PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Oleh: Dewa Ayu Ratmi Yanti

NIM : 013214014

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SCHWARZSCIHLD EQUATION

AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY

Scription Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Sarjana Sains Degree In Physics

By : Dewa Ayu Ratmi Yanti

Student Number 013214014

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SKRIPSI

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD

DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

Oleh : Dewa Ayu Ratmi Yanti

Nim : 013214014 Telah disetujui oleh :

Pembimbing Drs.Drs.Vet.Asan Damanik, M.Si. tanggal 28 Februari 2008

SKRIPSI

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

Dipersiapkan dan ditulis oleh Dewa Ayu Ratmi Yanti

NIM : 013214014 Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

Pada tanggal 12 Maret 2008 dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda tangan Ketua Dr. Ign. Edi Santosa, MS. ........................ Sekretaris Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. ........................ Anggota Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. ........................ Anggota Dr. Agung Bambang Setyo Utomo, SU ........................ Anggota Dr. Ign. Edi Santosa, MS ........................

Yogyakarta, Maret 2008 Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma Dekan,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

" Apapun yang engkau lakukan, Apapun yang engkau makan,

Apapun yang engkau persembahkan atau berikan sebagai sumbangan serta pertapaan dan apapun yang engkau lakukan, lakukanlah kegiatan itu sebagai persembahaan kepada-Ku wahai putra Kunti”

Bhagawad-gita Sloka 9.27 PERSEMBAHAN : "Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah, Ibu, adik – adikku dan Sinar kekasihku yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang hidupku"

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD

DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL

ABSTRAK

Telah dilakukan penelitian tentang implikasi persamaan Schwarzschild pada bentuk lintasan dan perubahan geometri ruang suatu partikel bergerak. Partikel yang bergerak di daerah r α berada dalam bak-waktu, tetapi kalau partikel di daerah

r < maka partikel berada dalam bak-ruang. Cahaya yang melintas dalam ruang

yang mempunyai medan gravitasi akan mengalami pembelokan dengan sudut pembelok θ . _d

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SCHWARZSCHILD EQUATION

AND ITS IMPLICATION ON PARTICLE TRAJECTORY

ABSTRACT

Research about the Schwarzschild equation implication on trajectory form and space geometry change of the moving particle have been performed. Particles move α

α in the region r > undergoing time-like but, if particles are in the region r < , then they undergo space-like. Light pass through the space which having gravitational field would undergo a deflection with deflection angle

θ . _d

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Ida Sang Hyang Widhi Wasa atas segala asung kerta wara nugrahanya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini berjudul : ”PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN

IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL”, yang diajukan sebagai salah

satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini.

2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan, dorongan, doa, dan kasih sayang sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

3. Adik - adikku tercinta Jegek dan Dewi yang selalu memberikan semangat dan doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

4. Sinar yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan, semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini.

5. Om mift dan Ninik Cuyak terimakasih atas semua dorongan dan dukungannya.

6. Temen-teman Bali, Ketut, Wawan, Sidi, Gde, Wandi, Andika, yang selalu memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku serta menemaniku mengerjakan skripsi.

7. Temen-teman fisika, Manggar, Frida, Ratna, Nari, Vemby, Toni, yang selama bertahun-tahun selalu berjuang bersamaku.

8. Ir.Sri Agustini Sulandari, M.Si selaku dosen pendamping akademik yang sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

9. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan pengajaran dan pendampingan.

10. Teman-teman yang rela menunggu giliran pada saat bimbingan, Minto, Kia, Danang terimakasi sudah mau bersabar.

11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih atas segala bantuannya.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun dari berbagai pihak.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia pendidikan dan khususnya pembaca.

Yogyakarta, Februari 2008 Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini adalah karya saya dan tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya suatu karya ilmiah.

Yogyakarta, Februari 2008 Penulis

Dewa Ayu Ratmi Yanti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL……………………….............................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………..... iii HALAMAN PENGESAHAN .………………………………………….. iv HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......…………………. v ABSTRAK ………………………………………………………………. vi ABSTRACT …………………………………………………………….. vii KATA PENGANTAR …………………………………………………... viii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………. xi DAFTAR ISI ……………………………………………………………. xii BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….

1 1.1. Latar Belakang ………………………………………………….

1 1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….

3 1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………

4 1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...

4 1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….

5 1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...

6 BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...

7 BAB III. METODA PENELITIAN…………………….........................

3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….

3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..

5.2. Saran ............................................................................................ DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………… LAMPIRAN ...............................................................................................

5.1. Kesimpulan ...............................................……………………...

BAB V. PENUTUP............…………………………………………........

4.3. Lintasan Cahaya dan Panjang Fokus ............................................

4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang .............…………….

4.1. Orbit Planet ................................................……………………...

3.3. Langkah-Langkah Penelitian …………………………………… BAB IV. HASIL PEMBAHASAN...……………….................................

31 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pada tahun 1916, sebulan setelah Einstein mempublikasikan teori relativitas

umum, seorang ahli astronomi dari Jerman yang bernama Schwarzschild menemukan penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein. (Lawrie, 1998)

1 ⎛ ⎞

R − R − Λ g = kT (1.1)

⎜ ⎟

μυ μυ μυ

2 ⎝ ⎠

Dengan R tensor Ricci (yang digambarkan terikat dengan dua indeks dari tensor

μυ μυ

Riemann), R merupakan skalar kelengkungan Ricci (R = g R ), tetapan Λ

μυ

kosmologi, g tensor orde dua kovarian, k kopling antara geometri dan materi yang

μυ

menunjukan kuat gaya gravitasi dan T adalah tensor tekanan. Penyelesaian

μυ

sederhana persamaan medan Einstein yang menggambarkan bagaimana ruang waktu (space-time) mengkerut akibat medan gravitasi suatu bintang yang sangat besar dan padat (massive) yang telah menjadi lubang hitam (Black Hole). Jadi secara singkat dapat dinyatakan bahwa lubang hitam memiliki percepatan gravitasi dan kerapatan (massa jenisnya) sangat besar.

Dengan percepatan gravitasi yang sangat besar tersebut, semua benda (materi) akan ditarik oleh lubang hitam, dan tidak ada benda atau materi yang mampu melepaskan diri dari lubang hitam. Sebagai contoh, jika ada sebuah benda yang memiliki kerapatan sama dengan kerapatan matahari dan jari-jari benda itu 500 kali

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

jari-jari matahari, maka suatu partikel yang ingin melepaskan diri dari permukaan benda itu haruslah mempunyai kecepatan yang lebih besar dari kecepatan cahaya (c).

(Will, 1989) Lubang hitam memiliki beberapa sifat-sifat fisis yang sangat menarik, antara lain lintasan partikel (cahaya) dalam medan gravitasi lubang hitam tidak lurus, melainkan melengkung. Hal ini dikarenakan lubang hitam memiliki medan (percepatan) gravitasi yang sangat besar sehingga lintasan cahaya akan melengkung.

Dalam hal ini bentuk lintasan suatu partikel ditentukan oleh kuat atau besar medan gravitasi didalam ruang dimana partikel tersebut melintas. Dengan menggunakan koordinat bola sferis r , , , elemen lintasan (ds) sebuah partikel dalam medan

( θ φ )

gravitasi yang sangat lemah (lintasannya berbentuk garis lurus, karena medan gravitasinya kecil) diberikan oleh (Lord,1979) ² ² ² ² ² ² ² ²

= − − θ θ φ Jika ada medan gravitasi yang sangat besar maka, elemen lintasan (ds) sebuah partikel (lintasannya melengkung, karena medan gravitasinya sangat besar) diberikan oleh (Lawrie, 1998) ₂ ₂

ds c dt dr r ( d sin d ) (1.2)

2 GM dr ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ⎞

= ⎛ − + ds 1 c dt − − r ( d sin d ) (1.3) ⎜ ⎟ θ θ φ ₂

2 GM

c r ⎞

⎝ ⎠ ⎛ −

1 ⎜ ⎟ ₂

c r

⎝ ⎠ Dengan G tetapan gravitasi universal, M massa benda yang memiliki medan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam), dan c kecepatan cahaya. Perbedaan antara

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ruang tanpa medan gravitasi. Sedangkan pada persamaan (1.3) lintasan berada dalam ruang yang memiliki medan gravitasi yang sangat besar.

2 GM Konstanta pada persamaan (1.3)disebut jari-jari Schwarzschild α , ₂

( ) c

atau

2 GM α = (1.4) ₂

sehingga persamaan (1.3) dapat dituliskan kembali menjadi ₂

1 α ² ² ² ² ² ² ²

⎞

1 c dt − dr − r ( d sin d ) (1.5) ⎜ ⎟ θ θ φ

ds = ⎛ −

α ⎞ ⎝ ⎠

⎛ −

1 ⎜ ⎟

⎝ ⎠ 1.2.

Perumusan Masalah

Sebagaimana diuraikan pada latar belakang masalah bahwa lubang hitam memiliki sifat-sifat fisis yang berbeda dengan alam yang memiliki medan gravitasi lemah, menyebabkan penelitian sifat-sifat fisis dan geometri lubang hitam merupakan

penelitian yang sangat menarik. Dari persamaan (1.5) kalau r = α maka ds menjadi tak berhingga (singularitas). Jika r < α , maka suku-suku yang memuat koordinat

θ φ ruang ( r , , ) mendominasi ds agar diperoleh lintasan yang berniali real. Jadi antara titik r = α dan r < α terjadi perubahan fisis dan geometri.

Demikian juga bentuk lintasan partikel atau cahaya yang melintas dekat lubang hitam akan melengkung menyebabkan adanya semacam titik fokus lubang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi, jika sebuah partikel melintas dari α > r ke α < r melewati titik singular α = r .

2. Menentukan ”titik fokus” lubang hitam sebagai fungsi α dan besar fisis terkait.

1.3. Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada masalah :

1. Perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi jika sebuah partikel melewati titik r = α .

2. Penentuan ”titik fokus” lubang hitam, kalau lubang hitam tersebut berperilaku sebagai sebuah lensa positif.

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian 1.4.1. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :

1. Mengetahui perubahan fisis dan geometri apa yang terjadi pada suatu lubang hitam, jika sebuah partikel melintas dari α > r melewati α = r menuju daerah α < r

2. Menentukan ”titik fokus” suatu benda dengan percepatan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1.4.2. Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang sifat-sifat fisis lubang hitam dan konsekuensinya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1.5. Sistematika Penulisan

Hasil penelitian ditulis dengan sistematika sebagai berikut :

BAB I. PENDAHULUAN Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Dalam Bab II dijabarkan tentang persemaan Schwarzschild dan lintasan partikel dalam medan gravitasi yang sangat besar (lubang hitam). BAB III. METODOLOGI PENELITIAN Pada Bab III dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian, dan langkah-langkah penelitian. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Bab IV ditampilkan hasil penelitian serta pembahasannya. BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DASAR TEORI Jarak antara dua titik dalam ruang diberikan oleh (Lawrie, 1998) :

(2.1)

υ μ μυ = dx dx g ds ²

dengan g

μυ

adalah metrik tensor orde dua kovarian dalam sistem koordinat kartesian, untuk ruang tiga dimensi jarak dua titik dalam ruang, yaitu titik A dan titik B (Gambar 2.1) diberikan oleh ₂ ₂ ₂ ₂

+ dz dy dx ds + =

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

A z

)

y B (x ^{2 , y} ^{2 , z} ²

1 ,y 1 ,z 1 )

1 μυ g

⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

sehingga metrik tensornya (2.2)

⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

= ₂ ² ²

dz dy dx

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Jika digunakan koordinat bola sferis (r,

θ,φ ), maka panjang lintasan (elemen garis)

antara dua titik diberikan oleh ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

ds = dr r d θ r sin θ d φ

₂

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ₂ ₂

r d (2.3)

= ⎜ θ ⎟ ⎜ ⎟ ₂ ₂ ₂

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

r sin

θ d φ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ sehingga diberikan

1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ₂ g = r

μυ ⎜ ⎟ ₂ ₂ ⎜ ⎟

r sin θ

⎝ ⎠

Dalam ruang dimensi 4 (ruang Minkowski) tanpa gravitasi, elemen garis ds didapat dari ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

ds = c dt − dx − dy − dz ₂ ₂

1 ⎛ ⎞

c dt

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ₂ − 1 ⎜ dx ⎟

⎜ ⎟ = ₂ (2.4) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

−

1 dy

⎜ ⎟ ₂ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ −

1 dz

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sehingga menghasilkan metrik tensor

1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

−

1 ⎜ ⎟

g =

(2.5)

μυ

⎜ ⎟ −

1 ⎜⎜ ⎟⎟

−

1 ⎝ ⎠

Kalau digunakan koordinat bola sferis, elemen garis atau lintasan menjadi :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

λ υ

C d d r r dr r B dt c r A ds

= rC r

′

dan B(r) = e

sedemikian hingga A(r) dan B(r) bernilai mendekati 1 jika ∞ → r . Dengan demikian persamaan (2.8) dapat dituliskan kembali menjadi (2.9) ) sin ( ² ² ² ² ² ² ² ²

φ θ θ

Sebagaimana disebutkan bahwa elemen garis atau lintasan dari persamaan (2.9) adalah

Jika ada medan gravitasi, maka elemen garis atau lintasan dalam ruang dapat dituliskan sebagai (2.8) ) sin ( ) ( ) ( ) ( ² ² ² ² ² ² ² ²

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − − = ₂ ₂ ² ² ² ₂ ₂ ₂ ² sin

φ θ

λ υ d d dr dt c r

φ θ θ

r r g

(2.6)

θ d

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − − = ₂ ₂ ² ² ² ₂ ₂ ₂ sin

φ θ

d dr dt c r r

yang menghasilkan (2.7)

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− −

− =

μυ ₂ ₂ ₂

sin

− − = dengan A(r), B(r), dan C(r) sebagai fungsi kuat medan gravitasi. Dengan menggunakan transformasi dapat diperoleh A(r) = e ^{2 /}

^{1<d d r dr e dt c e ds − − =}

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1979) =

sehingga metrik tensornya

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

λ υ μυ ₂ ₂ ₂ sin r

Nilai

υ dan λ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan geodesik (Lord,

σ ρ μ

⎭ ⎬ ⎫

∂ ∂

ρσ μ

Γ g =

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧ dengan

⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− ∂

(2.11) atau bisa juga ditulis

∂

∂ = Γ

λ ρσ ρ σλ

α λρ ρα ρσ

υ x g x g x g g

1 Untuk menghitung lambang Christoffel membutuhkan waktu yang sangat lama. Karena nilai dari lambang Christoffel kebanyakan adalah nol, suatu cara yang

μυ ρσ υ

)

⎩ ⎨ ⎧

ρσ μ

U U ds dU

(2.10) dengan

ds dx U

μ μ

= , dan adalah lambang Christoffel. Yang didefinisikan sebagai (Joshi, 1980)

⎭ ⎬ ⎫

ρσ μ

( μ ρσ ρ

σμ σ ρμ

∂ − ∂ + ∂ = ⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨ ⎧

g g g

ρσ μ

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Sehingga persamaan (2.10) sama dengan _{1 /} ₂

ν ⁴ ^{2 λ} ¹ ² ² ² ² ² ² ³ ²

= δ ds = δ e ( U ) − e ( U ) − r ( U ) − r sin θ ( U ) ds (2.12)

[ ]

∫ ∫ dengan c = 1, dan persamaan (2.12) adalah integran lintasan yang diminimalkan.

Persamaan (2.12) menghasilkan

d ∂ F ∂ F

⎛ ⎞ = , (2.13)

⎜ ⎟

μ μ ds U x

∂ ∂ ⎝ ⎠ dengan F adalah integran pada persamaan (2.12), persamaan (2.13) identik dengan persamaan (2.10). sehingga dapat dihasilkan simbol Christoffel dari persamaan ₄ tersebut. Sebagai contoh, jika ditulis μ =

4 ( ct = x ) , maka ∂ F ⁴

2 U e ₄ = ∂ U

∂ F ₄ = ∂ x maka persamaan (2.12) menjadi

d υ ⁴

2 e U = (2.14)

( ) ds d dr

Dengan menggunakan relasi , persamaan (2.14) menghasilkan

d = ds dr ds d ^{4 d}

υ υ

& 2 e U = 2 e c t =

( ) ( ) ds ds d

υ υ

t e t ( e ) = ds υ υ

& & &

& & & ′ &

t e t υ e = + r

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

t ′ r t = (2.15)

& & & &

υ Dengan demikian lambang Christoffel dapat dihasilkan dari persamaan diatas.

Lambang Christoffel yang tidak bernilai nol adalah

4 ⎧ ⎫

1 =

υ′ ⎨ ⎬

2 ⎩ ⎭

1 ⎧ ⎫

1 = υ′

⎨ ⎬

2 ⎩ ⎭

1 ⎧ ⎫

υ − λ

′ = υ e

⎨ ⎬

2 ⎩ ⎭

1 ⎧ ⎫

1 = λ′

⎨ ⎬

2 ⎩ ⎭

1 ⎧ ⎫

− λ

= − e r ⎬

⎨

22 ⎩ ⎭

1 ⎧ ⎫ _{2 λ}

−

= − r sin e θ

⎨ ⎬

33 ⎩ ⎭

2 ⎧ ⎫

1 =

⎨ ⎬ 21 r ⎩ ⎭

2 ⎧ ⎫

= − cos θ sin θ ⎨ ⎬

33 ⎩ ⎭

2 ⎧ ⎫ cot

= θ ⎨ ⎬

23 ⎩ ⎭

3 ⎧ ⎫

1 =

⎨ ⎬

⎩ ⎭

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

juga diperlukan relasi (Lord, 1976) λ

⎧ ⎫ = ∂ log − g ,

⎨ ⎬ ρ λρ

⎩ ⎭

ν λ

⁴

dengan g e r sin , sehingga = − θ

ν − λ log − g = + + 2 log r log sin (2.16)

2 Tensor Ricci R pada persamaan (1.1) dapat juga dituliskan sebagai

μυ

ρ ρ λ ρ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

R = log − g − − (log − g ) (2.17) _{v ( )} _.

μ v ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ρ μ

μ v λμ ρ v μ v

⎩ ⎭ . ρ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Agar penyelesaian persamaan medan gravitasi Einstein pada persamaan (1.1) linear, nilai R harus sama dengan nol. Dari persamaan (2.16) yang memberikan nilai nol

μυ

adalah ₂

⎛ ′ ′ ′ ′ ⎞ 1 v . v v λ 2 v

λ R e v (2.18)

′

= = − + + ₄₄ − ⎜⎜ ⎟⎟

2 2 r ⎝ ⎠

₂

v v

2 = R = + v ′′ − − (2.19) ₁₁ ⎜⎜ ⎟⎟

2 2 r ⎝ ⎠

⎧ + v ′ ′ ⎫

λ λ ⎛ λ ⎞ − −

′ = + R = − _{22 ⎜ ⎟} 1 − ( e r ) e r (2.20)

⎨ ⎬

2 ⎝ ⎠

⎩ ⎭ λ ′ v ′ λ dari R = R + = , diperoleh = , sehingga + v = konstan. Nilai konstanta ₁₁ ₄₄ tersebut adalah nol, karena → ∞ , sehingga

λ + υ mendekati nol ketika r

= − v (2.21)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Persamaan (2.18) menjadi ′ ₂ 2 v

′′ ′

v v =

r _v ″ re

yaitu, ( ) = _{v ′}

re konstanta (2.22) =

( )

Substitusi persamaan (2.21) ke persamaan (2.20) menghasilkan _v ′

re =

1 ( )

sehingga _{v λ α}

e = e =

1 − (2.23)

dengan

44 yang di identifikasi α adalah tetapan integrasi. Pernyataan (2.23) adalah g

1 2 / c , adalah potensial Newton (untuk suatu pusat massa M, MG / r .

sebagai

φ ² φ =

Dengan demikian tetapan

α pada persamaan (2.23) menjadi (Lord, 1979)

₂

α =

2 GM / c (2.24) yang dikenal sebagai jari-jari Schwarzschild. Substitusikan persamaan (2.24) dan (2.23) ke dalam persamaan (2.9) sehingga akan menghasilkan ₂ _{2 ⎞}

2 GM dr ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ⎛ −

ds =

1 c dt − − r ( d θ sin θ d ϕ + ) (2.25) ⎜ ⎟ ₂

c r

2 GM ⎞

⎝ ⎠ ⎛ −

1 ⎜ ⎟ ₂

c r

⎝ ⎠

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

sehingga metrik tensor Schwarzschild

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− − − −

− =

μυ ₂ ₂ ₂

₂

1 r r

r c

(2.26) Kalau

α = r maka lintasan atau elemen garis dari partikel (materi) tersebut singular, dan dapat dikatakan sebagai lubang hitam.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB III METODE PENELITIAN

3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah penelitian studi pustaka.

3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan topik lubang hitam, tensor dan teori relativitas umum.

3.3. Langkah – langkah penelitian

Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menelusuri bahan-bahan mengenai lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum dari buku-buku maupun dari internet.

2. Merumuskan atau mengolaborasi kerangka pemikiran teori dan konsep atau teori yang terkait dengan lubang hitam, metrik, tensor dan relativitas umum dari bahan-bahan yang dikumpulkan.

3. Merumuskan perubahan fisis dan geometri yang terjadi pada suatu lintasan partikel pada lubang hitam, dan menentukan titik fokus suatu lubang hitam sebagai fungsi α secara numerik atau matematik.

4. Menarik kesimpulan dan memberikan saran dari penelitian yang telah

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Orbit Planet

Gerak suatu planet yang mengorbit pada matahari yang memiliki massa yang sangat berat dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schwarzschild, pada π persamaan (2.25). Jika diambil , maka persamaan (2.9) menjadi

θ = ₂ ₂ ₂

2 ₂ ₂ ₂

υ − υ ds = e c dt − e dr − r d (4.1)

kalau persaman (4.1) dibagi ds dihasilkan ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

υ − υ

& & 1 e c t e r & r (4.2)

= − − φ Dari persamaan (2.15) dapat diperoleh

d υ

e t = (4.3) ( ) ds

sehingga

e t = k (konstanta) (4.4)

substitusi persamaan (4.4) ke dalam persamaan (4.2) menghasilkan ₂ ₂ _{2 α} ₂ ₂ & &

r r φ − = k −

1 α r φ (4.5)

Persamaan gerak orbit Newton hanya pada suku terakhir persamaan (4.5). Jika persamaan (4.5) dikalikan dengan ₂ ₄ ⎛ ds ⎞ r

= ₂ ⎜⎜ ⎟⎟

d h

ϕ ⎝ ⎠

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

diperoleh ₂ ₄ ⎛ dr ⎞ r _{2 ⎛ α} _{2 ⎞}

= − + + r k − + 1 α r (4.6) ⎜ ⎟ ₂

⎜⎜ ⎟⎟

d r h

ϕ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ 1 du ⎛ ⎞

Dengan mengganti variabel radial dr persamaan (4.6) menjadi

r = = −

⎜ ⎟ ₂

u u ₂ ⎝ ⎠

⎛ du ⎞ ² ² ² ³ = − u u k − 1 / h u (4.7) + + +

α α

( )

⎜⎜ ⎟⎟

d ϕ

⎝ ⎠ Jika persamaan (4.7) dideferensialkan terhadap ₂ φ , maka diperoleh ₂

d u

3 u α α ₂ = + − + u (4.8) ₂

d ϕ

2 h Kalau diambil

u u (4.9)

= ε + Dengan u adalah penyelesaian umum untuk persamaan orbit planet Newton dan

adalah suatu gangguan kecil. Substitusi persamaan (4.9) ke (4.8) menghasilkan ₂ ₂ ₂

d u

3 u

d ε α α ( ε ) +

₂

( ε ) + = + − + +

₂

d d

2 h

2 ϕ ϕ ₂

3 ² = − u − u + + + + 3 u (4.10)

ε α εα αε ₂ 2 h

2 α

2 Karena u = , dan kalau dapat diabaikan sehingga ₂

ε sangat kecil suku ε

2h persamaan diferensial untuk

ε dapat dituliskan ₂ d ε

3 ²

1 u (4.11) ₂ = ( α − ) ε α

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Penyelesaian persamaan (4.11) dapat dituliskan sebagai ε = A cos ( ) ζϕ + B (4.12) dengan A, B, dan

ζ adalah konstanta (lihat Lampiran). Jika ζ = 1, maka dihasilkan

orbit lingkaran. Dengan mendeferensialkan persamaan (4.12) terhadap φ kemudian menyamakannya dengan nol, maka diperoleh

2 n π

ϕ = (4.13) ζ

Substitusi persamaan (4.12) ke dalam (4.11) dapat menghasilkan nilai ₂ ζ, yaitu = 1 − 3 u (4.14)

ζ α sehingga lintasan planet terjadi pada ± 2 n π

3 ⎞

~ 2 n ⎛ + 1 u , φ = ± π α

⎜ ⎟

2 1 − 3 u ⎝ ⎠

~ ... − 2 − 3 u , ,

2 3 u ,

4 6 u ... ϕ ( π πα ) ( π πα ) ( π πα )

4.2. Perubahan Geometri dan Sifat Fisis Ruang

Ditinjau perubahan geometri dan sifat fisis ruang yang dialami oleh sebuah partikel bergerak dari kedudukan atau posisi r > α ke posisi r < α . Dari persamaan

υ λ

(2.25), jika r > α , maka nilai koefisien e = e > (positif) sehingga suku yang mengandung waktu (t) haruslah bernilai lebih besar dari suku-suku yang lain agar ₂

ds > . Dengan kata lain, partikel yang melintas dalam medan gravitasi yang

ditimbulkan oleh massa M pada daerah r > α berada dalam ruang bak-waktu (time-

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

like). Secara skematis lintasan partikel dalam ruang bak-waktu diperlihatkan pada

Gambar 4.1 Lintasan partikel

Masa depan Waktu

Sekarang Masa lalu

2 Jika partikel berada pada posisi r α , maka ds menjadi tidak terdefinisi =

(singular). Pada kondisi atau keadaan r = α partikel tidak berada dalam ruang bak- waktu maupun dalam ruang bak-ruang (space-like). Secara fisis, pada keadaan r = , α partikel tidak tunduk pada hukum-hukum fisika dan ruang yang dikenal selama ini dalam teori-teori fisika.

υ λ

Jika partikel berada pada posisi r α , maka koefisien e = e < . Jadi pada ₂

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

bak-ruang. Geometri bak-ruang dan lintasan partikel di dalamnya diperlihatkan pada Gambar 4.2.

Bak - cahaya Lintasan partikel

Jadi partikel yang melintas dari posisi r α menuju r α dalam suatu

> <

PERSAMAAN SCHWARZSCHILD DAN IMPLIKASINYA PADA LINTASAN PARTIKEL