Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge fault- tolerant Hamiltonian graf Perti susanti, Wamiliana, dan Fitriani
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah
1-edge fault- tolerant Hamiltonian graf
Perti susanti, Wamiliana, dan Fitriani
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
Abstrak : Hamiltonian graf merupakan salah satu jenis graf yang banyak diobservasi,
dimana Hamiltonianian graf merupakan graf yang memuat Hamiltonian sirkuit. Jika
salah satu vertex atau edge di Hamiltonian graf tersebut dibuang dan graf tersebut masih
memuat Hamiltonian sirkuit, maka graf tersebut adalah 1-fault-tolerant Hamiltonian.
Pada penelitian ini akan didiskusikan tentang operator 3-join pada dua graf yang masing-
masing graf adalah 1-edge-fault tolerant Hamiltonian graf, teorema-teorema, bukti-bukti,
serta contoh-contoh yang berkaitan dengan sifat operator tersebut.
Kata Kunci : 1-fault-tolerant Hamiltonian graphs, operator 3-join, Hamiltonian sirkuit.
PENDAHULUAN
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang masih menarik untuk dibahas karena teori-teorinya masih aplikatif sampai saat ini dan dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Graf Hamiltonian adalah graf yang mengandung sirkuit Hamiltonian. Sirkuit Hamiltonian adalah graf sirkuit yang setiap vertex tepat dilewati satu kali kecuali titik asal.
LANDASAN TEORI
unsur
1 ,e 2 , … } yang
kosong, dan objek E = {e
1 ,v 2 , … } yang disebut vertex (titik) yang tidak
Graf G = (V,E) terdiri dari V = {v
- – unsurnya disebut edge (garis) yang boleh kosong, sehingga setiap edge
(kecuali vertex awal dan vertex akhir). 1-
dari vertex [2]. Derajat (degree) adalah jumlah edge yang menempel pada sebuah
berbeda [7]. Sirkuit adalah walk yang diawali dan diakhiri dengan vertex yang sama [2]. Graf yang setiap vertexnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur atau regular. Apabila derajat setiap vertex adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r [5].
walk yang semua titik (vertex) nya
suatu walk [2]. Lintasan (path) adalah
vertex sebelum dan sesudahnya. Tidak ada edge yang muncul lebih dari sekali dalam
titik (vertex) dan garis (edge), dimulai dan diakhiri dengan vertex , sedemikian sehingga setiap edge menempel dengan
Walk adalah barisan berhingga dari
, dengan loop dihitung dua kali, dan ditulis dengan d(v i ) [2].
vertex v i
e ij diidentifikasi dengan pasangan (v i ,v j )
fault-tolerant Hamiltonian Graph adalah
Salah satu bagian dari graf Hamiltonian adalah 1-fault-tolerant
Hamiltonian Graph. Pada penelitian ini
akan didiskusikan tentang dua sifat operator 3-join yang merupakan salah satu bagian dari 1-fault-tolerant Hamiltonian
Graph tersebut. Seperti yang telah
diketahui, Hamiltonian Graph merupakan salah satu jenis graf dimana graf tersebut merupakan graf sirkuit yang berderajat genap dan setiap vertex pada Hamiltonian
Graph hanya dapat dilewati satu kali
edge atau vertex dihapus pada graf
graf Hamiltonian yang jika salah satu
tersebut (G − ) maka graf tersebut tetap Hamiltonian, dengan f merupakan anggota dari edge atau vertex (f E V). jika G
Contoh.
Perti susanti dkk: Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge
fault- tolerant Hamiltonian graf
Graf kubik (Cubic Graphs)
Graf kubik adalah suatu graf teratur dimana setiap vertexnya memiliki derajat 3 atau sering disebut graf teratur derajat 3 (3 regular graph) [1].
Neighbours
Dalam teori graf, suatu vertex u dan v adalah neighbours, jika u,v G , dan
vertex u dan v dihubungkan oleh edge yang sama [3].
1-Fault Tolerant Hamiltonian Graphs
Suatu graf G=(V,E) adalah 1-edge fault
tolerant Hamiltonian jika G
- –{e} adalah
- –{v} adalah Hamiltonian untuk setiap v V. Setiap
- –{f} adalah Hamiltonian untuk setiap f E V [6].
Hamiltonian untuk setiap e E dan suatu graf G = (V,E) adalah 1-vertex fault
tolerant Hamiltonian jika G
graf 1-edge fault tolerant Hamiltonian adalah Hamiltonian. Suatu graf G =
(V,E) adalah 1-fault tolerant Hamiltonian
HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum mendiskusikan sifat operator 3-
1 . Maka e
dan G
2
adalah 1-edge fault-
tolerant Hamiltonian . Dengan simetri,
cukup dibuktikan bahwa G
1 adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian . Misalkan e
adalah salah satu edge di G
adalah salah satu edge yang menempel pada x atau tidak. Asumsikan bahwa e tidak menempel pada x. Jika e tidak menempel pada x maka e adalah edge di G. Karena G adalah 1-edge fault-tolerant
kedua G
Hamiltonian , maka ada Hamiltonian cycle C di G
gabungan dari V(G
1
) − sampai V(G
2 )
− , C dapat ditulis dengan P, ,
Q , , untuk beberapa
Pada bab ini akan didiskusikan tentang sifat operator 3-join pada 1-fault-tolerant
1
tolerant Hamiltonian . Klaim bahwa
join , terlebih dahulu akan dijelaskan
Gambar 1. Contoh operator 3-join
definisi dari operator 3-join sebagai berikut.
Misal G
1 dan G 2 adalah 2 graf.
Diasumsikan bahwa V(G1) V(G2) = . Misalkan x adalah vertex berderajat 3 pada G1 dan y adalah vertex berderajat 3 pada G2. Selebihnya, diasumsikan bahwa
N(x) = dan N(y) = , N(x) merupakan semua
neighbors dari x dan N(y) merupakan semua neighbors dari y. Operator 3-join dari G1 dan G2 pada x dan y menghasilkan graf K yang disajikan sebagai berikut.
V(K) = (V( ) − E(K) = (E (G1)
Hamiltonian graph yang merupakan salah satu bagian dari graf Hamiltonian.
Lemma 3.1 (Hsu and Lin, 2009)
Misalkan G adalah 1-edge fault-
G = J(G
edge fault-tolerant Hamiltonian jika dan hanya jika kedua G
1
dan G
2
adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian.
Bukti:
1 , N(x); G 2, N(y)) adalah 1-
- – Karena tepat ada 3 edge di G
- – │1 ) (E (G2)
- – │1 [4].
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
dengan i j, dimana P adalah , , Q, , bentuk Hamiltonian cycle
Hamiltonian path dari G 1 dari G
- – gabungan – . Jadi G adalah 1-edge fault- tolerant Hamiltonian.
x i sampai x j . Jelas bahwa , Q, , Berikut beberapa contoh dari Lemma bentuk suatu Hamiltonian cycle dari G
3.1.
- – . Asumsikan bahwa e menempel pada Contoh 1 Lemma 3.1.
x. Tanpa menghilangkan bentuk
umumnya, asumsikan bahwa e = (x,x 1 ) . Karena G adalah 1-edge fault-tolerant
Hamiltonian , sehingga ada Hamiltonian
- – cycle C dari G . Oleh karena itu
tepat ada tiga edge gabungan dari V(G
1
2
) − sampai V(G ) − , C dapat ditulis dengan , P, , , Q, , , dimana P adalah Hamiltonian path dari
G 1 . Jelas , ,P , bentuk Hamiltonian cycle dari G
1 Maka − G adalah 1-edge fault-tolerant
1 Hamiltonian.
Asumsikan bahwa kedua G
1 dan G
2 adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian.
Misal e adalah suatu edge di G. Seandainya e . Maka e adalah salah satu di E(G ) atau di E(G ).
1
2 G
Tanpa menghilangkan bentuk umumnya, Gambar 2. Graf 1-edge fault-tolerant asumsikan bahwa e ada di E(G
1 ). Karena
Hamiltonian
G 1 adalah 1-edge fault-tolerant
Gambar G
1 dan G 2 merupakan gambar Hamiltonian, sehingga ada Hamiltonian
graf 1-edge fault-tolerant Hamiltonian
cycle C di G 1 dapat
1 1 – . Sehingga C (terlihat pada edge yang ditebalkan).
ditulis dengan , ,P , untuk Berdasarkan Lemma 3.1, jika G
1 dan G
2 beberapa i, j dengan i j.
adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian Misalkan k adalah satu elemen di maka graf G juga merupakan 1-edge
2 adalah 1-edge
- – . Karena G
fault-tolerant Hamiltonian. Salah satu
fault-tolerant Hamiltonian, sehingga ada
Hamiltonian cycle C pada graf G yaitu
2
2
- – Hamiltonian cycle C dari G
(x
2 , e 7 , x 4 , e 8 , x 5 , e 6 , x 1 , e 2, x 3, ex 3 y 3, y 3 , h 2 ,
Maka C dapat ditulis dengan ,
2
y , h , y , h y h y ex y x ) sehingga
1
5 5 8, 4, 7, 2, 2 2,
2
,Q, , . Jelas bahwa, jika ex y dihapus terbentuk graf
1
1
bentuk Hamiltonian Hamiltonian. Hamiltonian cycle pada
cycle dari G − .
graf G ditunjukkan pada gambar berikut. Asumsikan bahwa e
. Tanpa menghilangkan bentuk umumnya, asumsikan bahwa e =
(x 1 , y 1 ) . Karena G 1 adalah 1-edge fault- tolerant Hamiltonian , maka ada
1
- – Hamiltonian cycle C di G
1 Karena G 2 adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian , maka ada Hamiltonian cycle
Gambar 3. Hamiltonian Cycle pada graf G
2 di G
2 Sehingga C 2 dapat
- – C
ditulis dengan , ,Q, , . Jelas , P,
Perti susanti dkk: Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge
fault- tolerant Hamiltonian graf
7
6
, x
3
, ex
3
y
3,
y
3
, h
5
, y
4
, h
, y
1
1
, h
1,
y
2,
ex
2
y
2,
x
2
) sehingga jika edge ex
1 y 1 dihapus terbentuk graf Hamiltonian.
Hamiltonian cycle pada graf G ditunjukkan pada gambar berikut.
, e
, x
Contoh 2 Lemma 3.1 :
Hamiltonian cycle pada graf G ditunjukkan pada gambar berikut.
G
Gambar 4. Graf 1-edge fault-tolerant Hamiltonian Gambar G
1 dan G 2 merupakan gambar
graf 1-edge fault-tolerant Hamiltonian (terlihat pada edge yang ditebalkan). Berdasarkan Lemma 3.1, jika G
1 dan G
2
adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian maka graf G juga merupakan 1-edge
fault-tolerant Hamiltonian . Salah satu
Hamiltonian cycle C pada graf G (x
2 , e 8 ,
x
4 , e 6 , x 1 , e 2 , x 5 , e 9, x 3, x 3y3, y 3 , h 6 , y 1 , h 4 ,
y
4 , h 5, y 2, ex 2 y 2, x 2 ) sehingga jika edge ex 1 y 1 dihapus terbentuk graf Hamiltonian.
Gambar 5. Hamiltonian cycle pada graf G Contoh 3 Lemma 3.1 :
4
Hamiltonian cycle C pada graf G yaitu (x
, e
4
, x
5
, e
2
tolerant Hamiltonian. Salah satu
Gambar 6. Graf 1-edge fault-tolerant Hamiltonian Gambar G
adalah 1-edge fault-tolerant Hamiltonian maka graf G juga merupakan 1-edge fault-
2
dan G
1
graf 1-edge fault-tolerant Hamiltonian (terlihat pada edge yang ditebalkan). Berdasarkan Lemma 3.1, jika G
1 dan G 2 merupakan gambar
Gambar 7. Hamiltonian cycle pada graf G
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
KESIMPULAN Computer Science . Prentic Hall Inc, New York.1 , N(x); G 2, N(y)) adalah
“ G = J(G Harju, T. 2011. Lecture Notes on Graph
1-edge-fault-tolerant Hamiltonian Graph Theory. Departemen of Mathematics,
jika dan hanya jika kedua graf G
1 dan G
2 University of Turku.
adalah 1-edge -fault -tolerant Hsu, L.H., and Lin, C.K. 2009. Graph Hamiltonian Graph”.
Theory and interconnection network .
DAFTAR PUSTAKA
Taylor and Franci Group, LLC, New York. Brinkmann, G., Goedgebeur, J., and
Munir, R. 2010. Matematika Diskrit McKay, B.D., 2011. Generation of Revisi Keempat. Informatika Bandung.
Cubic Graphs: Discrete Mathematics
and Theoretical Computer Science , 69 Teng, Y.H., Tan, J.J.M., Hsu, L.H. 2005.
- – 80. Honeycomb Rectangular Disks.
Parallel Computing 31 .
Deo, N. 1989. Graph Theory with
Applications to Engineering and Wibisono, S. 2008. Matematika Diskrit.
Graha Ilmu, Yogyakarta