Teorema (Aturan Fungsi Identitas)

  

TURUNAN

  Ide awal turunan: Garis singgung _{Tali busur}

• , + Garis singgung
• − , _{c P h c+h}

  Kemiringan garis singgung di titik P: _lim + −

  →0

  Definisi

  Turunan fungsi

  adalah fungsi lain ′ (dibaca “ aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan adalah

• −

  ′

  = lim

  →0 asalkan limitnya ini ada.

  Notasi dari turunan:

  ′ 1.

  Notasi aksen, 2. Notasi d, 3. Notasi Leibniz,

  Contoh: ₂ Andaikan = − . Cari ′ 3 .

  Jawab: _{2 2 5 2} 3 +

• 3 + − 3 − 3 + − 3 − 3

  ′ _{= lim = lim = lim 5 +}

  3 = lim = 5

  

→0 →0 →0 →0 Contoh: ₃ Jika + 2, cari = ′

  Jawab: ^{3 + 2 + 2} − ³

• ³
^{2 2 3} +<
• −
• 3

  ′ _{= lim = lim}

  = lim

  →0 →0 →0 ^{= lim 3 + 3 = 3 2 2 2}

• →0

  BENTUK YANG SETARA UNTUK TURUNAN _{Tali busur Garis singgung}

  ,

  −

  ′ −

  = lim _x

  , →c _P

  −

  −

  t − _{c x} ′ = lim _{t t}

  →x

  − Contoh: ₂ Andaikan = − . Cari ′ 3 .

  Jawab: _{2 2 2} − 3 − − 3 − 3 − − 6

  ′ _{= lim = lim = lim}

  3 = lim

• 2 = 5

  →3 →0 →3 →3

  − 3 − 3 − 3 KETERDIFERENSIALAN MENUNJUKKAN KEKONTINUAN Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang persis dari kenyataan ini merupakan sebuah teorema penting.

  Teorema

  Jika ′ ada, maka kontinu di . Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku. Contoh: Jika

  = , tentukan ′ 0 Jawab: − 0

  − 0

  ′ _{= lim = lim}

  0 = lim _{x x x}

  →0 →0 →0

  − 0 Limit ini tidak ada karena _{lim = lim x}

  = 1 ^{x + +}

  →0

^x

→0

  Sedangkan _{lim = lim =} −x _{x x − −} −1

  →0 →0 Karena limit kanan dan limit kirinya tidak sama.

  Aturan Pencarian Turunan

  Fungsi konstanta Fungsi konstanta

  = mempunyai grafik berupa garis horisontal, sehingga kemiringannya nol dimana-mana.

  Teorema (Aturan Fungsi Konstanta) ′

  Jika = dengan suatu konstanta maka untuk sebarang , = 0, yakni

  = 0 Bukti

• − −

  ′ _{= lim = lim}

  0 = 0 = lim

  

→0 →0 →0

Teorema (Aturan Fungsi Identitas)

  ′

  Jika = 1, yakni

  = , maka = 1

  Bukti

• − + −

  ′ _{= lim = lim}

  = 1 = lim

  

→0 →0 →0

  Teorema (Aturan Pangkat)

• ⁺ ′ −1

  Jika , dengan , maka , yakni =

  = ∈ ℬ

  −1

  = Bukti

• − −

  ′ _{= lim}

  = lim

  →0 →0 _{1 2} −1 −2 −1

• _{+ + +}
_{= lim} + − ⋯ + − ₂ →0 ₁ −1 −2 −2 −1
• _{+ + −}
₂ + ⋯ + _{= lim =} −1 →0

  Contoh: ₃ Jika , cari = ′

  Jawab: _{3 2} ′ = = 3

  D ADALAH SEBUAH OPERATOR LINEAR Teorema (Aturan Kelipatan Konstanta) ′

  Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka = ⋅ , yakni ⋅ =

  Bukti Andaikan

  = . Maka

• − ⋅ + − ⋅ + −

  ′ _{= lim = lim}

  = lim ⋅

  →0 →0 →0 _{= =} + −

  ⋅ lim ⋅ ′

  →0

  Contoh: ₁₀ Jika , cari = 10 ′

  Jawab: _{10 10 9 9} 10 = 10 = 10 10 = 100

  Teorema (Aturan Jumlah) ′ ′

  Jika dan fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka + = + ′ , yakni

• = + Contoh:
_{2 + 4} Jika

  = + 4, cari ′ Jawab: _{2 + 4 2}

• 4 = + 4 + 4 = 2 + 4

  Teorema (Aturan Selisih) ′ ′

  Jika dan fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka − = − ′ , yakni − = −

  Contoh: ₂ Jika = − 4 , cari ′

  Jawab: _{2 2} − 4 = − 4 = 2 − 4

  Teorema (Hasil kali) ′ ′

  Jika = + ′ , yakni dan fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka ⋅

  ⋅ = + Contoh: _{2 + 2}

  Jika = 3 , cari ′

  Jawab: ² + ^{+ 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2} = 3 3 = 3 2 + 3 = 6 ^{2 2 2 2 2}

  3 Teorema (Aturan Hasilbagi)

  ′ ′ − ′

  Jika ₂ , yakni dan fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka = ₌ −

  Contoh: ₁ Jika , cari ₂ = ′ _{3 +1}

  Jawab: _{1 + 1 + 1 + 1 2 2 2} 3 1 − 1 3 3 0 − 6 _{3 + 1 + 1 + 1 + 1 2 = = = 2 2 2 2} −6 _{2 2}

  3

  3

  3 TURUNAN SINUS DAN KOSINUS Jika

  = sin , tentukan ′ _{sin sin}

• − sin cos + cos sin − sin _{= lim} sin = lim

  →0 →0 _{sin 1 sin = lim + cos =} 1 − cos − cos

  − sin − sin lim + cos lim

  →0 →0 →0

  Ingat bahwa _{1 sin lim = 0 lim} − cos = 1

  →0 →0

  Maka sin = − sin 0 + cos 1 = cos Jika

  = cos , tentukan ′ _{cos cos}

• − cos cos − sin sin − cos _{= lim} cos = lim

  →0 →0 _{1 sin = lim =} − cos

  − cos − sin − cos 0 − sin 1 = − sin

  →0 ATURAN RANTAI Teorema (Aturan Rantai)

  Andaikan = dan = menentukan fungsi komposit = = ∘ . Jika terdiferensialkan di dan terdiferensialkan di = , maka ∘ terdiferensialkan di dan

  ′

  ∘ = ′ ′ Yakni

  = Contoh ₁₅ Jika , cari = 2 − 9

  Jawab _{2 15} Misal dan = 2 − 9 =

  Jadi, _{14 2 14} = ⋅ = 15 2 − 18 = 15 2 − 9 2 − 18

ATURAN RANTAI BERSUSUN

  Andaikan = dan = dan =

  Maka =

  Contoh ₃ Cari sin

  4 Jawab: ₃ Misal = 4 dan = sin dan =

  Maka _{3 2 2} = = sin 4 = 3 cos 4 = 12 cos 4 sin 4

NOTASI LEIBNIZ

  Perbandingan yang menggambarkan kemiringan

• ∆ , + ∆

  talibusur yang melalui ,

  ∆ ,

  ∆ + ∆ − ₌

  ∆ _x ∆ ∆

• ∆

  Jika ∆ → 0, kemiringan talibusur ini mendekati kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan ini disebut kemiringan Leibniz menggunakan lambang .

  Sehingga _{= lim = lim =} ∆ + ∆ − Contoh _{3 2 + 7} Cari jika

  = − 3 Penyelesaian: _{= + 7 3 2 3 3 + 7 = 3 2 2 2}

  − 3 = − 3 2 + 7 1 = 3 − 6 + 7 −

ATURAN RANTAI

  Andaikan bahwa = dan = . Dalam notasi Leibniz, Aturan Rantai: ₌

  Contoh: _{3 12} jika = − 2 Cari Jawab _{3 12} Misal , maka

  = − 2 dan = _{= = 11 2 3 11 2}

  12 3 − 2 = 12 − 2 3 − 2

  Turunan Tingkat Tinggi

  Turunan Notasi Notasi Notasi Notasi Leibniz

  ′ ′ Pertama

  ′ ′ _{2 2} Kedua ′′ ′′ _{3 3 2} Ketiga

  ′′′ ′′′ ₃ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

  Ke-n Contoh: _{10 5 2 5 12} Jika , cari , , . _{2 5 12}

  = − Jawab: _{9 4}

  2 _{= 90 8 3 3 2 = 720 7} − 20 _{2 4 3 = 5040 6} − 60 _{5 4 = 30240 5} − 120 ₅ − 120 ₁₂ ⋮ ₁₂ = 0 Pendiferensialan Implisit

  Contoh: _{2 3} Jika 4 − 3 = − 1 tentukan

  Jawab: Cara 1 Dapat diselesaikan dengan mengubahnya kedalam fungsi eksplisit terlebih dahulu ₃

  − 1 = _{4 2}

  − 3 Maka _{2 2 3 4 + 8 4 2 = =}

  3 4 − 3 − 8 − 1 − 3 _{2 2 2 2} 4 − 3 4 − 3

  Cara 2 Didiferensialkan secara bersamaan untuk kedua ruas _{4 2 3 4 + 8 = 3 2} − 3 = − 1 _{2 2} − 3 ₂ 4 − 3 = 3 − 8

  ₃

  

2

_{= 4 2} − 8

  − 3 ₃

  −1

  Tampak terlihat hasilnya berbeda dengan metode 1, tapi jika kita substitusi nilai maka ₂ = ₄

  −3

  diperoleh _{2 3 12 + 8 4 2 4} − 1 ₃ − 9 − 8 _{4 2}

  − 8 ₄ ² _{2 4 + 8 4} − 9 − 3 _{= = = 4 2 4 2} − 3 _{2 2}

  − 3 − 3 4 − 3

  Diferensial Definisi

  Andaikan = terdiferensialkan di dan andaikan bahwa , diferensial dari variabel bebas menyatakan pertambahan sebarang dari

  . Diferensial yang bersesuaian dengan dari variabel tak bebas didefinisikan oleh

  = ′ Contoh: ₃ Cari jika = − 3 + 1

  Jawab: ₂ = 3 − 3

  Aturan-aturan utama diferensial dan turunan dapat digambarkan Aturan Turunan Aturan Diferensial

  = 0 = 0 ₌ =

• _{+ =}
• = + _{+ =}

  = + ₌ − ₌ − ₂ ²

  −1

  = ₌ −1 Aproksimasi

• ∆ ≈ + = + ′ ∆
Contoh: Tentukan aproksimasi dari

  4,6 adalah Jawab: Misal

  = Maka aproksimasi dari

  4,6 adalah 4 + 0,6 ≈ 4 + ₁ = ₂ Sedangkan di

  = 4 dan = 0,6 mempunyai nilai _{1 0,6} = 0,15

  = 0,6 = _{2 4}

  4 Jadi 4,6 ≈ 4 + = 2 + 0,15 = 2,15