18. Materi Ajar Fisika Mekanika

MEKANIKA

I. VEKTOR

1. Jumlah / Selisih Vektor





2

1

. 2 2

2 _{B ABCos}

A B

A    





2

1

. 2 2

2 _{B ABCos}

A B

A    

Jika dua buah vektor dijumlah/dikurang, maka masing-masing vector dengan vector jumlah/selisih selalu membentuk segitiga. Yang dimaksud besar vector (scalar) adalah panjang sisi dari segitiga tersebut, yang dapat dicari dengan :

a. Dalil Cos



Cos AB B

A

C2 _ 2_ 2 _ 2 . 

Cos AC C

A

B2 _ 2 _ 2_ 2 . 

Cos AB B

A

C2 _ 2 _ 2_ 2 . 

Cos AC C

A

B2 _ 2_ 2 _ 2 . 

Cos BC C

B

A2 _ 2 _ 2_ 2 .

b. Dalil Sin : _SinA_ _SinB_ _SinC_

2. Unit Vektor

B



A



B

A











A



B



B

A









B





A







C

A

A A a   



1 ˆ 

a

Untuk 3 dimensi :

1 ˆ ˆ

ˆ _ j _k _ i

3. Vektor Posisi

a. Untuk yang titik pangkal pada titik asal koordinat

a

ˆ

A



k

ˆ

j

ˆ

i

ˆ

z

y

x

j

y

ˆ

j

y

ˆ

i

x

ˆ

z

k

ˆ

P (x,y,z)

r



z

y

x

r

P

('

x

,'

y

,'

z

)'



)

,

,

(

x

y

z

P

R



z

y

'

R r R

R R r '  dengan : k z j y i x

R' 'ˆ 'ˆ 'ˆ

k z j y i x

R ˆ ˆ ˆ

k z z j y y i x x

r( ' )ˆ( ' )ˆ( ' )ˆ

2 2

2 _{( ' ) ( ' )}

) '

(x x y y z z

r

r       

4. Perkalian Vektor a. Dot Product



ABCos B

A

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ_{i jjkk }

i 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆjjk ki 

i k Az j Ay i Ax

A  ˆ ˆ ˆ

k Bz j By i Bx

B  ˆ ˆ ˆ

AzBz AyBy

AxBx B

A  

Catatan : vector . vector = scalar

Misal : Usaha : W FsFsCos

b. Cross Product

u ABSin B

A ˆ

0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆi jjkk

i

k j iˆˆ ˆ

i k j ˆ ˆ

ˆ 

j i kˆˆˆ

k Az j Ay i Ax

A  ˆ ˆ ˆ

k Bz j By i Bx

B  ˆ ˆ ˆ

By Bx Ay Ax k Bz Bx Az Ax j Bz By Az Ay i B

Aˆ  ˆ  ˆ

k

ˆ

j

ˆ

=

Bz By Bx

Az Ay Ax

k j iˆ ˆ ˆ

Catatan : vector x vector = vector Mis :rFrFSinuˆ

  rFSin

Tips : Luas adalah Besaran Vektor.

Luas parallelogram = (alas) (tinggi) = A (B Sinθ) = AB Sin θ = AB

GERAK

Kelajuan (speed) = _waktujarak _tempuhtempuh 





scalar

t s v_r

  

dt ds t s v

t

   

 

lim

0

Kecepatan =

waktu n perpindaha



vektor

t r v_r

  

 

dt r d t r v

t

  

   

 

lim

0

Contoh

2. Sebuah benda bergerak dari A ke B



BSin

B





10 km 10 km

C B A

dalam waktu 2 jam dan dari B ke C juga dalam waktu 2 jam. Maka :

jam km jam

km

vr 5 /

4 20   t AC vr    t r v_r      2 10 200 10

102_ 2 _{ }

 r

jam km jam

km

vr 2,5 2 /

4 2 10   

 GLB



kecepatan (besar dan arah) tetap

0 0 t t s s t s v v r       

Jika diambil : s0 = 0 dan t0 = 0, maka :

t s v   Percepatan t v a_r    2 2 0

lim

v_t dv_dt d_dts

a t       

 GLBB



a tetap

0 0 t t v v t v a

a _r t

      

Jika diambil t0 = 0, maka :

at v v atau a v v t atau t v v

a_ t _ t  _{t  }

0 0

0 _{: :}

 Jarak yang ditempuh GLBB

t v s 

2

0

v v v _ t 

t v v s _t 2 1 ) (  ₀   2 0 2 1 at t v

s  

a v v s t 2 2 0 2 _ 

 Gerak Jatuh Bebas : V0 = 0; a = g

gt

vt  ; 2

2 1

gt h

 Gerak Vertikal ke atas : a = -g Pada saat mencapai titik tertinggi : vt = 0

gt v0 

2 2 1

gt t v h _o 

GRAFIK GERAK 1. Grafik fungsi v-t.

a. GLB v

t v

0 t

S = vt = luas persegi panjang

b. GLBB

2. Grafik fungsi s-t a. GLB :

b. GLBB

GERAK PADA BIDANG (DUA DIMENSI)

Posisi partikel : rr xiˆ yjˆ

v

t 0

v

t

v

0

trapesium

luas t v v

s_  t_{) }

2 ( 0

t s

t 0

s

t 0

Y

_r



_

_x

_i

_ˆ

_

_y

_ˆ

_j

i

x

ˆ

j

y

ˆ

Kecepatan :









t j y y i x x t r r t r

v_{r } 2 1 _ 2 1 ˆ 2 1 ˆ    r r r j v i v dt j dy dt i dx dt r d t r

v _{x y}

t ˆ ˆ ˆ ˆ lim

0 _     

      







      t t y x t j dt v i dt v dt v r r dt v r d 0 0 0

0 ˆ ˆ

     Percepatan : t v v t v

a_r 2 1

         j a i a dt j dv dt i dv dt v d t v

a x y

y x t ˆ ˆ ˆ ˆ lim

0 _     

      











   

t t t

y xdti a dtj

a dt a v v dt a v d

0 0 0

0 ˆ ˆ

 

 



HUKUM-HUKUM NEWTON TENTANG GERAK

Hukum I : F 0

1. Benda diam

2. Benda bergerak lurus beraturan Hukum II :



F



0

Muncul percepatan (a), dimana

m F

a  F ma

Hukum III : Faksi  Freaksi

1. Berat Benda (W).

Berat Benda adalah besarnya gaya gravitasi yang bekerja pada benda yang berada dalam medan gravitasi. Dalam hal ini a = g, sehingga berdasarkan Hk II berlaku : W = m.g

2. Gaya Normal (N).

Jika sebuah benda berada di atas bidang datar dan maka selain gaya berat pada benda tersebut bekerja gaya oleh bidang yang arahnya tegak lurus bidang, gaya ini disebut gaya nprml (N).

a). Jika sistem dalam keadaan diam, maka berlaku Hk. I, N

mg N

mg N

F

  

 

0 0

W = mg Cat : Tanda positip atau negatif bebas.

b). Jika sistem bergerak ke atas atau ke bawah dengan kecepatan tetap (v konstan), juga berlaku Hk. I, sehingga : N = mg.

c). Jika sistem bergerak dengan percepatan tetap (a konstan), maka berlaku Hk. II.

c).1. Untuk a keatas :

W = mg

N

ma mg N

ma mg N

ma F

 

 

 

c).2. Untuk a ke bawah :

ma mg N

ma mg N

ma F

 

  

 

cat. Tanda positif searah gerak cat. Tanda positif searah gerak

 

cos 0 cos 0

mg N

mg N

F



 





3. Tegangan pada Tali a).

Jika benda diam atau bergerak dengan kecepatan tetap (keatas/kebawah), berlaku Hukum I Newton :

mg T mg T

F

  





0 0

b).

W=mg N

a

N

mg sin

θ mg cos

θ mg

θ

T

W

a

mg T

Jika benda bergerak keatas dengan percepatan tetap ΣF = ma

T-mg = ma T = mg+ma c).

jika benda bergerak keatas dengan percepatan tetap ΣF = ma

-T+mg = ma T = mg- ma 4. Katrol

Massa dari gesekan pada katrol diabaikan. Jika m2 > m1, maka m1 bergerak naik dan m2 bergerak

turun. Tinjau m1 :

a mg

T

m₁ g _m

2 g

m₂ m₁

T T

T _T

) ( 1 1 1 1 1 1 a g m a m g m T a m g m T a m F       



Tinjau m2 :

) ( 2 2 2 2 a g m T a m g m T a m F      















2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 m m m m g a m m g m m a a m g m a m g m         

2. Gaya Gesekan

Gaya gesekan merupakan gaya yang melawan gerak relatif antara dua arah benda, arah gaya gesekan selalu sejajar dengan bidang tempat benda berada dan berlawanan arah dengan arah gerakan benda dan bersifat memperlambat gerakan benda tersebut. Gaya gesekan dapat terjadi pada dua permukaan yang kasar dan keduanya bersinggungan.

Bila m ditarik oleh gaya F, maka m tidak segera bergerak karena harus mengatasi gaya gesekan f.

Pada saat benda belum bergerak, besarnya gaya gesekan adalah sama dengan gaya yang diberikan. Secara umum dapat dirumuskan:

Ada 2 macam gaya gesekan :

1. gaya gesekan statik (fs), yaitu gaya gesekan yang terjadi pada saat benda masih diam.



F 0 F f_s 0 fs F

Pada saat benda tepat akan bergerak, daya gesekan statis mencapai nilai maksimum : N

fsmax s fsmax sN dimana s koefisiengesekanstatis.imana

is esekanstat koefisieng

s 

 _.

2. gaya gesekan kinetik (fk), yaitu gaya gesekan yang terjadi setelah benda bergerak yang

besarnya tetap : fk kN dengank koefisiengesekankinetis

. Dalam hal ini

s

k



 

), sehingga

max

s

k



ff

). Jika benda bergerak, maka berlaku hukum II Nerwton :

ma N F ma f F ma

F    _k    _k 





Pada bidang miiring :

W Gambar 1 F N f_s Arah gerak f_s N mg



sin

mg



O P



cos

mg

b

Gambar 2

Berdasarkan gambar 2, maka terdapat 3 gaya yang bekerja pada sistem tersebut, yaitu gaya tarik bumi (W), gaya normal (N), dan gaya gesekan (f).

Ada tiga kemungkinan :

1.Jika

sin





cos



max

max

bendamasih

diam

f

mg

f

mg



_s





_s



_s

, berlaku hukum I Newton:

_

F 0 mgsin  f_s0 f_s mgsin 2 Jika

mg

sin



f

_smax



bendaberge

rak

, berllaku hukum II Newton :

) cos (sin

cos sin

sin

  

 

 

k

k s

g a

ma mg

mg ma f mg

ma F

 

 

   





3.Jika )

( sin max

masihdiam bergerak

saatakan bendatepat

f mg   s 

, berllaku hukum I Newton:





0

_cos



_

_

sin

_



_



_tan

_

max



0



sin







s s

s

mg

mg

f

mg

F

Kecepatan :









t j y y i x x t r r t r

v_{r } 2 1 _ 2 1 ˆ 2 1 ˆ

   r r r j v i v dt j dy dt i dx dt r d t r

v _{x y}

t ˆ ˆ ˆ ˆ lim

0 _     

      







      t t y x t j dt v i dt v dt v r r dt v r d 0 0 0

0 ˆ ˆ

     Percepatan : t v v t v

a_r 2 1

         j a i a dt j dv dt i dv dt v d t v

a x y

y x t ˆ ˆ ˆ ˆ lim

0 _     

      











   

t t t

y xdti a dtj a dt a v v dt a v d

0 0 0

0 ˆ ˆ

 

 



HUKUM-HUKUM NEWTON TENTANG GERAK

Hukum I : F 0

1. Benda diam

2. Benda bergerak lurus beraturan Hukum II :



F



0

Muncul percepatan (a), dimana

m F

a  F ma

Hukum III : Faksi  Freaksi

1. Berat Benda (W).

Berat Benda adalah besarnya gaya gravitasi yang bekerja pada benda yang berada dalam medan gravitasi. Dalam hal ini a = g, sehingga berdasarkan Hk II berlaku : W = m.g

2. Gaya Normal (N).

Jika sebuah benda berada di atas bidang datar dan maka selain gaya berat pada benda tersebut bekerja gaya oleh bidang yang arahnya tegak lurus bidang, gaya ini disebut gaya nprml (N).

a). Jika sistem dalam keadaan diam, maka berlaku Hk. I, N

mg N

mg N

F

  

 

0 0

W = mg Cat : Tanda positip atau negatif bebas.

b). Jika sistem bergerak ke atas atau ke bawah dengan kecepatan tetap (v konstan), juga berlaku Hk. I, sehingga : N = mg.

c). Jika sistem bergerak dengan percepatan tetap (a konstan), maka berlaku Hk. II.

c).1. Untuk a keatas :

W = mg

N

ma mg N

ma mg N

ma F

 

 

 

c).2. Untuk a ke bawah :

ma mg N

ma mg N

ma F

 

  

 

cat. Tanda positif searah gerak cat. Tanda positif searah gerak

 

cos 0 cos 0

mg N

mg N

F



 





3. Tegangan pada Tali a).

Jika benda diam atau bergerak dengan kecepatan tetap (keatas/kebawah), berlaku Hukum I Newton :

mg T mg T

F

  





0 0

b).

W=mg N

a

N

mg sin

θ mg cos θ mg

θ

T

W

a

mg T

Jika benda bergerak keatas dengan percepatan tetap ΣF = ma

T-mg = ma T = mg+ma c).

jika benda bergerak keatas dengan percepatan tetap ΣF = ma

-T+mg = ma T = mg- ma 4. Katrol

Massa dari gesekan pada katrol diabaikan. Jika m2 > m1, maka m1 bergerak naik dan m2 bergerak turun.

Tinjau m1 : a mg

T

m₁ g _m

2 g m₂ m₁

T T

T _T

) ( 1 1 1 1 1 1 a g m a m g m T a m g m T a m F       



Tinjau m2 :

) ( 2 2 2 2 a g m T a m g m T a m F      















2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 m m m m g a m m g m m a a m g m a m g m         

2. Gaya Gesekan

Gaya gesekan merupakan gaya yang melawan gerak relatif antara dua arah benda, arah gaya gesekan selalu sejajar dengan bidang tempat benda berada dan berlawanan arah dengan arah gerakan benda dan bersifat memperlambat gerakan benda tersebut. Gaya gesekan dapat terjadi pada dua permukaan yang kasar dan keduanya bersinggungan.

Bila m ditarik oleh gaya F, maka m tidak segera bergerak karena harus mengatasi gaya gesekan f.

Pada saat benda belum bergerak, besarnya gaya gesekan adalah sama dengan gaya yang diberikan. Secara umum dapat dirumuskan:

Ada 2 macam gaya gesekan :

1. gaya gesekan statik (fs), yaitu gaya gesekan yang terjadi pada saat benda masih diam.



F 0 F f_s 0 fs F

Pada saat benda tepat akan bergerak, daya gesekan statis mencapai nilai maksimum :

N

fsmax s fsmax sN dimana s koefisiengesekanstatis.imana

is esekanstat koefisieng

s 

 _.

2. gaya gesekan kinetik (fk), yaitu gaya gesekan yang terjadi setelah benda bergerak yang besarnya tetap : fk kN dengank koefisiengesekankinetis

. Dalam hal ini

s

k



 

), sehingga

max

s

k



ff

). Jika benda bergerak, maka berlaku hukum II Nerwton :

ma N F ma f F ma

F    _k    _k 





Pada bidang miiring :

W Gambar 1 F N f_s Arah gerak f_s N mg



sin

mg



O P



cos

mg

b

Gambar 2

Berdasarkan gambar 2, maka terdapat 3 gaya yang bekerja pada sistem tersebut, yaitu gaya tarik bumi (W), gaya normal (N), dan gaya gesekan (f).

Ada tiga kemungkinan :

1.Jika

sin





cos



max

max

bendamasih

diam

f

mg

f

mg



_s





_s



_s

, berlaku hukum I Newton:

_

F 0 mgsin  f_s0 f_s mgsin

2 Jika

mg

sin





f

_smax



bendaberge

rak

, berllaku hukum II Newton : )

cos (sin

cos sin

sin

  

 

 

k

k s

g a

ma mg

mg ma f mg

ma F

 

 

   





3.Jika )

( sin max

masihdiam bergerak

saatakan bendatepat

f mg   s 

, berllaku hukum I Newton:





0

_cos



_

_

sin

_



_



_tan

_

max



0



sin







s s

s

mg

mg

f

mg

F