Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas Dua Lingkaran

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
SKRIPSI
NURUL IZZATI 100803026
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
NURUL IZZATI 100803026
DEPARTEMEN STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul

: Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas

Dua Lingkaran

Kategori

: Skripsi

Nama

: Nurul Izzati

Nomor Induk Mahasiswa : 100803026

Program Studi

: Sarjana (S1) Matematika

Departemen

: Matematika

Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juli 2014

Komisi Pembimbing : Pembimbing 2,
Dr. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP. 19620901 198803 1 002

Pembimbing 1,
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19640109 198803 1 004

i
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TERDIRI ATAS

DUA LINGKARAN SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2014 NURUL IZZATI 100803026
ii
Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN
Tiada kata yang pantas diucapkan sebagai pembuka, selain ucapan syukur penulis kepada Allah SWT. Segala puji hanya bagiNya yang senantiasa memberikan kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk penulis, sehingga penyusunan skripsi dengan judul Scrambling Index dari Graf Primitif terdiri atas Dua Lingkaran ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam juga disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW, keluarganya, para sahabat, tabiin, dan setiap orang yang mengikuti mereka sampai hari akhir nanti.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo M.Sc dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu, meluangkan waktu, dan memberi dukungan, ilmu pengetahuan, motivasi, dan nasihat kepada penulis. Terima kasih juga kepada Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan, saran, dan dukungan yang baik dalam menyelesaikan skripsi ini.
Terima Kasih juga kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta pegawai FMIPA USU atas ilmu pengetahuan, waktu, nasihat, dan motivasi yang diberikan selama masa perkuliahan. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa memuliakan dan meninggikan derajat mereka.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibunda Inong Yasrida, Ayahanda Hidayat Bakhtiar, Kakanda Afdi Alfian, serta Adinda Rizky Ichwan, Nurul Agri, dan Saktira Surahiddin atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahan keberkahan dan keridhoanNya senantiasa melimpahi kita semua.
Teruntuk Kesebelasan (Ade, Imel, Kak Eti, Vela, Mila, Yundi, Mbak Wen, Mbak Nita, Sarah, dan Lita), sahabat-sahabat di kelas Murni 2010, Komutatif 2010, IM 3, serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satupersatu, terima kasih atas semua dukungan dan pengalaman bersama yang begitu menyenangkan. Mudah-mudahan Allah SWT memberikan keberkahan dan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan.
iii
Universitas Sumatera Utara

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dari penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun tetap penulis nantikan demi perbaikan pada tulisan ini ataupun yang lain di masa yang akan datang. Harapan penulis, mudah-mudahan skripsi ini dapat bermanfaat sebagai tambahan pengetahuan bagi pembaca dan semua pihak yang membutuhkan.
Medan, Juli 2014 Penulis Nurul Izzati
iv
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN

ABSTRAK

Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bu-

lat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan

yang menghubungkan titik u dan v dengan panjang k. Scrambling index

dari suatu graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah bilangan bulat

positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda

terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik

u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang

k. Pada tulisan ini akan didiskusikan mengenai scrambling index dari

graf primitif G terdiri atas tepat dua lingkaran dengan panjang s dan t,

dinotasikan dengan k(Cst). Apabila s dan t keduanya adalah ganjil, maka

k(Cst) = max

(s−1) 2

,

(t−1) 2

dan apabila salah satu dari s atau t adalah

ganjil,

maka

k(Cst)

=

(s+t−1) 2

.

Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index

v
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX OF PRIMITIVE GRAPHS CONSISTING OF EXACTLY TWO CYCLES

ABSTRACT

A connected graphs is called primitive if there is positive integer k that for

each pair of vertices u and v there is a walk that connecting vertex u and v

of lenght k. Scrambling index of primitive graph G, denoted by k(G) is the

smallest positive integer k such that for each pair of vertices u and v, there

is a vertex w that we can get to w from u and v in G by walks of lenght k.

In this paper, we discuss about scrambling index of primitive graph G con-

sisting of exactly two cycles of lenght s and t, denoted by k(Cst). If s and t,

both of them are cycle with odd vertices, then k(Cst) = max

(s−1) 2

,

(t−1) 2

and

if

one

of

s

or

t

is

a

cycle

with

odd

vertices,

then

k(Cst)

=

(s+t−1) 2

.

Key words : connected, primitive graphs, scrambling index

vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian 1.2 Masalah Penelitian 1.3 Batasan Masalah 1.4 Tinjauan Pustaka 1.5 Tujuan Penelitian 1.6 Manfaat Penelitian

Halaman i ii iii v vi
vii viii
1 3 3 3 6 7

BAB 2 GRAF PRIMITIF 2.1 Definisi Graf 2.2 Matriks Adjacency 2.3 Matriks Tak Negatif 2.4 Graf Terhubung 2.5 Primitifitas Graf 2.6 Scrambling Index 2.7 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil

8 11 12 13 15 17 19

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Menentukan Nilai Scrambling Index 3.2 Menentukan Bentuk Umum Scrambling Index 3.3 Membuktikan Bentuk Umum Scrambling Index
BAB 4 SCRAMBLING INDEX Cst 4.1 Scrambling index Cst untuk s dan t ganjil 4.2 Scrambling index Cst untuk s atau t ganjil
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran

20 20 21
23 25
27 27

DAFTAR PUSTAKA

28

vii

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor Gambar
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 4.1 4.2 4.3

Judul

Halaman

Representasi Hubungan Sosial dengan Graf tak Berarah
Common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dalam graf
Graf Berarah Ds,n Contoh representasi graf G(V, E)
Graf terhubung dan tidak terhubung
Graf primitif dan tidak primitif
Lingkaran dengan panjang ganjil
Graf primitif terdiri atas dua lingkaran Graf Cst dengan s dan t keduanya ganjil Graf Cst dengan salah satu s atau t adalah ganjil

1 2 4 9 13 16 19 22 23 25

viii
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TERDIRI ATAS DUA LINGKARAN

ABSTRAK

Sebuah graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bu-

lat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan

yang menghubungkan titik u dan v dengan panjang k. Scrambling index

dari suatu graf primitif G, dinotasikan dengan k(G), adalah bilangan bulat

positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda

terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik

u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang

k. Pada tulisan ini akan didiskusikan mengenai scrambling index dari

graf primitif G terdiri atas tepat dua lingkaran dengan panjang s dan t,

dinotasikan dengan k(Cst). Apabila s dan t keduanya adalah ganjil, maka

k(Cst) = max

(s−1) 2

,

(t−1) 2

dan apabila salah satu dari s atau t adalah

ganjil,

maka

k(Cst)

=

(s+t−1) 2

.

Kata kunci: terhubung, graf primitif, scrambling index

v
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX OF PRIMITIVE GRAPHS CONSISTING OF EXACTLY TWO CYCLES

ABSTRACT

A connected graphs is called primitive if there is positive integer k that for

each pair of vertices u and v there is a walk that connecting vertex u and v

of lenght k. Scrambling index of primitive graph G, denoted by k(G) is the

smallest positive integer k such that for each pair of vertices u and v, there

is a vertex w that we can get to w from u and v in G by walks of lenght k.

In this paper, we discuss about scrambling index of primitive graph G con-

sisting of exactly two cycles of lenght s and t, denoted by k(Cst). If s and t,

both of them are cycle with odd vertices, then k(Cst) = max

(s−1) 2

,

(t−1) 2

and

if

one

of

s

or

t

is

a

cycle

with

odd

vertices,

then

k(Cst)

=

(s+t−1) 2

.

Key words : connected, primitive graphs, scrambling index

vi
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian Graf merupakan pokok bahasan matematika yang banyak mendapat perhatian karena aplikasinya sangat berguna untuk menyelesaikan persoalan kehidupan manusia. Secara umum, graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul atau titik (vertex) dan hubungan antara objekobjek tersebut dalam bentuk garis atau sisi (edge).
Pada persoalan komunikasi misalnya, graf dapat memodelkan hubungan sosial seseorang dengan seorang lainnya. Mahasiswa bernama Ani berteman dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Dodi dan Eka, sedangkan Dodi berteman dengan Budi dan Chaca tetapi tidak berteman dengan Ani dan Eka, dan Eka hanya berteman dengan Budi. Hubungan sosial yang demikian dapat direpresentasikan dalam graf tak berarah seperti pada gambar berikut:
Gambar 1.1. Representasi model hubungan sosial dengan graf tak berarah
Selain itu aplikasi graf juga telah digunakan dan sangat bermanfaat dalam persoalan kehidupan lainnya, seperti pada persoalan transportasi, jaringan internet, jaringan listrik, pembuatan peta, ilmu komputer, penjadwalan dan lain sebagainya. Saat ini, studi mengenai graf sedang berkembang pesat dan banyak
Universitas Sumatera Utara

2
dilakukan. Hal inilah yang menarik minat penulis untuk membahas scrambling index sebagai bagian dari pengembangan teori graf itu sendiri.
Istilah scrambling index pertama kali diperkenalkan oleh Akelbek dan Kirkland pada tahun 2009. Apabila diketahui titik u, v, dan w serta sisi (u, w) dan (v, w) termuat dalam sebuah graf G, maka titik w merupakan common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dari titik u dan v. Yang dinamakan scrambling index adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga setiap pasangan titik-titik dalam graf G memiliki tetangga persekutuan luar yang membentuk sisi-sisi dengan panjang k.
Gambar 1.2. Common outneighbour (tetangga persekutuan luar) dalam graf
Secara definisi, scrambling index dari sebuah graf primitif G, dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k.
Penelitian mengenai scrambling index pada graf primitif baik berarah maupun tak berarah telah banyak dilakukan. Namun, penelitian scrambling index lebih banyak dilakukan pada kelas graf primitif berarah. Akelbek dan Kirkland (2009a) memberikan batas atas scrambling index pada graf primitif berarah terkait dengan order dan girth yang kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas modulo terbesar kedua dari nilai eigen sebuah matriks primitif.
Universitas Sumatera Utara

3
Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengelompokkan semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan batas atasnya. Penelitian kemudian dilanjutkan Chen dan Liu (2010) yang membahas hubungan antara scrambling index dan eksponen pada matrix primitif simetris. Mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum.
Selanjutnya, Gao dan Shao (2013) juga telah membahas mengenai scrambling index dari graf primitif berarah terdiri atas tepat dua lingkaran. Adapun penelitian ini secara khusus akan membahas mengenai scrambling index dari graf primitif tak berarah yang terdiri atas tepat dua lingkaran.
1.2 Masalah Penelitian
Andaikan Cst adalah sebuah graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t. Masalah yang akan diselesaikan pada penelitian ini adalah menentukan bagaimana bentuk umum scrambling index dari Cst, dinotasikan dengan k(Cst) untuk lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan untuk salah satu dari lingkaran s atau t adalah ganjil.
1.3 Batasan Masalah
Bentuk umum scrambling index yang dibahas dalam tulisan ini hanya dikhususkan pada satu objek graf, yaitu pada graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran, dinotasikan dengan k(Cst). Adapun bentuk umum yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index untuk kedua lingkaran s dan t adalah ganjil dan untuk salah satu dari s atau t adalah ganjil.
1.4 Tinjauan Pustaka
Pada tahun 2009, Akelbek dan Kirkland memperkenalkan istilah baru dalam graf primitif yang dinamakan scrambling index. Scrambling index, dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik
Universitas Sumatera Utara

4
u dan v di G, terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k.
Dalam penelitiannya, Akelbek dan Kirkland (2009a) membahas mengenai scrambling index pada graf primitif berarah dan memberikan batas atas dari scrambling index pada graf primitif berarah terkait dengan order dan girth yang kemudian digunakan untuk menetapkan batas atas pada modulo terbesar kedua dari nilai eigen sebuah matriks primitif. Order adalah jumlah titik dan girth adalah panjang terpendek dari lingkaran pada graf primitif berarah.
Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth, maka scrambling index k(D) ≤ K(n, s).

Gambar 1.3. Graf Berarah Ds,n

Jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1 di mana Ds,n merupakan graf berarah primitif sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1.3, maka K(n, s) = k(n, s) + n − s dan

k(n, s) =

s−1 2

n,

untuk s ganjil

n−1 2

s,

untuk s genap

Di tahun yang sama, Akelbek dan Kirkland (2009b) mengelompokkan semua graf primitif berarah sedemikian hingga nilai scrambling index sama dengan batas atasnya. Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth, dengan s genap. Maka scrambling index k(D) = K(n, s) jika dan

Universitas Sumatera Utara

5

hanya jika D = Ds,n dan gcd(n, s) = 1.

Misalkan D adalah sebuah graf primitif berarah dengan n titik dan s girth,

dengan s genap dan s ≤ 3. Maka scrambling index k(D) = K(n, s) jika dan

hanya jika gcd(n, s) = 1 dan D = Ds,n, atau D = Ds,n ∪ {n − r − ts + 1 →

n − r − ts + ms}

untuk sebarang

m

∈

N

dan sebarang

t

∈

{1,

2,

...,

n−2r s

−

1}

sedemikian

hingga

n+h 2

−t−1

≡

0(modm).

Pada tahun berikutnya, Chen dan Liu (2010) membahas hubungan antara scrambling index dan eksponen pada matrix primitif simetris. Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga Ak > 0. Scrambling index dari matriks primitif A, dinotasikan dengan k(A) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua baris pada Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang sama.

Eksponen dari matriks primitif A, dinotasikan dengan exp(A) adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga Ak =  dimana  menotasikan 1-matriks, yaitu matriks yang semua elemennya memuat 1. Dalam penelitiannya dinyatakan bahwa untuk sebuah matriks primitif A berdasarkan definisi scrambling index dan definisi eksponen, dapat diketahui k(A) ≤ exp(A).

Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n ≥ 2

dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Maka

ku,v(D) ≤

expD(u, v) 2

dan exp(D)
k(D) = 2
dimana a menotasikan bilangan bulat positif terkecil yang tidak kurang dari a.

Misalkan D adalah sebarang graf berarah primitif simetris dengan n ≥ 2 dan misalkan u dan v adalah pasangan titik di D. Jika u ↔k1 v dan u ↔k2 v dengan

k1 − k2 ≡ 1(mod 2), maka

expD(u, v) ≤ max{k1, k2} − 1

Universitas Sumatera Utara

6

Selain itu, mereka juga mengelompokkan semua matriks primitif simetris sedemikian hingga nilai scrambling index mencapai maksimum. Diberikan Sn(r) adalah himpunan semua graf primitif dengan n titik yang memiliki lingkaran sepanjang r tetapi bukan lingkaran dengan panjang ganjil yang lebih kecil dari r.

Andaikan n dan m adalah bilangan bulat positif dengan n ≥ 2, r ≡ 1(mod2) dan 1 ≤ r ≤ n, dan misalkan

1, untuk

r=1

δr =

r−1 2

,

untuk

r ≡ 1(mod 2) dan r ≥ 3

dan G adalah graf primitif di Sn(r), maka k(G) ≥ δr. Misalkan n adalah bilangan bulat positif dengan n ≥ 2 dan r adalah bilangan bulat positif ganjil dengan 1 ≤ r ≤ n. Andaikan G adalah graf primitif di Sn(r) maka persamaan
k(G) ≤ n − r + 1 2
dipenuhi jika dan hanya jika:
(i) n ≥ 3 dan G isomorfis terhadap Gnn,−rr, atau
(ii) n = 2 (r = 1)dan baik G isomorfis terhadap G21,1 atau G isomorfis terhadap G2,1 ditentukan dari G21,1 dengan menambahkan sebuah loop (titik yang dihubungkan dengan sebuah sisi ke dirinya sendiri) pada titik lainnya.

Gao dan Shao (2013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling index dari graf berarah primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran dan dalam penelitian ini secara khusus akan dibahas mengenai scrambling index dari graf primitif yang terdiri atas tepat dua lingkaran.
1.5 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah yang dikemukakan sebelumnya, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui bentuk umum scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t. Adapun bentuk umum

Universitas Sumatera Utara

7 yang ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index dengan lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan bentuk umum scrambling index dengan salah satu lingkarans atau t adalah ganjil. 1.6 Manfaat Penelitian Penelitian ini dilakukan untuk menambah pengetahuan serta memperkaya literatur mengenai scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran sehingga dapat menjadi referensi untuk penelitian selanjutnya, baik dalam penyempurnaan teori seputar scrambling index ataupun aplikasi ilmunya.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2
GRAF PRIMITIF
Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan dalam penelitian ini. Akan dijelaskan pula beberapa terminologi serta notasi-notasi yang akan digunakan pada pembahasan berikutnya.
2.1 Definisi Graf
Secara umum graf mempresentasikan model matematika terhadap sejumlah objek dalam bentuk simpul/titik (vertex) dan hubungan antara objek-objek tersebut dalam bentuk garis/sisi (edge). Sederhananya, graf dapat digambarkan sebagai kumpulan titik yang dihubungkan dengan garis. Secara matematika graf didefinisikan sebagai pasangan tak berurut yang terdiri dari dua himpunan berikut:
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0, v1, · · · , vm}, dinotasikan dengan V (G). Elemen-elemen dari himpunan V ini disebut verteks atau titik dari graf G.
2. Himpunan sisi yang dinotasikan dengan E(G), yaitu pasangan tak berurut dari elemen-elemen V (G) dalam bentuk E = {(v0, v1); (v1, v2); ·; (vm−1, vm)}. Elemen-elemen dari himpunan E ini disebut edge atau sisi dari graf G.
Sebuah graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E dinotasikan dengan G(V, E). Banyaknya elemen di V disebut order dari G, dinotasikan dengan |V | dan banyaknya elemen di E disebut size dari G, dinotasikan dengan |E|. Berdasarkan definisi, dapat diketahui bahwa himpunan V tidak bisa kosong sedangkan himpunan E bisa saja kosong. Artinya, suatu graf dimungkinkan untuk tidak mempunyai sisi sama sekali, tetapi harus mempunyai setidaknya sebuah titik.
Universitas Sumatera Utara

9 Suatu graf dengan size 0 dinamakan graf kosong (null graph) sedangkan graf dengan order 1 tanpa sebuah sisi sama sekali dinamakan graf trivial. Contoh 2.1 Berikut adalah graf G(V, E) dengan himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4, v5} dan himpunan sisi E = {v1↔v2, v2↔v3, v3↔v4, v4↔v5, v3↔v5, v5↔v1}. Representasi graf tersebut diperlihatkan pada gambar berikut.
Gambar 2.1. Contoh representasi graf G(V, E)
Graf G(V, E) pada gambar 2.1 mempunyai 5 titik dan 6 sisi sehingga order dari G adalah |V | = 5 dan size dari G adalah |E| = 6.
Apabila diketahui sisi e = (u, v) termuat dalam graf G, maka titik-titik u dan v disebut sebagai titik ujung dari sisi e. Titik u merupakan titik awal dan titik v merupakan titik akhir dalam graf G. Titik u dan v dikatakan bertemu dengan sisi e dan sebaliknya sisi e dikatakan bertemu dengan titik u dan v. Derajat dari sebuah titik u, dinotasikan dengan deg(u) adalah banyaknya sisi-sisi yang bertemu dengan titik u.
Suatu sisi (u, v) dapat juga dinotasikan dengan u ↔ v, yaitu sisi yang menghubungkan titik u dan titik v. Sisi-sisi yang mempunyai titik ujung sama dinamakan sisi ganda (parallel edges atau multiple edges) dan suatu sisi yang menghubungkan sebuah titik ke dirinya sendiri dinamakan loop.
Universitas Sumatera Utara

10
Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) yang menghubungkan titik u dan titik v di G dengan panjang m adalah sebuah barisan m sisi dengan bentuk
{u = v0, v1}, {v1, v2}, , {vm−1), vm = v} Jalan yang menghubungkan titik u dan titik v dengan panjang m ini dinotasikan dengan u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vm = v yang selanjutnya disingkat dengan penulisan u ↔m v.
Sebuah jalan yang menghubungkan u dan v dikatakan terbuka apabila u = v dan dikatakan tertutup apabila u = v. Sebuah jalan tanpa perulangan titik kecuali mungkin titik-titik ujungnya disebut dengan lintasan (path). Titik awal dan titik akhir dari suatu lintasan bisa saja merupakan titik yang sama, lintasan yang demikian disebut lintasan tertutup (close path) dan merupakan sebuah lingkaran (cycle).
Suatu lingkaran-s (s-cycle) adalah lingkaran dengan panjang s dan dinotasikan dengan Cs. Jarak (distance) dari titik u menuju titik v, dinotasikan dengan d(u, v) adalah panjang dari jalan terpendek yang menghubungkan titik u dan v. Adapun diameter dari suatu graf G merupakan maksimum jarak yang dapat ditemukan antara titik-titik pada graf G.
Dengan menggunakan graf pada gambar 2.1 akan dijelaskan beberapa terminologi tersebut di atas.
a. Barisan sisi v1↔v2↔v1↔v5↔v4 adalah sebuah jalan tetapi bukan lintasan karena ada perulangan titik v1. Karena titik awal dan titik akhirnya berbeda, jalan ini disebut jalan terbuka.
b. Barisan sisi v1↔v2↔v3↔v4↔v5 adalah sebuah lintasan terbuka. c. Barisan sisi v1↔v2↔v3↔v4↔v5↔v1 adalah sebuah lintasan tertutup dan
disebut juga dengan lingkaran. Lingkaran ini dapat juga disebut dengan lingkaran-5 yaitu lingkaran dengan panjang 5.
Universitas Sumatera Utara

11
d. Jarak d(v1, v5) adalah jarak dengan panjang ganjil dan jarak d(v1, v3) adalah jarak dengan panjang genap.
e. Jarak maksimum dari graf G adalah 2, yaitu antara d(v1, v3), d(v1, v4), d(v2, v4), ataupun d(v2, v5). Maka diameter graf G adalah 2.
2.2 Matriks Adjacency
Matriks adjacency (matriks ketetanggaan) adalah (0, 1)-matriks, yaitu sebuah matriks yang hanya memuat elemen 0 atau 1. Matriks ini digunakan untuk menyatakan graf G atas n titik. Matriks adjacency dari sebuah graf G atas n titik v1, v2, · · · , vn adalah sebuah matriks bujursangkar A = [aij] dengan ordo n yang setiap elemennya didefinsikan dengan ketentuan berikut:
1, jika {vi, vj} ∈ E(G) aij = 0, jika {vi, vj} ∈/ E(G)
Berdasarkan definisi dapat diketahui bahwa aij = aji untuk semua 1 ≤ i, j ≤ n. Hal ini berakibat matriks ketetanggaan A(G) dari graf G merupakan sebuah matriks simetrik.
Contoh 2.2 Graf G(V, E) pada gambar 2.1 dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks adjacency A(G) = [aij] sebagai berikut:
 01010
1 0 1 0 0  A(G) = 0 1 0 1 1   1 0 1 0 1 
00110
Pada contoh 2.2 terlihat bahwa setiap baris atau kolom ke- i = 1, 2, 3, 4, 5 dari matriks adjacency A(G) bersesuaian dengan titik vi dengan i = 1, 2, 3, 4, 5. Elemen a12 = 1 menyatakan bahwa terdapat sisi yang menghubungkan titik v1 dengan titik v2, yakni sisi {1, 2} dan elemen a13 = 0 menyatakan bahwa tidak terdapat sisi yang menghubungkan titik v1 dengan titik v3. Banyaknya kemunculan
Universitas Sumatera Utara

12

angka 1 pada baris pertama dari A(G) menyatakan derajat dari titik v1.
Teorema 2.1 Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (aij) adalah sebuah matriks adjacency dari G. Misalkan akij adalah elemen (i, j) dari matriks Ak. Maka akij menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j.

Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan induksi atas k. Asumsikan bahwa elemen akij dari Ak menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Apabila k = 1, maka elemen a1ij = aij dari A menyatakan banyaknya jalan dengan panjang 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j. Karena Ak+1 = AkA, maka

n

aikj+1 =

aikl alj

l=1

untuk l = 1, 2, · · · , n. Berdasarkan prinsip perkalian, ekspresi akil alj adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang melalui titik vl. Sehingga oleh prinsip penjumlahan, akij+1 adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j.

2.3 Matriks Tak Negatif

Matriks tak negatif A merupakan suatu matriks dengan aij ≥ 0, artinya setiap elemen-elemen aij dari matriks A memuat bilangan bulat tak negatif. Sebaliknya jika setiap elemen-elemen dari matriks A memuat bilangan bulat positif, yaitu aij > 0 maka matriks tersebut disebut matriks positif. Berikut diberikan dua buah matriks.

1 3 0 7

N

=

3 

2

1

5 

4 0 2 0



3200

Universitas Sumatera Utara

13

 7392

M

=

3 

1

2

4 

1 4 1 1



4831

Matriks N adalah matriks tak negatif dan matriks M adalah matriks positif.

2.4 Graf Terhubung

Sebuah graf G dikatakan terhubung (connected graph) apabila untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan yang menghubungkan u dan v, sebaliknya graf G dikatakan tidak terhubung apabila tidak terdapat jalan yang menghubungkan titik u ke titik v.

Dua titik terhubung pada suatu graf bersifat refleksif, artinya apabila u dan v adalah dua titik yang terhubung maka terdapat jalan yang menghubungkan u dengan v dan dengan bergerak mundur akan diperoleh sebuah jalan yang menghubungkan v dengan u. Maka dua titik terhubung pada suatu graf juga bersifat simetrik.

Gambar 2.2. Graf terhubung dan tidak terhubung
Gambar 2.2 menunjukkan bahwa (a) adalah graf terhubung karena terdapat jalan yang menghubungkan satu titik ke titik lainnya, sedangkan (b) adalah graf tidak terhubung karena tidak terdapat jalan yang menghungkan titik v1, v2 dan v3 ke titik v4 dan v5. Berikut akan diperlihatkan sebuah cara untuk mengetahui keter-
Universitas Sumatera Utara

14
hubungan dari suatu graf.
Teorema 2.2 Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A2 + · · · + An−1 mempunyai elemen yang semuanya bernilai positif.
Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dan misalkan B = A + A2 + · · · + An−1. Telah diketahui bahwa G mempunyai n titik dan pada suatu lintasan tidak terdapat titik berulang kecuali u = v. Apabila u = v, maka terdapat suatu lintasan dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan u dengan v.
Hal ini mengakibatkan untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda, terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga elemen akij > 0. Artinya, semua elemen di luar elemen diagonal dari matriks B adalah positif. Apabila u = v, maka terdapat sebuah lingkaran dengan panjang 2 yang memuat titik u sehingga elemen a2uu > 0 untuk semua u = 1, 2, · · · , n. Maka diagonal dari matriks B adalah positif sehingga dapat disimpulkan bahwa semua elemen dari matriks B = A + A2 + · · · + An−1 adalah positif.
Akibatnya, untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah bilangan positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga aikj > 0. Hal ini menyatakan bahwa untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik u dan v, artinya G adalah sebuah graf terhubung.
Berikut adalah proposisi yang menjelaskan beberapa sifat dari jalan yang menghubungkan titik u dan titik v yang dirujuk dari Harleni (2014).
Proposisi 2.1 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u dan v. Setiap jalan u ↔t v dapat dikembangkan menjadi sebuah jalan u t+↔2m v, untuk sebarang bilangan bulat positif m.
Bukti. Misalkan titik u dan v termuat dalam graf G dan misalkan W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vt−1 ↔ vt = v merupakan jalan u ↔t v di G. Maka jalan
Universitas Sumatera Utara

15
W yang dimulai dari titik u berpindah ke titik v sepanjang jalan W kemudian berpindah m kali mengelilingi lingkaran v ↔ vt−1 ↔ v merupakan sebuah jalan u t+↔2m v.
Proposisi 2.2 Misalkan G adalah suatu graf yang memuat titik u,v dan w. Terdapat jalan u ↔t w dan jalan v ↔t w di G jika dan hanya jika terdapat jalan u ↔2t v di G.
Bukti. Andaikan terdapat jalan u ↔t w dan jalan v ↔t w di G. Maka dapat dinyatakan bahwa jalan yang dimulai dari u yang berpindah ke w sepanjang jalan u ↔t w kemudian berpindah ke v sepanjang jalan v ↔t w, merupakan jalan u ↔2t v. Asumsikan bahwa W : u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ v2t−1 ↔ v2t = v merupakan jalan u ↔2t v di G. Jika w = vt, maka terdapat u ↔t w dan jalan v ↔t w di G.
Syahmarani dan Suwilo (2012) juga memberikan Lemma mengenai graf terhubung sebagai berikut.
Lemma 2.1 Andaikan G adalah graf terhubung maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran.
Bukti. Ambil sebarang titik v di G. Karena G terhubung, maka terdapat suatu sisi yang menghubungkan titik v ke suatu titik u. Akibatnya, akan diperoleh suatu lintasan tertutup di G yang dibentuk oleh sisi dari titik u ke titik v dan lintasan dari titik v ke titik u di G. Oleh definisi, diketahui bahwa lintasan tertutup merupakan suatu lingkaran. Karena titik v adalah sebarang titik di G, maka setiap titik v di G terletak pada suatu lingkaran.
2.5 Primitifitas Graf
Suatu graf terhubung G dikatakan primitif apabila terdapat sebuah bilangan positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G terdapat jalan u ↔k v. Sebuah graf G adalah graf primitif jika dan hanya jika graf G terhubung dan memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil.
Universitas Sumatera Utara

16
Graf G(V, E) yang ditunjukkan pada gambar 2.1 sebelumnya adalah salah satu contoh graf primitif. Berikut akan diperlihatkan graf primitif dan tidak primitif.

Gambar 2.3. Graf primitif dan tidak primitif
Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa (a) merupakan graf primitif karena graf tersebut memuat lingkaran v1 ↔ v2 ↔ v3 ↔ v1 dengan panjang 3, sehingga syarat memuat paling sedikit sebuah lingkaran dengan panjang ganjil telah dipenuhi. Gambar (b) merupakan graf tidak primitif karena tidak memuat lingkaran ganjil sama sekali.
Primitifitas suatu graf juga dapat dilihat melalui representasi matriksnya. Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif apabila terdapat bilangan bulat positif k sedemikian hingga Ak > 0. Berikut adalah representasi matriks dari graf primitif pada gambar 2.3 bagian (a).

 0111

A

=

1 

0

1

0 

1 1 0 1



1010

 3121

A2

=

1 

2

1

2 

2 1 3 1



1212

Universitas Sumatera Utara

17
Karena terdapat k = 2 sedemikian hingga setiap elemen-elemen pada A2 memuat bilangan bulat positif, maka diketahui bahwa untuk matriks A dari graf tersebut, terdapat A2 > 0. Sehingga terbukti bahwa graf tersebut adalah graf primitif.
2.6 Scrambling Index
Scrambling index dari graf primitif G, dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat u ↔k w dan v ↔k w. Adapun untuk dua titik u dan v yang berbeda, scrambling index lokal dari u dan v adalah bilangan bulat positif ku,v(G) yang didefinisikan sebagai berikut:
ku,v(G) = min{k : u ↔k w dan v ↔k w}
w∈V
Dari definisi scrambling index k(G) dan scrambling index lokal ku,v(G) diperoleh hubungan k(G) ≥ ku,v(G). Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap bilangan bulat l ≥ ku,v(G) dapat ditemukan sebuah titik w sehingga terdapat u ↔l w dan v ↔l w . Hal ini mengakibatkan nilai dari k(G) yang juga disebut dengan scrambling index global adalah maksimum dari nilai-nilai scrambling index lokal ku,v(G) yang didefinisikan sebagai berikut:
k(G) = max{ku,v(G)}
u=v
Contoh 2.3 Dengan menggunakan graf G(V, E) pada gambar 2.1, nilai scrambling index dari graf tersebut dapat ditentukan. Terlebih dahulu ditentukan nilainilai scrambling index lokal-nya sebagai berikut:
ku,v(G) = min {4, 4, 3, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
ku,w(G) = min {5, 1, 3, 1, 2} = 1
u,v,w,x,y
ku,x(G) = min {5, 3, 2, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
ku,y(G) = min {4, 3, 2, 1, 3} = 1
u,v,w,x,y
kv,w(G) = min {3, 4, 3, 2, 2} = 2
u,v,w,x,y
kv,x(G) = min {3, 5, 2, 3, 2} = 2
u,v,w,x,y
Universitas Sumatera Utara

18
kv,y(G) = min {1, 4, 2, 3, 3} = 1
u,v,w,x,y
kw,x(G) = min {1, 3, 3, 3, 3} = 1
u,v,w,x,y
kw,y(G) = min {1, 3, 4, 2, 5} = 1
u,v,w,x,y
kx,y(G) = min {1, 2, 3, 4, 5} = 1
u,v,w,x,y
Maka scrambling index dari graf tersebut adalah maksimum dari semua scrambling index lokal yang diperoleh, yaitu k(G) = max{2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1} = 2.
Karena graf dapat dinyatakan dalam bentuk matriks adjacency, nilai scrambling index dapat pula ditentukan dari matriks primitif. Scrambling index dari matriks primitif A, dinotasikan dengan k(A) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua baris pada Ak terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang sama.
Dengan mempresentasikan graf G(V, E) pada gambar 2.1 dalam bentuk matriks adjacency A sebagai berikut, nilai scrambling index graf tersebut juga dapat diketahui.
 01010
1 0 1 0 0  A = 0 1 0 1 1  1 0 1 0 1 
00110
 20201
0 2 0 2 1  A2 = 2 0 3 1 1  0 2 1 3 1 
11112
Dapat dilihat bahwa pada matriks A2 terdapat sebuah kolom (kolom ke-5) yang semua barisnya memuat elemen positif. Artinya, untuk setiap dua baris pada Ak untuk k = 2 terdapat sedikitnya satu elemen positif pada posisi kolom yang
Universitas Sumatera Utara

19

sama telah dipenuhi. Sehingga diketahui nilai scrambling index dari graf tersebut adalah 2.

2.7 Scrambling Index dari Lingkaran Ganjil

Gao dan Shao (2013) dalam penelitiannya mengemukakan tentang scrambling

index dari lingkaran ganjil. Scrambling index dari sebuah lingkaran atas n titik

ganjil

Cn : v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vn−1 ↔ vn ↔ v1

didefinisikan sebagai berikut:

Lemma 2.2 Andaikan Cn adalah sebuah lingkaran atas n titik ganjil, maka

k(Cn)

=

(n−1) 2

Bukti. Jalan dengan panjang genap terpendek yang menghubungkan vn dengan

vn−1 adalah jalan Wvn,vn−1 : vn ↔ v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vn−1 dengan panjang n − 1.

Hal

ini

berakibat

Kvn,vn−1 (Cn)

=

(n−1) 2

sehingga

k(G)

≥

(n−1) 2

.

Gambar 2.4. Lingkaran dengan panjang ganjil

Untuk dua titik vi dan vj yang berbeda, telah diperlihatkan bahwa terdapat

jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang genap t ≤ n − 1. Hal ini

berakibat untuk dua titik vi dan vj yang berbeda terdapat sebuah jalan yang

menghubungkan vi dan vj dengan panjang tepat n−1. Sehingga diperoleh k(Cn) ≤

(n−1) 2

.

Maka

terbukti

k(Cn)

=

(n−1) 2

.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3 METODE PENELITIAN
Adapun metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan dan membaca informasi-informasi serta literatur yang berkaitan. Berikut akan dijelaskan langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan bentuk umum scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran.
3.1 Menentukan Nilai Scrambling Index
Dengan menggunakan algoritma program yang ditulis dalam M AT LAB akan diperoleh nilai-nilai scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t dengan s, t ≥ 3. Berikut adalah algoritma umum yang digunakan: input(matriks A); k=1; B=A; while (B not scrambling)
k=k+1; B=B*A;
end; output(k);
3.2 Menentukan bentuk umum scrambling index
Setelah memperoleh nilai-nilai scrambling index k(Cst) untuk s, t ≥ 3 pada proses sebelumnya, langkah selanjutnya adalah menentukan persamaan yang dapat dibentuk berdasarkan nilai-nilai k(Cst) tersebut.
Universitas Sumatera Utara

21 Karena graf primitif, maka persamaan yang perlu ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu bentuk umum scrambling index untuk lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan bentuk umum scrambling index untuk salah satu dari lingkaran s atau t adalah ganjil. 3.3 Membuktikan bentuk umum scrambling index Setelah ditemukan bentuk umum scrambling index k(Cst) untuk lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan untuk salah satu dari lingkaran s atau t adalah ganjil. Langkah selanjutnya adalah membuktikan kedua persamaan tersebut. Pembuktian dilakukan dengan menganalisa dan menentukan jalan terpendek dengan panjang genap k yang menghubungkan setiap pasangan titik berbeda pada graf primitif terdiri atas dua lingkaran sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj yang berbeda pada graf tersebut, terdapat titik w dengan sifat terdapat vi ↔k w dan vj ↔k w. Sehingga akan didapatkan nilai scrambling index k(Cst) = k.
Universitas Sumatera Utara

BAB 4 PEMBAHASAN: SCRAMBLING INDEX Cts
Andaikan Cst adalah graf primitif yang terdiri atas ”tepat dua lingkaran”, yakni lingkaran
Cs : v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vs−1 ↔ vs ↔ v1 dengan panjang s dan lingkaran
Ct : vs ↔ vs+1 ↔ · · · ↔ vs+t−1 ↔ vs dengan panjang t sebagaimana ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 4.1. Graf primitif terdiri atas dua lingkaran
Karena Cst adalah graf primitif, maka graf tersebut harus memuat sedikitnya satu dari lingkaran s atau t adalah ganjil. Sehingga bentuk umum scrambling index yang perlu ditentukan terbagi menjadi dua kasus, yaitu untuk lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil dan untuk salah satu dari lingkaran s atau t adalah ganjil.
Universitas Sumatera Utara

23

4.1 Scrambling index Cst untuk s dan t keduanya adalah ganjil

Teorema 4.1Andaikan Cst adalah sebuah graf primitif terdiri atas dua lingkaran dengan panjang s dan t. Apabila s dan t adalah ganjil, maka

k(Cst) = max

(s − 1) (t − 1) ,
22

.

Bukti. Tanpa kehilangan keumuman pembuktian, andaikan s ≤ t. Dengan mem-

perhatikan

titik

vs+

t−1 2

dan

titik

v ,s+

t+1 2

dapat

diketahui

jalan

terpendek

dengan

panjang genap yang menghubungkan kedua titik tersebut adalah jalan

vs+

t+1 2

↔

vs+

t+3 2

↔

···

↔

vs+t−1

↔

vs

↔

vs+1

↔

···

↔

vs+

t−1 2

dengan panjang t − 1.

k(Cst)

≥

t−1 2

.

Sehingga

kv s+

t−1 2

,

vs+

t+1 2

(Cst

)

=

t−1 2

.

Akibatnya diperoleh

Gambar 4.2. Graf Cst dengan s dan t keduanya ganjil
Selanjutnya, untuk dua titik vi dan vj yang berbeda akan diperlihatkan terdapat jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang t − 1. Apabila vi, vj ∈ Cs maka Lemma 2.2 menjamin bahwa terdapat jalan dari vi ke vj dengan panjang genap s − 1. Jalan ini dapat diperpanjang menjadi jalan dengan panjang tepat t − 1. Apabila vi, vj ∈ Ct maka Lemma 2.2 juga menjamin bahwa terdapat jalan dari vi ke vj dengan panjang t − 1.
Universitas Sumatera Utara

24

Sekarang diasumsikan vi ∈ Cs dan vj ∈ Ct. Maka diketahui diameter

dari

Cts

yang

dicapai

oleh

d(v

s−1 2

,

vs+

t−1 2

),

d(v

s−1 2

,

vs+

t+1 2

),

d(v

s+1 2

,

vs+

t−1 2

),

dan

d(v

s+1 2

,

vs+

t+1 2

)

adalah

(s+t−2) 2

≤ t − 1.

Apabila

d(vi, vj) adalah genap,

maka

lin-

tasan pvi,vj dapat diperpanjang menjadi jalan yang menghubungkan vi dan vj

dengan panjang t − 1.

Selanjutnya diasumsikan bahwa jarak d(vi, vj) adalah ganjil dan diketahui d(vi, vj) = d(vi, vs) + d(vs, vj). Apabila d(vi, vs) > d(vs, vj), maka jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang s − d(vi, vs) + d(vs, vj) adalah jalan dengan panjang genap kurang dari t − 1. Apabila d(vi, vs) < d(vs, vj), maka jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang t − d(vs, vj) + d(vi, vs) adalah jalan dengan panjang genap kurang dari t − 1.

Untuk kedua kasus ganjil dan genap, lintasan pvi,vj dengan panjang d(vi, vj)

dapat diperpanjang menjadi jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan pan-

jang t − 1. Akibatnya untuk titik-titik vi dan vj yang berbeda terdapat titik w

t−1

t−1

sehingga

ada

vi

↔2

w

dan

vj

↔2

w.

Jadi

diperoleh

k(Cst) ≤

t−1 2

.

Karena lingkaran s dan t keduanya adalah ganjil, jika diandaikan t < s

akan diperoleh jalan terpendek dengan panjang genap yang menghubungkan se-

tiap pasangan titik vi dan vj yang berbeda pada graf Cst adalah jalan dengan

panjang s − 1. Akibatnya untuk titik-titik vi dan vj yang berbeda terdapat titik

s−1

s−1

w

sehingga

ada

vi

↔2

w

dan

vj

↔2

w.

Sehingga

diperoleh

k(Cst) ≤

s−1 2

.

Maka terbukti bahwa scrambling index dengan lingkaran s dan t keduanya

adalah ganjil yaitu

k(Cst) = max

(s − 1) (t − 1) ,
22

.

Universitas Sumatera Utara

25

4.2 Scrambling index Cst untuk salah satu s atau t adalah ganjil

Teorema 4.2 Andaikan Cst adalah sebuah graf primitif terdiri atas dua lingkaran

dengan panjang s dan t. Apabila salah satu dari s atau t adalah ganjil, maka

k(Cst)

=

s+t−1 2

.

Bukti. Andaikan lingkaran s adalah ganjil dan lingkaran t adalah genap. Dengan

memperhatikan

titik

vs+

t−2 2

dan

titik

vs+

t 2

,

berdasarkan

Proposisi

2.2

diketahui

bahwa jalan terpendek dengan panjang genap yang menghubungkan kedua titik

tersebut

adalah

jalan

W

,

yaitu

jalan

yang

bermula

di

vs+

t 2

,

bergerak

ke

vs

melalui

lintasan

dengan

panjang

t 2

,

kemudian

mengitari

lingkaran

Cs

sekali

dan

kembali

ke

vs,

lalu

dilanjutkan

ke

titik

vs+

t−2 2

melalui

lintasan

dengan

panjang

t−2 2

.

Maka diketahui bahwa jalan W mempunyai panjang s + t − 1 sehingga

k (C )vs+

t 2

,v
s+

t−2 2

t s

≥

s+t−1 2

.

Akibatnya

k(Cst)

≥

s+t−1 2

.

Gambar 4.3. Graf Cst dengan salah satu s atau t adalah ganjil

Selanjutnya, untuk dua titik vi dan vj yang berbeda akan diperlihatkan ter-

dapat jalan yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang genap tak lebih dari

s+t−1 2

.

Apabila

d(vi, vj)

adalah

genap,

maka

terdapat

jalan

yang

menghubungkan

vi

dan

vj

dengan

panjang

genap

kurang

dari

s+t−1 2

.

Sekarang

diasumsikan

d(vi, vj)

adalah ganjil. Apabila vi, vj ∈ Cs, maka Lemma 2.2 menjamin bahwa terdapat

jalan yang menghubungkan titik vi ke vj dengan panjang s − 1.

Universitas Sumatera Utara

26

Apabila vi ∈ Cs dan vj ∈ Ct maka d(vi, vj) = d(vi, vs)+d(vs, vj). Berdasar-

kan Proposisi 2.2, hal ini mengakibatkan terdapat jalan W yang bermula di titik

vi menuju vs melalui lintasan dengan panjang d(vi, vs), kemudian mengitari Cs

sekali lalu lanjutkan ke titik vj melalui lintasan dengan panjang d(vs, vj) adalah

sebuah jalan dengan panjang genap s + d(vi, vs) + d(vs, vj) ≤ s + t − 1. Akibatnya,

k(Cst)

≤

s+t−1 2

.

Sehingga terbukti bahwa scrambling index dengan salah satu lingkaran s

atau t adalah ganjil yaitu

k(Cst)

=

s

+t− 2

1

.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Diberikan suatu graf primitif Cst terdiri atas tepat dua lingkaran, yakni lingkaran Cs : v1 ↔ v2 ↔ · · · ↔ vs−1 ↔ vs ↔ v1
dengan panjang s dan lingkaran

Ct : vs ↔ vs+1 ↔ · · · ↔ vs+t−1 ↔ vs

dengan panjang t. Maka scrambling index dari graf primitif Cst, dinotasikan dengan k(Cst) dapat ditentukan dengan menggunakan dua persamaan berikut:

1. Apabila s dan t pada graf primitif Cts keduanya adalah ganjil, maka scrambling index dari graf tersebut adalah

k(Cst) = max

(s − 1) (t − 1) ,
22

;

s, t ≥ 3

2. Apabila salah satu dari s atau t pada graf primitif Cts adalah ganjil, maka scrambling index dari graf tersebut adalah

k(Cst)

=

s+t− 2

1 ;

s, t ≥ 3

5.2 Saran

Bentuk umum scrambling index yang dibahas dalam tulisan ini hanya terkhusus pada satu objek graf, yaitu pada graf primitif terdiri atas tepat dua lingkaran, dinotasikan k(Cst) untuk kedua lingkaran s dan t adalah ganjil dan salah satu dari s atau t adalah ganjjil. Karena itu, diperlukan penelitian lebih lanjut untuk menentukan bentuk umum scrambling index dari objek-objek graf primitif tertentu lainnya.

Universitas Sumatera Utara

Daftar Pustaka
Akelbek, M and Kirkland, S. 2009a. Coefficients of Ergodicity and The Scrambling Index. Linear Algebra and its Applications, Volume 430, Issue 4, 11111130.
Akelbek, M and Kirkland, S. 2009b. Primitive Digraphs with The Largest Scrambling Index. Linear Algebra and its Applications, Volume 430, Issue 4, 10991110.
Brualdi, R. A and Ryser, H.J .1991. Combinatorial Matrix Theory. Cambridge University Press,Cambridge.
Chen, S and Liu, B. 2010. The Scrambling Index of Symmetric Primitive Matrices. Linear Algebra and its Applications, Volume 433, Issue 6, 1110-1126.
Gao, Y and Shao, Y. 2013. Scrambling Index of primitive Digraphs Consisting of Exactly Two Cycles. Ars Combinatoria.
Harleni, S. 2014. Batas Atas untuk Scrambling Index dari Graf Primitif. [Tesis]. Medan: Universitas Sumatera Utara, Program Pascasarjana.
Syahmarani, A. dan Suwilo, S. (2012). Vertex exponents of a class of two-colored hamiltonian digraphs. J. Indones. Math. Soc., Vol 18, No. 1, 1-19.
Universitas Sumatera Utara