Penyisipan Sebarang Modul ke dalam Suatu Modul Bersih.
SNHPA.
JURUSAN MATEMAIIKA
S;<
i6oo
.. tvLSi
Penyisipan Sebarang Modul ke dalam Sua
Kartika Sari
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(s
ari _kaartika@Jtaho
o.
co.i0
Indah Emilia Wijayanti
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gaj ah Mada (ind_wU qtanti@)tahoo. com)
Abstract Given any ring R with unity. A ring R is is called clean if each element of R is
the sum of a unit and an idempotent while an R-modul M is called clean if its
endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is
clean, in this study, it is shown that any module can be embedded into a clean module.
Keywords: clean ring, clean module, embedded.
Abstrak:Diberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila
setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu
elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu R-modul M dikatakan bersih apabila
ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu
merupakan modul bersih, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa sebarang modul
dapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih.
Kata kunci: ring bersih, modul bersih, penyisipan.
ini, .irrg
Pada keseluruhan tulisan
ring
digunakan merupakan
yang
dengan elemen
satuan, yang dimaksud modul adalah modul
U(S)
Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou
(2004) memberikan definisi bahwa suatu ring
-R
dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari
grup yang elemen-elemennya merupakan elemen
ring .R merupakan elemen bersih, sedangkan
suatu elemen dalam suatu ring R dikatakan
unit dari suatu ring .S.
bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil
kanan, sedangkan notasi
diberikan himpunan
g:A-+M
A'c.
A
dimaksudkan
Selanjutnya, jika
dan
M,
suatu fungsi
dan suatu himpunan tak kosong
A, maka notasi
pembatasan fungsi
g
glT,dimaksudkan
pada himpunan A'yaitu
fungsi yang memetakan himpunan
himpunan g(A') e M
.
A'
Lebih lanjut
ke
lagi,
penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu
elemen unit dari ring
R. Camillo, dkk. (2006)
memberikan definisi bahwa suatu modul atas
ring R dikatakan bersih apabila
ring
endomorfi.sma dari modul tersebut merupakan
ring bersih.
Diberikan ring R, R-modul
(Cl)
M
dan aksioma-
himpunan semua bilangan bulat, bilangan
aksioma:
rasional dan bilangan bulat modulo n
Mmerupakan suku jumlah langsung dari M, (C2)
berturut-turut dinotasikan dengan Z,
Q
secara
danZn.
Setiap submodul komplemen dari
Setiap submodul darl.
M yang isomorfis
dengan
suatu suku jumlah langsung dari
M
merupakan suku jumlah langsung dari
Jika
A
dan
M,
juga
ring faktor dan elemen-elemen idempoten dari
(C3)
ring faktornya.
B keduanya merupakan suku jumlah
Lebih lanjut lagi, Lam (1998) memberikan
= {0} maka A@ B
contoh suatu jenis ring yang memenuhi aksioma
juga merupakan suku jumlah langsung dari M.
(C2) dan definisi ring kontinu kanan. Selain itu,
langsung dari
M
Suatu modul
dan
M
AaB
dikatakan kontinu apabila
memenuhi aksioma-aksioma (C1) dan (C2),
sedangkan suatu modul
aksioma-aksioma
M
yang memenuhi
(C1) dan (C3)
dinamakan
Lam (1998) juga memberikan sifat
elemen
idempoten dalam ring endomorfisma dari suatu
modul quasi-kontint, sedangkan beberapa sifat
.itg
endomorfisma dari modul kontinu dan
modul quasi-kontiru (Muhammed dan Muller,
quasi-kontinu lairurya diberikan oleh Camillo,
1990). Camillo, dkk, (2006)
dkk. (2006).
menunjukkan
ini diperoleh bahwa
bahwa setiap modul kontinu merupakan modul
Sebagai hasil dari penelitian
bersih. Lam (1998) menunjukkan bahwa setiap
ing Z,
modul quasi injektif merupakan modul kontinu.
modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul
Di lain pihak,
bersih sebagai submodul (Sari, 2012).
terdapat kenyataan bahwa setiap
merupakan ring bersih dan sebarang
modul injektif merupakan modul quasi-injektif
dan sebarang modul dapat disisipkan ke dalam
suatu modul
injektif. Berdasarkan sifat ini, dapat
MODTIL INJEKTIFDAN MODT]L KONTINU
Terlebih dahulu, berikut
ini dibahas
mengenai
ditunjukkan bahwa sebarang modul dapat
modul injektif.
disisipkan ke dalam suatu modul bersih sebagai
Definisi 2.1(Hazewinkel, dkk., 2004\ Diberiknn
submodul.
ring R dan R-modul
Penelitian
ini
merupakan studi literatur.
M.
B
A
dan
diberikan sebagai berikut.
setiap homomorfisma
Definisi dari ring dan elemen bersih diperoleh
homomorfisma
Zhou (2004),
sedangkan
dan
definisi dan sifat
modul injektif diberikan oleh Hazewinkel, dkk.
dikatakan
1ln =
ho
dengan
submoduldari
B dan
f :A-+M terdapat
g: B -+ M dengan stfat
f .Dengan kata lain
mo mo
untuk
terdapat
rfi s rna g y an g memp er lua s f.
Contoh 2.2 (a) Modul nol merupakan modul
(2004).
Selanjutnya, definisi dan beberapa sifat modul
kontinu dan quasi-kontinu, termasuk beberapa
sifat ring
M
modul injeWif apabila untuk setiap R-modul A
Sebagai tinjauan pustaka dari penelitian ini
dari Nicholson (1977) dalam Nicholson
Modul
endomorfismanyadiperoleh dari
Mohammed dan Muller (1990).
Sehubungan dengan konsep ring bersih, Han
dan Nicholson (2001) memberikan suatu syarat
cukup suatu ring bersih dalam kaitannya dengan
injektif. (b) Setiap ruang vektor atas lapangan F
merupakan modul inj ektif.
Padakenyataannya,
tidak mudah menunjukkan
suatu modul merupakan modul injektif dengan
menggunakan
Definisi 2.1. Berikut diberikan
syarat perlu dan syarat cukup suatu modul
merupakan modul injektif, yang sering dikenal
sebagai Kriteria Baer.
Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersih3
r= f (2.t)= f (2)=(s"h)(2)
= g(2) = s(l)z
Teorema 2.3(Kriteria Baer) (Hazewinkel, dkk.,
2004) Suatu R-modul M injektif jika dan hanya
jika
untuk setiap ideal kanan
homomorfisma
d: I -> M
ldi R, setiap
dapat diperluas
menj adi homomorfisme B : R->M.
Kontradiksi dengan g
:Z + Z .ladi seharusnya,
homomorfismaf tidak dapat diperluas. Dengan
kata lain, Z-modul
Dengan menggunakan Kriteria Baer, berikut
Zblkanmodul injektif.
Diperhatikan bahwa Z-modul Z yang bukan
diberikan contoh modul injektif lainnya.
modul injektif merupakan submodul
Contoh2.4
modul
dari ring
nZ, ne Z. Oleh
Diperhatikan bahwa ideal-ideal
bilangan bulat
Z
berbentuk
karena itu, terdapatpemetaan inklusi
h: nZ ) Z .Dibeikan sebarang homomorfisma
f : nZ -> Q , maka terdapat q e @" yang
Lebih lanjut
memenuhi f(r)=q.
didefinisikan suatu pengaitan
g:Z
lagi,
dari
Z-
A yang merupakan modul injektif.
Dengan kata lain, Z-modul
dapat disisipkan ke
sebagai
dalamZ-modul Q
Sehubungan dengan
Z
submodul.
hal tersebut, berikut ini
diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa
sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu
modul injektif.
--> @
Teorema 2.6 (Hazewinkel dkk., 2004) Setiap
dengan
g(z): zL,
maka
g terdefinisi
dengan
n
baik dan merupakan suatu homomorfisma.
Kemudian, untuk setiap nz e
nZ,
berlaku
injektif.
Selain modul injektif, juga dikenal adanya modul
quasi-injektif, yang merupakan generalisasi dari
f(nz)=f(n)z=q(l)z
(n\ (
=ql!lr=4 ns=g(l)nz
\n,/ n
modul injektif, seperti diberikan dalam definisi
berikut ini.
= g(nz) = (g " h)(nz)
Dari sini diperoleh, g memperluas
modul merupakan submodul dari suatu modul
/.
Definisi 2.7(Lam,1998) Dibeikan R-modul M.
Dengan
kata lainZ-modul Q injektif.
Modul
M dinamakan
quasi-injektif apabila
untuk setiap submodul A dari M dan untuk setiap
homomorfismaf
Selanjutnya, diberikan contoh Z-modul yang
fisma
tidak injektif.
:A-+ M terdapat
g:M -+M
homomor-
sehinggaberlakugln=f
.
Contoh 2.5
Salah satu ideal dari
ring Z adalah
22.
Berdasarkan Definisi 2.7, setiap modul injektif
Homomorfisma/: 22 -+ Z didefinisikan sebagai
merupakan modul quasi-injektif. Contoh lain
. Andaikan
yang
g:Z+Z
dari modul quasi-injel xr = xz.
Dengandemikian
.rut., monomorfisma. Oleh karena itu
diperoleh X
=
f (X).
Dari sini
juga
diperoleh W a JX =
{0}. Oleh karena itu
berlaku W @ JX - ll[ . Lebih lanjut lagi,
misalkan A
:
Ker (e) dan B = Im(e). Karena
endomorfisma
/
suatu elemen bersih di
.f(y) = z e E . Jadi f(E\ s E .
Endp(ll), berdasarkan Teorema 3.1, terdapat
Berikutnya, berdasarkan Lemma 2.12,
R-modul W dapat didekomposisikan menjadi
karena Z'suku jurnlah langsung
W = A@.8= C@
M
kontinu, maka
E kontinu.
dai M dan
Karena Z'
kontinu, maka berdasarkan Lemma
3.3,
terdapat ("')' : e di Endx(Q dengan sifat
e'l* = e dan fl, -e'unit di Endp(E).
Dengan demikian
(W,e) < (E,e').
(E,e')ee,
Kontradiksi
dan
dengan
(W,e)elemen maksimal. Jadi seharusnya
ll
terlnttup, yang berarti W
= E. Dari sini,
diperoleh W suatu suku jumlah langsung dari
M. Sekarang dilanjutkan ke langkah
Langkah 2
Akan ditunjukkan
W: M.
2.
,
D serta
memenuhi
(r-"f)(B)=D
JA=C,
f:A->C,l-_f:B-+D
dan
keduanya
merupakan isomorfisma. Dengan demikian,
diperoleh/ : A@ X -+ C@
/X
suatu
isomorfisma, sehingga
M=W@X=(C@.fX)@D
Selanjutnya, didefinisikan homomorfi
proyeksi
darlr
Ker (e*)
s
ma e*
MpadaB dengan
:
A@
X
.
Berdasarkan Teorema 3.1, endomorfisma
merupakan elemen bersih
di
/
Endn(M.
Dengan demikian diperoleh (M ,e*) e
e
,
Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersihg
;
dan (W,e) < (M,e*)
karena
itu
seharusnya
. Kontradiksi. Oleh
X: 0 , dan akibatnya
b. Diambil
sebarang
il
berdasarkan bagian
maksimal dari
f :
n
injektif merupakan modul kontinu, maka setiap
modul quasi-iryektif merupakan modul bersih.
W: M.A
l
Lebih lanjut lagi, karena setiap modul quasi-
1-u
e
a
Karena setiap modul injektif merupakan modul
(Wo,eo) e
e
1,
quasi-injektif, maka setiap modul injektif
terdapat elemen
merupakan modul bersih. Oleh karena itu
,, yaitu (M,e)eerdan
dengan z elemen unit di Endn(M.
Oleh karena itu modul
M bersih.
Berdasarkan Teorema 3.5, berikut
berdasarkan Teorema
3.6, diperoleh akibat-
akibat langsung berikut ini.
Akibat 3.7(Sari, 2012) Ring 2,, merupakan ring
n
ini diberikan
suatu sifat dari modul kontinu lainnya.
bersih.
Bukti:
Teorema 3.6(Camillo dkk., 2004) Setiap modul
kontinu merupakan modul bersih
Diperhatikan bahwa modul Zn atas dirinya
sendiri merupakan modul injektif yang juga
merupakan modul kontinu. Oleh karena itu,
Bukti:
3.6, Zn-modul Z,
bersih. Akibatnya rirrg
berdasarkan Teorema
Diberikan rR-modul
dan A =
{f
M
kontinu, S =
e SlKer(f) e"
M}.
Teorema 2.13, diperoleh ring
Endn(M)
Berdasarkan
faktor
f
= SA
merupakan ring reguler dan Amerupakanradikal
Jacobson
daris.
Oleh karena itu, modul
T rnon
singulardan berdasarkan Teorema 2.15, T r
kontinu.
T
Berdasarkan Teorema 3.5 diperoleh
Endr(T)merupakan ring
=
M
Selanjutnya, karena modul
mengimplikasikan modul
M
bersih.
kontinu
quasi-kontinu,
makaberdasarkan Teorema 2.14 berlaku elemen-
elemen idempoten dari ring faktor
T
merupakan modul
Endr,(Z,)
Di
lain
piha( berlaku Zn=Endr,(Z,). Dari
sini
merupakan ring bersih.
diperoleh ring Z^merupakan ring bersih. a
Akibat 3.8(Sari, 2012) Setiap modul dapat
disisipkan sebagai submodul ke dalam suatu
modul bersih
.
Bukti:
Diberikan sebarang R-modul
Teorema 2.3,
M,
berdasarkan
M dapat disisipkan ke dalam suatu
dapat
modul injektif sebagai submodul. Karena setiap
diangkat menjadi elemen-elemen idempoten dari
modul idektif merupakan modul kontinu yari!
ring S.
merupakan modul bersih, maka Msubmodul dari
Oleh karena itu,
berdasarkan
Teorema 2.16, ingSmerupakan ring bersih. Jadi
R-modul
M
merupakan modul bersih. n
suatu modul bersih.n
Hal ini
bersesuaian dengan fenomena bahwa
Endr(Z) = Z yang bukan merupakan ring bersih
termuat dalamEnd2Q
= Q yang
merupakan ring
bersih. Dengan kata lain modul Z yang bukan
modul bersih termuat dalam Z-modul
merupakan modul bersih.
Q
yang
SNHPA - XXI
KESIMPI]LAN
JURUSAN
ir,tlre^lAfXa
Berdasarkan sifat
merupakan submodul dari suatu
dan setiap modul kontinu merupakan modul
bersih, diperoleh bahwa sebarang modul dapat
disisipkan ke dalam suatu modul bersih.
DAFTARRUJT]KAN
Camillo, V. P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W. K., dan Zhou,Y. 2006.ContinousModules are
CleansJ Algebra 304, halaman 94-lll.
Han, J. dan Nicholson,, W. K. 2001. Extensions of Clean Rings. Communicationsion Algebra, 29(6),
halaman 2589
-2595.
Hazewinkel, M., Gubared, N., dan Kirichenko, V. Y.Z\\4Algebras, Rings, and Modules. Kluwer
Academic Publishers, New York.
Lam, T. Y. l999.Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin,
New York: Springer-Verlag.
Mohamed, Saad H dan Muller, Bruno J.l99}.Continous and Discrete Modules, CambridgeUniversity
Press, New York.
W dan Zhou, Yiqiang, 2004.Clean Rings: A Stxvey.Advanced in
RingTheory,halaman 1 8 1 -1 98.
Sari, Kartika. 2012. Penyisipan Sebarang Ring ke dalam Suatu Ring Bersih. Tesis. Yogyakarta:
FMIPA Universitas Gajah Mada.
Nicholson, Keith
JURUSAN MATEMAIIKA
S;<
i6oo
.. tvLSi
Penyisipan Sebarang Modul ke dalam Sua
Kartika Sari
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana
(s
ari _kaartika@Jtaho
o.
co.i0
Indah Emilia Wijayanti
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gaj ah Mada (ind_wU qtanti@)tahoo. com)
Abstract Given any ring R with unity. A ring R is is called clean if each element of R is
the sum of a unit and an idempotent while an R-modul M is called clean if its
endomorphism ring is clean. Based on the property that every continuous modules is
clean, in this study, it is shown that any module can be embedded into a clean module.
Keywords: clean ring, clean module, embedded.
Abstrak:Diberikan ring R dengan elemen satuan. Suatu ring R dikatakan bersih apabila
setiap elemennya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlahan suatu elemen unit dan suatu
elemen idempoten dari ring R, sedangkan suatu R-modul M dikatakan bersih apabila
ring endomorfismanya merupakan ring bersih. Berdasarkan sifat bahwa modul kontinu
merupakan modul bersih, dalam penelitian ini ditunjukkan bahwa sebarang modul
dapat disisipkan ke dalam suatu modul bersih.
Kata kunci: ring bersih, modul bersih, penyisipan.
ini, .irrg
Pada keseluruhan tulisan
ring
digunakan merupakan
yang
dengan elemen
satuan, yang dimaksud modul adalah modul
U(S)
Nicholson (1977) dalam Nicholson dan Zhou
(2004) memberikan definisi bahwa suatu ring
-R
dikatakan ring bersih apabila setiap elemen dari
grup yang elemen-elemennya merupakan elemen
ring .R merupakan elemen bersih, sedangkan
suatu elemen dalam suatu ring R dikatakan
unit dari suatu ring .S.
bersih apabila dapat dinyatakan sebagai hasil
kanan, sedangkan notasi
diberikan himpunan
g:A-+M
A'c.
A
dimaksudkan
Selanjutnya, jika
dan
M,
suatu fungsi
dan suatu himpunan tak kosong
A, maka notasi
pembatasan fungsi
g
glT,dimaksudkan
pada himpunan A'yaitu
fungsi yang memetakan himpunan
himpunan g(A') e M
.
A'
Lebih lanjut
ke
lagi,
penjumlahan suatu elemen idempoten dan suatu
elemen unit dari ring
R. Camillo, dkk. (2006)
memberikan definisi bahwa suatu modul atas
ring R dikatakan bersih apabila
ring
endomorfi.sma dari modul tersebut merupakan
ring bersih.
Diberikan ring R, R-modul
(Cl)
M
dan aksioma-
himpunan semua bilangan bulat, bilangan
aksioma:
rasional dan bilangan bulat modulo n
Mmerupakan suku jumlah langsung dari M, (C2)
berturut-turut dinotasikan dengan Z,
Q
secara
danZn.
Setiap submodul komplemen dari
Setiap submodul darl.
M yang isomorfis
dengan
suatu suku jumlah langsung dari
M
merupakan suku jumlah langsung dari
Jika
A
dan
M,
juga
ring faktor dan elemen-elemen idempoten dari
(C3)
ring faktornya.
B keduanya merupakan suku jumlah
Lebih lanjut lagi, Lam (1998) memberikan
= {0} maka A@ B
contoh suatu jenis ring yang memenuhi aksioma
juga merupakan suku jumlah langsung dari M.
(C2) dan definisi ring kontinu kanan. Selain itu,
langsung dari
M
Suatu modul
dan
M
AaB
dikatakan kontinu apabila
memenuhi aksioma-aksioma (C1) dan (C2),
sedangkan suatu modul
aksioma-aksioma
M
yang memenuhi
(C1) dan (C3)
dinamakan
Lam (1998) juga memberikan sifat
elemen
idempoten dalam ring endomorfisma dari suatu
modul quasi-kontint, sedangkan beberapa sifat
.itg
endomorfisma dari modul kontinu dan
modul quasi-kontiru (Muhammed dan Muller,
quasi-kontinu lairurya diberikan oleh Camillo,
1990). Camillo, dkk, (2006)
dkk. (2006).
menunjukkan
ini diperoleh bahwa
bahwa setiap modul kontinu merupakan modul
Sebagai hasil dari penelitian
bersih. Lam (1998) menunjukkan bahwa setiap
ing Z,
modul quasi injektif merupakan modul kontinu.
modul dapat disisipkan ke dalam suatu modul
Di lain pihak,
bersih sebagai submodul (Sari, 2012).
terdapat kenyataan bahwa setiap
merupakan ring bersih dan sebarang
modul injektif merupakan modul quasi-injektif
dan sebarang modul dapat disisipkan ke dalam
suatu modul
injektif. Berdasarkan sifat ini, dapat
MODTIL INJEKTIFDAN MODT]L KONTINU
Terlebih dahulu, berikut
ini dibahas
mengenai
ditunjukkan bahwa sebarang modul dapat
modul injektif.
disisipkan ke dalam suatu modul bersih sebagai
Definisi 2.1(Hazewinkel, dkk., 2004\ Diberiknn
submodul.
ring R dan R-modul
Penelitian
ini
merupakan studi literatur.
M.
B
A
dan
diberikan sebagai berikut.
setiap homomorfisma
Definisi dari ring dan elemen bersih diperoleh
homomorfisma
Zhou (2004),
sedangkan
dan
definisi dan sifat
modul injektif diberikan oleh Hazewinkel, dkk.
dikatakan
1ln =
ho
dengan
submoduldari
B dan
f :A-+M terdapat
g: B -+ M dengan stfat
f .Dengan kata lain
mo mo
untuk
terdapat
rfi s rna g y an g memp er lua s f.
Contoh 2.2 (a) Modul nol merupakan modul
(2004).
Selanjutnya, definisi dan beberapa sifat modul
kontinu dan quasi-kontinu, termasuk beberapa
sifat ring
M
modul injeWif apabila untuk setiap R-modul A
Sebagai tinjauan pustaka dari penelitian ini
dari Nicholson (1977) dalam Nicholson
Modul
endomorfismanyadiperoleh dari
Mohammed dan Muller (1990).
Sehubungan dengan konsep ring bersih, Han
dan Nicholson (2001) memberikan suatu syarat
cukup suatu ring bersih dalam kaitannya dengan
injektif. (b) Setiap ruang vektor atas lapangan F
merupakan modul inj ektif.
Padakenyataannya,
tidak mudah menunjukkan
suatu modul merupakan modul injektif dengan
menggunakan
Definisi 2.1. Berikut diberikan
syarat perlu dan syarat cukup suatu modul
merupakan modul injektif, yang sering dikenal
sebagai Kriteria Baer.
Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersih3
r= f (2.t)= f (2)=(s"h)(2)
= g(2) = s(l)z
Teorema 2.3(Kriteria Baer) (Hazewinkel, dkk.,
2004) Suatu R-modul M injektif jika dan hanya
jika
untuk setiap ideal kanan
homomorfisma
d: I -> M
ldi R, setiap
dapat diperluas
menj adi homomorfisme B : R->M.
Kontradiksi dengan g
:Z + Z .ladi seharusnya,
homomorfismaf tidak dapat diperluas. Dengan
kata lain, Z-modul
Dengan menggunakan Kriteria Baer, berikut
Zblkanmodul injektif.
Diperhatikan bahwa Z-modul Z yang bukan
diberikan contoh modul injektif lainnya.
modul injektif merupakan submodul
Contoh2.4
modul
dari ring
nZ, ne Z. Oleh
Diperhatikan bahwa ideal-ideal
bilangan bulat
Z
berbentuk
karena itu, terdapatpemetaan inklusi
h: nZ ) Z .Dibeikan sebarang homomorfisma
f : nZ -> Q , maka terdapat q e @" yang
Lebih lanjut
memenuhi f(r)=q.
didefinisikan suatu pengaitan
g:Z
lagi,
dari
Z-
A yang merupakan modul injektif.
Dengan kata lain, Z-modul
dapat disisipkan ke
sebagai
dalamZ-modul Q
Sehubungan dengan
Z
submodul.
hal tersebut, berikut ini
diberikan suatu teorema yang menjamin bahwa
sebarang modul dapat disisipkan ke dalam suatu
modul injektif.
--> @
Teorema 2.6 (Hazewinkel dkk., 2004) Setiap
dengan
g(z): zL,
maka
g terdefinisi
dengan
n
baik dan merupakan suatu homomorfisma.
Kemudian, untuk setiap nz e
nZ,
berlaku
injektif.
Selain modul injektif, juga dikenal adanya modul
quasi-injektif, yang merupakan generalisasi dari
f(nz)=f(n)z=q(l)z
(n\ (
=ql!lr=4 ns=g(l)nz
\n,/ n
modul injektif, seperti diberikan dalam definisi
berikut ini.
= g(nz) = (g " h)(nz)
Dari sini diperoleh, g memperluas
modul merupakan submodul dari suatu modul
/.
Definisi 2.7(Lam,1998) Dibeikan R-modul M.
Dengan
kata lainZ-modul Q injektif.
Modul
M dinamakan
quasi-injektif apabila
untuk setiap submodul A dari M dan untuk setiap
homomorfismaf
Selanjutnya, diberikan contoh Z-modul yang
fisma
tidak injektif.
:A-+ M terdapat
g:M -+M
homomor-
sehinggaberlakugln=f
.
Contoh 2.5
Salah satu ideal dari
ring Z adalah
22.
Berdasarkan Definisi 2.7, setiap modul injektif
Homomorfisma/: 22 -+ Z didefinisikan sebagai
merupakan modul quasi-injektif. Contoh lain
. Andaikan
yang
g:Z+Z
dari modul quasi-injel xr = xz.
Dengandemikian
.rut., monomorfisma. Oleh karena itu
diperoleh X
=
f (X).
Dari sini
juga
diperoleh W a JX =
{0}. Oleh karena itu
berlaku W @ JX - ll[ . Lebih lanjut lagi,
misalkan A
:
Ker (e) dan B = Im(e). Karena
endomorfisma
/
suatu elemen bersih di
.f(y) = z e E . Jadi f(E\ s E .
Endp(ll), berdasarkan Teorema 3.1, terdapat
Berikutnya, berdasarkan Lemma 2.12,
R-modul W dapat didekomposisikan menjadi
karena Z'suku jurnlah langsung
W = A@.8= C@
M
kontinu, maka
E kontinu.
dai M dan
Karena Z'
kontinu, maka berdasarkan Lemma
3.3,
terdapat ("')' : e di Endx(Q dengan sifat
e'l* = e dan fl, -e'unit di Endp(E).
Dengan demikian
(W,e) < (E,e').
(E,e')ee,
Kontradiksi
dan
dengan
(W,e)elemen maksimal. Jadi seharusnya
ll
terlnttup, yang berarti W
= E. Dari sini,
diperoleh W suatu suku jumlah langsung dari
M. Sekarang dilanjutkan ke langkah
Langkah 2
Akan ditunjukkan
W: M.
2.
,
D serta
memenuhi
(r-"f)(B)=D
JA=C,
f:A->C,l-_f:B-+D
dan
keduanya
merupakan isomorfisma. Dengan demikian,
diperoleh/ : A@ X -+ C@
/X
suatu
isomorfisma, sehingga
M=W@X=(C@.fX)@D
Selanjutnya, didefinisikan homomorfi
proyeksi
darlr
Ker (e*)
s
ma e*
MpadaB dengan
:
A@
X
.
Berdasarkan Teorema 3.1, endomorfisma
merupakan elemen bersih
di
/
Endn(M.
Dengan demikian diperoleh (M ,e*) e
e
,
Sari, Penyisipan Sebarang Modul ke Dalam Suatu Modul Bersihg
;
dan (W,e) < (M,e*)
karena
itu
seharusnya
. Kontradiksi. Oleh
X: 0 , dan akibatnya
b. Diambil
sebarang
il
berdasarkan bagian
maksimal dari
f :
n
injektif merupakan modul kontinu, maka setiap
modul quasi-iryektif merupakan modul bersih.
W: M.A
l
Lebih lanjut lagi, karena setiap modul quasi-
1-u
e
a
Karena setiap modul injektif merupakan modul
(Wo,eo) e
e
1,
quasi-injektif, maka setiap modul injektif
terdapat elemen
merupakan modul bersih. Oleh karena itu
,, yaitu (M,e)eerdan
dengan z elemen unit di Endn(M.
Oleh karena itu modul
M bersih.
Berdasarkan Teorema 3.5, berikut
berdasarkan Teorema
3.6, diperoleh akibat-
akibat langsung berikut ini.
Akibat 3.7(Sari, 2012) Ring 2,, merupakan ring
n
ini diberikan
suatu sifat dari modul kontinu lainnya.
bersih.
Bukti:
Teorema 3.6(Camillo dkk., 2004) Setiap modul
kontinu merupakan modul bersih
Diperhatikan bahwa modul Zn atas dirinya
sendiri merupakan modul injektif yang juga
merupakan modul kontinu. Oleh karena itu,
Bukti:
3.6, Zn-modul Z,
bersih. Akibatnya rirrg
berdasarkan Teorema
Diberikan rR-modul
dan A =
{f
M
kontinu, S =
e SlKer(f) e"
M}.
Teorema 2.13, diperoleh ring
Endn(M)
Berdasarkan
faktor
f
= SA
merupakan ring reguler dan Amerupakanradikal
Jacobson
daris.
Oleh karena itu, modul
T rnon
singulardan berdasarkan Teorema 2.15, T r
kontinu.
T
Berdasarkan Teorema 3.5 diperoleh
Endr(T)merupakan ring
=
M
Selanjutnya, karena modul
mengimplikasikan modul
M
bersih.
kontinu
quasi-kontinu,
makaberdasarkan Teorema 2.14 berlaku elemen-
elemen idempoten dari ring faktor
T
merupakan modul
Endr,(Z,)
Di
lain
piha( berlaku Zn=Endr,(Z,). Dari
sini
merupakan ring bersih.
diperoleh ring Z^merupakan ring bersih. a
Akibat 3.8(Sari, 2012) Setiap modul dapat
disisipkan sebagai submodul ke dalam suatu
modul bersih
.
Bukti:
Diberikan sebarang R-modul
Teorema 2.3,
M,
berdasarkan
M dapat disisipkan ke dalam suatu
dapat
modul injektif sebagai submodul. Karena setiap
diangkat menjadi elemen-elemen idempoten dari
modul idektif merupakan modul kontinu yari!
ring S.
merupakan modul bersih, maka Msubmodul dari
Oleh karena itu,
berdasarkan
Teorema 2.16, ingSmerupakan ring bersih. Jadi
R-modul
M
merupakan modul bersih. n
suatu modul bersih.n
Hal ini
bersesuaian dengan fenomena bahwa
Endr(Z) = Z yang bukan merupakan ring bersih
termuat dalamEnd2Q
= Q yang
merupakan ring
bersih. Dengan kata lain modul Z yang bukan
modul bersih termuat dalam Z-modul
merupakan modul bersih.
Q
yang
SNHPA - XXI
KESIMPI]LAN
JURUSAN
ir,tlre^lAfXa
Berdasarkan sifat
merupakan submodul dari suatu
dan setiap modul kontinu merupakan modul
bersih, diperoleh bahwa sebarang modul dapat
disisipkan ke dalam suatu modul bersih.
DAFTARRUJT]KAN
Camillo, V. P., Khurana, D., Lam, T.Y., Nicholson, W. K., dan Zhou,Y. 2006.ContinousModules are
CleansJ Algebra 304, halaman 94-lll.
Han, J. dan Nicholson,, W. K. 2001. Extensions of Clean Rings. Communicationsion Algebra, 29(6),
halaman 2589
-2595.
Hazewinkel, M., Gubared, N., dan Kirichenko, V. Y.Z\\4Algebras, Rings, and Modules. Kluwer
Academic Publishers, New York.
Lam, T. Y. l999.Lectures on Modules and Rings. Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin,
New York: Springer-Verlag.
Mohamed, Saad H dan Muller, Bruno J.l99}.Continous and Discrete Modules, CambridgeUniversity
Press, New York.
W dan Zhou, Yiqiang, 2004.Clean Rings: A Stxvey.Advanced in
RingTheory,halaman 1 8 1 -1 98.
Sari, Kartika. 2012. Penyisipan Sebarang Ring ke dalam Suatu Ring Bersih. Tesis. Yogyakarta:
FMIPA Universitas Gajah Mada.
Nicholson, Keith