Mekanika Bahan Bab I

BAB I
TEGANGAN DAN REGANGAN
1.1. Tegangan
 
Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama
dengan vektor tegangan. Tegangan merupakan tensor derajat
dua, sedangkan vektor, vektor apapun, merupakan tensor
derajat satu. Besaran skalar merupakan tensor derajat nol.
Tensor ialah besaran fisik yang keadaannya pada suatu titik
dalam ruang, tiga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3n
komponennya, dengan n ialah derajat tensor tersebut. Dengan
demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi pada suatu
titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 3 2 komponennya.
Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah
xx , yy , zz , txy , tyx , txz , tzx , tyz , dan tzy seperti ditunjukkan
pada Gambar 1.1(a). Namun demikian, karena txy = tyx , txz =
tzx dan tyz = tzy , maka keadaan tegangan tersebut dapat
dinyatakan dengan enam komponennya, xx , yy , zz , txy , txz ,
tyz. Sedangkan untuk tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu
titik dapat dideskripsikan dengan 22 komponennya, Gambar

Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat
diklasifikasikan menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan
notasi sij , i = j, serta tegangan geser dengan notasi tij , .
Perhatikan penulisan pada paragrap di atas. Karakter indek
yang pertama menyatakan bidang tempat bekerjanya gaya,
sedangkan karekter indek yang kedua menyatakan arah
bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangan normal ialah

 

pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan
yang bekerja sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam
tegangan yang mendeskripsikan tegangan pada suatu titik
terdiri atas tiga tegangan normal, xx , yy , dan zz , serta tiga
tegangan geser, txy , tyz , dan tzx. Nilai tegangan bisa positif
dan bisa pula negatif.
Tegangan bernilai positif bila
tegangan tersebut bekerja pada bidang positif dengan arah
positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah negatif.
Selain itu, nilainya negatif.

Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan
sebagai intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut.
Sehingga secara matematis tegangan normal rata-rata dapat
F sebagai
dinyatakan
i=j
 ij  n
A
(1a)
 ij

Fn

= tegangan normal rata-rata (N/mm2 = MPa)
= gaya normal yang bekerja (N)

A
= luas bidang (mm2)
i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z

Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai
 
F
 ij  t ,
A

(1b)

i j

2
ij = tegangan geser rata-rata (N/mm = MPa)

Ft

= gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja ( N)

A

= luas bidang (mm2)

i, j = x, y, z
Bila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit
sampai akhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan
didapat tegangan pada suatu titik. Sehingga secara matematis
tegangan normal pada suatu titik dapat dinyatakan
 Fn d Fn

A  0 A
dA

 ij  lim

i=j

(2a)

 

Sedangkan tegangan geser pada suatu titik, secara matematis

dapat dinyatakan sebagai

 Ft d Ft

,
 ij  lim
A  0 A
dA
 1.2. Regangan

i j

(2b)

 

Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan
tensor derajat dua. Dengan demikian keadaan regangan
ruang, tiga dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan
dengan kesembilan komponennya.

Pada sistem koordinat
sumbu silang, regangan tersebut adalah e xx , eyy , ezz , gxy , gyx ,
gxz , gzx , gyz , dan gzy , sebagaimana ditunjukkan pada Gambar
1.2(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni
regangan normal, dengan notasi eij , i = j, serta regangan
geser dengan simbul ij , . Sebagaimana dengan tegangan,
gxy = gyx , gxz = gzx dan gyz = gzy , maka keadaan regangan
ruang pada suatu titik dapat dinyatakan oleh enam komponen,
yakni exx , eyy , ezz , gxy , gyz , gzx. Sedangkan regangan bidang,
dua dimensi, dapat dideskripsikan dengan 2 2 komponennya, dan
karena gij = gji maka regangan bidang pada suatu titik dapat
dideskripsikan dengan hanya tiga komponen, Gambar 1.2(b).

 

Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik.
Regangan normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang
dibagi dengan panjang awal, atau secara matematis dapat
dituliskan
 li ui

 


 ij
li
li
,
i=j
(3)

 

 ij

= regangan normal rata-rata

l = u = perubahan panjang pada arah (mm)
l = panjang awal pada arah (mm)
i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.

 
Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut
dalam radial. Regangan geser bernilai positif bila sudut pada
kuadran I dan atau kuadran III pada sistem koordinat sumbu
silang mengecil, Gambar 1.3(a), sedangkan selain itu bernilai
negatif.
1.3. Transformasi Tegangan Bidang
  Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu
koordinat ke set sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi
pula dapat dicari set sumbu koordinat pada suatu titik yang
memberikan tegangan utama dari kondisi tegangan yang telah
diketahui di titik itu. Yang dimaksud dengan tegangan utama
ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak nol untuk
tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.
Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan
dari sistem koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke

 

Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan

gaya-gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar
1.5(b) berikut.

 Fx ' 0

 x ' x ' . A  (  xy . A sin ) cos   ( yy . A sin ) sin   (  xy . A cos ) sin 

   xx . A cos  cos  0
2
2



 x ' x '  xx cos
 yy sin  2  xy sin  cos 

 (1.4a
)

Dengan memasukkan harga (90o + ) untuk harga 

pada persamaan (1.4a), sehingga dengan identitas-identitas:
2
2
o
o
o
2
cos (9 0  )  (cos9 0 cos   sin 9 0 sin  )  si n 

2
o
o
o
(
9


)

(sin

9
cos


cos
9
sin

 co s2 
)
sin 0
0
0
2

sin(9 0o  ) cos(9 0o  )  (sin 9 0o cos   cos 9 0o sin )(cos 9 0o cos   sin 9 0o sin )
=  sin  cos
akan didapat
  y ' y '   yy cos2    xx sin2   2 xy sin  cos 

(1.4b)

 Fy ' 0

 x ' y ' . A  (  xy . A sin ) sin   ( yy . A sin ) cos   (  xy . A cos ) cos 
  xx . A cos  sin   0

 x ' y '   xy (cos2   sin2 )  ( xx   yy) sin  cos 

(1.4c)

Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c)
bisa ditulis
 xx   yy  xx   yy


cos 2   xy sin 2
 x'x'
2
2
 
 xx   yy  xx   yy

cos 2   xy sin 2
 y'y' 
2
2
 
 xx   yy


sin 2   xy cos 2
 x' y '
2

(1.5a)
(1.5b)
(1.5c)

1.4. Transformasi Regangan Bidang
Perhatikan Gambar 1.6(a) pada halaman berikut. Elemen
OABC
pada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami
deformasi dan distorsi menjadi O’A’B’C’ akibat mendapat
beban sxx , syy dan txy. Analisis transformasi regangannya
ditunjukkan pada Gambar 1.6(b, c, d) yang berturut-turut
untuk regangan normal arah sumbu x, regangan normal arah
sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. Dari Gambar
1.6(b) didapat

dx ' 

dx
dy

,
cos sin 

 x1 '  x.cos  ,

Dari Gambar 1.6(c) akan didapat

 x2 '  y.sin ,
Dan dari Gambar 1.6(d) diperoleh

 x 3 ' xy . dy.cos  ,

 

Dengan demikian total perubahan panjang dx’ akibat adanya
regangan pada sistem koordinat awalnya adalah
 
x’ = x1’ + x2’ + x3’
Sedangkan

 
Sehingga

x' x.cos  y.sin  xy . dy.cos 



 x' x' 
dy
dy
dx' dx
cos 
sin 
sin 

 x ' x '   xx . cos2    yy . sin2   xy .cos .sin 

(1.6a)

 
Selanjutnya, y’ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan
harga (90o + ) untuk harga  pada persamaan (1.6) di atas,
kemudian menerapkan identitas trigonometri. Sehingga akan
didapat
 y ' y '   xx . cos2 ( 9 0o  )   yy . sin2 ( 9 0o  )   .cos(9 0o  ).sin(9 0o  )
xy

 y ' y '   yy . cos2    xx . sin2   xy .cos .sin 

(1.6b
)

 Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada
Gambar 1.7 di bawah. Sebagaimana pada regangan normal,
dalam hal ini perubahan regangan geser oleh masing-masing
regangan yang terjadi ditinjau satu per satu. Pada analisis ini,
panjang dx dibagi dua oleh sumbu y menjadi dx 1 dan dx2.

 
 

d y'1 
Dari Gambar 1.7 didapat

d x1
dy

sin  cos 

Selanjutnya perhatikan Gambar 1.7(a),
deformasi normal pada arah sumbu x saja.

dx2
dy
d x'2dan


cos  sin 
akibat

AD   x1 .cos   x1


sin .cos    xx .sin .cos
'1a 
d
x
1
d x1
dy '1
sin 
CE   x 2 .sin    x 2
'1b 


sin .cos   xx .sin .cos
d
x
2
d x2
dx '2
cos 
'x ' y '1  1a  1b  2  xx .sin .cos

terjadinya

 

Gambar. 1.7. Transformasi Regangan Geser
 
Akibat deformasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan
pada Gambar 1.7(b) akan diperoleh

AD y.sin  y

 .sin .cos   yy .sin .cos
dy
dy
dy '1
cos
CE y.cos y

 .sin .cos   yy .sin .cos
'2 b 
dy
dy
dx '2
sin 
'2 a 

 

'x ' y '2  2 a  2 b  2 yy .sin .cos

Sedangkan dari Gambar 1.7(c), akibat terjadinya regangan
geser saja, akan didapat

A ' D AA '.cos xy . dy


. cos2   xy . cos2 
3a 
dy
d y '1
dy
cos
xy . dy
CE
CC ''.sin 


. sin2   xy . sin2 
3b 
dy
d x'2
dy
sin 
x ' y '3  3a  3b  xy (cos2   sin2 )

Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada
set sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut

x ' y '  x ' y '1  x ' y '2  x ' y '3  (  xx   yy ) sin .cos   xy (cos2   sin 2 )
...(1.6c)
Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri
persamaan-persamaan (1.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk
lain sebagai berikut





xy
  yy 
cos 2 
.sin 2
 x'x'
2
2
2


 xx   yy 
 xx   yy  xy
cos 2 

.sin 2
 y'y' 
2
2
2

 x' y' 

xx

x ' y '
2

  yy 









xx

xx

xy
  yy 
sin 2 
.cos 2
2
2

(1.7a)
(1.7b)
(1.7c)

1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress
and Strain)
serta Tegangan dan Regangan Geser
Maksimum
 

Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser
Maksimum
Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan
normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah
transformasi yang menghasilkan tegangan geser nol.
Tegangan-tegangan tersebut ditunjukkan sebagai s 1 dan s2
pada Gambar 1.10. Perlu dicatat bahwa s1 selalu diambil lebih
besar dari
s2.
Sudut transformasi yang menghasilkan
tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principal
angle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut
utama dapat diturunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b,
c).
  yy
 xx pengertian
Menurut
tegangan utama, dari
0 
.sin 2  tentang
xy .cos 2
persamaan (1.5c)2akan didapat

atau
 

 
 

2  xy
sin 2  p
 tan 2  p 
cos 2  p
 xx   yy

(1.8)

Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai
berikut

Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q
gambar di atas ke persamaan (1.5a) akan didapat

pada

2
2  xy
 xx   yy  xx   yy
 xx   yy


 x' x' 
2
2
2
2
2
2
( xx   yy )  4  xy
(  xx   yy )  4  xy

1
 xx   yy
2
2
(  xx   yy ) 4  xy

 x' x' 
2
2
2
2. (  xx   yy )  4  xy





Sehingga
 

 xx   yy 1

 x'x' 
2
2.



2

( xx   yy ) 4  xy



2

Substitusi dan penerapan prosedur
persamaan (1.5b), akan didapat
 xx   yy 1

 y'y' 
2
2.



2

( xx   yy ) 4  xy

yang

sama

terhadap



2

Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah 1  2 ,
maka kedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan
menjadi satu dengan

 
 

 

 1, 2 

 xx   yy 1

2
2.





(  xx   yy ) 2 4  xy 2

(1.9)

Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c). Untuk suatu titik
dan jenis pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi,
harga-harga xx , yy dan xy adalah tetap atau konstan,
sehingga x’y’ merupakan suatu fungsi , atau x’y’ =
f().Harga ekstrim fungsi tersebut akan diperoleh bila turunan
pertama fungsi tersebut terhadap  sama dengan nol. Jadi

d x ' y '
 xx   yy

.sin 2   xy .cos 2  0
d
2
atau
 
sin 2  max
 xx   yy
 tan 2  max 
(1.10)
cos 2  max
2  xy
 
Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai
berikut:

 

Dengan substitusi harga-harga sin 2 dan cos 2
gambar di atas ke persamaan (1.5c) akan didapat
2

 ( xx   yy )
2  xy
 xx   yy


 x' y'
2
2
2
2
2
( xx   yy )  4  xy
( xx   yy )  4  xy


1
2

2. ( xx   yy )  4  xy

2



2

( xx   yy ) 4  xy



2

pada

Sehingga
 

 

 

 

 x'y' 

1
2.



2

( xx   yy ) 4  xy



2

Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan
sudut 2 adalah (xx  yy) dan panjang sisi di sampingnya
adalah -2xy. Kondisi ini akan memberikan
1
( xx   yy ) 2 4  xy 2

 x' y'
2.





Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan
menjadi satu sebagai

 max

1

2.





( xx   yy ) 2 4  xy 2

 
Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum

(1.11)

 

Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka
regangan utama (principal strain) adalah regangan normal yang
terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi
yang menghasilkan setengah regangan geser nol. Reganganregangan tersebut ditunjukkan sebagai 1 dan 2 pada
Gambar 1.11. Demikian juga, 1 selalu diambil lebih besar dari
2 , serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama
(principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur
yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaanpersamaan
(1.7a, b,xy c), maka akan didapat hasil-hasil berikut.
sin 2  p
(1.12a)
 tan 2  p 
cos 2  p
 xx   yy
 

 xx   yy 1

1,2 
2
2.



(  xx   yy ) 2  xy



2

qp = sudut utama
e1,2 = regangan-regangan utama
gxy = 2exy = regangan geser

(1.12b)

 
 

sin 2  max
 xx   yy
 tan 2  max 
cos 2  max
xy

(1.13a)

max
1

2
2.

(1.13b)



2

( xx   yy )  xy



2

max = sudut regangan geser maksimum
xy = 2xy = regangan geser

1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan
Regangan Bidang
 
Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman,
Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis
transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk persoalanpersoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu dicatat
adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar q ditunjukkan
oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan
sumbu tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah.
Pengukuran dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah
jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita

 

Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
x  y
Pada persamaan (1.5a), bila suku
dipindahkan ke
2
ruas
2
2
kiri dan kemudian
kedua
ruasnya dikuadratkan, maka akan

 x  y 
 x  y 
2
2
2
didapat
  x '
 
 co s 2   xy si n 2    x   y  xy sin 2 cos 2

 2 
2 
………(1.14a)

2

2
2
 x  y 
2
2
2  persamaan
   x  
sin 2 cos 2
 x ' y '   xy co spada
Sedangkan
bila
akan
 si n 2(1.5c),
y   xy dikuadratkan
 2 
didapat

 
2

2


 x y 
 x  y 
2
2







 x'



x'y'
xy


 2 
2
 Penjumlahan persamaan-persamaan

………(1.14b)
(1.14a)

dan

(1.14b)

menghasilkan
(1.15)

1. Buatlah sumbu ij , horisontal.
 

2. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara
matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah
tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas
melukis, sedangkan bila positif maka titik yang
mendekati
batas kiri adalah titik ij = 0.
3. Periksa harga tegangan normal, xx atau yy , yang secara
matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan
tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis,
sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas
kanan adalah titik ij = 0.
4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat
melukis bisa
memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa
ruangan di sebelah
kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik
batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan.

 

5. Tentukan letak titik-titik ij = 0 dan sumbu , serta ij
terkecil
dan ij terbesar bila belum terlukis pada sumbu ij .
6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan
terbesar
sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.
7. Tentukan letak titik A pada koordinat (ij terbesar , xy ).
8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA.
9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran
Mohr di
B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (ij
terkecil , xy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli,  = 0,
elemen tersebut.
Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang
dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar
280 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa
serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa.

Diminta:
 

a. Lukisan lingkaran Mohr.

b. Besar
mendapatkan
lingkaran Mohr.
persamaan (1.10).

rotasi

mengelilingi sumbu
z
untuk
tegangan geser maksimum, menurut
Periksa hasil tersebut dari

c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr.
Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11)
dan hasil yang
didapat pada b. di atas.
d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan tegangan geser bernilai nol,
menurut
lingkaran Mohr.
Periksa hasil ini
dengan persamaan (1.8).
e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran
Mohr.
Periksa hasil tersebut dengan persamaanpersamaan (1.9)
dan dari hasil pada pada d. di
atas.

Penyelesaian:
 

a. Lingkaran Mohr:
1) Buat sumbu sij , horisontal.
2) Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif,
sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas
kiri.
3) Tegangan normal terbesar
sxx = 280 MPa, positif,
sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas
kanan.
4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan
titik syy = 40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di
sebelah kanan yang
berjarak (sxx + syy) dari titik syy di
sebelah kiri.
5) Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan
titik syy .
6) Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx
akan
didapat titik P.
7) Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx

,

txy ) =

 

Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
 
b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapat
max = 0,5 x 2max = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2max =  (280 + 40) / (2 x 120) = 43

2max =  53o 08’

atau

max =  26o 34’

c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr
 

max = 5 x 40 MPa = 200 MPa.
Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapat
p = 0,5 x 2p = 0,5 x 37o = 18o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2p = (2 x 120) / (280 + 40) = 
2p =  36o 52’

atau

max =  18o 26’

e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr
1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa.
2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa.
Sedangkan
menurut
persamaan
(1.11) akan didapat
280  40
1
2
2
1 


2
2
280  40 1


2
2
2

 280 40

 120 320MPa

 280 40 2  1202  80 MPa

Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang

 xx   yy
Pada persamaan (1.7a), bila suku
2
kiri

dipindahkan ke ruas

dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
2

2
2
 xy 
 xy 
 
  xx   yy 
 xx  yy 
2
2
 sin 2   xx   yy 
 sin 2 cos 2
  x' x' 
 
 cos 2  
2 
2 
2
2











………
(1.16a)
2
2
2
 x ' y ' 
 xy 
x ' y '



 xx  yy (1.7c),
Sedangkan
pada
bila
dikuadratkan
akan
2

 
 cos2 2persamaan


2



sin
2

cos
2




sin
xx
yy
didapat



2 
2

 2 
 2 
 





………

2

 

2

2


  x' y' 
  xx   yy 
  x' y' 
 xx  yy 




  x' x'







2 
2 

 2 

 2 

2

(1.17)



Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang
2
  xx   yy 
,0

2



yang pusatnya di

2

 xy 
  xx   yy 





dengan jari-jari  2   2 

2

Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.9 di bawah ini,
yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran
Mohr untuk tegangan dengan menggantixx , yy dan xy
berturut-turut menjadi xx , yy dan xy / 2. Penerapannya, lihat
1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan
Contoh 1.2 pada halaman 21.
 
Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya,
hubungan antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan
isotropis pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan
oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk
pembebanan di luar batas proporsional.
Hukum Hooke
diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi

 

Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka
hukum Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi,
hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal
dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut:
1
  xx    yy    zz
E
1
 yy    yy    xx    zz
E
1


 zz
 zz    xx    yy 
E
 xx 

(1.18)

Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau
modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan
pada deformasi geser untuk
G
adalah modulus geser ,
hubungannya
xy  xy adalah:
 1    xy
 xy 





2
2G
E
xz  xz  1    xz



 xz
2
2G
E
yz  yz  1    yz


 yz 
2
2G
E

(1.19)

 

Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila
regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui,
digunakan persamaan-persamaan:
 xx 

E
 1    xx    yy   zz
 1   1  2 

 yy 

E
 1    yy    xx   zz 

1


1

2

 


 zz 

E
 1    zz    xx   yy 
 1   1  2 






(1.20)



Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke
E
E
adalah:
xy  G xy
 xy 
 xy 
1 
2 1  
 xz 

E
E
xz  G xz
 xz 
1 
2 1  

 yz 

E
E
yz  G yz
 yz 
1 
2 1  

(1.21)

 

Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga
diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi,
yakni dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di
luar dimensi yang dimaksud.

Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan
dengan sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan
angka
perbanding-an Poisson, n = 0,29. Modulus geser
ditentukan dengan,
G = E / 2(1 + n).
Diminta:
a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi.
b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang
terjadi.
c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan
regangan geser maksimum, menurut
lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dari
persamaan (1.10).
d. Besar regangan geser maksimum menurut
lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan
rumus (1.11) dan
hasil yang didapat pada b. di

e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk
mendapatkan regangan geser bernilai nol,
menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil ini
dengan persamaan
(1.8).
f.
Besar regangan-regangan utama menurut
lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan
persamaanpersamaan (1.9) dan dari hasil
pada pada d. di atas.
Penyelesaian:
a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:
 xx
 yy

1
 280 0,29.40  0,29.0  0,001458  1458
200000
1

  40  0,29.280  0,29.0   0,000606   606
200000



 xy 

xy
2



 10,29  .120
200000

 0,000774  774 

atau

xy  1548

b. Lingkaran Mohr:
1) Buat sumbu eij horisontal.
2) Regangan normal terkecil, eyy = -606me, sehingga
merupakan titik di dekat batas kiri.

3)

 

Regangan normal terbesar
exx = 1458me,
sehingga
merupakan titik di dekat batas kanan.
4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian
ditentukan titik
eyy = -606me di sebelah kiri, exx =
1458me di sebelah
kanan dan berjarak (exx +
eyy) dari titik eyy di sebelah
kiri.
kanan

5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah
titik eyy .

exx

6) Dengan membagi dua sama panjang jarak e yy ke
akan didapat titik P.

=

7) Menentukan letak titik A pada koordinat (exx , exy )
(1458,774).
8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari
sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis.

9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang
memotong
lingkaran Mohr di B, akan di dapat
kedudukan titik (eyy ,
exy ) = (-606,-774).

 

c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran
Mohr,
dengan mengukur, didapat
 

max = 0,5 x 2max = 0,5 x (-53o) = 26o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2max =  (1458 + 606) / (2 x 774) = 43

2max =  53o 08’

atau

max =  26o 34’

 
d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr
xy-max = 5,2 x 250 = 1300.


1 persamaan
max
Sedangkan
(1.11)
2 akan
didapat
  xy menurut


1290
(1458  606)2 1548
max
2

2

e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran
Mohr,
dengan mengukur, didapat
p = 0,5 x 2p = 0,5 x 37o = 18o 30’.
Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat
tan 2p = (2 x 120) / (280 + 40) = 

f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran
Mohr
1 = 6,9 x 250 = 1725.
2 = -3,5 x 250 = -875
1458  606
1
Sedangkan
menurut
(1.11)
akan didapat

606 2 15482  1716

1 
 1458persamaan
2
2
1458  606 1

2 
2
2

 1458606 2 15482

  864 