H. KONSEP DASAR PROBABILITAS
KONSEP DASAR
PROBABILITAS
PERTEMUAN VIIIPROBABILITAS
Dalam menentukan banyaknya anggota kejadian, kadangkala kita tidak selalu dapat mendaftar semua titik sampel dalam percobaan tersebut. Untuk percobaan yang demikian kita dapat memanfaatkan aturan perkalian atau rumus kombinasi.
Peluang Kejadian
Menentukan peluang suatu kejadian sama halnya dengan menentukan besar kemungkinan munculnya kejadian tersebut. Peluang kejadian K, dinotasikan dengan P(K) adalah banyak anggota kejadian K dibanding dengan banyaknya anggota ruang sampel.
n K
( )
P K ( ) n S
( )
P(K) 1 berarti peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1 Jika P(K) = 0 berarti K adalah kejadian yang mustahil terjadi Jika P(K) = 1 berarti K adalah kejadian yang pasti terjadi Contoh 1: Pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali, berapakah peluang munculnya mata dadu ganjil? Jawab : Ruang Sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) =
6 K = Kejadian muncul mata dadu ganjil n(K) =
3 K = {1, 3, 5}
n K ( )
1 P K 3 ( ) n S
( )
6
2 Jadi Peluang kejadian muncul mata dadu ganjil adalah ½
Contoh 2: Dari seperangkat kartu bridge diambil tiga kartu sekaligus secara acak.
Tentukan peluang mendapatkan 3 kartu berwarna hitam. Jawab :
Menentukan n(K)
Banyak kartu hitam yang diambil =
3 Kartu hitam yang tersedia =
26
26 !
26 C = 2600
Banyaknya kejadian K yang mungkin = n(K) =
3 (
26 3 )! 3 ! Menentukan n(S)
Banyak kartu hitam yang diambil =
3 Total kartu yang tersedia =
52
52 52 ! C
Ruang sampel K = n(S) =
3
= 22100
( 52 3 )! 3 ! n K
( )
2 P K 2600 ( ) n S
22100
17 ( )
KAIDAH PENCACAHAN Frekuensi Harapan
Jika percobaan dilakukan secara terus menerus secara berulang-
ulang maka frekuensi harapan muncul suatu kejadian akan semakin besar. Frekuensi harapan kejadian K dinotasikan dengan F (K)
h
Misalkan pada suatu percobaan yang diulang sebanyak m kali dan peluang kejadian K adalah P(K), frekuensi harapan kejadian K adalah
F (K) = m.P(K) h
Peluang Kejadian Saling Lepas
Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali.
K adalah kejadian muncul mata dadu prima dan K adalah kejadian
1
2
muncul mata dadu kelipatan 3. Menentukan peluang munculnya K
1
atau K dilakukan dengan menggunakan rumus peluang kejadian
2 majemuk.
Kejadian majemuk terdiri dari :
- kejadian Bersama (Joint Event)
- kejadian saling lepas (Mutually Exclusive)
- kejadian saling bebas (Independent)
- kejadian bersyarat
1. KEJADIAN BERSAMA
Dua kejadian K dan K yang dapat terjadi secara bersamaan disebut
1
2
kejadian Bersama. Hal ini terjadi jika K
K
1
2 Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali.
: kejadian munculnya mata dadu prima
K = {2, 3, 5}
- K
1
1 K = 3
K
1
2 : kejadian muncul mata dadu kelipatan 3.
K = {3, 6}
- K
2
2 Peluang kejadian K atau K dinotasikan dengan P(K K )
1
2
1
2 Pada kejadian berasama berlaku :
P(K ) = P(K ) + P(K ) K
- – P(K
1
2
1
2
1
) K
2 n K n K n K K
( ) ( ) ( )
1
2
1
2
Contoh :
Pada percobaan melempar sebuah dadu, K adalah kejadian muncul mata
1
dadu prima dan K adalah kejadian munculnya mata dadu kelipatan 3.
2 Tentukan:
a. Peluang munculnya K atau K jika percobaan dilakukan sebanyak satu
1
2 kali.
b. Ekspektasi munculnya K atau K jika percobaan diulang sebanyak 90
1
2
kaliJawab :
a. Peluang muncul K atau K untuk 1 kali
1
2
percobaan
b. Frekuensi Harapan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 jika percobaan
K = {2, 3, 5} n(K ) =
3 diulang 90 kali
1
1 K = {3, 6} n(K ) =
2
2
2 F (K ) = m.P(K
K
h
1
2
1
2
1
1 K K = {3} n(K K ) 1 =
2 K )
2 2
P(K K ) = P(K ) + P(K )
90
- – P(K
1
2
1
2
1 3 n K n K n K K
K )
2 ( ) ( ) ( )
1
2
1
2
= 60
n S n S n S ( ) ( ) ( )
3
2
1
6
6
6
2
3
2. KEJADIAN SALING LEPAS
Dua kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan disebut kejadian saling lepas (Mutually Exclusive).
Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali.
: kejadian munculnya mata dadu genap
K = {2, 4, 6}
- K
1
1 K =
K
1
2 : kejadian muncul mata dadu 5.
K = {5}
- K
2
2 Peluang kejadian K atau K dinotasikan dengan P(K )
K
1
2
1
2 Pada kejadian saling lepas berlaku :
P(K ) = P(K ) + K
1
2
1 P(K )
2 n K n K
( ) ( )
1
2
n S n SContoh : Dari seperangkat kartu bridge akan diambil satu kartu secara acak.
Tentukan: a. Peluang terambilnya kartu bergambar atau kartu As.
b. Ekspektasi jika percobaan dilakukan sebanyak 65 kali.
Jawab :
a. Peluang terambil kartu bergambar atau kartu As
b. Frekuensi Harapan jika percobaan diulang 65 Banyak ruang sampel kali
52 C n(S) = = 52
1 Misal K : Kejadian terambil kartu bergambar
1 F (K ) = m.P(K )
K K
h
1
2
1
2
12 C n(K ) = = 12
1
1 4
65 Misal K : Kejadian terambil kartu As
2 13
4 C
n(K ) = = 4
2
1
= 20
Peluang muncul K atau K
1
2 P(K K ) = P(K ) + P(K )
1
2
1
2 n K n K
4
4 ( ) ( )
1
2 12 n S n S
( ) ( )
52
52
13
3. KEJADIAN SALING BEBAS
Dua kejadian yang tidak saling bergantung/mempengaruhi disebut kejadian saling bebas (Independent). Misalkan pada percobaan pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara bersamaan sebanyak satu kali.
: kejadian muncul sisi gambar pada uang logam
- K
1 : kejadian muncul mata dadu genap.
- K
2 Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak
mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga K dengan K
1
2
disebut
Kejadian Saling Bebas (Independent)
Peluang kejadian saling bebas K dan K dinotasikan dengan P(K K )
1
2
1
2 P(K K ) = P(K ) .
1
2
1 P(K )
2 n K n K
( ) ( )
1
2
Contoh :
Dalam sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola biru, akan diambil 2 bola satu demi satu secara acak tanpa pengembalian. Tentukan: a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru, b. Peluang terambil bola keduanya biru.
Jawab :
a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru
K : Kejadian terambil bola merah K : Kejadian terambil bola biru
1
2
5
4 C C n(K ) = = 5 n(K ) = = 4
1
2
1
1 Ruang sampel pengambilan pertama Ruang sampel pengambilan kedua
9
8 C C n(S ) = = 9 n(S ) = = 8
1
2
1
1 Peluang pertama K dan kedua K adalah :
1
2 n K n K
( ) ( )
4
20
1
2
b. Peluang terambil keduanya biru
P(K
P(K
1
K
2
) = P(K
1 ) .
2
3 dan kedua K
)
) ( ) ( ) ( ) (
2
1 S n K n
S n
K n
72
12
4 adalah :
Banyak ruang sampel pengambilan n(S) =
8
4
3
9 4
9
1 C = 9
K
3 : Kejadian terambil bola biru n(K
3 ) =
1 C = 4
1 C = 3
Banyak ruang sampel pengambilan n(S) =
8
1 C = 8
K
4 : Kejadian terambil bola biru n(K
4 ) =
3
Peluang pertama K
4. PELUANG KOMPLEMEN KEJADIAN
Misalkan K adalah suatu kejadian. Peluang kejadian bukan K,
c
dinotasikan dengan P(K ) atau P(K’) adalah banyaknya anggota kejadian bukan K dibagi dengan banyaknya anggota ruang sampel.
Peluang kejadian bukan K disebut juga peluang komplemen kejadian. c c n K
( ) P K
( ) n S( )
Selain dengan menggunakan banyknya anggota kejadian bukan K, peluang komplemen K dapat juga ditentukan dengan menggunakan banyaknya anggota kejadian K. c
P K P K ( )
1 ( )
Contoh :
Pada seperangkat kartu bridge diambil satu kartu. Jika peluang
1
terambilnya kartu As adalah , tentukan peluang terambilnya kartu
13
bukan As !
Jawab : Misal K : Kejadian terambil kartu As.
Peluang terambil bukan kartu As adalah c
12
1 P K P K ( )
1 ( ) 1
13
13
5. PELUANG KEJADIAN BERSYARAT
Kejadian bersyarat adalah dua kejadian pada suatu percobaan, kejadian yang satu terjadi dengan syarat kejadian yang lainnya telah terjadi.
Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah ) ( ) (
) / ( B P B A P B A P
Contoh :
Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.
Misal W = Wanita S = Suka pasta gigi strawberri L = Pria J = Suka pasta gigi jeruk
a. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery?
Peluang menyukai pasta gigi rasa strawberri dengan syarat ia seorang pria.
40 0,4 P(S L) =
P S L
( ) ,
4 100 P S L
( | ) 0,67
Peluang ia menyukai pasta gigi rasa jeruk dengan syarat ia seorang wanita.
b. Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? b. Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia seorang pria...
5 , 2 ,
) ( ) | ( J P J L P J L P
) (
20 0,2
J) = 100
Peluang ia seorang pria dengan syarat menyukai pasta gigi rasa jeruk
P(L 0,75
P(W) = 100
4 , 3 ,
) ( ) | ( W P W J P W J P
) (
30 0,3
100
W) =
40 0,4 P(J
0,4
LATIHAN LAGI......
1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola : a. Merah
b. Tidak biru
c. Merah atau putih
2. Empat bola diambil sekaligus dari kantong yang berisi 8 bola merah dan 6 bola putih. Hitunglah peluang yang terambil adalah: a. Keempatnya bola putih.
b. Tiga bola merah dan satu bola putih.
c. Paling banyak tiga bola putih.
3. Tiga keping mata uang logam dilemparkan secara bersamaan sebanyak 160 kali. Hitunglah frekuensi harapan untuk kejadian- kejadian berikut: a. Kejadian munculnya tiga sisi gambar.
b. Kejadian munculnya tiga sisi angka.