PERTUMBUHAN POPULASI UMUR TERTENTU dengan
RESUME 11.18
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Luluk Makziyah
(H72216034)
Siti Tarwiyatul Fifi I. (H72216045)
Putri Wulandari
( H72216063)
PERTUMBUHAN
POPULASI UMUR – TERTENTU
Model Leslie merupakan salah satu model pertumbuhan populasi yang paling
umum digunakan. Model ini menjelaskan pertumbuhan jenis kelamin perempuan pada
populasi hewan atau manusia yang dibagi menjadi beberapa kelas umur dalam durasi
waktu yang sama.
Umur maksimum yang dicapai sebarang perempuan dalam suatu populasi
dianggap sebagai L tahun (atau dalam satuan waktu lainnya). Kemudian populasi
tersebut dibagi menjadi
n
kelas umur. Maka, tiap-tiap kelas mempunyai durasi L/
n tahun.
Kelas Umur
1
2
3
⋮
n -1
n
Pada waktu t = 0, terdapat
Interval Umur
[ 0, L/ n ]
[ L/ n , 2L/ n
[ 2L/ n , 3L/ n
⋮
[ ( n - 2)L/ n
- 1)L/ n ]
[ ( n - 1)L/ n
]
]
,( n
,L]
x 1(0) perempuan pada kelas pertama,
perempuan pada kelas kedua, dan seterusnya. Hingga dengan
x 2(0)
n bilangan membentuk
vektor kolom yang disebut vektor distribusi umur awal.
[]
x 1(0)
(0)
x ( 0) = x 2
⋮
x n(0)
Seiring dengan berjalannya waktu, jumlah perempuan pada tiap kelas berubah.
Perubahan tersebut terjadi karena proses biologis, yaitu lahir, meninggal, dan penuaan.
Pada Model Leslie, durasi antara dua waktu observasi yang berurutan sama dengan
durasi interval umur.
t 0=0
t 1 =¿ L/ n ]
t 2 =¿ 2L/ n ]
⋮
t k =k L/ n ]
⋮
Dengan asumsi diatas, seluruh perempuan pada kelas ke - (i+ 1)
t k+1
sebelumnya berada pada kelas ke - i
pada waktu
pada waktu
t k . Proses kelahiran dan
kematian, dijelaskan dengan parameter demografi berikut.
ai
Rata-rata jumlah anak perempuan lahir dari tiap perempuan
( i = 1, 2, ..., n )
bi
ketika si ibu berada dalam kelas umur ke - i
Fraksi perempuan pada kelas umur ke - i yang diharapkan
( i = 1, 2, ..., n -
dapat bertahan dan mencapai kelas umur ke - (i+ 1)
1)
Berdasarkan definisi di atas,
ai ≥ 0
(i)
untuk i = 1, 2, ..., n
0 ¿ bi ≤ 1
(ii)
untuk i = 1, 2, ..., n – 1
Berdasarkan asumsi, tidak diperbolehkan
bi = 0, yang berarti tidak ada
perempuan yang hidup melewati kelas umur ke - i . Juga untuk ai haruslah bernilai
positif sehingga terdapat sejumlah kelahiran. Setiap kelas umur yang memiliki
positif disebut kelas usia subur. Berikut vektor distribusi umur
ai
x (k ) pada waktu t k .
[]
(k)
x1
x (k )=
(k)
x2
⋮
(k)
xn
Pada waktu
t k , perempuan yang berada dalam kelas umur pertama adalah
anak perempuan yang lahir antara waktu t k−1 dengan t k .
{
Jumlah
perempuan
pada kelas 1
pada waktu t k
}
{ }{ } { }
Jumlah anak
Jumlah anak
perempuan
perempuan
yang lahir dari
yang lahir dari
= perempuan
+ perempuan
+…+
dalam kelas 1
dalam kelas 2
antara waktu
antara waktu
t k−1 dengan t k
t k−1 dengan t k
Jumlah anak
perempuan
yang lahir dari
perempuan
dalam kelas n
antara waktu
t k−1 dengan t k
Atau secara matematis,
x 1( k )=a1 x 1(k−1 )+ a2 x 2(k−1 )+…+ an x n( k−1 )
Perempuan-perempuan pada kelas umur ke - (i+ 1)
n
– 1 pada waktu
tk
(1)
dengan
i = 1, 2, ...,
adalah perempuan-perempuan pada kelas ke- i
pada
waktu t k−1 yang masih hidup pada waktu t k .
{
}{
Jumlah
Fraksi perempuan
perempuan
= pada kelas i yang
pada kelas i+1
bertahan hidup dan
pada waktu t k
memasuki kelas i+1
}{
Jumlah
perempuan
pada kelas i
pada waktu t k−1
}
Atau secara matematis,
x i+1( k )=b1 x1( k−1) ,
i = 1, 2, ..., n – 1
(2)
Dengan menggunakan notasi matriks, Persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan sebagai
[] [
x1( k )
x2( k )
x 3( k )
⋮
x n( k )
=
a1
b1
0
⋮
0
a 2 a3
0 0
b2 0
⋮ ⋮
0 0
⋯ an−1
⋯
0
⋯
0
⋮
⋯
b n−1
an
0
0
⋮
0
][ ]
x1( k−1 )
x 2( k−1 )
x 3( k−1)
⋮
x n( k−1)
Atau singkatnya,
(k )
( k−1)
x =Lx
, k = 1, 2, ...
(3)
Dimana L adalah matriks Leslie.
L=
[
a1
b1
0
⋮
0
a 2 a3
0 0
b2 0
⋮ ⋮
0 0
⋯ an−1
⋯
0
⋯
0
⋮
⋯
b n−1
an
0
0
⋮
0
]
(4)
Dari persamaan (3) akan dihasilkan
x( 1)=Lx (0 )
x( 2)=Lx (1 )=L2 x (0 )
x ( 3)=Lx (2 )=L3 x (0 )
⋮
(k )
( k−1)
x =Lx =Lk x (0)
Sehingga apabila telah diketahui distribusi umur awal
(5)
x (0) dan matriks Leslie
L, maka distribusi umur perempuan pada sebarang waktu di masa mendapat dapat
ditentukan.
Contoh 1. Distibusi Umur Hewan Betina
Anggaplah umur tertua yang dapat dicapai oleh hewan betina dalam suatu populasi
tertentu adalah 15 tahun dan populasi tersebut dibagi menjadi tiga kelas umur dengan
durasi yang sama sebesar lima tahun. Misalkan matriks Leslie populasi ini adalah
L=
[
0 4 3
½ 0 0
0 ¼ 0
]
Jika awalnya terdapat 1000 betina dalam masing-masing dari ketiga kelas umur
tersebut, maka dari persamaan (3) sehingga mempunyai
�(0) =
[ ]
�(1) =
Lx
(0)
(2)
� =
Lx
(1)
(3)
Lx
(2)
� =
1000
1000
1000
=
=
=
[
[
[
][ ] [ ]
][ ] [ ]
][ ] [ ]
0 4 3 1000
½ 0 0 1000
0 ¼ 0 1000
0 4 3 7000
½ 0 0 500
0 ¼ 0 250
0 4 3 2700
½ 0 0 3500
0 ¼ 0 125
=
7000
500
250
=
2700
3500
125
=
14.375
1.375
875
Sehingga setelah 15 tahun terdapat 14.375 betina yang berumur antara 0 sampai 5
tahun, 1.375 betina yang berumur antara 5 sampai 10 tahun, dan 875 betina yang
berumur antara 10 sampai 15 tahun.
Sifat - Sifat Limit
Meskipun distribusi umum dari suatu populasi pada setiap waktu telah ditunjukkan,
namun tidak serta merta memberikan sebuah gambaran umum tentang dinamika proses
pertumbuhan yang terjadi. Maka harus menentukan nilai eigen dan vektor eigen dan
matriks Leslie terlebih dahulu. Nilai eigen dari L adalah akar-akar dari polinomial
karakteristiknya.
p(λ) = | λI – L|
= λn - a1 λn-1 - a2 b1 λn-2 - a3 2 λn-3 - ... - a2 b1 ... bn−1
Untuk menganalisis akar – akar dari persamaan polinimial ini, akan lebih mudah
bila mengenali fungsi
q(λ) =
a1
λ
+
a2 b 1
λ
2
a3 b1 b 2
+
λ
3
+...+
an b1 b2 ⋯ b n−1
λn
(6)
Dengan menggunakan fungsi ini, persamaan karakteristik p(λ) ≠ 0 dapat ditulis
q(λ) = 1 untuk λ ≠ 0
Karena seluruh
ai dan
(7)
bi adalah tak negatif, q(λ) berkurang secara monoton
untuk λ yang lebih besar dari nol. Lebih jauh lagi, q(λ) mempunyai sebuah asimtot
vertical pada λ = 0 dan mendekati nol ketika λ ∞ . Konsekuensinya terdapat sebuah
λ yang unik, misalnya λ = λ1, sedemikian hingga q(λ1) = 1. Dalam hal ini, matriks L
mempunyai sebuah nilai eigen positif unik. Dapat diperlihatkan pula bahwa λ 1
mempunyai kelipatan satu yaitu λ1 bukan merupakan akar berulang dari persamaan
karakteristik.
[]
1
�1 =
b1
λ1
b1 b2
λ 21
⋮
(8)
b1 b2 ⋯ bn−1
λn−1
1
Karena λ1 mempunyai kelipatan satu, maka ruang eigen yang berhubungan dengannya
mempunyai dimensi satu. Demikian pula vektor eigen yang berhubungan dengannya
mempunya kelipatan �1.
Contoh 2 Matriks Leslie tanpa Nilai Eigem Dominan
Misalkan,
L=
[
0 0 6
½ 0 0
0 ⅓ 0
]
Maka persamaan polinomial karskteristik L adalah
p(λ) = | λI - L| = λ3 - 1
Nilai eigen dari L kemudian menjadi solusi dari λ3 = 1 yaitu
λ = 1,
1
2
-
+
√3
i, 2
1
2
-
√3
i
2
Ketiga nilai-nilai eigen tersebut di atas mempunyai nilai absolut 1, sehingga nilai eigen
positif unik
λ
1
= 1 tidak dominan. Matriks tersebut mempunyai sifat L = I. Artinya,
untuk pilihan distribusi unsure awal �(0) yang manapun, sehingga mempunyai
�(0) = � (3) = � (6) = ... = � (3k) = ...
Sehingga vektor distribusi umur akan berosilasi dengan periode 3 satuan waktu.
Osilasi atau yang disebut gelombang populasi tidak dapat terjadi jika
λ
1
bersifat
dominan. Jika suatu populasi perempuan mempunyai dua kelas usia subur yang
berurutan. Maka matriks Leslienya mempunyai nilai eigen yang dominan. Ini
merupakan populasi yang realistik, jika durasi dari kelas-kelas umur relatif kecil.
Diasumsikan bahwa L dapat didiagonalisasikan. L mempunyai n nilai eigen,
λ
1,
λ
2, ... ,
λ
n
yang tidak harus berbeda dan n vektor-vektor eigen independen
yang linier, �1, �2, ..., �n , yang berhubungan dengannya. Nilai eigen dominan
λ
ditempatkan dalam urutan pertama. Matriks P dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari L.
P = [�1 | �2 | �3 | . . . . | �n ]
Diagonalisasi L dinyatakan dengan persamaan
L=P
Dari sini akan dihasilkan
Lk = P
[
[
λ1 0
0 λ2
0 ⋯ 0
0 ⋯ 0
⋮
0
⋮
0
⋮
⋮
⋯
0
λn
λk1 0
0 λk2
0 ⋯ 0
0 ⋯ 0
⋮
0
⋮
0
⋮ ⋯ ⋮
0
λ kn
Untuk k = 1, 2, ... untuk vektor distribusi umur awal
Lk x (0)=P
[
λk1 0
]
]
P-1
P-1
x(0) manapun, diperoleh
0 ⋯ 0
k
0 λ2 0 ⋯ 0
⋮ ⋮
⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ λ kn
]
P-1
x(0)
1
Untuk k = 1, 2, ... dengan membagi kedua sisi persamaan ini dengan
1
λk1
Karena
(k)
[
=P
x
dan
Lk x (0) , maka
x(k) =
menggunakan fakta bahwa
k
λ1
0 ⋯ 0
0 ⋯ 0
λ2
k
⋮ ⋮
λ1
λn
⋮
0 ⋯
k
0
λ1
1 0
[ ]
0
⋮
0
[ ]
λ1 adalah nilai eigen dominan, maka
|λi /λ 1|1
(ii) Suatu populasi akhirnya berkurang jika
λ1
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Luluk Makziyah
(H72216034)
Siti Tarwiyatul Fifi I. (H72216045)
Putri Wulandari
( H72216063)
PERTUMBUHAN
POPULASI UMUR – TERTENTU
Model Leslie merupakan salah satu model pertumbuhan populasi yang paling
umum digunakan. Model ini menjelaskan pertumbuhan jenis kelamin perempuan pada
populasi hewan atau manusia yang dibagi menjadi beberapa kelas umur dalam durasi
waktu yang sama.
Umur maksimum yang dicapai sebarang perempuan dalam suatu populasi
dianggap sebagai L tahun (atau dalam satuan waktu lainnya). Kemudian populasi
tersebut dibagi menjadi
n
kelas umur. Maka, tiap-tiap kelas mempunyai durasi L/
n tahun.
Kelas Umur
1
2
3
⋮
n -1
n
Pada waktu t = 0, terdapat
Interval Umur
[ 0, L/ n ]
[ L/ n , 2L/ n
[ 2L/ n , 3L/ n
⋮
[ ( n - 2)L/ n
- 1)L/ n ]
[ ( n - 1)L/ n
]
]
,( n
,L]
x 1(0) perempuan pada kelas pertama,
perempuan pada kelas kedua, dan seterusnya. Hingga dengan
x 2(0)
n bilangan membentuk
vektor kolom yang disebut vektor distribusi umur awal.
[]
x 1(0)
(0)
x ( 0) = x 2
⋮
x n(0)
Seiring dengan berjalannya waktu, jumlah perempuan pada tiap kelas berubah.
Perubahan tersebut terjadi karena proses biologis, yaitu lahir, meninggal, dan penuaan.
Pada Model Leslie, durasi antara dua waktu observasi yang berurutan sama dengan
durasi interval umur.
t 0=0
t 1 =¿ L/ n ]
t 2 =¿ 2L/ n ]
⋮
t k =k L/ n ]
⋮
Dengan asumsi diatas, seluruh perempuan pada kelas ke - (i+ 1)
t k+1
sebelumnya berada pada kelas ke - i
pada waktu
pada waktu
t k . Proses kelahiran dan
kematian, dijelaskan dengan parameter demografi berikut.
ai
Rata-rata jumlah anak perempuan lahir dari tiap perempuan
( i = 1, 2, ..., n )
bi
ketika si ibu berada dalam kelas umur ke - i
Fraksi perempuan pada kelas umur ke - i yang diharapkan
( i = 1, 2, ..., n -
dapat bertahan dan mencapai kelas umur ke - (i+ 1)
1)
Berdasarkan definisi di atas,
ai ≥ 0
(i)
untuk i = 1, 2, ..., n
0 ¿ bi ≤ 1
(ii)
untuk i = 1, 2, ..., n – 1
Berdasarkan asumsi, tidak diperbolehkan
bi = 0, yang berarti tidak ada
perempuan yang hidup melewati kelas umur ke - i . Juga untuk ai haruslah bernilai
positif sehingga terdapat sejumlah kelahiran. Setiap kelas umur yang memiliki
positif disebut kelas usia subur. Berikut vektor distribusi umur
ai
x (k ) pada waktu t k .
[]
(k)
x1
x (k )=
(k)
x2
⋮
(k)
xn
Pada waktu
t k , perempuan yang berada dalam kelas umur pertama adalah
anak perempuan yang lahir antara waktu t k−1 dengan t k .
{
Jumlah
perempuan
pada kelas 1
pada waktu t k
}
{ }{ } { }
Jumlah anak
Jumlah anak
perempuan
perempuan
yang lahir dari
yang lahir dari
= perempuan
+ perempuan
+…+
dalam kelas 1
dalam kelas 2
antara waktu
antara waktu
t k−1 dengan t k
t k−1 dengan t k
Jumlah anak
perempuan
yang lahir dari
perempuan
dalam kelas n
antara waktu
t k−1 dengan t k
Atau secara matematis,
x 1( k )=a1 x 1(k−1 )+ a2 x 2(k−1 )+…+ an x n( k−1 )
Perempuan-perempuan pada kelas umur ke - (i+ 1)
n
– 1 pada waktu
tk
(1)
dengan
i = 1, 2, ...,
adalah perempuan-perempuan pada kelas ke- i
pada
waktu t k−1 yang masih hidup pada waktu t k .
{
}{
Jumlah
Fraksi perempuan
perempuan
= pada kelas i yang
pada kelas i+1
bertahan hidup dan
pada waktu t k
memasuki kelas i+1
}{
Jumlah
perempuan
pada kelas i
pada waktu t k−1
}
Atau secara matematis,
x i+1( k )=b1 x1( k−1) ,
i = 1, 2, ..., n – 1
(2)
Dengan menggunakan notasi matriks, Persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan sebagai
[] [
x1( k )
x2( k )
x 3( k )
⋮
x n( k )
=
a1
b1
0
⋮
0
a 2 a3
0 0
b2 0
⋮ ⋮
0 0
⋯ an−1
⋯
0
⋯
0
⋮
⋯
b n−1
an
0
0
⋮
0
][ ]
x1( k−1 )
x 2( k−1 )
x 3( k−1)
⋮
x n( k−1)
Atau singkatnya,
(k )
( k−1)
x =Lx
, k = 1, 2, ...
(3)
Dimana L adalah matriks Leslie.
L=
[
a1
b1
0
⋮
0
a 2 a3
0 0
b2 0
⋮ ⋮
0 0
⋯ an−1
⋯
0
⋯
0
⋮
⋯
b n−1
an
0
0
⋮
0
]
(4)
Dari persamaan (3) akan dihasilkan
x( 1)=Lx (0 )
x( 2)=Lx (1 )=L2 x (0 )
x ( 3)=Lx (2 )=L3 x (0 )
⋮
(k )
( k−1)
x =Lx =Lk x (0)
Sehingga apabila telah diketahui distribusi umur awal
(5)
x (0) dan matriks Leslie
L, maka distribusi umur perempuan pada sebarang waktu di masa mendapat dapat
ditentukan.
Contoh 1. Distibusi Umur Hewan Betina
Anggaplah umur tertua yang dapat dicapai oleh hewan betina dalam suatu populasi
tertentu adalah 15 tahun dan populasi tersebut dibagi menjadi tiga kelas umur dengan
durasi yang sama sebesar lima tahun. Misalkan matriks Leslie populasi ini adalah
L=
[
0 4 3
½ 0 0
0 ¼ 0
]
Jika awalnya terdapat 1000 betina dalam masing-masing dari ketiga kelas umur
tersebut, maka dari persamaan (3) sehingga mempunyai
�(0) =
[ ]
�(1) =
Lx
(0)
(2)
� =
Lx
(1)
(3)
Lx
(2)
� =
1000
1000
1000
=
=
=
[
[
[
][ ] [ ]
][ ] [ ]
][ ] [ ]
0 4 3 1000
½ 0 0 1000
0 ¼ 0 1000
0 4 3 7000
½ 0 0 500
0 ¼ 0 250
0 4 3 2700
½ 0 0 3500
0 ¼ 0 125
=
7000
500
250
=
2700
3500
125
=
14.375
1.375
875
Sehingga setelah 15 tahun terdapat 14.375 betina yang berumur antara 0 sampai 5
tahun, 1.375 betina yang berumur antara 5 sampai 10 tahun, dan 875 betina yang
berumur antara 10 sampai 15 tahun.
Sifat - Sifat Limit
Meskipun distribusi umum dari suatu populasi pada setiap waktu telah ditunjukkan,
namun tidak serta merta memberikan sebuah gambaran umum tentang dinamika proses
pertumbuhan yang terjadi. Maka harus menentukan nilai eigen dan vektor eigen dan
matriks Leslie terlebih dahulu. Nilai eigen dari L adalah akar-akar dari polinomial
karakteristiknya.
p(λ) = | λI – L|
= λn - a1 λn-1 - a2 b1 λn-2 - a3 2 λn-3 - ... - a2 b1 ... bn−1
Untuk menganalisis akar – akar dari persamaan polinimial ini, akan lebih mudah
bila mengenali fungsi
q(λ) =
a1
λ
+
a2 b 1
λ
2
a3 b1 b 2
+
λ
3
+...+
an b1 b2 ⋯ b n−1
λn
(6)
Dengan menggunakan fungsi ini, persamaan karakteristik p(λ) ≠ 0 dapat ditulis
q(λ) = 1 untuk λ ≠ 0
Karena seluruh
ai dan
(7)
bi adalah tak negatif, q(λ) berkurang secara monoton
untuk λ yang lebih besar dari nol. Lebih jauh lagi, q(λ) mempunyai sebuah asimtot
vertical pada λ = 0 dan mendekati nol ketika λ ∞ . Konsekuensinya terdapat sebuah
λ yang unik, misalnya λ = λ1, sedemikian hingga q(λ1) = 1. Dalam hal ini, matriks L
mempunyai sebuah nilai eigen positif unik. Dapat diperlihatkan pula bahwa λ 1
mempunyai kelipatan satu yaitu λ1 bukan merupakan akar berulang dari persamaan
karakteristik.
[]
1
�1 =
b1
λ1
b1 b2
λ 21
⋮
(8)
b1 b2 ⋯ bn−1
λn−1
1
Karena λ1 mempunyai kelipatan satu, maka ruang eigen yang berhubungan dengannya
mempunyai dimensi satu. Demikian pula vektor eigen yang berhubungan dengannya
mempunya kelipatan �1.
Contoh 2 Matriks Leslie tanpa Nilai Eigem Dominan
Misalkan,
L=
[
0 0 6
½ 0 0
0 ⅓ 0
]
Maka persamaan polinomial karskteristik L adalah
p(λ) = | λI - L| = λ3 - 1
Nilai eigen dari L kemudian menjadi solusi dari λ3 = 1 yaitu
λ = 1,
1
2
-
+
√3
i, 2
1
2
-
√3
i
2
Ketiga nilai-nilai eigen tersebut di atas mempunyai nilai absolut 1, sehingga nilai eigen
positif unik
λ
1
= 1 tidak dominan. Matriks tersebut mempunyai sifat L = I. Artinya,
untuk pilihan distribusi unsure awal �(0) yang manapun, sehingga mempunyai
�(0) = � (3) = � (6) = ... = � (3k) = ...
Sehingga vektor distribusi umur akan berosilasi dengan periode 3 satuan waktu.
Osilasi atau yang disebut gelombang populasi tidak dapat terjadi jika
λ
1
bersifat
dominan. Jika suatu populasi perempuan mempunyai dua kelas usia subur yang
berurutan. Maka matriks Leslienya mempunyai nilai eigen yang dominan. Ini
merupakan populasi yang realistik, jika durasi dari kelas-kelas umur relatif kecil.
Diasumsikan bahwa L dapat didiagonalisasikan. L mempunyai n nilai eigen,
λ
1,
λ
2, ... ,
λ
n
yang tidak harus berbeda dan n vektor-vektor eigen independen
yang linier, �1, �2, ..., �n , yang berhubungan dengannya. Nilai eigen dominan
λ
ditempatkan dalam urutan pertama. Matriks P dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari L.
P = [�1 | �2 | �3 | . . . . | �n ]
Diagonalisasi L dinyatakan dengan persamaan
L=P
Dari sini akan dihasilkan
Lk = P
[
[
λ1 0
0 λ2
0 ⋯ 0
0 ⋯ 0
⋮
0
⋮
0
⋮
⋮
⋯
0
λn
λk1 0
0 λk2
0 ⋯ 0
0 ⋯ 0
⋮
0
⋮
0
⋮ ⋯ ⋮
0
λ kn
Untuk k = 1, 2, ... untuk vektor distribusi umur awal
Lk x (0)=P
[
λk1 0
]
]
P-1
P-1
x(0) manapun, diperoleh
0 ⋯ 0
k
0 λ2 0 ⋯ 0
⋮ ⋮
⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ λ kn
]
P-1
x(0)
1
Untuk k = 1, 2, ... dengan membagi kedua sisi persamaan ini dengan
1
λk1
Karena
(k)
[
=P
x
dan
Lk x (0) , maka
x(k) =
menggunakan fakta bahwa
k
λ1
0 ⋯ 0
0 ⋯ 0
λ2
k
⋮ ⋮
λ1
λn
⋮
0 ⋯
k
0
λ1
1 0
[ ]
0
⋮
0
[ ]
λ1 adalah nilai eigen dominan, maka
|λi /λ 1|1
(ii) Suatu populasi akhirnya berkurang jika
λ1