Slide05 Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak Compatibility Mode

  Konsep Peubah Acak

• Peubah acak merupakan suatu fungsi yang Peubah acak merupakan suatu fungsi yang

  Metode Statistika ( STK211) memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah

  Pertemuan V

  dalam statistika untuk mengkuantifikasikan dalam statistika untuk mengkuantifikasikan g g

  Konsep Peubah Acak dan Sebaran Konsep Peubah Acak dan Sebaran kejadian--kejadian alam. kejadian kejadian alam. Peluang (Random Variable Concept and

  Probability Distribution)

• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil. BILANGAN bilangan riil.

  Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah ••

  Kuis

  dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut: dapat disenaraikan sebagai berikut: a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6} a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang

  Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

  contoh ! Berikan minimal dua contoh untuk

  X = munculnya sisi dadu yang bermata genap X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

  ruang contoh!

  = {0, 1} = {0, 1}

• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang kejadian ! Berikan minimal dua contoh untuk j

  Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

  ruang kejadian

  Daerah fungsi Daerah fungsi Wilayah fungsi Wilayah fungsi X(ei) S1 . S2 .

  . 0 S3 . S4 .

  . 1 S5 . S6.

  Tipe Peubah Acak

• Diskret

  ¾ Segugus nilai dari suatu peubah acak yang Peubah Acak Diskret dapat dicacah (countable)

  ¾ Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A

• Kontinu

  ¾ Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable)

  ¾ Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval

  ¾ Misalkan X = tinggi badan (cm)

  Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang

• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret setimbang setimbang

  SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan

• Fungsi peluang dari peubah acak diskret

  sebagai berikut: sebagai berikut:

  menampilkan nilai dan peluang dari peubah

  p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

  acak tersebut

  = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

• Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) dengan 1 dengan 1

  = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

• Peluang dari sembarang kejadian dapat

  Sisi yang muncul Sisi yang muncul x

  1

  1 dibentuk dengan menambahkan peluang dari

  Kejadian S S S S S S S S S S S S _{1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6} P(X=x) P(X=x) 1/2 1/2 1/2 1/2 kejadian-kejadian yang membentuk sembarang

  Peluang Peluang 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

  X X

  1

  1 kejadian tersebut kejadian kejadian

  X X

  1

  1

  1

  1

  1

  1

• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya. dari sebaran peluang kejadiannya.

  Nilai Harapan Peubah Acak Nilai Harapan Peubah Acak Latihan (1) Latihan (1)

  Diskret Diskret Dua buah mata uang dilempar bersama-- Dua buah mata uang dilempar bersama •• Nilai harapan dari peubah acak adalah Nilai harapan dari peubah acak adalah sama. Jika masing sama. Jika masing--masing memiliki sisi masing memiliki sisi pemusatan dari nilai peubah acak jika pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang percobaannya dilakukan secara berulang--ulang ulang yang seimbang, senaraikanlah ruang yang seimbang, senaraikanlah ruang sampai tak berhingga kali. sampai tak berhingga kali. contohnya. Jika kita ingin melihat contohnya. Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata munculnya sisi muka pada kedua mata

• Secara matematis nilai harapan dapat Secara matematis nilai harapan dapat p p p p

  uang, maka definisikan peubah acak uang, maka definisikan peubah acak k d fi i ik k d fi i ik b h b h k k dirumuskan sebagai berikut: dirumuskan sebagai berikut: tersebut. Lengkapi dengan sebaran tersebut. Lengkapi dengan sebaran _n peluang dari peubah acak tersebut. peluang dari peubah acak tersebut.

  ( X ) x p ( x ), jika X p.a diskret Ε = x i ∑ _{i 1}

  = Sifat--sifat nilai harapan: Sifat sifat nilai harapan:

  Ragam Peubah Acak Ragam Peubah Acak

• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut: Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai beri
• Jika c konstanta maka E(c ) = c Jika c konstanta maka E(c ) = c
_{2 2} V(X) = E(X V(X) = E(X--E(X))
• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c

  = E(X = E(X ) – ) – [E(X)] [E(X)] tunjukkan ! tunjukkan !

  maka E(cX) = c E(X) maka E(cX) = c E(X)

  Sifat--sifat dari ragam Sifat sifat dari ragam •• ¾ Jika c konstanta maka V(c ) = 0 ¾ J a c o s a a J a c o s a a Jika c konstanta maka V(c ) = 0 a a (c ) a a (c )

• Jika X dan Y peubah acak Jika X dan Y peubah acak Jika X dan Y peubah acak Jika X dan Y peubah acak

  ¾ ¾ Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = _{2 2}

  c c V(X) V(X) maka E(X maka E(X ±±Y) = E(X) Y) = E(X) ±± E(Y) E(Y)

  ¾ ¾ Jika X dan Y peubah acak maka,

  Jika X dan Y peubah acak maka, V(X V(X ±± Y) = V(X) + V(Y) Y) = V(X) + V(Y) ±± Cov(X,Y) Cov(X,Y) Dimana: Cov(X,Y) = E(X--E(X))E(Y Dimana: Cov(X,Y) = E(X E(X))E(Y--E(Y)), Jika X dan Y E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0 saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

  Beberapa sebaran peluang diskret

• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawah acak X seperti tabel di bawah
• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah: Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah: E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6 ( ) ( ) ( ) ( )
• Bernoulli • Binomial • Poisson

  Nilai peubah Acak X Nilai peubah Acak X

  X X

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  4

  4

  5

  _{II ))} 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

  Contoh: Contoh:

5 P(X=x P(X=x

  Sebaran Peluang Bernoulli ¾Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

  = = p p

  ⎟⎟ ⎠

  ⎜⎜ ⎝

  p p

  X P

  G G G x=0 ³ ) 1 (

  3 ) ( ⁻

  − ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  X P ^{1 3 1}

  ) 1 (

  ) 1 (

  1

  3 ) 1 ( ⁻

  − ⎟⎟ ⎠ ⎞

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  = = p p

  X P

  Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p

  2 ) 2 (

  G S G S G G G G S S G S x=1

  ¾Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal gaga

  ¾E(X) =np var(X)=np(1-p)

  ¾Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

  P(x,p)=p x q

  (1-x) , x=0,1 ¾E(X) = p var(X)= p(1-p)

  Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20% Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.

  Sebaran Peluang Binomial ¾Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

  ¾Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n 0, , , ,

  ¾Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai: P(x,n,p)=C(n,x)p x q

  (n-x) , x=0,1,2,…,n dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

  Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  S S G G S S S S S x=3 x=2 ^{2 3 2}

  ) 1 (

  X X ii p(x p(x ii )) 1/6 1/6 2/6 2/6 3/6 3/6 4/6 4/6 5/6 5/6 V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) -- (15/6) (15/6) ^{2 2} = 55/6 = 55/6 -- 225/36 = 105/36 225/36 = 105/36

  − ⎟⎟ ⎞

  ⎜⎜ ⎛

  = = p p

  X P ^{3 3 3}

  3

  3 ₋ ⎟⎟ ⎠ ⎞

  3 ) 2 ( ⁻

  Latihan Peluang turun hujan per hari diketahui

  Peubah Acak Kontinu p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah: a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu? b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?

  Beberapa sebaran peluang kontinu

• Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu
• No>Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang
• Wei
• Integral fungsi kepekatan peluang dari semua
• Gamma

  kemungkinan nilai sama dengan 1

• Beta • Beta
• Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk P l d i t l il i d t dib t k dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut

  0.4500 _0.4000 Sebaran Normal Bentuk sebaran normal dengan _{0.2500 0.3000 0.3500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0000 0.0500 X} berbagai nilai ragam _{60 Variable}

  ¾Bentuk sebaran simetrik _{ragam - 5 ragam 3} ^{ragam 1} ¾Mean, median dan modus berada dalam satu titik _{ragam -10}

  ¾Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai _{2 t 40}

  berikut: _{1 ⎛ − x μ ⎞ n} − e ⎜ ⎟ ₂

  1 _{2 ⎝ ⎝ σ σ ⎠ ⎠} ^rc _{P e e 30 30} f f ( ( x x , μ μ , σ σ ) ) = e e

  2 π σ ₂₀

  ¾Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan _{b 10}

  normal: p ( a ≤ x ≤ b ) = f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) ∫ _{a -36 -24 -12 Dat a 12 24 36}

• P ( μ - θ < x < μ + σ ) = 0.683
• P ( μ - 2θ < x < μ + 2σ ) = 0.954
₂ Semakin besar ragam dari sebaran normal maka semakin landai bentuk sebarannya

  ¾Peubah acak (X) dengan mean ( μ ) dan ragam ( σ ) ₂

  menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N ( μ , σ )

  Nilai Harapan Peubah Acak Nilai Harapan Peubah Acak

• Setiap peubah acak normal memiliki Setiap peubah acak normal memiliki

  Kontinu Kontinu karakteristik yang berbeda--beda karakteristik yang berbeda bedaÎ Î perhitungan perhitungan peluang akan sulit peluang akan sulit

• Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam

  2 jangka panjang jangka panjang

  2

• Lakukan transformasi dari X Lakukan transformasi dari X ∼∼ N( N( μμ , , σσ ) ) ∼∼ N(0 , 1) menjadi peubah acak normal baku Z menjadi peubah acak normal baku Z N(0 , 1)
• Secara matematis nilai harapan dapat Secara matematis nilai harapan dapat dengan menggunakan fungsi transformasi dengan menggunakan fungsi transformasi dirumuskan sebagai berikut: dirumuskan sebagai berikut:
• Distribusi peluang dari peubah acak normal peubah acak normal

  ∞ ∼∼ N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk baku Z baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk

  ( X ) x f ( x ) dx , jika X p.a kontinu Ε = _{i i} ∫ tabel peluang normal baku tabel peluang normal baku

  − ∞ μ

  X − Z = σ

  Latihan Cara penggunaan tabel normal baku

  ¾ Nilai z, disajikan pada _{Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03} Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar

  kolom pertama (nilai z sampai desimal

• _{-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004} normal dengan rata-rata tingkat curah hujan

  2 pertama) dan baris

  25 mm dan ragam 25 mm . Hitunglah, pertama (nilai z

  1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 desimal kedua) _{-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006} mm?

  ¾ Nilai peluang didalam p g

  tabel normal baku

  2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm adalah peluang _{-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008} sampai 20 mm? peubah acak Z kurang

  3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm? dari nilai k (P(Z<k)).

  4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut!

  P(Z<-2.42)=0.008

  Contoh Soal Latihan Soal