DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL STANDAR
ISTRIBUSI ROBABILITAS ORMAL
D P N &
ISTRIBUSI AMPLING
D SDistribusi probabilitas normal:
2
1 − −
2
2 =
2
dengan = 3,1416....
= 2,7183.... = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi
= parameter, yang merupakan deviasi standar (simpangan baku) untuk distribusi Karakteristik dari distribusi probabilitas normal:
berbentuk lonceng, yaitu saat mean aritmetika, median, dan modus bernilai sama dan terletak di tengah kurva distribusi; total luas daerah di bawah kurva adalah 1
mean-nya bersifat simetris, sehingga luas daerah di bawah kurva ke kiri dari mean adalah 0,5 dan luas daerah di bawah kurva ke kanan dari mean adalah 0,5
lokasi dari distribusi normal ditentukan oleh mean ( ), sedangkan penyebaran data ditentukan oleh deviasi standar (
) Secara grafik, karakteristik dari distribusi probabilitas normal adalah sebagai berikut.
Gambar 1. Karakteristik dari suatu distribusi probabilitas normal
Banyaknya distribusi normal tidak terbatas karena setiap sampel dari populasi bisa jadi akan memiliki mean yang berbeda dan deviasi standar yang berbeda pula.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh gambar berikut dengan:
a. mean-nya sama dan deviasi standarnya berbeda,
b. mean-nya berbeda dan deviasi standarnya sama, c. mean dan deviasi standarnya berbeda.
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro a.
b.
c.
Gambar 2. Contoh suatu distribusi probabilitas normal dengan beragam nilai dan DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL STANDAR
Sembarang distribusi probabilitas normal dapat diubah menjadi distribusi probabilitas
normal standar. Distribusi probabilitas normal standar ini disebut juga distribusi
, karena hasil standardisasi dari distribusi probabilitas normal menjadi distribusi probabilitas normal standar disebut dengan nilai-
, yaitu:
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro
− = ↔ = +
dengan = nilai observasi pada data = mean populasi = deviasi standar populasi
Distribusi atau distribusi probabilitas normal standar ini memiliki keunikan, yaitu mean = 0 dan deviasi standar = 1.
Setelah memiliki distribusi probabilitas normal standar yang didapat dari distribusi probabilitas normal, maka daftar distribusi normal standar (tabel distribusi ) dapat digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.
Berikut adalah sebagian kecil dari tabel distribusi .
Gambar 3. Luas area di bawah kurva normal Contoh 1
Pendapatan mingguan dari mandor terjadwal di industri kaca mengikuti distribusi probabilitas normal dengan rata-rata $1000 dan deviasi standar $100. Berapakah hitung pada pendapatan (sebut saja
) dari mandor yang menghasilkan $1100 per minggu? Bagaimana pula hitung dari mandor yang menghasilkan $900 per minggunya?
Jawab:
Diketahui = 1000 dan = 100. Untuk
= $1100: − 1100 − 1000
= = 1,00 =
100 Untuk
= $900: − 900 − 1000
= = = −1,00
100 Nilai
= 1,00 menunjukkan bahwa pendapatan mandor yang $1100 per minggunya adalah satu deviasi standar di atas rata-rata, dan nilai = −1,00 menunjukkan bahwa pendapatan mandor yang $900 per minggunya adalah satu deviasi standar di bawah rata-rata.
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro
Selanjutnya, kita akan mempelajari bagaimana cara mencari luas di bawah kurva normal (atau juga disebut probabilitas) dengan menggunakan distribusi probabilitas normal standar (distribusi ). Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2
Tentukan { ≤ 1,63} !
Jawab:
{ ≤ 1,63} berarti bahwa probabilitas ini bergantung pada luas area di bawah kurva ke kiri dari titik = 1,63.
Jadi, { ≤ 1,63} = {−∞ < < 0} + {0 ≤ ≤ 1,63}. Untuk
{−∞ < < 0}, nilainya pasti sama dengan 0,5 (ingat kembali karakteristik „simetris‟ dari distribusi probabilitas normal). Sementara, untuk
{0 ≤ ≤ 1,63}, nilainya dapat dilihat dari tabel distribusi (atau perhatikan kembali Gambar 3), nilainya sama dengan 0,4484. Maka,
{ ≤ 1,63} = {−∞ < < 0} + {0 ≤ ≤ 1,63} = 0,5 + 0,4484 = 0,9484
Gambar 4. Luas area di bawah kurva normal standar pada Contoh 2
Nilai probabilitas {0 ≤ ≤ 1,63} = 0,4484 ini menunjukkan bahwa probabilitas secara acak terpilihnya suatu objek yang berada antara
= 0 hingga = 1,63, atau antara = dan = + 1,63 adalah sebesar 0,4484.
Contoh 3
PT Work Electric memproduksi bola lampu yang dapat menyala dengan rata-rata selama 900 jam dan deviasi standarnya 50 jam. Hitunglah berapa probabilitas bola lampu yang diproduksi dapat menyala selama 800
- – 1000 jam!
Jawab:
Diketahui = 900 dan = 50. Lalu, misalkan
= 800 dan = 1000. Dengan menggunakan transformasi distribusi
1
2
, didapatlah nilai-nilai
- nya:
800
1 − − 900
= = =
1 −2
50 1000
2 − − 900
= = = 2
2
50 Jadi, probabilitas produksi bola lampu dapat menyala selama sekitar 800
- – 1000 jam adalah: {800 < < 1000} = {−2 < < 2}
= {−2 < < 0} + {0 < < 2} (lihat tabel distribusi )
= 0,4772 + 0,4772 = 0,9544
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro
PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL
Ingat kembali, probability mass function (pmf) dari distribusi binomial: n x n x
( ) (1 ) P x C p p x
dengan
[ ] E X np Var X ( ) np (1 p )
Distribusi probabilitas normal dapat digunakan sebagai pengganti distribusi binomial pada nilai n yang besar, karena jika n bertambah, distribusi binomial menjadi semakin mendekati distribusi normal. Transformasi
- nya adalah sebagai berikut:
− − [ ] −
= ↔ = ↔ = 1 −“Kapan pendekatan normal terhadap binomial dapat dilakukan?”
Distribusi probabilitas normal merupakan pendekatan yang baik untuk distribusi probabilitas binomial ketika 1 − ≥ 10.
Namun, perlu diperhatikan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan diantara kedua probabilitas tersebut. Distribusi probabilitas normal merupakan distribusi probabilitas kontinu, sementara distribusi probabilitas binomial merupakan distribusi probabilitas diskret. Oleh sebab itu, terdapat faktor koreksi kontinuitas.
Faktor koreksi kontinuitas adalah nilai 0,5 yang dikurangkan atau dijumlahkan
(bergantung pada pertanyaannya) pada nilai yang terpilih ketika distribusi probabilitas diskret diperkirakan melalui distribusi probablitas kontinu.
Contoh 4
Sebuah koin dilempar 40 kali. Hitunglah probabilitas munculnya angka sebanyak 20 kali! Lalu, gunakanlah pendekatan normal untuk menghitung probabilitas munculnya angka sebanyak 20 kali!
:
Jawab
Misalkan X adalah banyaknya angka yang muncul (“berhasil”) pada pelemparan suatu koin sebanyak 40 kali. X merupakan variabel acak binomial dengan n = 40 dan p = ½. Yang ditanyakan adalah P X { 20} .
Dengan menggunakan distribusi probabilitas binomial:
>>
20
20
40!
1
1
40 20 40 20 P X { 20} C p (1 p )
1 0,1254
20
(40 20)! 20!
2
2
Dengan menggunakan distribusi probabilitas normal:
>>
Dalam hal ini,
20 ; (1 ) 10 ; X 20 0,5 19,5 ; X 20 0,5 20,5 . np np p
1
2 Dengan menggunakan transformasi distribusi
, didapatlah nilai-nilai -nya: 19,5 20 20,5 20
X np X np
1
2 Z 0,16 ; Z 0,16
1
2
(1 ) 10 (1 )
10
np p np p Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro { 20}
95
90
22 Deby Claudia Dinti 100
8 Ricky Meidianto
80
23 Steven Halim
95 9 Davin Joice Wijaya
100 24 Cinthia Amorita
85
10 Ardi Gus Dwiyono
90
25 Heri Ependy
90
11 Dani Saputra
26 Darmawan
90
75
12 Desfriyanto Taswin 100
27 M. Irvan Syahputra J 100
13 Daniel Leonardo
90 28 Willy
100
14 Rina Ambar Wisni
60
29 Luckyanto Lim
90
15 Febiyani
70
30 Kevin Stevandy
7 Stephen Lie
21 Maya
P X
16 Vivi Siddhartha
=
{19,5 20,5} P
X
= { 0,16 0,16} P Z = { 0,16 0} {0 0,16} P Z P Z (lihat tabel distribusi
) = 0,0636 + 0,0636 = 0,1272
“KESALAHAN” SAMPLING Ilustrasi :
Rata-rata sampel diambil untuk mengestimasi rata-rata populasi. Namun, karena sampel adalah bagian dari populasi, maka tentunya rata-rata sampel tidak akan benar-benar sama dengan rata-rata populasi. Begitu pula dengan deviasi standar, pasti ada perbedaan atau selisih antara deviasi standar sampel dengan deviasi standar populasi.
Perbedaan/selisih dari statistik suatu sampel dengan parameter dari populasinya disebut kesalahan sampling. Kesalahan sampling yang bernilai positif menunjukkan rata-rata sampel over-estimated untuk rata-rata populasi, sedangkan kesalahan sampling yang bernilai negatif menunjukkan rata-rata sampel under-estimated untuk rata-rata populasi.
Contoh 5
Berikut ini adalah daftar nama-nama mahasiswa yang mengambil mata kuliah Aljabar Linier beserta nilai ujian mid mereka masing-masing.
a. Tentukan rata-rata nilai Aljabar Linier dari seluruh mahasiswa tersebut!
b. Ambil 3 macam sampel yang masing-masingnya terdiri dari 6 mahasiswa, kemudian hitunglah rata-rata nilai dari masing-masing sampel! Bandingkanlah rata-rata nilai dari masing-masing sampel dengan rata-rata nilai Aljabar Linier dari seluruh mahasiswa dengan menghitung kesalahan samplingnya!
1 Rian Lie 100
60
90
2 Justin Salim 100
17 Mega Velyana 100
3 Bambang Rizky
90
18 Mhd Rizal Srg
85
4 Nikko Haryanto
80
19 Luis Andy Gunawan
85
5 Riandy
85
20 Eddy Johan 100
6 Viyan Sunata
80
:
Jawab
total seluruh nilai 2655
a. Rata-rata populasi: 88,5 banyak mahasiswa
30
b. Berikut adalah 3 (contoh) macam sampel yang terdiri dari 6 mahasiswa beserta dengan kesalahan sampling dari masing-masing sampel:
SAMPEL 1 SAMPEL 2 SAMPEL 3
Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai
Justin Salm 100 Nikko Haryanto80 Viyan Sunata
90 Stephen Lie
90 Davin Joice Wijaya 100 Dani Saputra
95 Desfriyanto Taswin 100 Rina Ambar Wisni
60 Vivi Siddharta
60 Mega Velyana 100 Luis Andy Gunawan
85 Maya
90 Deby Claudia Dinti 100 Cinthia Amorita
85 Darmawan
75 M. Irvan Syahputra 100 Luckyanto Lim
90 Rian Life 100 RATA-RATA 98,33 RATA-RATA 83,33 RATA-RATA
85 Kes. Sampling 9,83 Kes. Sampling -5,17 Kes. Sampling -3,5
Dari Contoh 5 di atas, jika sampel yang diambil terdiri dari 6 mahasiswa, maka banyaknya macam sampel yang mungkin terjadi ada sebanyak:
30! 30!
30 C 593.775 macam sampel
6 (30 6)! 6! 24! 6!
DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA SAMPEL
Perhatikan bahwa rata-rata sampel pada Contoh 1 berbeda-beda dari satu sampel ke sampel selanjutnya. Rata-rata sampel pertama dari 6 mahasiswa adalah 98,33; rata-rata sampel kedua adalah 83,33; rata-rata sampel ketiga adalah 85; sementara rata-rata populasinya adalah 88,5. Jika kita menyusun rata-rata seluruh kemungkinan sampel dari 6 mahasiswa menjadi bentuk distribusi probabilitas, hasilnya disebut dengan distribusi sampling rata-rata sampel.
Distribusi sampling rata-rata sampel merupakan suatu distribusi dari seluruh kemungkinan rata-rata sampel dari ukuran sampel yang diketahui. Contoh 6
Pabrik Tartus memiliki tujuh karyawan produksi. Pendapatan tiap jam dari setiap karyawannya adalah sebagai berikut:
Pendapatan per Karyawan Jam ($)
Joe
7 Sam
7 Sue
8 Bob
8 Jan
7 Art
8 Ted
9 Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro P R O B A B
macam sampel Maka, distribusi sampling rata-rata sampel pada sampel berukuran 2 adalah:
21 X
21
7 7,5 7,5 7 ... 7,5 8 8,5 162 7, 71
diperoleh dengan menjumlahkan beberapa rata-rata sampel dan membagi jumlahnya dengan banyaknya sampel.
X
c. Rata-rata distribusi sampling rata-rata sampel
1
21
8 6 6/21 8,5 3 3/21
7 3 3/21 7,5 9 9/21
Rata-Rata Sampel Nomor Rata-Rata Probabilitas
I L
21 (7 2)! 2! 5! 2! C
2 7! 7!
7
b. Banyaknya macam sampel yang dapat dibentuk jika masing-masing sampel terdiri dari 2 karyawan adalah:
7
54 7, 71 banyak karyawan
: a. total seluruh pendapatan
Jawab
c. Berapa rata-rata dari distribusi sampling?
b. Buatlah distribusi sampling rata-rata sampel pada sampel berukuran 2?
a. Berapa rata-rata populasinya?
I T A S
Gambar 5. Kurva distribusi sampling rata-rata sampel pada Contoh 6 Contoh 6 di atas mengilustrasikan hubungan erat antara distribusi populasi dengan distribusi sampling rata-rata sampel: 1) Rata-rata dari rataan sampel sama persis dengan rata-rata populasi. 2) Sebaran distribusi sampling rata-rata sampel lebih kecil daripada distribusi populasi.
[Pada Contoh 6, sebaran nilai untuk distribusi populasi adalah 7
- – 9, sedangkan sebaran nilai untuk distribusi sampling rata-rata sampel adalah 7
- – 8,5.] 3)
Distribusi sampling rata-rata sampel cenderung berbentuk lonceng dan mendekati distribusi probabilitas normal.
TEOREMA LIMIT TENGAH
Jika seluruh sampel suatu ukuran dari populasi apapun dipilih, maka distribusi sampling rata- rata sampel mendekati distribusi normal. Pendekatan ini semakin baik jika sampel yang dipilih semakin banyak.
Gambar 6. Hasil dari Teorema Limit Tengah pada beberapa populasi
Jika adalah rataan populasi dan adalah deviasi standar populasi, maka rataan dan deviasi standar dari distribusi sampling rata-rata sampel adalah sebagai berikut:
;
X X
n dengan n adalah banyaknya pengamatan dari setiap sampel.
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro
L A T I H A N S O A L
1. Hitunglah:
a. { 1,86 0}
c. {1, 4 2, 65}
P Z P Z
b. { 1,5 1,82}
d. { 1,96}
P Z P Z
2. Keluarga Kamp memiliki anak kembar, Rob dan Rachel. Rob dan Rachel keduanya lulus dari universitas 2 tahun yang lalu, dan masing-masingnya sekarang memperoleh $50000 per tahun. Rachel bekerja di industri eceran, di mana rata-rata gaji untuk eksekutif dengan pengalaman kurang dari 5 tahun adalah $35000 dengan deviasi standar $8000. Rob adalah seorang insinyur. Rata-rata gaji insinyur dengan pengalaman kurang dari 5 tahun adalah $60000 dengan deviasi standar $5000. Hitunglah nilai untuk Rob dan Rachel, kemudian jelaskan maksudnya ! 3. Suatu data yang berdistribusi normal memiliki rata-rata 50 dan deviasi standar 4.
a. Hitunglah probabilitas dari nilai antara 44 dan 55 !
b. Hitunglah probabilitas dari nilai yang lebih besar dari 55 !
c. Hitunglah probabilitas dari nilai antara 52 dan 55 !
4. Rata-rata berat bayi yang baru lahir 3750 gram dengan deviasi standar 325 gram. Jika berat bayi diasumsikan berdistribusi normal, maka tentukan: a. berapa probabilitas bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram ?
b. berapa banyak bayi yang beratnya antara 3500
- – 4500 gram jika total bayinya ada 10000 ?
c. berapa banyak bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram jika total bayinya ada 10000 ? d. berapa banyak bayi yang beratnya 4250 gram jika total bayinya ada 5000 ?
5. Studi yang diadakan oleh Taurus Health Club menyatakan bahwa 30% dari anggotanya mengalami kegemukan. Jika anggota keseluruhan berjumlah 500 orang, maka: a. berapa probabilitas bahwa 175 anggota atau lebih mengalami kegemukan ?
b. berapa probabilitas bahwa 140 anggota atau lebih mengalami kegemukan ?
6. Pada badan hukum Tybo dan Associates, terdapat enam orang partner. Berikut merupakan rekanan dan jumlah kasus yang ditangani masing-masing di pengadilan pada bulan lalu.
Rekanan Banyak Kasus
Ruud
3 Wu
6 Sass
3 Flores
3 Wilhelms Schueller
1
a. Berapa banyak kemungkinan sampel berbeda yang berukuran 3 ?
b. Tulislah seluruh kemungkinan sampel berukuran 3, dan hitung rata-rata populasi setiap sampel ! c. Hitunglah rata-rata dan deviasi standar dari distribusi sampling rata-rata sampel yang berukuran 3 !
Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro