05 Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar

INTEGRAL TENTU FUNGSI ALJABAR
I. Merumuskan dan Menghitung Volume Benda Putar
Aplikasi lain dari teori integral adalah untuk menghitung volume benda putar. Benda
putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di
bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi). Dalam hal ini sumbu rotasi adalah
sumbu-X dan sumbu-Y.
Misalkan suatu daerah D dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-X, garis x = a dan garis
x = b, seperti pada gambar di samping. Jika daerah D diputar 360 0 mengelilingi sumbuX, maka diperoleh suatu benda putar.
y

y  f ( x)

Volum benda putar ini dapat dirumuskan
dengan menggunakan proses limit jumlah.

f ( x)

Ambil elemen daerah persegi panjang
dengan lebar x dan tinggi y = f(x). Jika
daerah itu diputar 3600 mengelilingi sumbuX, maka diperoleh elemen silinder tegal
dengan jari-jari y = f(x) dan tinggi x .

O

a

x

x
b

Volum dari elemen silinder itu adalah :

V =  . y 2 .x =  .[ f ( x)]2 .x
1

Dengan menggunakan proses limit suatu jumlah, volum benda putar adalah :
2
lim
lim
V = lim

x0  V . = x0   . y .x. =x0
n

i 1

n

i 1

i

2
  .[ f ( x)] .x.
n

i 1

Bentuk limit jumlah di atas dapat dituliskan dengan menggunakan notasi integral tentu
sebagai berikut :
V =   y 2 dx atau

b
a

V =   f 2 (x) dx
b
a

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh rumus volum benda putar jika daerah yang
dibatasi oleh kurva x = f(y) jika diputar mengelilingsi sumbu Y dalam interval y = a dan
y = b, yaitu
V =   x 2 dy atau
b
a

V =   f 2 (y) dy
b
a

Selanjutnya akan di uraikan beberapa rumus menentukan volum benda putar, yang
dibatasi oleh satu kurva atau dua kurva dalam interval tertentu, jika diputar 360 0

mengelilingi sumbu-X dan sumbu-Y, yakni sebagai berikut :
Integral Tentu Fungsi Aljabar

1

Rumus 1
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) jika
diputar mengelilingsi sumbu X dalam interval
x = a dan x = b akan membentuk benda putar
.
Volume benda putar dirumuskan :
V =   y 2 dx atau
b
a

V =   f 2 (x) dx
b
a

Rumus 2

Daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) jika
diputar mengelilingsi sumbu Y dalam
interval y = a dan y = b akan membentuk
benda putar .
Volume benda putar dirumuskan :
V =   x 2 dy atau
b
a

V =   f 2 (y) dy
b
a

Rumus 3
Daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x)
dan y2 = g(x) jika diputar mengelilingsi
sumbu X dalam interval x = a dan x = b
akan memben-tuk benda putar .
Volume benda putar dirumuskan :
V =   (y

b
a

2

1

y

2

2

atau V =   [f 2 (x)  g 2 (x) ] dx
b

) dx

a

Rumus 4
Daerah yang dibatasi oleh kurva x1 = f(y)
dan x2 = g(y) jika diputar mengelilingsi
sumbu Y dalam interval y = a dan y = b
akan memben-tuk benda putar .
Volume benda putar dirumuskan :
V =   (x
b
a

2

1

x

2

2

atau V =   [f 2 (y)  g 2 (y) ] dy
b

) dy

Integral Tentu Fungsi Aljabar

a

2

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal tentang volum benda putar
01. Tentukanlah volume benda putar yang
terbentuk jika daerah yang diarsir pada
gambar di samping diputar 3600 mengelilingi
sumbu-X
Jawab
Fungsi integral : y = 3x + 5
Batas integral : x = 1 dan x = 3

Maka volumenya :
V =   y 2 dx
3

V =   (3x  5) 2 dx
1
3

V =   (9x 2  30x  25) dx
1
3
1

9
30
V =  [ x 3  x 2  25x]
3
2
1

V =  [3x 3  15x 2  25x]

3

3

V =  [3(3) 3  15(3) 2  25(3)]  [3(1) 3  15(1) 2  25(1)]


V =  [81  135  75]  [3  15  25]
1

V =  291  43

V = 248 satuan volum

02. Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk
jika daerah yang diarsir pada gambar di samping
diputar 3600 mengelilingi sumbu-Y
Jawab

Fungsi integral : y =

1
2

y+3=

y=

x 3
1

x

Jadi fungssinya x = 2y + 6

2

Batas integral : y = 0 dan y = 3

Integral Tentu Fungsi Aljabar

3

V =   x 2 dy
3

Maka volumenya :

0
3

V =   (2y  6) 2 dy
0
3

V =   (4y 2  24y  36) dy
0

4
V =  [ y 3  12 y 2  36y]
3

3

4
4

V =  [ (3) 3  12(3) 2  36(3)]  [ (0) 3  12(0) 2  36(0)]
3
3

V =  [36  108  108]  [0]
0

V = 252 satuan volum
03. Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh
kurva y = (2x – 3)2 diputar 3600 mengelilingi sumbu-X dalam interval x = 0 dan x = 3
Jawab
y
Fungsi integral : (2x – 3)2
Batas integral : x = 0 dan x = 3
y = (2x – 3)2
(2x – 3)2 = 0
y=0
2x – 3 = 0
2x = 3
x = 3/2
x

Jadi batasnya : x = 0 , x = 3/2 dan x = 3
Maka volumenya :
V= 

0

 

3/2

y 2 dx

 (2x  3) 

V==



3/2

2

0

V= 

2

dx

3/2y

2

 (2x  3) 



3

2

V= [

V=

1
10

(2x  3)

dx

 (2x  3)
3/2
3

3/2

]

3/2

5

3

41

0

(2x  3) ]

1

2

3/2

0

2(4  1)

3

dx

4
 (2x  3) dx  

V= [

3/2

3

3/2

1

O

+
0

[

4

dx

+ [
1
10

1

2(4  1)

(2x  3) ]

Integral Tentu Fungsi Aljabar

3

]
3/2

3

5



  (2   3) 5  (2[0]  3) 5 
10

 10  2 
1

(2x  3)

41

3/2

+

1

3



  (2[3]  3) 5  (2   3) 5 
10  2 

 10
1

4

V=

1



  (3  3) 5  (0  3) 5 
10
 10

1

+

1



  (6  3) 5  (3  3) 5 
10
 10

1

1
1
1
1


V =   (0) 5  (3) 5  +   (3) 5  (0) 5 
10
10
 10
 10


243 

 243 
V =  0  ( 
) +  
 0
10 

 10

243
243
V=
 +

10
10
486
V=

10

V=

243
5

 satuan volum

04. Tentukanlah volum benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh
lingkaran x2 + y2 = 4 dikuadran I dan IV diputar 3600 mengelilingi sumbu-Y
Jawab
Fungsi integral : x2 + y2 = 4
y2 = 4 – x2
y = 4  x2
Batas integral : x2 + y2 = 4
x=0

02 + y2 = 4
y2 = 4
y=2
Jadi batas integral : y = 0 dan y = 2
Maka volumenya :
V =   x 2 dy
2

0



V =    4  y 2  dy

0
2

2

V =   4  y 2  dy


0
2

1
V =  [4 y  y 3 ]
3

2
0

1
1


V =  [4(2)  (2) 3 ]  [4(0)  (0) 3 ]
3
3


8


V =  [8  ]  [0]
3



V=

16
3

 satuan volum

Integral Tentu Fungsi Aljabar

5

y

05. Tentukanlah volume benda putar yang
terbentuk jika daerah yang diarsir pada
gambar di samping diputar 3600 mengelilingi
sumbu-X
Jawab
2
Fungsi integral : y = x

x2

2

y=2–x
Batas integral : y = x

2

O

2

x2 = 6 – x
2x2 – 6 = 0
x2 – 3 = 0
(x –
)(x +

2

y=6–x

6  x2

x

)=0

x1 =x = dan
3 x2 = –
Jadi batas integral : x = – 3 dan
Maka volumenya :
V =   (y
b

2

1

a

y

2

2

) dx

V =   (x 2 ) 2  (6  x 2 ) 2  dx


3

x



 3

V= 
V= 
V= 

4

 (36  12x 2  x 4 ) dx

4

 36  12x 2  x 4 ) dx

3

x

 3
3

 12x

 3

3

2

 3





 36) dx

12
V =  [ x 3  36x]
3
 3
3

V =  [ 4 x3  36x]

3
 3

V =  [ 4( 3 )  36( 3 )]  [4( 3 ) 3  36( 3 )]
3

V =  4 27  36 3  4 27  36 3

V =  4(3 3 )  36 3  4(3 3 )  36 3
V =  12 3  36 3  12 3  36 3

V =   36 3 = 36 3 satuan volum

Integral Tentu Fungsi Aljabar

6

06. Tentukanlah volume benda putar yang
terbentuk jika daerah yang diarsir pada
gambar di samping diputar 3600 mengelilingi
sumbu-Y

x+y=9
x – 2y = 0

Jawab
Fungsi integral : x + y = 9 maka x = 9 – y
x – 2y = 0 maka x = 2y
Batas integral : x = 9 – y
9 – y = 2y
x = 2y
9 = 3y
y=3
Jadi batas integral : y = 0 dan y = 3
Maka volumenya :
V =   (x
b

x



V =    81  18 
 4y  dx
V =    81  18  3y  dx
a
3

2

1

2

2

) dy

V =   (9  y) 2  (2y)2 dx
0
3

y2

y

2

0
3

2

y

0

V =  [ 81y  9 y  y ]
2

3

3

V =  [ 81(3)  9(3) 2  (3) 3 ]  [ 81(0)  9(0) 2  (0) 3 ]


V =  [ 243  81  27]  [0]
0

V = 135 satuan volum

E.

Integral Tentu Fungsi Aljabar

32
3

 sat. volum

7