Scrambling Index dari Graf Terdiri Atas Dua Cycle Ganjil yang Dihubungkan oleh Beberapa Lintasan

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF TERDIRI ATAS DUA CYCLE GANJIL YANG DIHUBUNGKAN OLEH BEBERAPA LINTASAN
SKRIPSI
SUNDARI ATIKAH 110803048
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF TERDIRI ATAS DUA CYCLE GANJIL YANG DIHUBUNGKAN OLEH BEBERAPA LINTASAN
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SUNDARI ATIKAH 110803048
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul

: Scrambling Index dari Graf Terdiri Atas Dua Cycle Ganjil yang Dihubungkan oleh Beberapa Lintasan

Kategori

: Skripsi

Nama

: Sundari Atikah

Nomor Induk Mahasiswa : 110803048

Program Studi

: Sarjana (S1) Matematika

Departemen

: Matematika

Fakultas

: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juli 2015

Komisi Pembimbing : Pembimbing 2,

Pembimbing 1,

Dr. Mardiningsih, M.Si NIP.19630405 198811 2 001
Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19640109 198803 1 004

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

i
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI GRAF TERDIRI ATAS DUA CYCLE GANJIL YANG DIHUBUNGKAN OLEH BEBERAPA LINTASAN
SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2015 SUNDARI ATIKAH 110803048
ii
Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, sang pencipta langit dan bumi serta segala isinya yang telah melimpahkan rahmat, hidayah serta kasih sayangNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Scrambling Index dari Graf Terdiri Atas Dua Cycle Ganjil Saling Lepas yang Dihubungkan oleh Beberapa Lintasan. Tak lupa pula shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Muhammad SAW, keluarga dan para sahabatnya.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada: 1. Ibunda Darlina Ruspida, Ayahanda Supeno serta Ananda Faisal Shabri yang
senantiasa memberikan do’a dan dukungan dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku pembimbing 1 dan Ibu Dr. Mar-
diningsih, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran selama penyusunan skripsi ini. 3. Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran selama penyusunan skripsi ini. 4. Seluruh Dosen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. 5. Seluruh staff administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. 6. Rekan-rekan kuliah Matematika stambuk 2011 khusunya Aisyah, Ica, Nisa, Tari, Uni Tari, Ratih, Indah yang telah banyak membantu dan memberikan dukungan demi penyelesaian skripsi ini.
iii
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF TERDIRI ATAS DUA CYCLE GANJIL YANG DIHUBUNGKAN OLEH BEBERAPA LINTASAN
ABSTRAK Scrambling index dari suatu graf primitif G adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k. Pada tugas akhir ini akan didiskusikan mengenai scrambling index dari graf primitif G terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s yang dihubungkan oleh beberapa lintasan dengan panjang ℓ. Untuk tiap graf primitif G, akan diperoleh bentuk umum scrambling index yang bergantung pada s dan ℓ. Kata kunci: graf primitif, scrambling index, cycle ganjil
iv
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX OF GRAPH CONSISTING OF TWO DISJOINT ODD CYCLES CONNECTED BY SOME PATHS

ABSTRACT The scrambling index of a primitive graph G is the smallest positive integer k such that for each pair of vertices u dan v there is a vertex w that we can get to w from u and v in G by walks of lenght k. We discuss the scrambling index of primitive graph G consisting of two disjoint odd cycles each of length sconnected by some paths of length ℓ. For such primitive graphs G we present formulae for scrambling index that depend on s and ℓ. Keywords: primitive graph, scrambling index, odd cycle
v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN
BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Graf 2.2 Istilah-istilah dalam Graf 2.3 Matriks Ketetanggaan 2.4 Graf Terhubung 2.5 Primitivitas Graf 2.6 Scrambling Index
BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Scrambling Index dari Graf Barbel 4.2 Scrambling Index dari Graf Barbel Dua Lintasan 4.3 Scrambling Index dari Graf Prisma
BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

Halaman i ii iii iv v vi
vii viii
1 4 4 4
5 5 6 8 9 11
15
17 23 28

30 30
31 32

vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor Gambar

Judul

Halaman

1.1

G0
n,r

,

r

≡

1(mod

2),

1

≤

r

≤

n

−

1

dan

1

≤

m

≤

n

−

r

1.2 Gm , r ≡ 1(mod 2) dan 3 ≤ r ≤ n

n,r

1.3 Graf Primitif terdiri atas Dua Cycle Terhubung tanpa Lintasan

2.1 Contoh Graf

2.2 Graf Terhubung dan Tidak Terhubung

2.3 Graf Primitif dan Tidak Primitif

2.4 Graf Terdiri dari Sebuah Cycle dengan panjang 5

4.1 Graf Barbel

4.2 Graf Barbel Dua Lintasan

4.3 Graf Prisma

2 2 3 5 8 9 11 17 24 28

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Lamp

Judul

1. Program Mencari Nilai Scrambling Index dari Graf Barbel 2. Nilai Scrambling Index yang Diperoleh dengan Program

Halaman
32 33

viii
Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX DARI GRAF TERDIRI ATAS DUA CYCLE GANJIL YANG DIHUBUNGKAN OLEH BEBERAPA LINTASAN
ABSTRAK Scrambling index dari suatu graf primitif G adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v yang berbeda terdapat sebuah titik w dengan sifat ada jalan yang menghubungkan titik u dan w dan jalan yang menghubungkan titik v dan w dengan panjang k. Pada tugas akhir ini akan didiskusikan mengenai scrambling index dari graf primitif G terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s yang dihubungkan oleh beberapa lintasan dengan panjang ℓ. Untuk tiap graf primitif G, akan diperoleh bentuk umum scrambling index yang bergantung pada s dan ℓ. Kata kunci: graf primitif, scrambling index, cycle ganjil
iv

Universitas Sumatera Utara

SCRAMBLING INDEX OF GRAPH CONSISTING OF TWO DISJOINT ODD CYCLES CONNECTED BY SOME PATHS
ABSTRACT The scrambling index of a primitive graph G is the smallest positive integer k such that for each pair of vertices u dan v there is a vertex w that we can get to w from u and v in G by walks of lenght k. We discuss the scrambling index of primitive graph G consisting of two disjoint odd cycles each of length sconnected by some paths of length ℓ. For such primitive graphs G we present formulae for scrambling index that depend on s and ℓ. Keywords: primitive graph, scrambling index, odd cycle
v
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Graf merupakan bagian dari matematika diskrit yang digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai titik (vertex) dan hubungan antara objek-objek tersebut dinyatakan dengan sisi (edge). Dengan kata lain, suatu graf G(E(G), V (G)) terdiri atas suatu himpunan tak kosong daan berhingga V (G) yang anggotanya disebut titik (vertex) dan suatu himpunan berhingga E(G) yang anggotanya saling berbeda yang disebut sisi(edge), dimana sisi tersebut merupakan pasangan tak berurut dari titik-titik pada V (G).
Andaikan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan yang menghubungkan u dan v di G adalah sebuah barisan titik u = v0, v1, v2, ..., vt = v ∈ V (G) dan sebuah barisan sisi (u = v0, v1), ..., (vt−1, vt = v) ∈ E(G). Sebuah lintasan yang menghubungkan titik u dan v adalah sebuah jalan dengan tiap titik yang berbeda kecuali u = v. Lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut cycle.
Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk tiap pasangan titik u dan v yang berbeda di G terdapat jalan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Graf primitif merupakan graf terhubung dimana terdapat bilangan bulat positif k, sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di G, terdapat jalan dengan panjang k yang menghubungkan kedua titik tersebut. Sebuah graf G dikatakan primitif jika dan hanya jika graf G memuat paling sedikit satu cycle dengan panjang ganjil.
Scrambling index merupakan salah satu topik dalam teori graf. Scrambling index dari graf primitif G dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan v di G, terdapat sebuah titik w sehingga terdapat jalan dari titik u ke titik w dan titik v ke titik w yang selanjutnya dinotasikan dengan Wuw dan Wvw, dengan panjang k (Alkebek
Universitas Sumatera Utara

2 dan Kirkland 2009a, 2009b).
Chen dan Liu (2010) membahas mengenai scrambling index dari graf primitif yang terdiri atas n titik dengan sebuah cycle dengan panjang r seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.1 dan Gambar 1.2.
Gambar 1.1. Gn0,r, r ≡ 1(mod 2) dan 3 ≤ r ≤ n

Gambar 1.2. Gnm,r, r ≡ 1(mod 2), 1 ≤ r ≤ n − 1 dan 1 ≤ m ≤ n − r

Andaikan n dan r adalah bilangan bulat positif dengan r ≡ 1(mod 2) dan

3 ≤ r ≤ n. Andaikan Gn0,r adalah graf primitif seperti yang ditunjukkan oleh

Gambar

1.1,

maka

k(Gn0 ,r )

=

(r

− 2

1) .

Andaikan n, r dan m adalah bilangan bulat positif dengan r ≡ 1(mod 2),

1 ≤ r ≤ n − 1 dan 1 ≤ m ≤ n − r. Andaikan Gmn,r adalah graf primitif seperti yang

ditunjukkan

oleh

Gambar

1.2,

maka

k (Gnm,r )

=

m

+

(r

− 2

1) .

Sumardi et al. (2014) membahas mengenai graf primitif dengan scrambling

index 1. Suatu sisi yang menghubungkan suatu titik dengan titik yang sama disebut

loop. Sebuah cycle dengan panjang 3 disebut segitiga yang dinotasikan dengan Sn

Universitas Sumatera Utara

3 dengan n merupakan jumlah titik pada graf tersebut. Andaikan G adalah graf primitif dengan n ≥ 3 titik tanpa loop. Scrambling index k(G) = 1 jika dan hanya jika G memenuhi dua kondisi berikut:
1. Tiap titik di G berada di sebuah segitiga. 2. Untuk tiap dua titik vi dan vj yang berada di segitiga yang berbeda, terdapat
Wvivj dengan panjang 2. Andaikan Sn adalah graf primitif tanpa loop dengan n ≥ 3 titik dengan k(Sn) = 1. Nilai minimum dari Sn adalah (3n−3)/2 jika n ganjil dan nilai minimum dari Sn adalah (3n − 2)/2 jika n genap.
Gambar 1.3. Graf Primitif terdiri atas Dua Cycle Terhubung tanpa Lintasan
Izzati (2014) membahas mengenai scrambling Index dari graf primitif terdiri atas dua cycle terhubung tanpa lintasan. Graf primitif terdiri atas dua cycle terhubung tanpa lintasan dinotasikan dengan Cst, yaitu cycle Cs dan cycle Ct seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.3.
Karena Cst merupakan graf primitif, maka Cst harus memuat paling sedikit satu cycle ganjil. Scrambling index dari Cst dengan kedua cycle adalah ganjil didefinisikan k(Cst) = max{(s − 1)/2, (t − 1)/2}. Sedangkan scrambling index dari Cst dengan salah satu cycle adalah genap didefinisikan k(Cst) = (s + t − 1)/2.
Universitas Sumatera Utara

4
1.2 Perumusan Masalah
Istilah scrambling index pertama kali diperkenalkan pada tahun 2009. Selanjutnya penelitian mengenai scrambling index terus berkembang. Salah satunya, Izzati (2014) membahas mengenai scrambling index dari graf primitif terdiri atas dua cycle terhubung tanpa lintasan. Namun demikian, penelitian mengenai scrambling index dari graf terdiri atas dua cycle yang dihubungkan oleh beberapa lintasan belum dibahas dalam literatur. Secara khusus rumusan masalah dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
Andaikan G adalah sebuah graf terdiri atas dua cycle ganjil C1 yaitu cycle v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vs ↔ v1 dan C2 yaitu cycle vs+1 ↔ vs+2 ↔ ... ↔ v2s ↔ vs+1 yang saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s. Andaikan terdapat beberapa lintasan dengan panjang tiap lintasan adalah ℓ yang menghubungkan C1 dan C2. Fungsi f (s, ℓ) manakah yang memenuhi k(G) ≤ f (s, ℓ)?
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menentukan bentuk umum scrambling index dari graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s yang dihubungkan oleh beberapa lintasan dengan panjang tiap lintasan adalah ℓ.
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan informasi guna menambah wawasan dalam pembahasan yang berhubungan dengan scrambling index serta sebagai bahan referensi bagi peneliti lain yang akan membahas tentang scrambling index dari graf primitif lainnya.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 GRAF PRIMITIF
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf Sebuah graf G terdiri atas suatu himpunanan tak kosong dan berhingga V (G) yang anggotanya disebut titik (vertex) dan sebuah himpunan berhingga E(G) yang anggotanya disebut sisi (edge) dimana sisi tersebut merupakan pasangan tak berurut dari titik-titik pada V (G). Sebuah sisi {v, w} adalah sisi yang menghubungkan titik v dan titik w, yang biasanya disingkat menjadi vw. Sebagai contoh, Gambar 2.1 merepresentasikan graf G dengan himpunan titik V (G) = {u, v, w, x, y} dan himpunan sisi E(G) yang terdiri dari sisi uw, ux, vx, vy, uy dan vw.
Gambar 2.1. Contoh Graf
2.2 Istilah-istilah dalam Graf Andaikan terdapat sebuah graf G, berikut akan dijelaskan beberapa istilah dan notasi dalam graf yang digunakan dalam penjelasan selanjutnya.
a. Jalan. Sebuah jalan merupakan sebuah barisan sisi yang berhingga dengan bentuk v0v1, v1v2, ..., vm−1vm juga dapat dinotasikan dengan v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔
Universitas Sumatera Utara

6
... ↔ vm dimana v0 merupakan titik awal dan vm merupakan titik akhir. Sebuah jalan yang menghubungkan vi dan vj dinotasikan dengan Wvivj . Pada Gambar 2.1, w ↔ v ↔ y ↔ v ↔ x adalah sebuah jalan Wwx.
b. Panjang. Panjang dari sebuah jalan Wvivj adalah banyaknya sisi di jalan Wvivj dan dinotasikan dengan ℓ(Wvivj ). Pada Gambar 2.1, w ↔ u ↔ y ↔ v adalah sebuah jalan Wwv dengan panjang 3, atau dapat dinotasikan dengan ℓ(Wwv) = 4.
c. Lintasan. Lintasan merupakan sebuah jalan dengan titik yang berbeda kecuali jika titik awal juga merupakan titik akhir (v0 = vm). Lintasan yang menghubungkan vi dan vj dinotasikan dengan Pvivj . Pada Gambar 2.1, u ↔ x ↔ v ↔ y adalah sebuah lintasan Puy dengan panjang 3 atau dapat dinotasikan dengan ℓ(Puy) = 3.
d. Cycle. Cycle merupakan sebuah lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama. Pada Gambar 2.1, lintasan u ↔ y ↔ v ↔ w ↔ u adalah sebuah cycle dengan panjang 4. Sebuah cycle dengan panjang ganjil disebut cycle ganjil dan sebuah cycle dengan panjang genap disebut cycle genap.
e. Distance. Panjang dari jalan terpendek yang menghubungkan u dan v di G disebut distance dinotasikan dengan d(u, v). Pada Gambar 2.1, diperoleh d(w, y) = 2.
2.3 Matriks Ketetanggaan
Matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari sebuah graf G atas n titik v1, v2, ..., vn adalah sebuah matriks bujur angkar A = (aij) dengan ordo n yang setiap entrinya didefinisikan sebagai:
 aij = 1, bila {vi, vj} ∈ E(G)
0, bila {vi, vj} ∈/ E(G).
Oleh definisi tersebut, diperoleh bahwa aij = aji. Hal ini berakibat matriks ketetanggaan A(G) dari sebuah graf G adalah sebuah matriks simetrik. Graf
Universitas Sumatera Utara

7

pada Gambar 2.1 dapat direpresentasikan menjadi matriks ketetanggaan A sebagai

berikut:

 00111

0 0 1 1 1  A = 1 1 0 0 0 .
 1 1 0 0 0 
11000

Sebuah matriks A dikatakan matriks non negatif jika semua entri (aij) ≥ 0. Sedangkan sebuah matriks A dikatakan matriks positif jika semua entri (aij) ≥ 1. Perhatikan contoh berikut:

1 0 1 0

1 2 1 4

X

=

1 

2

0

0 

,

Y

=

2 

3

1

4 

.

1 1 1 0

3 1 1 1





3001

1211

Matriks X merupakan matriks tak negatif karena semua entri (xij) ≥ 0. Sedangkan matriks Y merupakan matriks positif karena semua entri (yij) ≥ 1.

Teorema 2.1 (Bona, 2006) Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (aij) adalah sebuah matriks ketetanggaan dari G. Misalkan akij adalah entri (i, j) dari matriks Ak. Maka aikj menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j.

Bukti. Kita buktikan dengan menggunakan induksi atas k. Bila k = 1 entri a(ij1) = aij dari A yang menyatakan banyaknya jalan dengan panjang satu yang menghubungkan titik i dengan titik j. Asumsikan bahwa entri a(ijk) dari Ak meny-
atakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik
j. Karena Ak+1 = AkA, maka

n

a(ijk+1) =

a(iℓk)aℓj .

ℓ=1

Untuk ℓ = 1, 2, ..., n, oleh hipotesis induksi dan prinsip perkalian a(iℓk)aℓj adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang melalui titik ℓ. Sehingga oleh prinsip

Universitas Sumatera Utara

8 penjumlahan a(iℓk+1) adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j.
2.4 Graf Terhubung
Sebuah graf G dikatakan terhubung (connected graph) jika untuk setiap titik u dan v di G dihubungkan oleh sebuah jalan dengan u dan v merupakan titik ujung. Sebaliknya, graf tidak terhubung (disconnected graph) merupakan graf terdapat sembarang titik yang tidak terhubung ke titik lainnya di G. Dengan kata lain, tidak terdapat yang jalan menghubungkan titik tersebut ke titik yang lain di G.
Gambar 2.2. (a) Graf Terhubung dan (b) Graf tidak Terhubung Graf pada Gambar 2.2(a) merupakan graf terhubung, karena untuk tiap titik terdapat jalan yang menghubungkan antara satu titik ke titik lainnya. Sedangkan graf pada Gambar 2.2(b) merupakan graf tidak terhubung, karena tidak terdapat jalan yang menghubungkan satu titik dengan titik lainnya seperti v3 ke v4, v2 ke v3 dan lainnya. Teorema 2.2 (Bona, 2006) Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A2 + ... + An−1 mempunyai entri yang semuanya positif. Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dengan n titik dan misalkan B = A + A2 + ... + An−1. Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan titik i dan
Universitas Sumatera Utara

9 titik j. Sebuah lintasan di G tidak terdapat titik berulang kecuali i = j, bila i = j terdapat lintasan dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan i dengan j. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j yang berbeda, terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga entri akij > 0. Sehingga semua entri di luar entri diagonal dari matriks B adalah positif. Bila i = j, maka terdaoat sebuah cycle dengan panjang 2 yang memuat titik i, sehingga entri ai(j2) > 0 untuk semua i = 1, 2, ..., n. Jadi entri diagonal dari matriks B adalah positif. Sekarang dapat disimpulkan bahwa semua entri dari matriks B = A+A2 +...+An−1 adalah positif.
Sekarang andaikan setiap entri dari matriks A + A2 + ... + An−1 adalah positif. Akibatnya untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah bilangan positif k dengan 1 ≤ k ≤ n − 1 sehingga akij > 0. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang menghubungkan i dan j. Sehingga oleh definisi G adalah sebuah graf terhubung.
2.5 Primitivitas Graf
Graf primitif merupakan graf terhubung dimana terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah jalan Wuv dengan panjang k. Sebuah graf G dikatakan primitif jika G merupakan graf terhubung dan terdapat paling sedikit satu cycle ganjil (Liu et al., 1990).
Gambar 2.3. (a) Graf Primitif dan (b) Graf tidak Primitif
Universitas Sumatera Utara

10

Graf pada Gambar 2.3(a) merupakan graf primitif, karena terdapat cycle dengan panjang ganjil. Sedangkan graf pada Gambar 2.3(b) bukan merupakan graf primitif, karena tidak terdapat cycle dengan panjang ganjil.
Sebuah graf G dapat direpresentasikan menjadi sebuah matriks ketetanggaan A. Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat k sedemikian hingga semua entri di Ak bernilai positif (Brualdi dan Ryser, 1991).

Graf pada Gambar 2.3(a) dapat direpresentasikan menjadi matriks persegi non negatif A sebagai berikut:

 011000

1 0 1 0 0 0



A

=

1 

1

0

1

1

1 

.

0 0 1 0 0 0



0 0 1 0 0 1

 001010

Untuk memperlihatkan bahwa matriks A merupakan matriks primitif, maka akan diperlihatkan terdapat bilangan bulat positif terkecil k sehingga semua entri di Ak bernilai positif. Dengan kata lain, matriks Ak merupakan matriks positif. Perhatikan matriks A4 berikut :

 9 8 10 6 8 8

  8 9 10 6 8 8 



A4

=

10 

10

29

4

10

10 

.

6 6 4 5 6 6



 

8

8 10 6 9

8

 



8 8 10 6 8 9

Diperoleh bahwa setiap entri di matriks A4 bernilai positif. Karena terdapat bilangan bulat positif k sehingga matriks Ak merupakan matriks positif, maka matriks A adalah primitif.

Universitas Sumatera Utara

11
2.6 Scrambling Index Scrambling index dari graf primitif G dinotasikan dengan k(G) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan v, terdapat sebuah titik w sehingga terdapat jalan dari titik u dan titik v ke titik w dengan panjang k atau dengan kata lain terdapat Wuw dan Wvw dengan panjang k (Alkebek dan Kirkland 2009a, 2009b).
Untuk setiap u, v ∈ V (G) dan u = v, scrambling index lokal dari titik u dan v di G didefinisikan sebagai berikut:
ku,v(G) = min {k : terdapat Wuw dan Wvw dengan panjang k}.
w∈V (G)
Jika scrambling index lokal dari titik u dan v di G adalah ku,v(G), maka untuk setiap k′ ≥ ku,v(G), terdapat titik w′ sehingga terdapat Wuw′ dan Wvw′ dengan panjang k′. Sehingga scrambling index dari graf G didefinisikan sebagai berikut:
k(G) = max {ku,v(G)}.
u,v∈V (G)
Contoh 2.1 Andaikan G adalah graf yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang 5 seperti pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4. Graf yang Terdiri Atas Sebuah Cycle dengan Panjang 5 Scrambling index dari graf G dapat diselesaikan dengan menentukan scrambling index lokal untuk tiap dua titik yang berbeda pada graf G terlebih dahulu.
Universitas Sumatera Utara

12
kv1,v2 (G) = min{kv1,v2 (v1), kv1,v2 (v2), kv1,v2 (v3), kv1,v2 (v4), kv1,v2 (v5)} = min{4, 4, 3, 2, 3} = 2
kv1,v3 (G) = min{kv1,v3 (v1), kv1,v3 (v2), kv1,v3 (v3), kv1,v3 (v4), kv1,v3 (v5)} = min{2, 1, 2, 3, 3} = 1
kv1,v4 (G) = min{kv1,v4 (v1), kv1,v4 (v2), kv1,v4 (v3), kv1,v4 (v4), kv1,v4 (v5)} = min{2, 3, 3, 2, 1} = 1
kv1,v5 (G) = min{kv1,v5 (v1), kv1,v5 (v2), kv1,v5 (v3), kv1,v5 (v4), kv1,v5 (v5)} = min{4, 3, 2, 3, 4} = 2
kv2,v3 (G) = min{kv2,v3 (v1), kv2,v3 (v2), kv2,v3 (v3), kv2,v3 (v4), kv2,v3 (v5)} = min{3, 4, 4, 3, 2} = 2
kv2,v4 (G) = min{kv2,v4 (v1), kv2,v4 (v2), kv2,v4 (v3), kv2,v4 (v4), kv2,v4 (v5)} = min{3, 2, 1, 2, 3} = 1
kv2,v5 (G) = min{kv2,v5 (v1), kv2,v5 (v2), kv2,v5 (v3), kv2,v5 (v4), kv2,v5 (v5)} = min{1, 2, 3, 3, 2} = 1
kv3,v4 (G) = min{kv3,v4 (v1), kv3,v4 (v2), kv3,v4 (v3), kv3,v4 (v4), kv3,v4 (v5)} = min{2, 3, 4, 4, 3} = 2
kv3,v5 (G) = min{kv3,v5 (v1), kv3,v5 (v2), kv3,v5 (v3), kv3,v5 (v4), kv3,v5 (v5)} = min{3, 3, 2, 1, 2} = 1
kv3,v5 (G) = min{kv4,v5 (v1), kv4,v5 (v2), kv4,v5 (v3), kv4,v5 (v4), kv4,v5 (v5)} = min{3, 2, 3, 4, 4} = 2
Setelah memperoleh scrambling index lokal untuk tiap dua titik yang berbeda di graf G, selanjutnya adalah menentukan scrambling index untuk graf G.
k(G) = vi,vmj∈aVx(G){kvi,vj (G)} = max{2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2} = 2.
Scrambling index dari matriks primitif A adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua baris di Ak terdapat sedikitnya satu entri positif pada posisi kolom yang sama (Alkebek dan Kirkland 2009a, 2009b). Pada Gambar 2.5, graf G dapat direpresentasikan menjadi matriks ketetanggan M seperti berikut:
Universitas Sumatera Utara

13
 01001
1 0 1 0 0  M = 0 1 0 1 0 . 0 0 1 0 1 
10010
Untuk k = 1, pada baris pertama dan kedua di M k = M tidak terdapat bilangan positif pada kolom yang sama. Sehingga, perlu dicari bilangan bulat positif k > 1, sehingga untuk setiap dua baris di M k terdapat sedikitnya satu entri positif pada posisi kolom yang sama. Perhatikan matriks M 2 berikut:
 20110
0 2 0 1 1  M 2 = 1 0 2 0 1 .  1 1 0 2 0 
01102
• Pada baris pertama dan baris kedua, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom keempat.
• Pada baris pertama dan baris ketiga, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom pertama dan ketiga.
• Pada baris pertama dan baris keempat, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom pertama dan keempat.
• Pada baris pertama dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom ketiga.
• Pada baris kedua dan baris ketiga, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kelima.
• Pada baris kedua dan baris keempat, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kedua dan keempat.
Universitas Sumatera Utara

14

• Pada baris kedua dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kedua dan kelima.
• Pada baris ketiga dan baris keempat, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom pertama.
• Pada baris ketiga dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom ketiga dan kelima.
• Pada baris keempat dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kedua.
Oleh karena 2 merupakan bilangan bulat positif terkecil sehingga setiap dua baris di M 2 terdapat elemen positif pada posisi kolom yang sama, maka scrambling index dari matriks M adalah 2.

Proposisi 2.3 Andaikan G adalah sebuah graf dan k′ adalah bilangan bulat genap positif. Jika untuk tiap pasangan titik yang berbeda u dan v di G, terdapat sebuah jalan dengan panjang genap Wuv ≤ k′, maka k(G) ≤ k′/2.

Bukti. Andaikan u dan v adalah dua titik yang berbeda di G dan andaikan Wuv

adalah jalan dengan panjang genap u = v0 ↔ v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ v2m−1 ↔ v2m = v

untuk beberapa bilangan bulat positif m dengan panjang ℓ(Wuv) ≤ k′. Andaikan C2

adalah cycle v2m ↔ v2m−1 ↔ v2m dengan panjang 2. Maka jalan Wu′v yang berawal

di u, bergerak ke v sepanjang jalan Wuv dan bergerak k′ − ℓ(Wuv) kali disekitar

C2 adalah sebuah sebuah Wuv dengan panjang k′. Karena k′ adalah genap, maka

terdapat

sebuah

titik

w

sehingga

terdapat

sebuah

jalan

Wuw

dengan

panjang

k′ 2

dan

terdapat

sebuah

jalan

Wvw

dengan

panjang

k′ 2

.

Sehingga

k(G)

≤

k′ 2

.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
METODE PENELITIAN
Pada bab ini, akan dijelakan langkah-langkah untuk memperoleh scrambling index dari graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s yang dihubungkan oleh beberapa lintasan dengan panjang tiap lintasan adalah ℓ. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Menentukan bentuk umum scrambling index dari graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas yang dihubungkan oleh satu lintasan. Andaikan G1 adalah sebuah graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s yang dihubungkan oleh satu lintasan dengan panjang lintasan adalah ℓ. Untuk mencari bentuk umum scrambling index dari graf G1 dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Menentukan nilai scrambling index. Sebuah graf G1 dapat direpresentasikan menjadi sebuah matriks ketetanggaan simetris A berukuran n × n. Untuk menentukan nilai scrambling index dari graf G1 dapat dilakukan dengan menggunakan program yang dibuat di M AT LAB.
b. Menentukan bentuk umum scrambling index. Setelah memperoleh nilai-nilai scrambling index untuk graf G1 yang telah didapat dari program yang dibuat di M AT LAB, kita dapat menentukan persamaan untuk nilai scrambling index yang bergantung pada s dan ℓ.
c. Membuktikan bentuk umum scrambling index. Langkah selanjutnya adalah membuktikan bentuk umum scrambling index untuk graf G1 dengan cara menentukan batas atas dan batas bawah dari graf G1. Batas bawah diperoleh dengan menentukan scrambling index lokal dari dua titik yang berbeda di G1 terhadap sebuah titik di G1 sehingga memenuhi k(G) ≥ f (s, ℓ). Sedangkan batas atas diperoleh dengan menentukan scrambling index lokal dari setiap dua titik di G
Universitas Sumatera Utara

sehingga memenuhi k(G) ≤ f (s, ℓ).

16

2. Menentukan bentuk umum scrambling index dari graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas yang dihubungkan oleh dua lintasan.
Andaikan G2 adalah sebuah graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas dengan panjang s engan panjang tiap cycle adalah s yang dihubungkan oleh dua lintasan dengan panjang tiap lintasan adalah ℓ. Untuk mencari bentuk umum scrambling index dari graf G2 dapat dilakukan seperti pada langkah-langkah (1). Tetapi pada langkah (b) yaitu menentukan batas atas dari graf G2, juga menggunakan batas atas pada G1.
3. Menentukan bentuk umum scrambling index dari graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas yang dihubungkan oleh s lintasan.
Andaikan G3 adalah sebuah graf terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s yang dihubungkan oleh s lintasan dengan panjang tiap lintasan adalah ℓ. Untuk mencari bentuk umum scrambling index dari graf G3 dapat dilakukan seperti pada langkah-langkah (1) maupun (2). Tetapi pada langkah (c) yaitu menentukan batas bawah dan batas atas dari graf G3, juga menggunakan batas atas pada graf G1 dan G2 serta batas bawah pada graf G2.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Scrambling Index dari Graf Barbel

Andaikan terdapat dua cycle ganjil C1 yaitu cycle v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vs ↔ v1 dan C2 yaitu cycle vs+1 ↔ vs+2 ↔ ... ↔ v2s ↔ vs+1 yang saling lepas dengan panjang tiap cycle adalah s. Andaikan lintasan P adalah sebuah lintasan dengan panjang ℓ dengan titik awal berada di C1 dan titik akhirnya berada di C2. Sebuah graf G terdiri atas dua cycle ganjil saling lepas C1 dan C2 yang dihubungkan oleh sebuah lintasan P disebut graf (s, ℓ)-barbel. Andaikan vs adalah titik di P yang berada di C1 dan vs+ℓ adalah titik di P yang berada di C2 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Untuk tiap titik vi di C1, diasumsikan Pvivs adalah lintasan terpendek yang

menghubungkan

titik

vi

dan

vs

dan

diasumsikan

P′
vi vs

adalah

lintasan

yang

menghubu-

ngkan titik vi dan vs dengan panjang s − d(vi, vs). Sedangkan untuk tiap titik vj

di C2, diasumsikan Pvjvs+ℓ adalah lintasan terpendek yang menghubungkan titik vj

dan

vs+ℓ

dan

diasumsikan

P′
vj vs+ℓ

adalah

lintasan

yang

menghubungkan

titik

vj

dan

vs+ℓ dengan panjang s − d(vj, vs+ℓ).

Gambar 4.1. Graf (s, ℓ)-Barbel
Universitas Sumatera Utara

18

Lemma 4.1 Andaikan s adalah bilangan bulat positif ganjil dan G adalah graf

(s, ℓ)-barbel.

Jika

ℓ

adalah

bilangan

bulat

positif

ganjil,

maka

k(G)

=

s+ 2

ℓ .

Bukti.

Dengan

memperhatikan

titik

v s−1 2

dan

v ,3s−1 2

+ℓ

terdapat

beberapa

jalan

yang menghubungkan kedua titik tersebut. Diantaranya adalah:

a.

Jalan

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

yang

terdiri dari

lintasan Pv s−1 vs ,
2

lintasan P

dan lintasan

Pvs+ℓ

v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang:

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

=

d(v s−1 2

,

vs)

+

ℓ

+

d(vs+ℓ,

v )3s−1 2

+ℓ

=

s−1 2

+ℓ

+

s−1 2

=

s−1 2

+ℓ

+

s−1 2

= s + ℓ − 1.

b.

Jalan

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

yang

terdiri dari

lintasan

P′
v s−1

vs ,

2

lintasan P

dan lintasan

Pvs+ℓ

v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang:

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

=

s

−

d(v s−1 , vs) 2

+

ℓ

+

d(vs+ℓ,

v )3s−1 2

+ℓ

=

s

−

s

− 2

1

+

ℓ

+

s

− 2

1

=

s

+1 2

+ℓ

+

s−1 2

= s + ℓ.

c.

Jalan

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

yang

terdiri dari

lintasan Pv s−1 vs ,
2

lintasan P

dan lintasan

P′

vs+ℓ

v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang:

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

=

d(v s−1 , 2

vs)

+

ℓ

+

s

−

d(vs+ℓ,

v )3s−1 2

+ℓ

=

s

− 2

1

+ℓ+

s−

s−1 2

=

s

− 2

1

+ℓ+

s+1 2

= s + ℓ.

Universitas Sumatera Utara

19

d.

Jalan

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

yang

terdiri dari

lintasan

P′
v s−1

vs ,

2

lintasan P

dan lintasan

P′

vs+ℓ

v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang:

ℓ(Wv s−1
2

)v

3s−1 2

+ℓ

=

s

−

d(v s−1 2

,

vs)

+

ℓ

+

s

−

d(vs+ℓ,

v )3s−1 2

+ℓ

=

s

−

s

− 2

1

+

ℓ

+

s

−

s

− 2

1

=

s

+1 2

+ℓ

+

s+1 2

= s + ℓ + 1.

Keempat

jalan

tersebut

merupakan

lintasan

Pv s−1
2

v

3s−1 2

+ℓ

dan

dapat

dipastikan

bahwa keempat jalan tersebut merupakan jalan terpendek dibandingkan jalan yang

lainnya karena jalan tersebut tidak terdapat pengulangan sisi yang memungkinkan

panjang

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

≥

s

+

ℓ

+

1.

Karena ℓ merupakan bilangan bulat positif

ganjil,

maka

jalan

(a)

dan

(d)

merupakan

jalan

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang

ganjil,

sedangkan

jalan

(b)

dan

(c)

merupakan

jalan

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang

genap.

Untuk

mencari

scrambling

index

lokal

dari

titik

v s−1 2

dan

v ,3s−1 2

+ℓ

diperlukan

sebuah jalan yang menghubungkan kedua titik tersebut dengan panjang genap.

Andaikan

panjang

jalan

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

adalah

2k,

untuk

suatu

bilangan

bulat

positif k. Maka akan terdapat suatu titik vw di G sehingga panjang dari jalan

Wv s−1 vw

dan jalan Wv s−1 vw

adalah

2k 2

=

k.

Oleh karena itu, diperlukan jalan

22

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang

genap.

Dengan

memilih

jalan

(b)

atau

(c),

diper-

oleh

jalan

ℓ(Wv s−1
2

)v

3s−1 2

+ℓ

dengan

panjang

genap

yaitu

s

+

ℓ.

Karena

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

adalah

genap,

maka

terdapat

suatu

titik

vw

di

G

se-

hingga

terdapat

jalan

Wv s−1 vw
2

dan

jalan

Wv

3s−1 2

+ℓ vw

dengan

panjang

(s + ℓ)/2.

Karena jalan (b) dan jalan (c) merupakan jalan terpendek dengan panjang genap,

sehingga menurut definisi scrambling index lokal, yaitu:

ku,v(G) = min {ku,v(w)}.
w∈V (G)

Universitas Sumatera Utara

20

Maka

dapat

diperoleh

k (G)v

s−1 2

,v

3s−1 2

+ℓ

=

(s + ℓ)/2.

Oleh

definisi

scrambling

index

dimana k(G) merupakan nilai maksimum dari nilai scrambling index lokal untuk

tiap

dua

titik

yang

berbeda

di

G,

maka

dapat

diperoleh

k(G)

≥

s

+ 2

ℓ.

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa untuk tiap dua titik yang berbeda

vi dan vj di G, terdapat jalan Wvivj dengan panjang genap dimana ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ. Jika d(vi, vj) genap, maka lintasan tersebut dapat diperpanjang menjadi jalan dengan panjang tepat s + ℓ. Sekarang diasumsikan d(vi, vj) ganjil. Terdapat 4 kasus, yaitu:

1. Kedua titik vi, vj di cycle C1 atau vi, vj di cycle C2. Andaikan vi dan vj di C1, maka lintasan terpendek dengan panjang genap yang meghubungkan kedua titik tersebut adalah s − d(vi, vj) ≤ s − 1 < s + ℓ. Hal ini juga berlaku untuk vi dan vj di C2.

2.

Titik

vi

di

cycle

C1

dan

vj

di

cycle

C2.

Andaikan

P′
vi vj

adalah

lintasan

yang

menghubungkan vi dan vj dengan panjang genap, terdiri dari lintasan Pv′ivs,

lintasan P , dan lintasan Pvs+ℓ,vj dengan panjang ℓ(Pv′ivj ) = s − d(vi, vs) + ℓ +

d(vs+ℓ, vj).

Selain

itu,

andaikan

P ′′
vi vj

adalah lintasan yang menghubungkan

vi dan vj dengan panjang genap, terdiri dari lintasan Pvivs, lintasan P , dan

lintasan

P′
vs+p vj

dengan

panjang

ℓ(Pv′′ivj )

=

d(vi, vs) + ℓ + s − d(vs+ℓ, vj).

Dengan

memperhatikan

lintasan

P′
vi vj

dan

P ′′
vi vj

,

dapat

diperoleh

ℓ(Pv′ivj )+

ℓ(Pv′′ivj ) = s − d(vi, vs) + ℓ + d(vs+ℓ, vj) + d(vi, vs) + ℓ + s − d(vs+ℓ, vj) = 2s + 2ℓ.

Oleh karena s+ℓ adalah genap, maka terdapat tiga kasus yaitu ℓ(Pv′ivj ) = s+ℓ

dan ℓ(Pv′′ivj ) = s + ℓ, ℓ(Pv′ivj ) < s + ℓ dan ℓ(Pv′′ivj ) > s + ℓ atau ℓ(Pv′ivj ) > s + ℓ

dan ℓ(Pv′′ivj ) < s+ℓ. Dengan mendefinisikan ℓ(Wvivj ) = min{ℓ(Pv′ivj ), ℓ(Pv′′ivj )},

diperoleh ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ.

3.

Titik

vi, vj

di lintasan

P.

Andaikan

W′
vi vj

adalah

jalan

dengan panjang genap

yang menghubungkan titik vi dan vj, terdiri dari lintasan Pvivs, cycle C1 dan

lintasan

Pvsvj .

Selain

itu,

andaikan

W ′′
vi vj

adalah

jalan

dengan

panjang

genap

yang menghubungkan titik vi dan vj, terdiri dari lintasan P ,vivs+ℓ cycle C2

dan lintasan P .vs+ℓvj Oleh karena d(vi, vj) ganjil, maka ℓ(Wv′ivj ) dan ℓ(Wv′′ivj )

adalah genap.

Universitas Sumatera Utara

21

Dengan

memperhatikan

jalan

W′
vi vj

dan

Wv′′ivj ,

dapat

diperoleh

ℓ(Wv′ivj )+

ℓ(Wv′′ivj ) = d(vi, vs) + s + d(vs, vi) + d(vi, vj) + d(vi, vj) + d(vj, vs+ℓ) + s +

d(vs+ℓ, vj) = 2s + 2ℓ. Oleh karena (s + ℓ) adalah genap, maka terdapat tiga

kasus yaitu ℓ(Wv′ivj ) = s + ℓ dan ℓ(Wv′′ivj ) = s + ℓ, ℓ(Wv′ivj ) < s + ℓ dan ℓ(Wv′′ivj ) > s + ℓ atau ℓ(Wv′ivj ) > s + ℓ dan ℓ(Wv′′ivj ) < s + ℓ. Dengan mendefinisikan ℓ(Wvivj ) = min{ℓ(Wv′ivj ), ℓ(Wv′′ivj )}, diperoleh ℓ(Wvivj ) < s + ℓ.

4. Titik vi di cycle C1 atau C2 dan vj di lintasan P . Asumsikan vi berada di

cycle C1. Andaikan Wvivj adalah jalan terpendek yang menghubungkan vi

dan

vj

dengan

panjang

genap

terdiri

dari

lintasan

P′
vi vs

dan

lintasan

Pvsvj .

Sehingga diperoleh ℓ(Wvivj ) = s − d(vi, vj) + ℓ ≤ s + ℓ.

Untuk setiap pasangan titik vi dan vj yang berbeda di G, telah dibuktikan
bahwa terdapat jalan Wvivj dengan panjang ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ. Oleh proposisi 2.3, diperoleh k(G) ≤ s + ℓ . Jadi, dapat disimpulkan bahwa k(G) = s + ℓ.
22

Lemma 4.2 Andaikan s adalah bilangan bulat positif ganjil dan G adalah graf

(s, ℓ)-barbel.

Jika

ℓ

adalah

bilangan

bulat

positif

genap,

maka

k(G)

=

s+

ℓ− 2

1.

Bukti. Pembuktian pada bagian ini mengggunakan cara yang sama seperti pada

Lemma

4.1.

Dengan

memperhatikan

titik

v s−1 2

dan

v ,3s−1 2

+ℓ

maka

diperoleh

beber-

apa

jalan

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

seperti pada Lemma 4.1.

Oleh karena ℓ merupakan bilan-

gan bulat positif genap, maka jalan (a) dan (d) merupakan jalan dengan panjang

genap. Sedangkan jalan (b) dan (c) merupakan jalan dengan panjang ganjil. Den-

gan

memilih

jalan

terpendek

Wv

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

yaitu

jalan

(a),

maka

diperoleh:

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

=

d(v s−1 , 2

vs)

+

ℓ

+

d(vs+ℓ,

v )3s−1 2

+ℓ

=

s

− 2

1

+

ℓ

+

s

− 2

1

= s + ℓ − 1.

Karena

ℓ(W )v

s−1 2

v

3s−1 2

+ℓ

adalah

genap,

maka

terdapat

sebuah

titik

vw

sehingga

ter-

dapat

sebuah

jalan

Wv s−1 vw
2

dan

jalan

Wv

3s−1 2

+ℓ

vw

dengan

panjang

(s + ℓ − 1)/2.

Dengan cara yang sama seperti pada Lemma 4.1 dapat diperoleh:

k (G)v

s−1 2

,v

3s−1 2

+ℓ

=

s

+

ℓ 2

−

1

.

Universitas Sumatera Utara

22

Sehingga,

oleh

definisi

scrambling

index

diperoleh

k(G)

≥

s

+

ℓ− 2

1.

Selanjutnya akan memperlihatkan bahwa untuk tiap dua titik yang berbeda

vi dan vj di G, terdapat jalan Wvivj dengan panjang genap dimana ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ − 1. Jika d(vi, vj) genap, maka lintasan tersebut dapat diperpanjang menjadi jalan dengan panjang tepat s + ℓ − 1. Sekarang kita asumsikan d(vi, vj) ganjil. Terdapat 4 kasus, yaitu :

1. Kedua titik vi, vj di C1 atau vi, vj di C2. Andaikan vi, vj di C1, maka lintasan terpendek dengan panjang genap yang meghubungkan dua titik tersebut adalah s − d(vi, vj) ≤ s − 1 < s + ℓ − 1.

2.

Titik

vi

di

C1

dan

vj

di

C2.

Andaikan

P′
vi vj

adalah

lintasan

yang

menghubu-

ngkan vi dan vj dengan panjang genap, terdiri dari lintasan Pv′ivs, lintasan P ,

dan lintasan Pvs+ℓvj dengan panjang ℓ(Pv′ivj ) = s − d(vi, vs) + ℓ + d(vs+ℓ, vj),

sedangkan

P ′′
vi vj

adalah

lintasan

yang

menghubungkan

vi

dan

vj

dengan

pan-

jang

genap,

terdiri

dari

lintasan

Pvivs ,

lintasan

P,

dan

lintasan

P′
vs+p vj

dengan

panjang ℓ(Pv′′ivj ) = d(vi, vs) + ℓ + s − d(vs+ℓ, vj).

Dengan

memperhatikan

lintasan

P′
vi vj

dan

P ′′
vi vj

,

dapat

diperoleh

ℓ(Pv′ivj )+

ℓ(Pv′′ivj ) = s − d(vi, vs) + ℓ + d(vs+ℓ, vj) + d(vi, vs) + ℓ + s − d(vs+ℓ, vj) = 2s + 2ℓ.

Karena s + ℓ adalah ganjil, maka s + ℓ − 1 adalah genap. Karena ℓ(Pv′ivj ) dan

ℓ(Pv′′ivj ) adalah genap, maka terdapat empat kasus yaitu ℓ(Pv′ivj ) = s + ℓ − 1

dan ℓ(Pv′′ivj ) = s + ℓ + 1, ℓ(Pv′ivj ) = s + ℓ + 1 dan ℓ(Pv′′ivj ) = s + ℓ − 1,

ℓ(Pv′ivj ) < s + ℓ − 1 dan ℓ(Pv′′ivj ) > s + ℓ + 1, atau ℓ(Pv′ivj ) > s + ℓ + 1 dan

ℓ(Pv′′ivj ) < s + ℓ − 1. Dengan mendefinisikan ℓ(Wvivj ) = min{ℓ(Pv′ivj ), ℓ(Pv′′ivj )}

diperoleh ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ − 1.

3.

Titik vi, vj

di P .

Andaikan

W′
vi vj

adalah jalan dengan panjang genap yang

menghubungkan titik vi dan vj, terdiri dari lintasan Pvivs, cycle C1 dan

lintasan Pvsvj .

Selain

itu,

andaikan

jalan

W ′′
vi vj

adalah

jalan

dengan

pan-

jang genap yang menghubungkan titik vi dan vj, terdiri dari lintasan P ,vivs+ℓ

cycle C2 dan lintasan P .vs+ℓvj Oleh karena d(vi, vj) ganjil, maka ℓ(Wv′ivj ) dan

ℓ(Wv′′ivj ) adalah genap.

Dengan

memperhatikan

jalan

W′
vi vj

dan

Wv′′ivj ,

dapat

diperoleh

ℓ(Wv′ivj )+

Universitas Sumatera Utara

23

ℓ(Wv′′ivj ) = d(vi, vs) + s + d(vs, vi) + d(vi, vj) + d(vi, vj) + d(vj, vs+ℓ) + s + d(vs+ℓ, vj) = 2s + 2ℓ. Oleh karena s + ℓ ganjil maka s + ℓ − 1 adalah genap, se-
hingga terdapat empat kasus yaitu ℓ(Wv′ivj ) = s+ℓ−1 dan ℓ(Wv′′ivj ) = s+ℓ+1, ℓ(Wv′ivj ) = s+ℓ+1 dan ℓ(Wv′′ivj ) = s+ℓ−1, ℓ(Wv′ivj ) < s+ℓ−1 dan ℓ(Wv′′ivj ) > s + ℓ + 1 atau ℓ(Wv′ivj ) > s + ℓ + 1 dan ℓ(Wv′′ivj ) < s + ℓ − 1. Dengan mendefinisikan ℓ(Wvivj ) = min{ℓ(Wv′ivj ), ℓ(Wv′′ivj )}, diperoleh ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ − 1.

4. Titik vi di C1 atau C2 dan vj di P . Asumsikan vi berada di cycle C1. Andaikan

P′
vi vj

adalah

lintasan

terpendek

dengan

panjang

genap

terdiri

dari

lintasan

P′
vi vs

dan

lintasan

Pvsvj .

Sehingga diperoleh ℓ(Pv′ivj ) = s − d(vi, vj) + ℓ ≤

s − 1 + ℓ.

Untuk setiap pasangan titik vi dan vj yang berbeda di G, telah dibuk-

tikan bahwa terdapat jalan Wvivj yang menghubungkan vi dan vj dengan panjang

ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ − 1.

Oleh proposisi

2.3,

diperoleh

k(G) ≤

s

+

ℓ 2

−

1

.

Jadi

dapat

disimpulkan

bahwa

k(G)

=

s

+

ℓ− 2

1.

4.2 Scrambling Index dari Graf Barbel Dua Lintasan

Andaikan terdapat dua cycle ganjil C1 yaitu cycle v1 ↔ v2 ↔ ... ↔ vs ↔ v1

dan C2 yaitu cycle vs+1 ↔ vs+2 ↔ ... ↔ v2s ↔ vs+1 yang saling lepas dengan

panjang tiap cycle adalah s. Andaikan vx1, vy1 ∈ C1 dan vx2, vy2 ∈ C2 sehingga

d(vx1, vy1) =

d(vx2 , vy2 )

dengan

1

≤

d(vx1 , vy1 )

≤

s−1 2

.

Andaikan

lintasan

P1

adalah

sebuah lintasan yang menghubungkan vx1 dengan vx2 dan lintasan P2 adalah sebuah

lintasan yang menghubungkan vy1 dengan vy2 dengan panjang tiap lintasan adalah ℓ.

Sebuah graf G terdiri dari dua cycle ganjil saling lepas C1 dan C2 yang dihubungkan

oleh dua lintasan P1 dan P2 seperti ditunjukkan pada Gambar 4.2 disebut graf (s, ℓ)-

barbel dua lintasan.

Asumsikan Pvx1vy1 adalah lintasan terpendek yang menghubungkan titik vx1

dan

vy1

sedangkan

P′
vx1 vy1

adalah

lintasan

yang

menghubungkan

titik

vi

dan

vs

dengan panjang s − d(vx1, vy1). Selain itu, asumsikan Pvx2vy2 adalah lintasan ter-

pendek

yang

menghubungkan

titik

vx2

dan

vy2

dan

P′
vx1 vy1

adalah

lintasan

yang

menghubungkan titik vi dan vs dengan panjang s − d(vx2, vy2).

Universitas Sumatera Utara

24

Gambar 4.2. Graf (s, ℓ)-Barbel Dua Lintasan

Lemma 4.3 Andaikan s adalah bilangan bulat positif ganjil dan G adalah graf (s, ℓ)-

barbel

dua

lintasan.

Jika

ℓ

adalah

bilangan

bulat

positif

ganjil,

maka

k(G)

=

s+ 2

ℓ.

Bukti. Andaikan va dan vb adalah dua titik tengah di lintasan P1 dimana d(va, vb) =

1

dan

d(va, vx1) =

d(vb, vx2)

=

ℓ−1 2

.

Dengan

memperhatikan

titik

va

dan

vb,

diper-

oleh jalan terpendek yang menghubungkan va dan vb adalah 1. Untuk mencari

scrambling index lokal dari dua titik tersebut, perlu ditemukan sebuah jalan den-

gan panjang genap yang menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk memperoleh

jalan dengan panjang genap, maka jalan yang menghubungkan kedua titik terse-

but harus melewati satu cycle dengan panjang ganjil. Sehingga terdapat dua jalan

Wvavb terpendek sebagai berikut:

a. Jalan Wvavb dengan panjang genap yang melewati C1. Terdiri dari lintasan Pvavx1 , cycle C1, dan lintasan Pvx1vb. Sehingga diperoleh:

ℓ(Wvavb) = d(va, vx1) + s + d(vx1, va) + d(vva, vb)

=

ℓ

− 2

1

+

s

+

ℓ

− 2

1

+

1

= s + ℓ.

b. Jalan Wvavb dengan panjang genap yang melewati C2. Terdiri dari lintasan Pvavx2 , cycle C2, dan lintasan Pvx2vb. Sehingga diperoleh:

ℓ(Wvavb) = d(va, vb) + d(vb, vx2) + s + d(vx2, vb)

=

1

+

ℓ

− 2

1

+

s

+

ℓ

− 2

1

= s + ℓ.

Universitas Sumatera Utara

25

Dengan memilih jalan (a) maupun (b) dengan panjang genap, maka diperoleh

suatu titik vw sehingga terdapat sebuah jalan Wvavw dan jalan Wvbvw dengan panjang

s+ℓ 2

.

Dengan

cara

yang

sama

seperti pada

Lemma

4.1,

maka diperoleh k(G)

≥

s

+ 2

ℓ

.

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa untuk tiap dua titik yang berbeda di

G, terdapat jalan Wvivj dengan panjang genap dimana ℓ(Wvivj ) ≤ s + ℓ. Untuk tiap dua titik vi dan vj di G, jika d(vi, vj) genap, maka lintasan tersebut dapat diperpanjang menjadi jalan dengan panjang tepat s + ℓ. Sekarang diasumsikan

d(vi, vj) ganjil. Terdapat 5 kasus, yaitu :

1. Kedua titik vi dan vj berada di cycle C1 atau C2.

2. Titik vi berada di cycle C1 dan titik vj berada di cycle C2.

3. Kedua titik vi dan vj berada di lintasan P1 atau P2.

4. Titik vi berada di cycle C1 atau C2 dan titik vj berada di lintasan P1 atau P2.

5. Titik vi berada di lintasan P1 dan titik vj berada di lintasan P2.

Untuk kasus pertama, kedua, ketiga dan keempat telah dibuktika