Komutator dari pengandar-pengandar P dan Q. yakni [P. Q] :;: PQ- QP. dapat
ditentukan dengan memakai representasi Schroedinger. dengan
P
-ln
". (, .
i'' Q
dan Q
Q:
[P.Q]fl = PQji-QPft
a
r11
= -ih-. [H,X]
iim-X ± i mco (-il m)P
=
= ilnw/·x ±, cv P
= ± i tD (P ± i mtD X)
Karena
[H, P ± i nuoXJ = H (P ± imcoX)
maka
H (P ± i mcaX)1111=
=
(14)
(P ± i nuu X)H ,
± l ) (P ± imco X] lin + (P ± i mtoX)HIIn
•
±nco (P± inuo X] in+ (P ± imo>X)Enlln.
(£,± ica) (P ± imco X) lin .
H( P ± imcuX)1111=
Jadi.
Persamaan
(En± ico) (P ± imco X) 1111
•
(15) menunjukkan bahwa ( P ± imoJX)'n adlah eigenkeadaan dari
pengandar H yang bersangkutan dengan eigennilai (En± io). Maka En= Eo+ nlro:
di sini £0 ialal1 niJai tenaga yang paling rendal1. yakni tenaga keadnan dasar. dan n
ialah sebuah bilat (bilangan bulat) ositif
Kita tinjau sekarang
H( P-ima>X)'o=
(P
-
(Eo± iro) (P -imco X) 'o
imc? X) 'o mustahil mempakan eigenkeadaan tenaga yang terendal. Karena
itu. persamaan di atas hanya dipenuhi kalau (P - imro X) 'o= 0.
Maka (P + imtD X) (P-imco X) 'o
0
(P2 + imco XP- imoJ PX+ m2co2X1) 'o = 0
(P2 + imco [X. P] + m2o} X2) 'o = 0
(2m (P2 I 2m + 1mca2 X2) + i mea [X. P] ) 'o
104
=
0
(15)
AAS KETAKPASTJAN HEISENBERG: KEPANGGAHANNYA J)ENGAN
PENGGETAR .\'ELAAS ATAH
Lick Wilardjo
[2mH + im) (iI)] Vo = 0
(2mH- micol) Vo = 0
(28 -icol) Vo = 0
sehingga
Karena
E" =Eo+
nico. maka
(16)
E =(n +_)ico
2
II
dengan
n
= 0. L 2..........
.
Persamaan (16) memberikan eigenilai-eigennilai dari pengandar Hailton yang
bersangkutan dengan eigenkeadaan-eigenkeadaan penggetar selras lnear. Dengan
kata lain. En ialah aras tenaga ke-n dari penggetar selaras linear. sedang Eo=
tt1co
ialah aras tenaganya yang paling rendah.. yang juga disebut tenaga keadaan dasar.
4 KEPANGGAHAN DENGAN ASAS KETAKPASTIAN
.
.
Batm·a tenaga keadaan dasar itu
tic
o.
dan bukan 0 panggah (konsisten) dengan
.
asas ketakpastian Heisenberg. sebab klau noL maka pusanya juga noL berarti tidak
bergerak. alis posisinya tertentu dan tidak berubah-ubah. Tetapi kalau pusa dan
postsmya (kedua-keduanya) past.. ini melanggar asas ketakpastian Heisenberg.
Dengan argumen "reductio ad absurdum" ini sudah kita tunjukkan batm·a persamaan
(16) konsisten dengan persamaan (2).
Untuk lebih meyakinkan kepanggahan ini. akan dittmjukkn batm·a tenaga
keadaan dasar Eo =
tico itu dapat diperoleh dengan menerapkan asas ketakpstian
(2).
05
Techne Jurnal IJmiah Elektroteknika Vol 10 No. 2 Oktober 201 1 Hal 99- 108
Untuk penggetar selaras linear klasik persamaan (8) memberikan posisi di saat t.
yakni
x
=A sincat.
.
·
Maka x-1 = A-� sm-� aJt. dan rerata ''"ktunya :
=A 2
(_ ftoTo
J
cos2cot)dt
r
1
/
r
=A2 2
t -- -sin2mt
2m
0
[
Dari (8) diperoleh x
p
=
]
AJcoswt. sehingga p = mx = mAcocosJI dan
2 = m2A 2m2 cos2 mt.
Tenaga total = tenaga gerak + tenaga potensiaJ. Di saat simpangan penggetar itu
maksimum
(xm
=
A). tenaga geraknya noL sehingga tenaga total
potensiaJ maksimum = 1mro2A2. Jadi E = 1mro2A2.
Bila dinyatakan dengan E i. kita dapatkan baJnYa
dan
lOCi
\ )
p2
=Em. sehingga
=
tenaga
A.\4S KETAKPASTIAN HEISENBERG: KEPANGGAHANNYA DENGAN
PENGGETAR SELAAS RATAH
Liek Wi/ardjo
Untuk getaran keciL rus kiri dapat ditafsirkan sebagai
(lx)1 (1p)1.
Maka
Tetapi menurut Heisenberg,
x. lJ}
"
ln
> 2
-
.
berarti nilainya paling rendah (untuk keadn dasar. £0)
x lp
·
=
in
=
£0/ro
Dari sini kita dapatkan :
(Q.ED: quod erat demonstrandum)
5. SIMPULAN
Asas ketakpastian Heisenerg dijelaskan artinya tetapi hanya diberikan ungkapan
matematisnya. tanpa penunman. Dengan menggunakan pengandar pusa P, pengandar
posisi X. dan pengandar Hamilton H serta hubungan mereka, diperoleh aras-aras
tenaga penggetar selaras linear. termasuk aras tenaganya yang paling rendal1. yakni
tenaga keadaan dasar.
£0
=
tnJ. Kemudian ditm�jukkan kepanggahan ntara asas
ketidakpastian Heisenberg dan aras-aras tenaga penggetar selaras linear. dengan
mendapatkan tenaga keadaan dasnya dengan menerapkan sas Heisenberg pada
penggetar selaras linear kJasik.
107
Teclme Jurnl Jlmiah Elektroteknika Vol. 10 No. 2 Oktober 2011 Hl 99 - 108
ACUAN
1.
PowelL John L. & Bend Craseman:Quantum Mechanics. Addison-Wesley.
Reading (Mass.). 196 L p. 72-73
2.
Wilardjo. L.: "Using Standing-Wave Patten to Explain Quantization". Poc.
I'' Kentingan Psics Foum. July 23rd- 24h. 20()1
3.
Young. Hugh D. & Robert A Freedman: University Physics. l21h ed .. Addison
Wesley. Sn Francisco. 2007. Chapters 40 & 41
108
PENGGETAR ,\'ELARAS ATAH
Liek Wtlardjo
11110005
ASAS KETAKPASTIAN HEISENBERG:
KEP ANGGAHANNY A DENGAN PENGGETAR
SELARAS RATAH
Liek Wilardjo
Program Studi Teknik Elektro. FakuJtas Teknik- UKSW
Jalan Diponegoro 52-60. Salatiga 50711
INTISAI
Dittmjukkan balm·a eigennilai Hamiltonan Penggetar Selaras
(Linear
Linear
(1
+t)nJ.
Harmonic
Oscillator)
ialah
E11
=
£0
=±no. yang dapat juga diperoleh dengan menerapkan
dengan
tenaga
keadaan
dasarnya.
asas ketakpastian Heisenerg.
1. PENGANTAR
Dalam Mikroelektronika dipakai untai terangkun yang disebut IC (integrated
circuit).
Untai terangkun itu berupa cebis renik (microchip) yang disusun dari
gerbang-gerbang
logika
dengan
arsitektur
tertentu.
melakukan ungsi yang sesuai dengan rancangaya
sehngga sistem itu
dapat
Dalam rangkunan berskala
sangat besar (VLSI). cebis berukuran satu inci persegi dapat memuat ratusan ribu
gerbang. Komponen utama dari gerbang itu erupa peranti (device) yang disebut
trasistor efek medan semipenghantar-oksida Jogam (TEMSOL) atau NJO,S'FET
(Metal-Oxide Semiconductor Field E.ff"ect Transistor).
Berungsinya TEMSOL
ditentukan oleh sifat-sifat bal1an-bal1an penyusmmya dan perlakuan yang dikenakan
pada bahan-balmn itu.
Ini semua ditelaah dalam Fisika yang didasarkan pada
Mekanika Kuantum
99
Techne Jurnal Il.ah Elektroteknika Vol 0 No.
2 Oktober 2011 Hal 99- 08
2. ASAS ETAPASTIAN
Salal1 sau asas yang paling penting dalam Mekanika Kuanum ialah Asas
Ketakpastian. Asas ini menyatakn bahwa pasangan amatan sekawan (cm1Jugate
observahles) tidak dapat kedua-duanya ditentukan dengan pasti. Pasangan amatan.
misalnya P dan Q. disebut seka,Yan kalau komutatonya memenuhi persamaan
[P; .Q .i] = -ito1. 1 I
(1)
Komutator dari pengandar-pengandar P dan Q. yakni [P. Q] :;: PQ- QP. dapat
ditentukan dengan memakai representasi Schroedinger. dengan
P
-ln
". (, .
i'' Q
dan Q
Q:
[P.Q]fl = PQji-QPft
a
r11
= -ih-. [H,X]
iim-X ± i mco (-il m)P
=
= ilnw/·x ±, cv P
= ± i tD (P ± i mtD X)
Karena
[H, P ± i nuoXJ = H (P ± imcoX)
maka
H (P ± i mcaX)1111=
=
(14)
(P ± i nuu X)H ,
± l ) (P ± imco X] lin + (P ± i mtoX)HIIn
•
±nco (P± inuo X] in+ (P ± imo>X)Enlln.
(£,± ica) (P ± imco X) lin .
H( P ± imcuX)1111=
Jadi.
Persamaan
(En± ico) (P ± imco X) 1111
•
(15) menunjukkan bahwa ( P ± imoJX)'n adlah eigenkeadaan dari
pengandar H yang bersangkutan dengan eigennilai (En± io). Maka En= Eo+ nlro:
di sini £0 ialal1 niJai tenaga yang paling rendal1. yakni tenaga keadnan dasar. dan n
ialah sebuah bilat (bilangan bulat) ositif
Kita tinjau sekarang
H( P-ima>X)'o=
(P
-
(Eo± iro) (P -imco X) 'o
imc? X) 'o mustahil mempakan eigenkeadaan tenaga yang terendal. Karena
itu. persamaan di atas hanya dipenuhi kalau (P - imro X) 'o= 0.
Maka (P + imtD X) (P-imco X) 'o
0
(P2 + imco XP- imoJ PX+ m2co2X1) 'o = 0
(P2 + imco [X. P] + m2o} X2) 'o = 0
(2m (P2 I 2m + 1mca2 X2) + i mea [X. P] ) 'o
104
=
0
(15)
AAS KETAKPASTJAN HEISENBERG: KEPANGGAHANNYA J)ENGAN
PENGGETAR .\'ELAAS ATAH
Lick Wilardjo
[2mH + im) (iI)] Vo = 0
(2mH- micol) Vo = 0
(28 -icol) Vo = 0
sehingga
Karena
E" =Eo+
nico. maka
(16)
E =(n +_)ico
2
II
dengan
n
= 0. L 2..........
.
Persamaan (16) memberikan eigenilai-eigennilai dari pengandar Hailton yang
bersangkutan dengan eigenkeadaan-eigenkeadaan penggetar selras lnear. Dengan
kata lain. En ialah aras tenaga ke-n dari penggetar selaras linear. sedang Eo=
tt1co
ialah aras tenaganya yang paling rendah.. yang juga disebut tenaga keadaan dasar.
4 KEPANGGAHAN DENGAN ASAS KETAKPASTIAN
.
.
Batm·a tenaga keadaan dasar itu
tic
o.
dan bukan 0 panggah (konsisten) dengan
.
asas ketakpastian Heisenberg. sebab klau noL maka pusanya juga noL berarti tidak
bergerak. alis posisinya tertentu dan tidak berubah-ubah. Tetapi kalau pusa dan
postsmya (kedua-keduanya) past.. ini melanggar asas ketakpastian Heisenberg.
Dengan argumen "reductio ad absurdum" ini sudah kita tunjukkan batm·a persamaan
(16) konsisten dengan persamaan (2).
Untuk lebih meyakinkan kepanggahan ini. akan dittmjukkn batm·a tenaga
keadaan dasar Eo =
tico itu dapat diperoleh dengan menerapkan asas ketakpstian
(2).
05
Techne Jurnal IJmiah Elektroteknika Vol 10 No. 2 Oktober 201 1 Hal 99- 108
Untuk penggetar selaras linear klasik persamaan (8) memberikan posisi di saat t.
yakni
x
=A sincat.
.
·
Maka x-1 = A-� sm-� aJt. dan rerata ''"ktunya :
=A 2
(_ ftoTo
J
cos2cot)dt
r
1
/
r
=A2 2
t -- -sin2mt
2m
0
[
Dari (8) diperoleh x
p
=
]
AJcoswt. sehingga p = mx = mAcocosJI dan
2 = m2A 2m2 cos2 mt.
Tenaga total = tenaga gerak + tenaga potensiaJ. Di saat simpangan penggetar itu
maksimum
(xm
=
A). tenaga geraknya noL sehingga tenaga total
potensiaJ maksimum = 1mro2A2. Jadi E = 1mro2A2.
Bila dinyatakan dengan E i. kita dapatkan baJnYa
dan
lOCi
\ )
p2
=Em. sehingga
=
tenaga
A.\4S KETAKPASTIAN HEISENBERG: KEPANGGAHANNYA DENGAN
PENGGETAR SELAAS RATAH
Liek Wi/ardjo
Untuk getaran keciL rus kiri dapat ditafsirkan sebagai
(lx)1 (1p)1.
Maka
Tetapi menurut Heisenberg,
x. lJ}
"
ln
> 2
-
.
berarti nilainya paling rendah (untuk keadn dasar. £0)
x lp
·
=
in
=
£0/ro
Dari sini kita dapatkan :
(Q.ED: quod erat demonstrandum)
5. SIMPULAN
Asas ketakpastian Heisenerg dijelaskan artinya tetapi hanya diberikan ungkapan
matematisnya. tanpa penunman. Dengan menggunakan pengandar pusa P, pengandar
posisi X. dan pengandar Hamilton H serta hubungan mereka, diperoleh aras-aras
tenaga penggetar selaras linear. termasuk aras tenaganya yang paling rendal1. yakni
tenaga keadaan dasar.
£0
=
tnJ. Kemudian ditm�jukkan kepanggahan ntara asas
ketidakpastian Heisenberg dan aras-aras tenaga penggetar selaras linear. dengan
mendapatkan tenaga keadaan dasnya dengan menerapkan sas Heisenberg pada
penggetar selaras linear kJasik.
107
Teclme Jurnl Jlmiah Elektroteknika Vol. 10 No. 2 Oktober 2011 Hl 99 - 108
ACUAN
1.
PowelL John L. & Bend Craseman:Quantum Mechanics. Addison-Wesley.
Reading (Mass.). 196 L p. 72-73
2.
Wilardjo. L.: "Using Standing-Wave Patten to Explain Quantization". Poc.
I'' Kentingan Psics Foum. July 23rd- 24h. 20()1
3.
Young. Hugh D. & Robert A Freedman: University Physics. l21h ed .. Addison
Wesley. Sn Francisco. 2007. Chapters 40 & 41
108