Pelabelan Selimut H-Ajaib Super Pada Kelas Graf Ilalang dan Hasil Koronasi Dua Graf BAB 0
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF
ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF
oleh
RISALA ULFATIMAH
M0112074
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
commit to user
2016
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Risala Ulfatimah, 2016. PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER
PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Suatu graf sederhana G = (V, E) dikatakan memuat selimut H jika setiap
edge E(G) termuat dalam suatu subgraf dari G yang isomorfik terhadap H. Selanjutnya graf G yang memuat selimut-H dikatakan H-ajaib jika memuat fungsi
bijektif
f : V (G) ∪ E(G) → 1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|
sehingga untuk setiap subgraf H ′ = (V ′ , E ′ ) dari G yang isomorfik terhadap H
berlaku
f (H ′ ) =
f (e) = s(f )
f (v) +
e∈E ′
v∈V ′
dengan m(f ) adalah jumlahan ajaib. Selanjutnya, graf G disebut H-ajaib super
jika f (V ) = {1, 2, . . . , |V (G)|}.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan pelabelan selimut double star
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ), pelabelan selimut mothS2,2 -ajaib super pada graf ilalang S(m
ajaib super pada korona graf Wn ⊙ K m , dan pelabelan selimut ikan-ajaib super
pada graf korona Lm ⊙ Pn .
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ) adalah
Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf ilalang S(m
S2,2 -ajaib super untuk m1 , m2 , . . . , mn ≥ 2, graf Wn ⊙ K m adalah moth-ajaib
super untuk n bilangan prima n ≥ 5 dan n genap n ≥ 4, dan graf Lm ⊙ Pn adalah
ikan-ajaib super untuk m, n ≥ 2.
Kata Kunci: pelabelan selimut S2,2 -ajaib super, pelabelan selimut moth-ajaib
super, pelabelan selimut ikan-ajaib super, ilalang, Wn ⊙ K m , Lm ⊙ Pn .
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Risala Ulfatimah, 2016. H−SUPERMAGIC COVERINGS ON SHRUBS
GRAPH AND ON THE CORONA OF TWO GRAPHS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
A simple graph G admits an H-covering if every edge of E(G) belongs to
a subgraph of G isomorphic to H. We said the graph G = (V, E) that admits
H-covering to be H-magic if there exists a bijection function
f : V (G) ∪ E(G) → 1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|
such that for each subgraph H ′ = (V ′ , E ′ ) of G isomorphic to H,
f (e) = s(f )
f (v) +
f (H ′ ) =
e∈E ′
v∈V ′
where m(f ) is a magic sum. Furthermore, if f (V ) = 1, 2, . . . , |V (G)| then G is
called H-supermagic.
In this research we investigate S2,2 -supermagic covering on shrub graph
ˇ
S(m1 , m2 , . . . , mn ), moth-supermagic covering on Wn ⊙ K m for prime n ≥ 5 and
for even n ≥ 4, and fish-supermagic covering on Lm ⊙ Pn for m, n ≥ 2. The
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ) for mi ≥ 2, i ∈ [1, n] is S2,2 results show that a shrub graph S(m
supermagic, a Wn ⊙ K m for prime n ≥ 5 and for even n ≥ 4 is moth-supermagic,
and Lm ⊙ Pn for m, n ≥ 2 is fish-supermagic.
Keywords: S2,2 -supermagic covering, moth-supermagic covering, fish-supermagic
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ), Wn ⊙ K m , Lm ⊙ Pn .
covering, shrub graph S(m
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
orang tua dan saudara-saudaraku.
Terimakasih untuk seluruh do’a, cinta, dan pengorbanan
yang selalu diberikan untukku.
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wata’ala atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad shalallahu ’alaihi wasallam.
Skripsi ini adalah tugas akhir yang disusun sebagai salah satu persyaratan
untuk menyelesaikan dan memperoleh gelar sarjana (S1) di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengerahuan Alam, Universitas Sebelas
Maret. Skripsi ini terdiri dari lima bab. Bab I berisi pendahuluan meliputi latar
belakang, perumusan masalah, tujuan, dan manfaat. Kemudian pada Bab II diulas tinjauan pustaka mengenai penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari
penelitian, teori-teori penunjang, dan kerangka pemikiran. Bab III membahas
mengenai metode penelitian, yaitu langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian. Selanjutnya, hasil dari penelitian yang sudah dilakukan dijelaskan pada
Bab IV, serta kesimpulan dan saran diberikan pada Bab V.
Penulis menyadari bahwa keberhasilan penelitian dan penulisan skripsi ini
banyak dibantu oleh berbagai pihak. Oleh karena itu, ucapan terima kasih penulis
sampaikan kepada Dra. Mania Roswitha, M.Si. dan Prof. Drs. Tri Atmojo
Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II yang telah
memberi bimbingan dalam penelitian dan penulisan skripsi ini. Ucapan terima
kasih juga disampaikan kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan,
masukan dan dukungan kepada penulis.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
commit to user
Penulis
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori-Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Kelas-kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
commit .to. user
Fungsi dan Isomorfisma
. . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.5
Pelabelan Selimut H-ajaib . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
vii
perpustakaan.uns.ac.id
2.3
digilib.uns.ac.id
2.2.6
Teknik k-Seimbang Multihimpunan . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.7
Teknik Multihimpunan (k, δ)-Anti Seimbang . . . . . . . .
13
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
III METODE PENELITIAN
15
IV PEMBAHASAN
17
4.1
Lema-lema Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Pelabelan selimut S2,2 -ajaib super pada graf ilalang . . . . . . . .
18
4.3
Pelabelan Selimut Moth-ajaib Super pada Wn ⊙ K m . . . . . . . .
20
4.4
Pelabelan Selimut ikan-ajaib Super pada Lm ⊙ Pn . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
31
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
DAFTAR PUSTAKA
33
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
4.1
ˇ 2, 4, 2) . . . . . . . . . . . . .
Partisi Himpunan X pada graf S(3,
20
4.2
Partisi Multihimpunan V ⊎ X pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . .
29
4.3
Partisi Multihimpunan V ⊎ X pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . .
29
4.4
Partisi Himpunan W pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . . . . . . .
30
4.5
Partisi Himpunan W pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . . . . . . .
30
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
(a) Graf G1 dan G2 (b) G1 ∪ G2 (c) G1 + G2 (d) G1 ⊙ G2 (e) G1 × G2
7
2.3
Graf S5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
ˇ 2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf ilalang S(2,
8
2.5
(a) Graf roda Wn (b) Wn ⊙ K m . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
(a) Graf tangga Lm (b) Lm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
Graf lengkap K3 , K4 , dan K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8
Graf double star S2,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.9
(a) Graf ikan (b) Graf moth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.10 Fungsi f : A → B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.11 Graf G1 dan G2 adalah isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.1
ˇ 2, 4, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S2,2 -ajaib super pada S(3,
19
4.2
moth-ajaib super pada W5 ⊙ K 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
moth-ajaib super pada W6 ⊙ K 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.4
Graf ikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.5
Subgraf-subgraf F2 − {v0 } pada Lm ⊙ P2 . . . . . . . . . . . . . .
25
4.6
Ikan-ajaib super pada L3 ⊙ P4
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
commit to user
x
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI
G
:
graf G
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|V (G)|
:
banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
:
banyaknya edge dari graf G (size)
G(V, E) :
graf G dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E
G∪H
:
graf gabungan G dan H
G+H
:
graf join G dan H
G×H
:
graf hasilkali Cartesius G dan H
G∼
=H
:
graf G isomorfik dengan graf H
G⊎H
:
operasi gabungan multihimpunan G dengan H
∈
:
anggota
φ
:
fungsi isomorfisma
f (e)
:
pelabelan f pada edge e
f (H)
:
pelabelan f yang menyatakan jumlah label pada vertex
dan edge pada graf H
f (v)
k
:
pelabelan f pada vertex v
:
operasi gabungan multihimpunan X1 ⊎ X2 ⊎ . . . ⊎ Xk
|X|
:
banyaknya elemen pada himpunan X
[a, b]
:
himpunan bilangan bulat positif dari a sampai dengan b
✷
:
akhir pembuktian
Pn
:
lintasan dengan banyak vertex n
Sn
:
graf star atau bintang yang memiliki n + 1 vertex
Km
:
graf complete atau lengkap yang memiliki m vertex
Km
:
Wn
:
graf komplemen dari graf Km
commit to user
graf roda yang memiliki n + 1 vertex
Lm
:
graf tangga yang merupakan hasil kali cartesian P2 × Pm
i=1
Xi
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Fn
:
graf kipas yang memiliki n + 1 vertex
Cn
:
graf cycle yang memiliki n vertex
Wn ⊙ K m
:
hasil kali korona dari graf Wn dengan K m
Lm ⊙ Pn
:
hasil kali korona dari graf Lm dengan Pn
ˇ 1 , m 2 , . . . , mn ) :
S(m
graf ilalang dengan m1 + m2 + . . . + mn + 1 vertex
Fn − {v0 }
graf kipas tanpa vertex pusat
:
commit to user
xii
digilib.uns.ac.id
PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA KELAS GRAF
ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF
oleh
RISALA ULFATIMAH
M0112074
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
commit to user
2016
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Risala Ulfatimah, 2016. PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER
PADA KELAS GRAF ILALANG DAN HASIL KORONASI DUA GRAF.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Suatu graf sederhana G = (V, E) dikatakan memuat selimut H jika setiap
edge E(G) termuat dalam suatu subgraf dari G yang isomorfik terhadap H. Selanjutnya graf G yang memuat selimut-H dikatakan H-ajaib jika memuat fungsi
bijektif
f : V (G) ∪ E(G) → 1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|
sehingga untuk setiap subgraf H ′ = (V ′ , E ′ ) dari G yang isomorfik terhadap H
berlaku
f (H ′ ) =
f (e) = s(f )
f (v) +
e∈E ′
v∈V ′
dengan m(f ) adalah jumlahan ajaib. Selanjutnya, graf G disebut H-ajaib super
jika f (V ) = {1, 2, . . . , |V (G)|}.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan pelabelan selimut double star
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ), pelabelan selimut mothS2,2 -ajaib super pada graf ilalang S(m
ajaib super pada korona graf Wn ⊙ K m , dan pelabelan selimut ikan-ajaib super
pada graf korona Lm ⊙ Pn .
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ) adalah
Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf ilalang S(m
S2,2 -ajaib super untuk m1 , m2 , . . . , mn ≥ 2, graf Wn ⊙ K m adalah moth-ajaib
super untuk n bilangan prima n ≥ 5 dan n genap n ≥ 4, dan graf Lm ⊙ Pn adalah
ikan-ajaib super untuk m, n ≥ 2.
Kata Kunci: pelabelan selimut S2,2 -ajaib super, pelabelan selimut moth-ajaib
super, pelabelan selimut ikan-ajaib super, ilalang, Wn ⊙ K m , Lm ⊙ Pn .
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Risala Ulfatimah, 2016. H−SUPERMAGIC COVERINGS ON SHRUBS
GRAPH AND ON THE CORONA OF TWO GRAPHS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
A simple graph G admits an H-covering if every edge of E(G) belongs to
a subgraph of G isomorphic to H. We said the graph G = (V, E) that admits
H-covering to be H-magic if there exists a bijection function
f : V (G) ∪ E(G) → 1, 2, . . . , |V (G)| + |E(G)|
such that for each subgraph H ′ = (V ′ , E ′ ) of G isomorphic to H,
f (e) = s(f )
f (v) +
f (H ′ ) =
e∈E ′
v∈V ′
where m(f ) is a magic sum. Furthermore, if f (V ) = 1, 2, . . . , |V (G)| then G is
called H-supermagic.
In this research we investigate S2,2 -supermagic covering on shrub graph
ˇ
S(m1 , m2 , . . . , mn ), moth-supermagic covering on Wn ⊙ K m for prime n ≥ 5 and
for even n ≥ 4, and fish-supermagic covering on Lm ⊙ Pn for m, n ≥ 2. The
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ) for mi ≥ 2, i ∈ [1, n] is S2,2 results show that a shrub graph S(m
supermagic, a Wn ⊙ K m for prime n ≥ 5 and for even n ≥ 4 is moth-supermagic,
and Lm ⊙ Pn for m, n ≥ 2 is fish-supermagic.
Keywords: S2,2 -supermagic covering, moth-supermagic covering, fish-supermagic
ˇ 1 , m2 , . . . , mn ), Wn ⊙ K m , Lm ⊙ Pn .
covering, shrub graph S(m
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
orang tua dan saudara-saudaraku.
Terimakasih untuk seluruh do’a, cinta, dan pengorbanan
yang selalu diberikan untukku.
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah subhanahu wata’ala atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Sholawat serta salam selalu dihaturkan kepada Nabi Muhammad shalallahu ’alaihi wasallam.
Skripsi ini adalah tugas akhir yang disusun sebagai salah satu persyaratan
untuk menyelesaikan dan memperoleh gelar sarjana (S1) di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengerahuan Alam, Universitas Sebelas
Maret. Skripsi ini terdiri dari lima bab. Bab I berisi pendahuluan meliputi latar
belakang, perumusan masalah, tujuan, dan manfaat. Kemudian pada Bab II diulas tinjauan pustaka mengenai penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari
penelitian, teori-teori penunjang, dan kerangka pemikiran. Bab III membahas
mengenai metode penelitian, yaitu langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian. Selanjutnya, hasil dari penelitian yang sudah dilakukan dijelaskan pada
Bab IV, serta kesimpulan dan saran diberikan pada Bab V.
Penulis menyadari bahwa keberhasilan penelitian dan penulisan skripsi ini
banyak dibantu oleh berbagai pihak. Oleh karena itu, ucapan terima kasih penulis
sampaikan kepada Dra. Mania Roswitha, M.Si. dan Prof. Drs. Tri Atmojo
Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II yang telah
memberi bimbingan dalam penelitian dan penulisan skripsi ini. Ucapan terima
kasih juga disampaikan kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan,
masukan dan dukungan kepada penulis.
Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2016
commit to user
Penulis
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ABSTRACT
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori-Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Kelas-kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
commit .to. user
Fungsi dan Isomorfisma
. . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.5
Pelabelan Selimut H-ajaib . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
vii
perpustakaan.uns.ac.id
2.3
digilib.uns.ac.id
2.2.6
Teknik k-Seimbang Multihimpunan . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.7
Teknik Multihimpunan (k, δ)-Anti Seimbang . . . . . . . .
13
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
III METODE PENELITIAN
15
IV PEMBAHASAN
17
4.1
Lema-lema Pendukung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Pelabelan selimut S2,2 -ajaib super pada graf ilalang . . . . . . . .
18
4.3
Pelabelan Selimut Moth-ajaib Super pada Wn ⊙ K m . . . . . . . .
20
4.4
Pelabelan Selimut ikan-ajaib Super pada Lm ⊙ Pn . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
31
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
DAFTAR PUSTAKA
33
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
4.1
ˇ 2, 4, 2) . . . . . . . . . . . . .
Partisi Himpunan X pada graf S(3,
20
4.2
Partisi Multihimpunan V ⊎ X pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . .
29
4.3
Partisi Multihimpunan V ⊎ X pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . .
29
4.4
Partisi Himpunan W pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . . . . . . .
30
4.5
Partisi Himpunan W pada graf V (L3 ⊙ P4 ) . . . . . . . . . . . . .
30
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
(a) Graf G1 dan G2 (b) G1 ∪ G2 (c) G1 + G2 (d) G1 ⊙ G2 (e) G1 × G2
7
2.3
Graf S5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
ˇ 2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graf ilalang S(2,
8
2.5
(a) Graf roda Wn (b) Wn ⊙ K m . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
(a) Graf tangga Lm (b) Lm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
Graf lengkap K3 , K4 , dan K5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8
Graf double star S2,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.9
(a) Graf ikan (b) Graf moth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.10 Fungsi f : A → B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.11 Graf G1 dan G2 adalah isomorfik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.1
ˇ 2, 4, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S2,2 -ajaib super pada S(3,
19
4.2
moth-ajaib super pada W5 ⊙ K 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
moth-ajaib super pada W6 ⊙ K 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.4
Graf ikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.5
Subgraf-subgraf F2 − {v0 } pada Lm ⊙ P2 . . . . . . . . . . . . . .
25
4.6
Ikan-ajaib super pada L3 ⊙ P4
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
commit to user
x
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI
G
:
graf G
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|V (G)|
:
banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
:
banyaknya edge dari graf G (size)
G(V, E) :
graf G dengan himpunan vertex V dan himpunan edge E
G∪H
:
graf gabungan G dan H
G+H
:
graf join G dan H
G×H
:
graf hasilkali Cartesius G dan H
G∼
=H
:
graf G isomorfik dengan graf H
G⊎H
:
operasi gabungan multihimpunan G dengan H
∈
:
anggota
φ
:
fungsi isomorfisma
f (e)
:
pelabelan f pada edge e
f (H)
:
pelabelan f yang menyatakan jumlah label pada vertex
dan edge pada graf H
f (v)
k
:
pelabelan f pada vertex v
:
operasi gabungan multihimpunan X1 ⊎ X2 ⊎ . . . ⊎ Xk
|X|
:
banyaknya elemen pada himpunan X
[a, b]
:
himpunan bilangan bulat positif dari a sampai dengan b
✷
:
akhir pembuktian
Pn
:
lintasan dengan banyak vertex n
Sn
:
graf star atau bintang yang memiliki n + 1 vertex
Km
:
graf complete atau lengkap yang memiliki m vertex
Km
:
Wn
:
graf komplemen dari graf Km
commit to user
graf roda yang memiliki n + 1 vertex
Lm
:
graf tangga yang merupakan hasil kali cartesian P2 × Pm
i=1
Xi
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Fn
:
graf kipas yang memiliki n + 1 vertex
Cn
:
graf cycle yang memiliki n vertex
Wn ⊙ K m
:
hasil kali korona dari graf Wn dengan K m
Lm ⊙ Pn
:
hasil kali korona dari graf Lm dengan Pn
ˇ 1 , m 2 , . . . , mn ) :
S(m
graf ilalang dengan m1 + m2 + . . . + mn + 1 vertex
Fn − {v0 }
graf kipas tanpa vertex pusat
:
commit to user
xii