1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum - Kokoh Tegangan 14

  Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain) serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum 1. 5.

  Tegangan Ut ama (Principal St ress) dan Tegangan Geser Maksimum Tegangan Ut ama (principal st ress) adalah t egangan normal

  yang t erj adi pada set sumbu koordinat baru set elah t ransf ormasi yang menghasilkan Tegangan-t egangan t ersebut

  t egangan geser nol .

  dit unj ukkan sebagai s dan s pada Gambar 1. 10. Perlu dicat at

  1

  2

  bahwa s s . Sudut t ransf ormasi yang

  sel alu diambil l ebih besar dari

  1

  2

  menghasilkan t egangan ut ama t ersebut dengan

  sudut ut ama (principal angl e). Secara analit ik, besar t egangan ut ama dan sudut ut ama dapat

  dit urunkan dari persamaan-persamaan (1. 5a, b, c).

  Menurut pengert ian t ent ang t egangan ut ama, dari persamaan (1. 5c) akan didapat

     xx yy

  0   .sin2   .cos2 xy

  2

  at au

  sin2 p 2 xy

  (1. 8)

    tan2 p cos2 p  xx   yy

  Dari persamaan di at as dapat dilukiskan segit iganya sebagai berikut Dengan subst it usi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di at as ke persamaan (1. 5a) akan didapat

  2        xx yy  xx yy  xx yy 2 xy

      x'x'

  2

  2

  2

  2

  2

  2   ( xx yy )  4 xy ( xx yy )  4 xy  xx   yy

  1

  2

  2   ( xx yy xy  x'x'  ) 4

   2 

  2

  2  2. (  ) xx yy 4 xy

  Sehingga

   xx   yy

  2

  2

  1    x'x' ( xx  ) 4 yy xy

   

  2 2.

  Subst it usi dan penerapan prosedur yang sama t erhadap persamaan (1. 5b), akan didapat

   xx   yy

  1

  2

  2

     y'y' ( xx  yy ) 4 xy

   

  2 2. Dengan mengingat bahwa secara mat emat ik haruslah    , maka

  1

  2

  kedua persamaan t ersebut di at as dapat dit uliskan menj adi sat u dengan

   xx   yy

  2

  2

  1

  (1. 9)

  1,2   ( xx  yy ) 4 xy 

   

  2 2.

  Selanj ut nya, perhat ikan persamaan (1. 5c). Unt uk suat u t it ik dan j enis pembebanan t ert ent u dari suat u bagian konst ruksi, harga-harga ,

   xx

  dan  adalah t et ap at au konst an, sehingga merupakan suat u

    xy yy x’ y’

  f ungsi  , at au = f (  ). Harga ekst rim f ungsi t ersebut akan

   x’ y’

  diperoleh bila t urunan pert ama f ungsi t ersebut t erhadap  sama dengan nol. Jadi

  d x'y' xx   yy

     .sin2   xy .cos2  0 d

  2

  at au sin2  xx   yy

  max

   tan2  

  max

  (1. 10) cos2  2 

  max xy

  Dari persamaan di at as dapat dilukiskan segit iganya sebagai berikut :

  Dengan subst it usi harga-harga sin 2  dan cos 2  pada gambar di at as ke persamaan (1. 5c) akan didapat

  2  xx   yy (   yy ) 2 xy xx

      x'y' 

  2

  2

  2

  2

  2 ( xx  yy xy ( xx  yy xy )  4 )  4

  1

  2

  2  ( xx  yy xy

  ) 4 

  2 2  ( 2. xx  yy )  4 xy

  Sehingga

  1

  2

  2  x'y'  ( xx  yy xy ) 4

    2.

  Persamaan (1. 10) j uga dipenuhi bila panj ang sisi di depan sudut 2  adalah (    ) dan panj ang sisi di sampingnya adalah -2  . Kondisi

  xx yy xy

  ini akan memberikan

  2

  2

    1 ( ) 4  x'y' xx  yy xy

    2.

  Dengan demikian kedua persamaan t ersebut dapat dit uliskan menj adi sat u sebagai

  2

  2   1 (  max xx  yy ) 4 xy (1. 11)

    2.

  Regangan Ut ama dan Regangan Geser Maksimum

  Sebagaimana pengert ian t ent ang t egangan ut ama, maka

  Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Ot t o Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan unt uk melukis t ransf ormasi t egangan maupun regangan, baik unt uk persoalan-persoalan t iga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicat at adalah bahwa

  2

  2

  2

  1 2.

   )    xx   yy  xx yy xy

  (1. 13a) (1. 13b)

   _max

  = sudut regangan geser maksimum

   _xy

  = 2  _xy = regangan geser 1. 6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang

  perput aran sumbu elemen sebesar q dit unj ukkan oleh perput aran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu t egangan geser posit if adalah menunj uk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari t it ik A, posit if bila berl awanan arah j ar um j am, dan negat if bila sebal iknya.

   xx   yy

  Pada bagian ini kit a hanya akan membahas lingkaran Mohr unt uk t egangan dan regangan dua dimensi.

  sin2 cos2 max

   tan2  max  max

   xx

    yy

   xy

   

  2 

   (   max

  2 2.

  )

    (  1,2 

  xy

  regangan ut ama (principal st rain) adalah regangan normal yang t erj adi pada set

  ( principal angl e).

  sumbu koordinat baru set elah t ransf ormasi yang menghasilkan set engah regangan geser nol .

  Regangan-regangan t ersebut dit unj ukkan sebagai

  

  1 

  2 

  1

  dan pada Gambar 1. 11. Demikian j uga,

  sel al u diambil lebih besar dari 

  2

  , sert a sudut t ransf ormasinya j uga disebut

  sudut ut ama

  Secara analit ik, dengan penerapan prosedur yang sama dengan yang dit erapkan unt uk persamaan-persamaan (1. 7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut .

  

  (1. 12a) (1. 12b) q

  p

  = sudut ut ama e

  1, 2

  = regangan-regangan ut ama g

  xy

  = 2e

  xy

  = regangan geser sin2

  p

  cos2 p  tan2 p 

  2     1 xx yy xy

  Lingkaran Mohr unt uk Tegangan Bidang  x   y

  Pada persamaan (1. 5a), bila suku dipindahkan ke ruas

  2

  kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadrat kan, maka akan didapat

  2

  2    x y    x  y

  2

  2

  2  xy

x

   cos   2 sin    2 y  xy sin2cos2        x

  '    

  2

  2

  ………(1. 14a) Sedangkan pada persamaan (1. 5c), bila dikuadrat kan akan didapat

  2

  2 2   x  y 

  2

  2    x'y' xy co 2  si 2  sin2cos2 s   n    x y  xy

     

  2

  ………(1. 14b) Penj umlahan persamaan-persamaan (1. 14a) dan (1. 14b) menghasilkan

  2

  2   x y  2   x  y 

  2   x'y'   xy

        x

  '

  (1. 15)

     

  2

2 Persamaan (1. 15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang

  pusat nya di dengan j ari-j ari . Lingkaran t ersebut dit unj ukkan pada Gambar 1. 8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut : 1. Buat lah sumbu  , horisont al.

  ij

  2. Periksa harga t egangan normal, at au  , yang secara

  

yy

xx

  mat emat is lebih kecil. Bila bernilai negat if j adikanlah t egangan t ersebut sebagai t it ik yang mendekat i t epi kiri bat as melukis, sedangkan bila posit if maka t it ik yang mendekat i bat as kiri adalah t it ik  = 0.

  ij

3. Periksa harga t egangan normal,  at au  , yang secara

  

xx yy

mat emat is lebih besar. Bila bernilai posit if j adikanlah t egangan

  t ersebut sebagai t it ik yang mendekat i t epi kanan bat as melukis, sedangkan bila negat if maka t it ik yang mendekat i bat as kanan adalah t it ik  = 0.

  ij

  4. Tent ukan skala yang akan digunakan sehingga t empat melukis bisa memuat kedua t it ik t ersebut dan masih t ersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tent ukan t it ik-t it ik bat as t ersebut sesuai dengan skala yang t elah dit ent ukan.

  5. Tent ukan let ak t it ik-t it ik 

  t erkecil , 

  e. Besar t egangan-t egangan ut ama menurut lingkaran Mohr.

  d. Besar perput aran mengelilingi sumbu z unt uk mendapat kan t egangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1. 8).

  Periksa hasil t ersebut dengan rumus (1. 11) dan hasil yang didapat pada b. di at as.

  c. Besar t egangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr.

  Periksa hasil t ersebut dari persamaan (1. 10).

  Lukisan lingkaran Mohr. Besar rot asi mengelilingi sumbu z unt uk mendapat kan t egangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.

  b.

  Dimint a: a.

  40 MPa sert a t egangan geser pada bidang t ersebut sebesar 120 MPa.

  menerima t egangan t arik pada arah t egangan t ekan pada arah sumbu y sumbu sebesar x sebesar 280 MPa,

  Cont oh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konst ruksi yang dibebani,

  Garis AB menunj ukkan sumbu asli,  = 0, elemen t ersebut .

  xy ).

  ij

  ij

  B. Maka t it ik B akan t erlet ak pada koordinat ( 

  9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memot ong lingkaran Mohr di

  8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan j ari-j ari PA.

  xy ).

  t erbesar , 

  7. Tent ukan let ak t it ik A pada koordinat (  ij

  6. Bagi dua j arak ant ara t egangan t erkecil dan t egangan t erbesar

  ij .

  t erbesar bila belum t erlukis pada sumbu 

  ij

  t erkecil dan 

  ij

  = 0 dan sumbu  , sert a 

  Periksa hasil t ersebut dengan persamaan-persamaan (1. 9) dan dari hasil pada pada d. di at as.

• s

  Sedangkan menurut persamaan (1. 10) didapat t an 2 

  Gambar 1. 8. Lingkaran Mohr unt uk Tegangan Bidang

  b. Besar rot asi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

   max

  = 0, 5 x 2 

  max

  = 0, 5 x (-53

  o

  ) = 26

  o 30’ .

  max

  t

  =  (280 + 40) / (2 x 120) =   2 

  max

  = 

  53

  o

  08’ at au 

  max

  = 

  26

  o

  xy ) = (-40, 120).

  yy ,

  Penyelesaian:

  xx

  a. Lingkaran Mohr: 1) Buat sumbu s

  ij , horisont al. yy digunakan sebagai t it ik di dekat bat as kiri.

  3) Tegangan normal t erbesar s

  xx

  = 280 MPa, posit if , sehingga digunakan sebagai t it ik di dekat bat as kanan. 4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian dit ent ukan t it ik s

  yy

  = -

  40 MPa di sebelah kiri, dan s

  xx

  = 280 MPa di sebelah kanan yang berj arak (s

  yy

  Mohr di B, akan didapat kedudukan t it ik (s

  ) dari t it ik s

  yy di sebelah kiri.

  5) Lukis sumbu t yang berj arak 40 MPa di sebelah kanan t it ik s yy . 6) Dengan membagi dua sama panj ang j arak s yy

  ke s

  xx

  akan didapat t it ik P .

  7) Menent ukan let ak t it ik A pada koordinat (s xx ,

  t

  xy ) = (280, 120).

  8) Dengan mengambil t it ik pusat di P dan j ari-j ari sepanj ang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memot ong lingkaran

  34’ c. Besar t egangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

   max = 5 x 40 MPa = 200 MPa.

  1

  Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat

  2

2 Lingkaran Mohr unt uk Regangan Bidang

  p

  2  

     xx

  yy

  

  xx

   

  x'x'

  

   2   2  2  2   sin2 cos2

   

  2

  2

  yy

  cos

  2

  2

  

  yy 

  

  xx

  

  



  2 

  2

  

    

  2

  2

  

          

    sin  xx   yy cos      

   yy

    xx

    xy

  2 sin2cos2  x'y'

  2 

  2    

  2

  2

  xy

  2 

  2

  2

  2 

  2 

    x'y'

   

    

   

  xy

    

  sin

   xx   yy

  = 0, 5 x 37

  o

  

   28040 

  Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat 

  2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa.

  

  1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa.

  

  e. Besar t egangan-t egangan ut ama menurut lingkaran Mohr

   max

  52’ at au

  36

  28040

  = 

  p

  26’ 2 

  

o

  18

  = (2 x 120) / (280 + 40) =  = 

  p

  Sedangkan menurut persamaan (1. 10) didapat t an 2 

  o 30’ .

  = 18

  o

  

  

  Penj umlahan persamaan-persamaan (1. 16a) dan (1. 16b) menghasilkan

  2 280 40

  d. Besar rot asi mengellilingi sumbu mengukur, didapat z menurut lingkaran Mohr, dengan

  Pada persamaan (1. 7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadrat kan, maka akan didapat ………(1. 16a)

   p

  2

  = 0, 5 x 2 

   28040   max    120  200MPa

   120  80MPa

  2  120  320MPa

  2

  1

  2

  

  1

  280 40

  2

  2

  

  2

  

  2

  2

  

  1

  Sedangkan pada persamaan (1. 7c), bila dikuadrat kan akan didapat ………(1. 16b)

  2

  2

  2

  2            xx  yy x'y' xx  yy x'y'

  (1. 17)

              x'x'

    

  2  2  

2   2  



  Persamaan (1. 17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang

  2

  2

  2

       xx yy

        xx  yy xy

  yang pusat nya di dengan j ari-j ari  ,0     2 

   2     

  2 Lingkaran t ersebut dit unj ukkan pada Gambar 1. 9 di bawah ini, yang

  dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr unt uk t egangan dengan menggant i  ,  dan  bert urut -t urut menj adi

  xx yy xy  ,  dan  / 2. Penerapannya, lihat Cont oh 1. 2 pada halaman 21. xx yy xy

  1. 7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan

  Unt uk def ormasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan ant ara t egangan dan regangan unt uk bahan-bahan isot ropis pada pembebanan dalam bat as proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke t idak berlaku unt uk pembebanan di luar bat as proporsional. Hukum Hooke dit urunkan dengan berdasarkan pada analisis t ent ang energi regangan spesif ik.

  Apabila besar t egangan-t egangannya yang diket ahui, maka hukum Hooke unt uk persoalan-persoalan t iga dimensi, hubungan ant ara t egangan normal dengan regangan normal dapat dit uliskan secara mat emat is sebagai berikut :

  1       

  xx yy zz  

   

  xx

  E

  1       

  yy xx zz

     

  (1. 18)

  yy

  E

  1  zz   xx   yy

   

   

  zz

  E Dengan

  E dan v bert urut -t urut adalah modulus alast is at au modulus

  Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada def ormasi geser unt uk

  G adalah modulus geser , hubungannya adalah:

   1   xy

  xy  xy  

      xy

  2

  2G E   1    xz

   xz

  xz

  (1. 19)   

   xz

  2

  2G E 

  yz  yz  1    yz

      yz

  2

  2G E Sedangkan unt uk mencari t egangan normal yang t erj adi bila regangan normal dan sif at -sif at mekanis bahannya diket ahui, digunakan persamaan-persamaan:

    1      xx xx yy   zz

        1  1 2

     E   

   1      yy    yy  xx zz   (1. 20)

  1  1 2   

  E   1      zz   zz  xx   yy 

    1  1 2

    

  Selanj ut nya unt uk def ormasi geser, bent uk hukum Hooke adalah:

  E E     xy xy

     G xy xy

  1  2 1   

  E E     xz xz 

   G  xz xz

  (1. 21)

  1  2 1   

  E E     yz yz

     G yz yz

  1  2 1   

  Persamaan-persamaan (1. 18) sampai dengan (1. 21) dapat j uga diberlakukan unt uk persoalan-persoalan dua dan sat u dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol unt uk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud.

  Cont oh 2: Pembebanan sepert i pada Cont oh 1, unt uk bahan dengan

  sif at -sif at mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka perbanding-an Poisson, n = 0, 29. Modulus geser dit ent ukan dengan, G = E / 2(1 + n). Dimint a: a. Hit unglah regangan-regangan yang t erj adi.

  b. Lukisan lingkaran Mohr unt uk regangan yang t erj adi.

  c. Besar rot asi mengelilingi sumbu z unt uk mendapat kan regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.

  Periksa hasil t ersebut dari persamaan (1. 10).

  d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran

  Mohr. Periksa hasil t ersebut dengan rumus (1. 11) dan hasil yang didapat pada b. di at as.

e. Besar perput aran mengelilingi sumbu z unt uk

  mendapat kan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1. 8).

  f . Besar regangan-regangan ut ama menurut lingkaran

  Mohr. Periksa hasil t ersebut dengan persamaan- persamaan (1. 9) dan dari hasil pada pada d. di at as. Penyelesaian:

  a) Dari persamaan (1. 18) dan (1. 19) akan didapat :

  1   xx   2800,29.400,29.0  0,001458  1458

  200000

  1     yy   400,29.2800,29.0  0,000606  606

  200000  10,29 .120 xy

   

     0,000774  774 atau   1548 

  xy xy 2 200000

b. Lingkaran Mohr: 1) Buat sumbu horisont al.

  e

  ij

  2) Regangan normal t erkecil, e = -606me, sehingga

  yy merupakan t it ik di dekat bat as kiri.

  3) Regangan normal t erbesar e = 1458me, sehingga xx merupakan t it ik di dekat bat as kanan.

  4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian dit ent ukan t it ik

  e = -606me di sebelah kiri, e = 1458me di sebelah

  yy xx

  kanan dan berj arak (e + e ) dari t it ik e di

  xx yy yy sebelah kiri.

  5) Lukis sumbu t yang berj arak 606me di sebelah

  kanan t it ik e yy .

  6) Dengan membagi dua sama panj ang j arak e ke e yy xx akan didapat t it ik P .

  7) Menent ukan let ak t it ik A pada koordinat (e e ) = xx , xy (1458, 774).

  8) Dengan mengambil t it ik pusat di P dan j ari-j ari sepanj ang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memot ong

  lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan t it ik (e

  yy , e ) = (-606, -774). xy

  ' _{I ' I I I '} ' ' '

  = 

  = 0, 5 x 37

  o

  = 18

  o 30’ .

  Sedangkan menurut persamaan (1. 10) didapat t an 2 

  p

  = (2 x 120) / (280 + 40) =  = 

  18

  o

  26’ 2 

  p

  36

  = 0, 5 x 2 

  o

  52’ at au

   max

  

  max 

  

  xy  max 

   (1458606) 15482  1290

  2

  1

  2

  p

   p

  ' ' '

  max

  E

Gambar 1.9 . Lingkara n M ohr untuk Regangan Bidang

  c. Besar rot asi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

   max

  = 0, 5 x 2 

  max

  = 0, 5 x (-53

  o

  ) = 26

  

o

30’ .

  Sedangkan menurut persamaan (1. 10) didapat t an 2 

  =  (1458 + 606) / (2 x 774) =   = 

  e. Besar rot asi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat

  26

  o

  34’ 2 

  max  max

  = 

  53

  o

  08’ at au

  d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr

   xy-max = 5, 2 x 250  = 1300  .

  Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat

  2 f . Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohr  = 6, 9 x 250  = 1725  .

  1  = -3, 5 x 250  = -875 

2 Sedangkan menurut persamaan (1. 11) akan didapat

  1458606 1

  2   1  1458606

    15482 

  2

  2 1716 1458606 1

  2    1458606

  2   15482 

  2

  2  864