Operasi Baris Elementer OBE dan Eliminas

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol.

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i R i .

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan

R i R i . Ini berarti baris R i yang baru pada A 0 sama dengan kali baris R i yang lama pada A.

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan

R i R i . Ini berarti baris R i yang baru pada A 0 sama dengan kali baris R i yang lama pada A.

OBE2 Menukar posisi dua baris pada A.

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan

R i R i . Ini berarti baris R i yang baru pada A 0 sama dengan kali baris R i yang lama pada A.

OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A 0 adalah matriks baru yang

diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i $R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A.

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan

R i R i . Ini berarti baris R i yang baru pada A 0 sama dengan kali baris R i yang lama pada A.

OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A 0 adalah matriks baru yang

diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i $R j untuk baris R i

dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A 0 menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya .

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan

R i R i . Ini berarti baris R i yang baru pada A 0 sama dengan kali baris R i yang lama pada A.

OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i $R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A 0 menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya .

OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain.

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan

R i R i . Ini berarti baris R i yang baru pada A 0 sama dengan kali baris R i yang lama pada A.

OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i $R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A 0 menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya .

OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R j R j +R i .

Operasi Baris Elementer/ OBE

Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R 1 ;R 2 ;:::;R m . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan

R i R i . Ini berarti baris R i yang baru pada A 0 sama dengan kali baris R i yang lama pada A.

OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R i $R j untuk baris R i dan R j yang ditukar pada A. Ini berarti baris R i pada A 0 menjadi baris R j pada A, dan sebaliknya .

OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A 0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan R j R j +R i . Ini berarti baris R j yang baru pada A 0 sama dengan baris R j yang lama pada A ditambah dengan kali baris R i yang lama pada A.

x +y=4

Kita akan menyelesaikan SPL via OBE, matriks diperbesar yang

x y =2

berkaitan adalah berkaitan adalah

Kita akan menyelesaikan SPL via OBE, matriks diperbesar yang

x y =2

berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah

x +y=4

Kita akan menyelesaikan SPL via OBE, matriks diperbesar yang

x y =2

berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah

0). ; 1). (R 2 R 2 R 1 ); 0). ; 1). (R 2 R 2 R 1 );

Kita akan menyelesaikan SPL via OBE, matriks diperbesar yang

x y =2

berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah

0). ; 1). (R 2 R 2 R 1 );

x +y=4

Kita akan menyelesaikan SPL via OBE, matriks diperbesar yang

x y =2

berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah

0). ; 1). (R 2 R 2 R 1 );

R 2 2 R 2 1 0 ; 3). 3

(R 1 R 1 R 2 ).

x +y=4

Kita akan menyelesaikan SPL via OBE, matriks diperbesar yang

x y =2

berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah

(R 1 R 1 R 2 ). Pada

langkah terakhir kita memiliki matriks

Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1).

x +y=4

Kita akan menyelesaikan SPL via OBE, matriks diperbesar yang

x y =2

berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah

(R 1 R 1 R 2 ). Pada

langkah terakhir kita memiliki matriks

Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1). Bentuk ketika nilai-nilai dari variabel-variabel suatu SPL dapat diketahui dengan mudah seperti pada (6) kita katakan sebagai bentuk eselon baris tereduksi .

Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas . Contoh:

rangkaian OBE berikut 0 1

Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas . Contoh:

rangkaian OBE berikut 0 1 0 1

B C 0 1 5 ) C B 0 C (R 2 2 R @

2 1 1 3 5 A OBE @ )

Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas . Contoh:

rangkaian OBE berikut 0 1 0 1

C (R 2 R 2 R 1 @ 2 1 3 5 A OBE @

OBE @ 0 1 1 15 A (R

2R )

Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas . Contoh:

rangkaian OBE berikut 0 1 0 1

B 1 0 1 5 C B C C ) B 0 1 0 5 C 2 2 R 1 @ 2 1 3 5 A OBE ) @ 2 3 5 A (R 1 R

B 0 1 0 5 C ) B C 3 3 OBE 1 @ 0 1 1 15 A (R R 2R )

B 0 1 0 5 ) C C (R 4 R 4 3R 1 ).

OBE @ 0 1 1 15 A

0 dapat dilakukan lebih ringkas sebagai 1 0 1

B 1 0 1 5 C C B B 0 1 0 5 ) C C @ R 3 R 3 2R 1 A

@ 2 1 3 5 A OBE @ 0 1 1 15 A

R 4 R 4 3R 1

B 0102 C

B C @ 1104 A

B 0102 C @ 1104 A

) B 0102 C (R 1 2R 1 )

OBE @ 1104 A 1016

B 0102 C C @ 1104 A

B C B C ) B 0102 C 1 1 B 0306 C 2 2 OBE @ 1104 A (R

(R 3R OBE @ 1104 A ) 1016

2R ))

B 0102 C @ 1104 A

B 0102 C B C ) B C (R 1 2R A 1 )) B 0306 C (R @ 2 @ A 3R 2 )

OBE

OBE

B 030

OBE ) @ 4 4 0 16 A (R 3 4R 3 )

B 0102 C

B C @ 1104 A

B 0102 C B C ) B C 1 1 B 0306 C @ 2 A (R 2R )) @ A (R 3R 2 )

dapat dilakukan lebih ringkas sebagai

B 0102 C @ 1104 A

C ) B 0102 C C @ C (R 1 2R 1 B 0306 C 2 2

(R 3R ) 1104 A 1016

1104 A )) OBE @

dapat dilakukan lebih ringkas sebagai 0 1 0 1 0 1 1002

4 R 1 2R 1

A ) B C B 1104 C OBE @ 4 4 0 16 A @ R 3 4R 3 A 1016

B 0102 C 030

3R

R 4 2R 4

Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas.

Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas

R 1 2R 1

@ 1 0 1 5 A) @ 3 2 3 25 A

OBE

R 2 R 2 +R 1

Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas

Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama.

Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas

Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh R 2 yang baru.

Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas

Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh

R 2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis

R 2 R 2 +R 1 .

Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas

Pada OBE tersebut, nilai dari R 1 yang baru adalah 2R 1 yang lama. Kemudian nilai R 1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R 2 yang lama untuk memperoleh

R 2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis

R 2 R 2 +R 1 . Jadi R 1 di sini tidak jelas mengacu ke mana.

Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi

bertingkat pada OBE yang kita lakukan:

1 Pada OBE 1, jika kita melakukan R i R i , maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R i .

2 Pada OBE 3, jika kita melakukan R j R j +R i , maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R j dan R i .

Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi

bertingkat pada OBE yang kita lakukan:

1 Pada OBE 1, jika kita melakukan R i R i , maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R i .

2 Pada OBE 3, jika kita melakukan R j R j +R i , maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai R j dan R i .

Singkatnya pada operasi (kiri) (kanan), tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai (kanan) .

1 Motivasi dan Pengenalan OBE

2 Representasi Matriks untuk SPL

3 Operasi Baris Elementer (OBE)

4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6 Latihan OBE dan EGJ (1)

7 SPL Homogen

8 Latihan OBE dan EGJ (2)

9 Latihan OBE dan EGJ (3)

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan.

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @ 0 0 0 A

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

A memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 0 = 2015. 0 0

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

A memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 0 = 2015. 0 0

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C @

A memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 0 = 2015. 0 0

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

A memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 0 = 2015. 0 0

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

A memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 0 = 2015. 0 0

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

+x @ 3 =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

A memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 0 = 2015. 0 0

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

@ +x =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 2 . +x 3 =2

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

+x @ 3 =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 3

2 3 . Misalkan x +x = t, =2

0 0 0 0 maka diperoleh x 1 =

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C @ 0 0 0 A memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

+x @ 3 =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 2 3 . Misalkan x 3 = t, +x =2

maka diperoleh x 1 =1 t dan x 2 =

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

@ +x =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 3

2 3 . Misalkan x +x = t, =2

0 0 0 0 maka diperoleh x 1 =1 t dan x 2 =2 t . Jadi solusi SPL-nya adalah tupel

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

+x @ 3 =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 3

2 +x 3 . Misalkan x =2 = t,

0 0 0 0 maka diperoleh x 1 =1 t dan x 2 =2 t . Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t; 2 t; t ).

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

+x @ 3 =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 2 3 . Misalkan x 3 = t, +x =2

0 0 0 0 maka diperoleh x 1 =1 t dan x 2 =2 t . Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t; 2 t; t ).

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

+x @ 3 =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 2 3 . Misalkan x 3 = t, +x =2

0 0 0 0 maka diperoleh x 1 =1 t dan x 2 =2 t . Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t; 2 t; t ).

@ 0 1 0 4 A tidak memiliki solusi (tidak konsisten),

Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1

B 0 1 2015 C C @

memiliki solusi x 1 = 1996 dan x 2 = 2015.

1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x 1 = 4, x 2 = 5, dan x 3 = 6.

@ +x =1

0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x 2 3 . Misalkan x 3 = t, +x =2

0 0 0 0 maka diperoleh x 1 =1 t dan x 2 =2 t . Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t; 2 t; t ).

1 0 0 5 @ 0 1 0 4 A tidak memiliki solusi (tidak konsisten), baris terakhir ekivalen

0 0 0 1 dengan ekspresi 0 = 1 yang merupakan kontradiksi.

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1024

@ 0136 A 0010

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama (leading 1). 1024

A EB. @ 0130 A

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama 0 (leading 1). 1 1024

A EB. @ 0101 A 0010

A EB. @ 0130

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama 0 (leading 1). 1 1024

A EB. @ 0101 A EB . 0010

A EB. @ 0130

2 0 1 utama pada baris 1 yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan . 1024

@ 0016 A 0001

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama 0 (leading 1). 1 1024

A EB. @ 0101 A EB . 0010

A EB. @ 0130

2 0 1 utama pada baris 1 yang lebih bawah 0 berada pada tempat 1 yang lebih kanan . 1024

A EB. @ 0016 A

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama 0 (leading 1). 1 1024

A EB. @ 0101 A EB . 0010

A EB. @ 0130

2 0 1 utama pada baris 1 yang lebih bawah 0 berada pada tempat 1 0 yang lebih kanan 1 . 1024

A EB. @ 0016 A EB. @ 0116 A 0001

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

adalah 0 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama 0 (leading 1). 1 1024

A EB. @ 0101 A EB . 0010

A EB. @ 0130

2 0 1 utama pada baris 1 yang lebih bawah 0 berada pada tempat 1 0 yang lebih kanan 1 . 1024

A EB. @ 0016 A EB. @ 0116 A EB . 0001

3 0 Semua baris yang 1 seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah . 1234

B 0013 C @ 0001 A

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama 0 (leading 1). 1 1024

A EB. @ 0101 A EB . 0010

A EB. @ 0130

2 0 1 utama pada baris 1 yang lebih bawah 0 berada pada tempat 1 0 yang lebih kanan 1 . 1024

A EB. @ 0016 A EB. @ 0116 A EB . 0001

3 0 Semua baris yang 1 seluruh entrinya 0 0 ditempatkan bersama di 1 baris bawah . 1234

B 0013 C C B B 0000 C

A EB. 0001 C @ 0010 A 0000

Bentuk Eselon Baris (EB)

1 Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri

0 adalah 1. Selanjutnya 1 0 1 ini akan kita sebut 1 1 utama 0 (leading 1). 1 1024

A EB. @ 0101 A EB . 0010

A EB. @ 0130

2 0 1 utama pada baris 1 yang lebih bawah 0 berada pada tempat 1 0 yang lebih kanan 1 . 1024

A EB. @ 0016 A EB. @ 0116 A EB . 0001

3 Semua baris yang 0 1 seluruh entrinya 0 0 ditempatkan bersama di 1 baris bawah . 1234

B 0013 C C B B 0000 C

A EB. 0001 C @ 0010 A EB .

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT?

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT? Ya.

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT? Ya.

A EBT? 0010

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT? Ya.

A EBT? Tidak, EB? 0010

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT? Ya.

A EBT? Tidak, EB? Ya. 0010

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT? Ya.

A EBT? Tidak, EB? Ya. 0010

@ 0102 A 0001

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT? Ya.

A EBT? Tidak, EB? Ya. 0010

A EBT? Tidak, 0001

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada

dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut.

4 Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0 .

A EBT? Ya.

A EBT? Tidak, EB? Ya. 0010

A EBT? Tidak, EB? Tidak . 0001

1 Motivasi dan Pengenalan OBE

2 Representasi Matriks untuk SPL

3 Operasi Baris Elementer (OBE)

4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6 Latihan OBE dan EGJ (1)

7 SPL Homogen

8 Latihan OBE dan EGJ (2)

9 Latihan OBE dan EGJ (3)

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL.

EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL.

EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut

Bentuk EBT @ . .. .. .

. .. A serangkaian OBE

matriks diperbesar dari SPL

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL.

EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut

. .. A serangkaian OBE

C =)

Bentuk EBT

a m1 a m2

a mn c m

matriks diperbesar dari SPL

Catatan: eliminasi Gauss: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EB, eliminasi Gauss-Jordan: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EBT .

Kita akan menentukan solusi dari SPL

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah

Kita akan menentukan solusi dari SPL

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah

2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar

baris. Entri ini disebut pivot.

2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar

baris. Entri ini disebut pivot. 2 3

4 0 2 1 7 5 (R 1 $R 2 )

2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar

baris. Entri ini disebut pivot. 2 3

4 0 2 1 7 5 (R 1 $R 2 )

2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1.

2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar

baris. Entri ini disebut pivot. 2 3

4 0 2 1 7 5 (R 1 $R 2 )

2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1.

2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar

baris. Entri ini disebut pivot. 2 3

4 0 2 1 7 5 (R 1 $R 2 )

2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1.

2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar

baris. Entri ini disebut pivot. 2 3

4 0 2 1 7 5 (R 1 $R 2 )

2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1.

2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar

baris. Entri ini disebut pivot. 2 3

4 0 2 1 7 5 (R 1 $R 2 )

2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1.

4 0 2 1 7 5 (R 3 R 3 2R 1 )

4 0 2 1 7 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 1 1 5 5). 1 utama pertama sudah diperoleh. Untuk memperoleh 1 utama berikutnya,

lakukan cara yang serupa seperti langkah 1).

4 0 2 1 7 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 1 1 5 5). 1 utama pertama sudah diperoleh. Untuk memperoleh 1 utama berikutnya,

lakukan cara yang serupa seperti langkah 1). 2 3

4 0 2 1 7 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1.

4 0 2 1 7 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 1 1 5 5). 1 utama pertama sudah diperoleh. Untuk memperoleh 1 utama berikutnya,

lakukan cara yang serupa seperti langkah 1). 2 3

4 0 2 1 7 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1.

4 0 1 1 5 5 (R 2 $R 3 )

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 2R 1 )

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 0 1 3 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1

utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1).

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 0 1 3 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1

utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 0 1 3 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1

utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 0 1 3 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1

utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2 3

4 0 1 1 5 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1.

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 0 1 3 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1

utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2 3

4 0 1 1 5 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1.

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 2R 1 )

0 0 1 3 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1

utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2 3

4 0 1 1 5 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1.

4 0 1 1 5 5 (R 3 R 3 )

4 0 1 0 2 5 (R 2 R 2 R 3 )

4 0 1 0 2 5 (R 2 R 2 R 3 )

2 9). Jadikan semua entri di atas semua 3 1 utama berikutnya (dari kanan) bernilai 0.

4 0 1 0 2 5 (R 1 R 1 +R 2 )

2 semua entri di atas 3 1 utama paling kanan bernilai 0.

4 0 1 0 2 5 (R 2 R 2 R 3 )

0 0 1 3 9). Jadikan semua entri di atas semua 2 3 1 utama berikutnya (dari kanan) bernilai 0.

4 0 1 0 2 5 (R 1 R 1 +R 2 )

0 0 1 3 Bentuk EBT telah diperoleh, yaitu

2 semua entri di atas 3 1 utama paling kanan bernilai 0.

4 0 1 0 2 5 (R 2 R 2 R 3 )

2 9). Jadikan semua entri di atas semua 3 1 utama berikutnya (dari kanan) bernilai 0.

4 0 1 0 2 5 (R 1 R 1 +R 2 )

0 0 1 3 Bentuk EBT telah diperoleh, yaitu

Ini berarti solusi dari SPL adalah x = 1, y = 2, dan z = 3 .

1 Motivasi dan Pengenalan OBE

2 Representasi Matriks untuk SPL

3 Operasi Baris Elementer (OBE)

4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6 Latihan OBE dan EGJ (1)

7 SPL Homogen

8 Latihan OBE dan EGJ (2)

9 Latihan OBE dan EGJ (3)

Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL-SPL berikut menggunakan OBE

1 x 2y =4 2x

4y =5 x 1 +2x 2 = 66

2 x 1 +x 2 = 39 2x 1 +3x 2 = 105

2x 1 +x 2 = 51

2x 1 +x 2 +x 3 =0

3 x 1 2x 2 +x 3 =0 x 1 +x 2 2x 3 =0

4 x +y +z =0 x +2y +3z =1

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan adalah

2x

4y =5

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan adalah

2x

4y =5

1 2 4 . Langkah-langkah OBE:

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan adalah

2x

4y =5

1 2 4 . Langkah-langkah OBE:

(R 2 R 2 2R 1 ). 2).

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan adalah

2x

4y =5

1 2 4 . Langkah-langkah OBE:

(R 2 R 2 2R 1 ). 2).

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan adalah

2x

4y =5

1 2 4 . Langkah-langkah OBE:

(R 2 R 2 2R 1 ). 2).

0 0 3 0 0 1 3 Akibatnya diperoleh persamaan 0x + 0y = 1, ini berarti SPL tidak konsisten.

Lebih jauh, kita memiliki teorema berikut. Teorema

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan adalah

2x

4y =5

1 2 4 . Langkah-langkah OBE:

0 0 3 0 0 1 Akibatnya diperoleh persamaan 0x + 0y = 1, ini berarti SPL tidak konsisten.

Lebih jauh, kita memiliki teorema berikut. Teorema

Diberikan suatu SPL (m persamaan dan n peubah) yang memiliki matriks diperbesar A. Apabila E adalah bentuk EBT dari A, maka SPL tersebut konsisten jika dan hanya jika E tidak mengandung baris berbentuk Diberikan suatu SPL (m persamaan dan n peubah) yang memiliki matriks diperbesar A. Apabila E adalah bentuk EBT dari A, maka SPL tersebut konsisten jika dan hanya jika E tidak mengandung baris berbentuk

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan

adalah = 105

2x 1 +3x 2

2x 1 +x 2 = 51 2x 1 +x 2 = 51

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan

4 2 3 105 5 . Langkah-langkah OBE:

x 1 +2x 2 = 66 x 1 +x 2 = 39

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan adalah 2x 1 +3x 2 = 105

4 2 3 105 5 . Langkah-langkah OBE:

6 1 1 39 7 7 R 1 R 1 R 1). 2 .

4 0 2 54 5 R 3 R 3 R 4

x 1 +2x 2 = 66 x 1 +x 2 = 39

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan

4 2 3 105 5 . Langkah-langkah OBE:

6 1 1 39 7 7 R 1 R 1 R 1). 2 .

4 0 2 54 5 R 3 R 3 R 4

7 2). $R 6

6 0 1 27 7 R 1 2

4 2 . 1 51 5 R 3 $R 4

4 5 R 3 R 3 R 2 2 A. 0 24

R 4 R 4 2R 2

Jadi SPL memiliki solusi x 1 = 12 dan x 2 = 27.

2x 1 +x 2 +x 3 =0 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan

x 1 2x 2 +x 3 =0 adalah x 1 +x 2 2x 3 =0

2x 1 +x 2 +x 3 =0 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan

x 1 2x 2 +x 3 =0 adalah x 1 +x 2 2x 3 =0

4 1 2 1 0 5. Langkah-langkah OBE:

2x 1 +x 2 +x 3 =0 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan

x 1 2x 2 +x 3 =0 adalah x 1 +x 2 2x 3 =0

4 1 2 1 0 5. Langkah-langkah OBE:

1 2 1 0 1). 4 2 1 1 0 5 (R 1 $R 2 ).

2x 1 +x 2 +x 3 =0 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan

x 1 2x 2 +x 3 =0 adalah x 1 +x 2 2x 3 =0

4 1 2 1 0 5. Langkah-langkah OBE:

1 2 1 0 1). 4 2 1 1 0 5 (R 1 $R 2 ).

R 2 R 2 + 2R 1 2). 4 0 3 3 0 5 R 3 R 3 R 1

3). 4 0 3 3 0 5 (R 3 R 3 +R 2 )

3). 4 0 3 3 0 5 (R 3 R 3 +R 2 )

4). 4 0 1 1 0 5 (R 2 R 2 )

Diperoleh SPL

Diperoleh SPL

2 x 3 . Misalkan x = t, maka x =0 =

Diperoleh SPL x 3

2 x 3 . Misalkan x = t, maka x 1 =x 3 =0 = t dan x 2 =

Diperoleh SPL

2 x 3 . Misalkan x = t, maka x =x =0 = t dan x 2 =x 3 = t. Jadi solusi SPL adalah

Diperoleh SPL

2 x 3 . Misalkan x = t, maka x =x =0 = t dan x 2 =x 3 = t. Jadi solusi SPL adalah x 1 =x 2 =x 3 = t, dengan t 2 R. Dengan perkataan lain, solusi SPL adalah tupel (t; t; t), dengan t 2 R.

+z =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan

x +y

adalah x +2y +3z =1

+z =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan

x +y

adalah x +2y +3z =1

1 1 1 0 . Langkah-langkah OBE:

Diperoleh SPL y . Misalkan z = t, maka y = 1 2t, dan x = t 1. + 2z = 1

Jadi diperoleh solusi x =t

1, y = 1 2t, dan z = t, dengan t 2 R. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel (t 1; 1 2t; t), dengan t 2 R.

1 Motivasi dan Pengenalan OBE

2 Representasi Matriks untuk SPL

3 Operasi Baris Elementer (OBE)

4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6 Latihan OBE dan EGJ (1)

7 SPL Homogen

8 Latihan OBE dan EGJ (2)

9 Latihan OBE dan EGJ (3)

Suatu SPL dikatakan homogen apabila semua konstanta yang terdapat pada SPL tersebut bernilai 0 .

SPL Homogen

SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah x 1 ;:::;x n berbentuk

Suatu SPL dikatakan homogen apabila semua konstanta yang terdapat pada SPL tersebut bernilai 0 .

SPL Homogen

SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah x 1 ;:::;x n berbentuk

a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n =0 dengan a ij 2 R untuk setiap 1 i

m dan 1 j

Pertanyaan

Suatu SPL dikatakan homogen apabila semua konstanta yang terdapat pada SPL tersebut bernilai 0 .

SPL Homogen

SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah x 1 ;:::;x n berbentuk

a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n =0 dengan a ij 2 R untuk setiap 1 i

m dan 1 j

Pertanyaan Apakah SPL homogen selalu memiliki solusi (apakah SPL homogen selalu

konsisten)?

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut

ax + by = 0 (a dan b tak keduanya 0) cx + dy = 0 (c dan d tak keduanya 0).

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut

ax + by = 0 (a dan b tak keduanya 0) cx + dy = 0 (c dan d tak keduanya 0).

Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut

ax + by = 0 (a dan b tak keduanya 0) cx + dy = 0 (c dan d tak keduanya 0).

Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu ` 1 : ax + by = 0 dan ` 2 : cx + dy = 0.

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut

ax + by = 0 (a dan b tak keduanya 0) cx + dy = 0 (c dan d tak keduanya 0).

Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu ` 1 : ax + by = 0 dan ` 2 : cx + dy = 0. Jelas bahwa (0; 0) merupakan solusi SPL karena ` 1 dan ` 2 pasti melalui titik (0; 0).

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut

ax + by = 0 (a dan b tak keduanya 0) cx + dy = 0 (c dan d tak keduanya 0).

Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu ` 1 : ax + by = 0 dan ` 2 : cx + dy = 0. Jelas bahwa (0; 0) merupakan solusi SPL karena ` 1 dan ` 2 pasti melalui titik (0; 0). Pertanyaan yang sekarang muncul adalah: apakah (0; 0) merupakan satu-satunya solusi?

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut

ax + by = 0 (a dan b tak keduanya 0) cx + dy = 0 (c dan d tak keduanya 0).

Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu ` 1 : ax + by = 0 dan ` 2 : cx + dy = 0. Jelas bahwa (0; 0) merupakan solusi SPL karena ` 1 dan ` 2 pasti melalui titik (0; 0). Pertanyaan yang sekarang muncul adalah: apakah (0; 0) merupakan satu-satunya

solusi? Hal ini belum tentu terjadi ketika ` 1 dan ` 2 berimpit. Ketika hal ini terjadi, maka SPL memiliki tak hingga banyak solusi.

Teorema

Teorema SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah (seperti SPL (7)) selalu

konsisten. Bukti

Teorema SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah (seperti SPL (7)) selalu

konsisten. Bukti

n tupel (0; 0; : : : ; 0) merupakan salah satu solusi SPL homogen. Solusi (0; 0; : : : ; 0) disebut sebagai solusi trivial dari suatu SPL homogen .

Latihan Tentukan semua solusi dari SPL homogen berikut

3a b c d =0

1 a 3b +c

+d =0

a +b

3c +d =0

a +b +c

3d =0

3a +2b

c =0

2 a +2b 3c = 0

a +b

c =0 2a 2b +c =0

3 a 2b 2c = 0 2a +b

2c = 0

a +3c = 0

3a b c d =0

a 3b +c +d =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a

+b

3c +d =0

a +b

+c 3d =0

adalah

3a b c d =0

a 3b +c +d =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a

4 1 1 3 1 0 5 . Langkah-langkah OBE:

3a b c d =0

a 3b +c +d =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a

4 1 1 3 1 0 5 . Langkah-langkah OBE:

6 3 1 1 1 0 1). 7 7 (R 1 $R 2 )

3a b c d =0

a 3b +c +d =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a

6 adalah 6 1 3 1 1 0 7 4 7 1 1 3 1 0 5 . Langkah-langkah OBE:

6 3 1 1 1 0 7 1). 6 7 (R 1 $R 2 )

R 2 R 2 3R 6 1

6 0 2 1 1 0 7 7 2 3). 1 @ R 3 R 3 A

6 0 2 1 1 0 7 R 2 2 R 2 3). 6 7 @ 1 R 3 R 3 A

4 0 2 1 1 0 5 (R 2 $R 3 )

6 7 R 2 R 2 2 0 2 3). 6 0 1 1 7 @ 1 R 3 A

4 0 2 1 1 0 5 (R 2 $R 3 )

6 0 1 1 0 0 7 R 3 R 3 2R 5). 2 7

6 0 1 0 1 0 7 R 1 R 1 R 6). 3 7

4 0 0 1 1 0 5 R 2 R 2 +R 3

Diperoleh SPL Diperoleh SPL

c d =0 c d =0

c d =0 c d =0

c d =0 Jadi solusinya adalah a = b = c = d = t 2 R.

a d =0 Diperoleh SPL b d =0 . Misalkan d = t, maka diperoleh a = b = c = d = t.

c d =0 Jadi solusinya adalah a = b = c = d = t 2 R. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel (t; t; t; t) dengan t 2 R.

3a +2b

c =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a +2b

3c = 0 adalah

a +b

c =0

3a +2b

c =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a +2b

3c = 0 adalah

a +b

c =0

4 1 2 3 0 5. Langkah-langkah OBE:

3a +2b

c =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a +2b

3c = 0 adalah

a +b

c =0

4 1 2 3 0 5. Langkah-langkah OBE:

1). 4 3 2 1 0 5 (R 1 $R 2 )

3a +2b

c =0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a +2b

3c = 0 adalah

a +b

c =0

4 1 2 3 0 5. Langkah-langkah OBE:

1). 4 3 2 1 0 5 (R 1 $R 2 )

2). 4 R

3R

3). 4 0 1 2 0 5 R 4 3

R 1 R 1 2R 2 4). 4 0 1 2 0 5 R 3 R 3 R 2

Diperoleh SPL

1 2 3 0 R 1 2 R 2 3). 4 0 1 2 0 5 R 4 3 R 3

R 1 R 1 2R 2 4). 4 0 1 2 0 5 R 3 R 3 R 2

a +c=0 Diperoleh SPL

. Misalkan c = t, maka

b 2c = 0

1 2 3 0 R 1 2 R 2 3). 4 0 1 2 0 5 R 4 3 R 3

R 1 R 1 2R 2 4). 4 0 1 2 0 5 R 3 R 3 R 2

a +c=0 Diperoleh SPL

. Misalkan c = t, maka a = t dan b = 2t.

b 2c = 0

3). 4 0 1 2 0 5 R 3

R 1 R 1 2R 2 4). 4 0 1 2 0 5 R 3 R 3 R 2

a +c=0 Diperoleh SPL

. Misalkan c = t, maka a = t dan b = 2t. Jadi

b 2c = 0 solusinya adalah a = t ,b = 2t, dan c = t dengan t 2 R.

3). 4 0 1 2 0 5 R 4 3

R 1 R 1 2R 2 4). 4 0 1 2 0 5 R 3 R 3 R 2

a +c=0 Diperoleh SPL

. Misalkan c = t, maka a = t dan b = 2t. Jadi

b 2c = 0 solusinya adalah a = t ,b = 2t, dan c = t dengan t 2 R. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel ( t; 2t; t) dengan t 2 R.

2a 2b +c =0

a 2b 2c = 0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL

adalah

2a +b

2c = 0

a +3c = 0

2a 2b +c =0

a 2b 2c = 0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL

4 2 1 2 0 5 . Langkah-langkah OBE:

2a 2b +c =0

a 2b 2c = 0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL

4 2 1 2 0 5 . Langkah-langkah OBE:

6 2 2 1 0 1). 7 7 (R 1 $R 2 )

2a 2b +c =0

a 2b 2c = 0 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL

4 2 1 2 0 5 . Langkah-langkah OBE:

6 2 2 1 0 7 1). 6 7 (R 1 $R 2 )

R 2 R 2 2R 6 1

2). 6 7 4 @ 5 R 3 R 3 2R 1 A

4 5 (R

3). 6 7 (R 4 R 4 R 4 2 )

6 0 2 5 0 7 5 4). 6 21 7 R 3 R 3 R 2

6 0 2 5 0 3). 7 7 (R 4 R 4 R 2

6 0 2 5 0 4). 7 21 7 R 5 3 R 3 2 R 2

4 R 3 R 0 3 0 1 0 5 21

6 0 2 0 0 7 7 R 1 R 1 + 2R 6). 3

4 0 0 1 0 5 R 2 R 2 5R 3

6 0 2 0 0 7 7 R 1 R 1 + 2R 6). 3

4 0 0 1 0 5 R 2 R 2 5R 3

4 (R 1 R 1 +R 2 0 ) 0 1 0 5

6 0 2 0 0 7 7 R 1 R 1 + 2R 6). 3

4 0 0 1 0 5 R 2 R 2 5R 3

7). 6 4 7 (R 1 R 1 +R 2 )

0 0 0 0 Diperoleh solusi a = b = c = 0. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel (0; 0; 0), atau dapat dikatakan SPL memiliki solusi trivial.

1 Motivasi dan Pengenalan OBE

2 Representasi Matriks untuk SPL

3 Operasi Baris Elementer (OBE)

4 Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5 Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6 Latihan OBE dan EGJ (1)

7 SPL Homogen

8 Latihan OBE dan EGJ (2)

9 Latihan OBE dan EGJ (3)

Latihan Diberikan SPL

14 z =a+2

Tentukan nilai a agar SPL tersebut:

1 Tidak mempunyai solusi.

2 Memiliki solusi tunggal.

3 Memiliki tak hingga banyak solusi.

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL adalah 2 3

2 5. Dengan OBE, tinjau bahwa:

4 1 a 14 a +2

4 5 R 2 R 2 3R 1). 1 0 7 14 10

2 R 3 R 3 4R 1

0 7 a 2 a 14

1 2 3 4 2). 4 0 7 14 10 5 (R 3 R 3 R 2 )

0 2 0 a 16 a 4

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0.

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0.

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4.

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4.

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

3 Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4.

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

3 Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus

berbentuk 0 0 0 0 .

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4.

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

3 Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah

a 0 2 0 16 a 4 , maka haruslah

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4.

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

3 Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah

0 2 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a

16 = 0 dan a

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4.

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

3 Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah

4 = 0. Dari a 2

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

16 = 0 dan a

4 = 0, maka SPL memiliki tak hingga banyak solusi saat

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

1 Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah

4 6= 0. Dari a 2

0 0 a 2 16 a 4 , maka haruslah a 2

16 = 0 tetapi a

4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

2 Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah

16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4.

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

3 Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah

4 = 0. Dari a 2

2 0 2 0 a 16 a 4 , maka haruslah a

16 = 0 dan a

4 = 0, maka SPL memiliki tak hingga banyak solusi saat a =4.

16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a

Latihan Diberikan SPL

Tentukan nilai b agar SPL homogen di atas memiliki tak hingga banyaknya solusi. Tuliskan semua kemungkinan solusi dari SPL tersebut.

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL adalah 2 3

4 0 1 b 1 0 5. Dengan OBE, tinjau bahwa:

1). 4 1 b 0 1 0 5 R 3

0 b b 0 SPL memiliki tak hingga banyaknya solusi apabila matriks 2 3

4 0 1 b 1 0 5 memiliki baris nol. Hal ini dapat terjadi dalam kasus

0 b b 0 berikut:

Nilai b =

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

diperoleh

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R 1 $R 2 ). Akibatnya diperoleh

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R 1 $R 2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0.

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R 1 $R 2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0.

Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t.

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R 1 $R 2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0.

Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z, maka misalkan x = s dengan s 2 R.

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R 1 $R 2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0.

Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z, maka misalkan x = s dengan s 2 R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = t , dan z = t, dengan s; t 2 R.

Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R 1 $R 2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0.

Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z, maka misalkan x = s dengan s 2 R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = t , dan z = t, dengan s; t 2 R. Dalam bentuk tupel,

solusi SPL adalah (s; t; t), dengan t 2 R .

Nilai b =

Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks

Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

0 2 2 0 diperoleh

Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

0 2 2 0 diperoleh 2 3

R 3 + 2R 2

4 0 1 1 0 5 (R 2 R 2 ).

Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

0 0 0 0 Akibatnya diperoleh x = 0 dan y z = 0.

Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

0 0 0 0 Akibatnya diperoleh x = 0 dan y z = 0. Misalkan z = t dengan t 2 R, maka

nilai y = t.

Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE

0 0 0 0 Akibatnya diperoleh x = 0 dan y z = 0. Misalkan z = t dengan t 2 R, maka