03 Merumuskan dan Menghitung Luas suatu Daerah

INTEGRAL TENTU FUNGSI ALJABAR

B.

Merumuskan dan Menghitung Luas Suatu Daerah

Dari uraian terdahulu, telah dijelaskan bahwa salah satu penerapan penting konsep integral adalah untuk menentukan luas suatu daerah. Berikut ini akan diuraikan lebih dalam tentang aturan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral

(a) Luas daerah yang dibatasi oleh satu kurva Rumus 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) garis x = a dan garis x = b serta sumbu x dirumuskan :

L =



b

a

dx f(x)

Rumus 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) garis x = a dan garis x = b serta sumbu x dirumuskan :

L =



p

a

dx f(x) +



b

p dx f(x)

Berikut akan diurakan beberapa contoh penerapannya Contoh

01 Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar disamping

Jawab

Fungsi integral : y = 2x + 6 Batas integral : x = 1 dan x = 4 Sehingga : L =





4

1

dx 6)

(2x (menggunakan rumus 1) L = x2 6x

1 4

L = [42 + 6(4)] – [12 + 6(1)] L = [40] – [7]

L = 33 satuan luas

02 Jika persamaan parabola disamping adalah y = 3x2 + 6x – 24, maka luas daerah yang

diarsir adalah …

Jawab

Fungsi integral : y = 3x2 + 6x – 24 Batas integral : 3x2 + 6x – 24 = 0

x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x1 = 2 dan x2 = –4

Jadi batas integral adalah x = 0 , x = 2 dan x = 3 Sehingga : L =



 

2

0

dx ) 24 6

(3x2 x +



 

3

2

dx ) 24 6

(3x2 x (rumus 2)

L = x33x2 24x ₊ x33x2 24x

L = │[23 _{+ 3(2)}2_{– 24(2)] – [0}3 _{+ 3(0)}2_{–24(0)]│ + │[3}3 _{+ 3(3)}2_{– 24(3)]}

– [23 + 3(2)2–24(2)]│

L = │[8 + 12 – 48] –[0]│ + │[27 + 27 – 72] – [8 + 12 –48]│ L = │–28 –0│ + │–18 – (–28)│

L = │–28│ + │10│

L = 28 + 10

L = 38 satuan luas

03. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – 6 dan sumbu-X dalam interval x = 1 dan x = 5

Jawab

Fungsi integral : y = 2x – 6 Batas Integral

y = 2x – 6 y = 0

0

2

2 3

2x – 6 = 0 2x = 6 x = 3

1

3 5

O y

Jadi batas integral : x = 1 , x = 3 , x = 5 Sehingga : L =





3

1

dx ) 6

(2x +





5

3

dx ) 6

(2x (rumus 2) L = x26x ₊ x2 6x

L = │[(3)2_{– 6(3)] – [(1)}2_{–6(1)]│ + │[(5)}2_{– 6(5)] – [(3)}2_–6(3)]│

L = │[9 – 18] – [1 –6]│ + │[25 – 30] – [9 –18]│

L = │–9 – (–5)│ + │–5 – (–9)│

L = │–4│ + │4│

L = 8 satuan luas

04. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = cos x dan sumbu-X dalam interval x = 0 dan x = π

Jawab

Fungsi integral : y = cos x Batas Integral

y = cos x y = 0

Jadi batas integral : x = 0 ,

x = π/2 x = π

Sehingga : L =



π/2

0

cosx. dx +



π π/2

dx .

cosx (rumus 2)

L = sin x + sin x

L = sin0 2

sin  ₊

2 sin

sin  

L = │1 –0│ + │0 –1│ L = │1│ + │–1│

L = 1 + 1

L = 2 satuan luas

1 3

3

5

cos x = 0 x = π/2

x = 3π/2 O π/2

y

x

π

0

π/2

π/2 π

05. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x2– 6x – 9 dan sumbu-X dalam interval x = 1 dan x = 4

Jawab

Fungsi integral : y = 3x2– 6x – 9 Batas Integral

y = 3x2– 6x – 9 y = 0

Jadi batas integral : x = 1 , x = 3 , x = 4

Sehingga : L =



 

3

1

dx ) 9 6 (3 2

x

x +



 

4

3

dx ) 9 6

(3x2 x (rumus 2)

L = x3 3x2 9x ₊ x33x2 9x

L = │[(3)3_{– 3(3)}2_{– 9(3)] – [(1)}3_{– 3(1)}2_{–9(1)]│ + │[(4)}3_{– 3(4)}2_{– 9(4)]}

– [(3)3– 3(3)2–9(3)]│

L = │[27 – 27 – 27] – [1 – 3 –9]│ + │[64 – 48 – 36] – [27 – 27 –27]│

L = │–27 – (–11)│ + │–20 – (–27)│

L = │–16│ + │7│

L = 16 + 7

L = 23 satuan luas

06. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x2 + 6x – 9 dan sumbu-X Jawab

Fungsi integral : y = 3x2 + 6x – 9 Batas Integral

y = 3x2 + 6x – 9 y = 0

Sehingga : L =





  1

3 2

dx ) 9 6

(3x x (rumus 1)

L = x33x29x 3x2– 6x – 9 = 0 x2– 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x1 = 3 dan x2 = –1

1 3

3

4

1 3

4 O

y

x

3x2 + 6x – 9 = 0 x2 + 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x1 = –3 dan x2 = 1

1 3



O y

x

3



L =



(1)33(1)29(1)



–



(3)33(3)29(3)



L = 139272727

L = 32

L = 32 satuan luas

Rumus praktis

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = ax2 + bx + c dan sumbu X dirumuskan

L = ₂

6a D D

y = ax2 + bx + c

Sehingga : y = 3x2 + 6x – 9

D = 62– 4(3)(–9) = 36 + 108 = 144

Jadi L = ₂

6a D D

L =

2 6(3)

144 144

L =

6(9) 144(12)

L =

9 288

L = 32 satuan luas

07. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x2– 18x + 27 , sumbu-X dan sumbu-Y

Jawab

Fungsi integral : y = 3x2– 18x + 27 Batas Integral

y = 3x2– 18x + 27 sumbu-X y = 0 3x

2_–

18x + 27 = 0 x2– 6x + 9 = 0 (x – 3)(x – 3) = 0 x = 3

3 O

y

Jadi batas integral adalah x = 0 (sumbu-Y) dan x = 3

Sehingga : L =



 

3

0

dx ) 27 18

(3x2 x (rumus 1)

L = x39x2 27x

L = [(3)39(3)2 27(3)] – [(0)39(0)2 27(0)] L = 2781810

L = 27 satuan luas

(b) Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva Rumus 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) dalam interval x = a

dan x = b dirumuskan : L =





b

a

2 1 y ]dx

[y atau

L =





b

a

dx g(x)]

[f(x)

Rumus 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1

= f(x) dan y2 = g(x) dalam interval x = a

dan x = b dirumuskan : L =





p

a

1 2 y ]dx

[y +





b

p

2 1 y ]dx [y

L =





p

a

dx f(x)]

[g(x) +





b

p

dx f(x)] [g(x)

0

2 4 

 x y

2 2 

 x y

08. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – 2 dan y = 2x + 2 dalam

interval x = 3 dan x = 5 …

Jawab

Fungsi integral : y = 4x – 2

y = 2x + 2 Batas Integral y = 4x – 2 y = 2x + 2

Jadi batas integral adalah x = 3 dan x = 5

Sehingga : L =



  

5

3

dx )] 2 2 ( ) 2

[(4x x (rumus 3)

L =



  

5

3

dx )] 2 2 2

[(4x x

L =





5

3

dx )] 4 [(2x

L = x2 4x

L = [(5)2 4(5)] – [(3)2 4(3)] L = 2520912

L = 8 satuan luas

09. Tentukana luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 2 dan y = –3x + 2 dalam interval x = –2 dan x = 3

Jawab

Fungsi integral : y = x – 2

y = –3x + 2 Batas Integral y = x – 2 y = –3x + 2

Jadi batas integral adalah x = –2 , x = 1 , x = 3

4x – 2 = 2x + 2 4x – 2x = 2 + 2 2x = 4

x = 2

3

5

3 O

y

x 5

2

x – 2 = –3x + 2 x + 3x = 2 + 2 4x = 4

x = 1

3 O

y

x 1

2

Sehingga : L =





    1

2

dx )] 2 3 ( ) 2

[(x x +



   

3

1

dx )] 2 3 ( ) 2

[(x x (rumus 4)

L =





 1

2

dx ] 4

[4x +





3

1

dx ] 4

[4x

L = 2x2 4x ₊ 2x2 4x

L = [2(1)2 4(1)] – [2(2)2 4(2)] + [2(3)2 4(3)] – [2(1)2 4(1)] L = 2488 + 181224

L = 18 + 8

L = 18 + 8

L = 26 satuan luas

10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x2– 6 dan y = 6x + 6 Jawab

Fungsi integral : y = 6x2– 6 y = 6x + 6 Batas Integral

y = 6x2– 6 y = 6x + 6

Jadi batas integral adalah x = –1 dan x = 2

Sehingga : L =





   2

1

dx )] 6 6 ( ) 6

[(6x2 x

L =





  2

1

dx ] 12 6 [6x2 x

L = 2x33x2 12x

L = [2(2)33(2)2 12(2)] – [2(1)3 3(1)212(1)] L = 1612242312

L = 27

L = 27 satuan luas

1 2



3 1

6x2– 6 = 6x + 6 6x2– 6x – 12 = 0 x2– x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x = –1 dan x = 2

1



O y

x 2

1

Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar si samping

y = 2x2– 8 y = –2x2 + 8

y = –2x2 + 8

x =

Soal tersebut dapat pula diselesaikan dengan cara rumus praktis, yaitu y = 6x2– 6

y = 6x + 6

maka D = b2 4ac = (1)2 4(1)(2) = 1 + 8 = 9 Jadi L = 6. _

    

2 6a

D D

L = 6 _

    

2 6(1)

9 9

L = 6

   

6 27

L = 27 satuan luas

11.

Jawab

2x2– 8 = –2x2 + 8 x2– 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0 x1 = 2 dan x2 = –2

Jadi batas bawah –2 dan batas atas 1 y = –2(1)2 + 8 = 6 Titiknya (1, 6)

sehingga

1 2

1

y y

y y

 

=

1 2

1

x x

x x

 

maka

0 6

0 y

 

=

2 1

2 x

 

atau y = 2x + 4

6x2– 6 = 6x + 6 6x2– 6x – 12 = 0 6(x2– x – 2) = 0

x2 + 4 = ax x2– ax + 4 = 0

x2 + 4 = 4x x2– 4x + 4 = 0 (x – 2)(x – 2) = 0 x = 2

y = 8

Titiknya P(2, 8)

x2 + 4 = 4x x2 + 4x + 4 = 0 (x + 2)(x + 2) = 0 x = –2

y = 8

Titiknya Q(–2, 8)

Jadi : L = 2. [( 2x 8) (2x 4)]dx 2 2 2



    

= 2. ( 2x 2x 4)]dx 2 2 2



   

= 2.

1 2 2 3 x 4 x x 3 2    

= 2. [ (1) 4(1)] [ ( 2) ( 2) 4( 2)]

3 2 (1)

3

2 3 _ 2 _{   } 3_{ } 2_{ }



= 14 satuan luas

12. grafik fungsi y = x2 + 4 disinggung garis g dan h yang melalui O(0, 0). Grafik tersebut beserta garis g dan h membatasi daerah D. Hitunglah luas daerah d tersebut

Jawab

y = ax y = x2 + 4

Syarat menyinggung D = 0 (–a)2– 16 = 0

(a – 4)(a + 4) = 0

1

a = 4 dan a₂= –4

Jadi garisnya y = 4x dan y = –4x

Sehingga y = x2 + 4 y = 4x

y = x2 + 4 y = –4x

1

L =



2

0

dx x

4 =

 

2

0

2

x

2 = 8 – 0 = 8

2

L = L₁ = 8

Sehingga L₁ + L₂ + L₃ =





 2

2

2 _4)dx

x ( = 2 2 x 4 x 3 1 3      _

= _  8_ 3 8

– _  8_ 3 8

=

3 64

Jadi 8 + 8 + L₃ =

3 64

L₃ =

3 16

satuan luas

1

L L3 L₁

O

P Q

x y

y = 6x – 4x2 y = x2

x y

II I

O

13. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan sumbu-X dibagi oleh parabola y = x2

menjadi dua bagian. Perbandingan luas kedua bagian itu adalah ….

Jawab

x2 = 6x – 4x2 2x2– 6x = 0 x2– 3x = 0 x(x – 3) = 0

1

x = 0 x₂= 3

1

L =



 

3

0

2 2 _{x ]dx}

x x 6

[ =





3

0

2_]dx

x 2 x 6 [

=

6

0

3

2 _x

3 2 x

3 _

  _

= _ 2 .33_ 3 2 3 .

3 – [0] = 9

1

L + L₂ =





3

0

2

dx ] x x 6

[ =

6

0

3

2 _x

3 1 x

3 _

  _

= _ 2  .63_ 3 1 6 .

3 – [0] = 36

Maka L₂ = 36 – 9 = 27

Jadi batas integral adalah x = 0 (sumbu-Y) dan x = 3

Sehingga : L =



  3

0

dx ) 27 18

(3x2 x (rumus 1)

L = x39x2 27x

L = [(3)39(3)2 27(3)] – [(0)39(0)2 27(0)] L = 2781810

L = 27 satuan luas

(b) Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva Rumus 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) dalam interval x = a dan x = b dirumuskan :

L =



 b

a

2 1 y ]dx

[y atau

L =



 b

a

dx g(x)]

[f(x)

Rumus 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) dalam interval x = a dan x = b dirumuskan :

L =



 p

a

1 2 y ]dx

[y +





b

p

2 1 y ]dx [y

L =



 p

a

dx f(x)]

[g(x) +





b

p

dx f(x)] [g(x)

0 3

2 4 

 x y

2 2 

 x y

08. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x – 2 dan y = 2x + 2 dalam

interval x = 3 dan x = 5 …

Jawab

Fungsi integral : y = 4x – 2

y = 2x + 2 Batas Integral y = 4x – 2 y = 2x + 2

Jadi batas integral adalah x = 3 dan x = 5

Sehingga : L =



   5

3

dx )] 2 2 ( ) 2

[(4x x (rumus 3)

L =



   5

3

dx )] 2 2 2

[(4x x

L =



 5

3

dx )] 4 [(2x

L = x2 4x

L = [(5)2 4(5)] – [(3)2 4(3)] L = 2520912

L = 8 satuan luas

09. Tentukana luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x – 2 dan y = –3x + 2 dalam interval x = –2 dan x = 3

Jawab

Fungsi integral : y = x – 2

y = –3x + 2 Batas Integral y = x – 2 y = –3x + 2

Jadi batas integral adalah x = –2 , x = 1 , x = 3 4x – 2 = 2x + 2

4x – 2x = 2 + 2 2x = 4

x = 2

3 5

3 O

y

x 5

2

x – 2 = –3x + 2 x + 3x = 2 + 2 4x = 4

x = 1

3 O

y

x 1

2

Sehingga : L =





    1

2

dx )] 2 3 ( ) 2

[(x x +



   

3

1

dx )] 2 3 ( ) 2

[(x x (rumus 4)

L =





 1

2

dx ] 4

[4x +



 3

1

dx ] 4

[4x

L = 2x2 4x ₊ 2x2 4x

L = [2(1)2 4(1)] – [2(2)2 4(2)] + [2(3)2 4(3)] – [2(1)2 4(1)] L = 2488 + 181224

L = 18 + 8 L = 18 + 8

L = 26 satuan luas

10. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x2– 6 dan y = 6x + 6 Jawab

Fungsi integral : y = 6x2– 6 y = 6x + 6 Batas Integral

y = 6x2– 6 y = 6x + 6

Jadi batas integral adalah x = –1 dan x = 2

Sehingga : L =





   2

1

dx )] 6 6 ( ) 6

[(6x2 x

L =





  2

1

dx ] 12 6 [6x2 x

L = 2x33x2 12x

L = [2(2)33(2)2 12(2)] – [2(1)3 3(1)212(1)] L = 1612242312

L = 27

1

2



3

1

6x2– 6 = 6x + 6 6x2– 6x – 12 = 0 x2– x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x = –1 dan x = 2

1



O y

x 2

1 -2

Tentukanlah luas daerah yang diarsir pada gambar si samping

y = 2x2– 8 y = –2x2 + 8

y = –2x2 + 8

x =

Soal tersebut dapat pula diselesaikan dengan cara rumus praktis, yaitu y = 6x2– 6

y = 6x + 6

maka D = b2 4ac = (1)2 4(1)(2) = 1 + 8 = 9 Jadi L = 6. _

    

2 6a

D D

L = 6 _

    

2 6(1)

9 9

L = 6

   

6 27

L = 27 satuan luas

11.

Jawab

2x2– 8 = –2x2 + 8 x2– 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0 x1 = 2 dan x2 = –2

Jadi batas bawah –2 dan batas atas 1 y = –2(1)2 + 8 = 6 Titiknya (1, 6)

sehingga

1 2

1 y y

y y

 

=

1 2

1 x x

x x

 

maka 0 6

0 y

 

= 2 1

2 x

 

atau y = 2x + 4 6x2– 6 = 6x + 6

6x2– 6x – 12 = 0 6(x2– x – 2) = 0

x2 + 4 = ax x2– ax + 4 = 0

x2 + 4 = 4x x2– 4x + 4 = 0 (x – 2)(x – 2) = 0 x = 2

y = 8

Titiknya P(2, 8)

x2 + 4 = 4x x2 + 4x + 4 = 0 (x + 2)(x + 2) = 0 x = –2

y = 8

Titiknya Q(–2, 8) Jadi : L = 2. [( 2x 8) (2x 4)]dx

2

2 2





   

= 2. ( 2x 2x 4)]dx 2

2 2





  

= 2.

1

2 2

3

x 4 x x

3 2



  

= 2. [ (1) 4(1)] [ ( 2) ( 2) 4( 2)]

3 2 (1)

3

2 3 _ 2 _{   } 3_{ } 2_{ } 

= 14 satuan luas

12. grafik fungsi y = x2 + 4 disinggung garis g dan h yang melalui O(0, 0). Grafik tersebut beserta garis g dan h membatasi daerah D. Hitunglah luas daerah d tersebut

Jawab

y = ax y = x2 + 4

Syarat menyinggung D = 0 (–a)2– 16 = 0

(a – 4)(a + 4) = 0 1

a = 4 dan a₂= –4

Jadi garisnya y = 4x dan y = –4x

Sehingga y = x2 + 4 y = 4x

y = x2 + 4 y = –4x

1 L =



2

0 dx x

4 =

 

2

0 2 x

2 = 8 – 0 = 8

2

L = L₁ = 8

Sehingga L₁ + L₂ + L₃ =







2

2

2 _4)dx x

( =

2

2 x 4 x 3 1 3

   

 _

= _  8_ 3 8

– _  8_ 3 8

= 3 64

Jadi 8 + 8 + L₃ = 3 64

L₃ = 3 16

satuan luas 1

L L3 L₁

O

P Q

x y

y = 6x – 4x2 y = x2

x y

II I

O

13. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan sumbu-X dibagi oleh parabola y = x2

menjadi dua bagian. Perbandingan luas kedua bagian itu adalah ….

Jawab

x2 = 6x – 4x2 2x2– 6x = 0 x2– 3x = 0 x(x – 3) = 0

1

x = 0 x₂= 3

1

L =



  3

0

2 2 _{x ]dx} x

x 6

[ =





3

0

2_]dx x 2 x 6 [

=

6

0 3

2 _x

3 2 x

3 _



 _

= _ 2 .33_ 3 2 3 .

3 – [0] = 9

1

L + L₂ =



 3

0

2 dx ] x x 6

[ =

6

0 3

2 _x

3 1 x

3 _



 _

= _ 2  .63_ 3 1 6 .

3 – [0] = 36 Maka L₂ = 36 – 9 = 27