Teorema Apit (Squeeze Theorem)

   

  MATERI:

  a) Perbedaan barisan dan deret

  b) Definisi dan teorema tentang deret

  c) Deret suku positif dan uji konvergensinya

  d) Deret hiperharmonis

  e) Deret ukur

  f) Deret alternating dan uji konvergensinya

  g) Deret kuasa dan operasinya

  h) Deret Taylor i) Deret Maclaurin >> BARISAN Suatu barisan dapat dibayangkan sebagai suatu daftar bilangan yang dituliskan dalam suatu urutan yang tertentu:

  a a , , a , ..., a , ... _{1 2}

_{3 n}

  Bilangan a disebut suku pertama, a disebut suku kedua, dan demikian seterusnya. Suku a _{1 2 n} disebut sebagai suku umum atau suku ke-n dari barisan tersebut.

  a a a , , ,... Notasi : Barisan juga dinyatakan sebagai _{1 2 3}

   

  

  a atau a

    n   n _n  ₁ Contoh 1:

  

  1

  1 1 2 3

  

    

  (a) 1  ; n 

  1

  a   _n 1 0, , , ,...

   

    n n 2 3 4

    n ¹ 

   

   (b) n

  3 b  n  ;

  3 n  3 0,1, 2, 3,...

   _n   _{n  3}

   

  

  1

  1 3 2 5

  4

   n  ⁿ (c) ( 1)   ; n 

   

  1 c   ( 1)  0, ,  , ,  ,... _n  

    n n 2 3 4

  5

    n ¹   

  

  1 1 1 1

   

  

   1

  (d) d  ; n  _n 1 , , ,...

   

   

  2 _{n 1} 2 2 2 2   

    Pada barisan dibagi menjadi barisan konvergen dan barisan divergen.

  Suatu barisan a yang konvergen menuju L dapat dituliskan sebagai: _n

    lim a  L _{n  n}

  Sementara, suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

  Berikut adalah beberapa teorema terkait dengan barisan takhingga.

  TEOREMA 1 Misalkan a dan b adalah barisan-barisan konvergen serta k adalah suatu konstanta.

      n n

  Maka, 1) lim k  k _{n } 2)

  lim ka   k lim a _{n  n  n n}

  lim lim lim 3) a  b  a  b _{n n n n n n n}  

    

  4) lim a b   lim a  lim b _{n n n}  n n  n n

    

  lim a _n

  a _{n n }

  5) lim  dengan syarat lim b  _{n  n}

  b lim b n  _{n n n } TEOREMA 2 Teorema Apit ( Squeeze Theorem) a c

  Jika dan adalah barisan-barisan konvergen ke L sedemikian rupa sehingga _{n n}

      a  b  untuk n K c  , maka b juga konvergen ke L. Ini berarti juga bahwa jika _{n n n   n n  n } lim a  L dan lim c  L , maka a  b  mengakibatkan c lim b  L . _{n n n n n n n }

  Contoh 2: ₂ sin

  n

  Tentukan apakah barisan a  konvergen atau divergen! _n

  n Jawab : ₂

  sin n

  1 Untuk n  , dapat dilihat bahwa 1   . Lalu, karena

  n n

  1 _{n  n } lim 0  dan lim  n

  maka dengan Teorema Apit diperoleh _{2 2} sin n 1 sin n lim 0 lim lim lim

      _{n  n  n  n } →

  n n n ₂

  sin n lim _{n }  ₂ n sin n Dengan demikian, barisan a merupakan suatu barisan yang konvergen ke 0. _n 

  n TEOREMA 3 a  , maka Jika lim lim a  . _{n n  n n}

  

  Contoh 3: _n ( 1) 

  Tentukan apakah barisan b  konvergen atau divergen! _n

  n

  :

  Jawab

  n

  ( 1) 

  1 Karena lim  lim  , maka berdasarkan Teorema 3 diperoleh _{n n}  

  n n

_n

  ( 1)  lim  _n  _n n ( 1)  Dengan demikian, barisan b  merupakan suatu barisan yang konvergen ke 0. _n

  n _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ LATIHAN SOAL A

  Tentukanlah lima suku pertama dari barisan a yang diberikan, lalu kemudian tentukan _n apakah barisan a konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan limitnya. _{2 n n} 4 n  1 e

  1. a  _{n 2} 5. a  _{n n}

  n  ₃ 2 n 

  3

  2 3 n 

  2 _n 2. a  6.   1 (0,9) _n

  a _n n 

  4 _n

  2 n  5 (   ) 3.

  7. a 

  a  _{n 4 n n} 5 n  _{n n}

  1

  4 _{n n} 4. a   ( 1) _n

  8. a  0,5  _{n  }

  2 n 

  1

  >> DERET Bila barisan adalah urutan bilangan yang mengikuti pola tertentu, maka deret merupakan penjumlahan suku-sukunya. Bila barisan dinyatakan dengan pola a a , , a , ... , maka deret _{1 2 3} dinyatakan dengan pola sebagai berikut:

  S  ; a S   ; a a S    a a a ; dan seterusnya _{1 1 2 1 2 3 1 2 3} Dan, dirumuskan menjadi: _n S   a a    a ... a  a _{n 1 2 3 n i}

   _{i  1}

   Suatu deret takhingga dikatakan konvergen dan memiliki jumlah S jika barisan dari

  a _i  _{i  1}

  jumlah parsial S dengan _n

    _n S   a a    a ... a  a _{n 1 2 3 n i}

   _{i  1}

   konvergen ke S. Jika barisan jumlah parsial S divergen, maka deret takhingga a

  

  n

ⁱ  _{i  1} divergen. Suatu deret yang divergen tidak memiliki jumlah.

  Berikut adalah beberapa teorema terkait dengan deret takhingga.

  TEOREMA 4 Uji Divergensi

   Jika lim a  (atau lim a tidak ada), maka deret takhingga a divergen. _{n n n n  n }  _n  ₁ TEOREMA 5  Jika deret takhingga a konvergen, maka lim a  . _{n n}

   _{n  1 n }

  Contoh 4: ₃ 

  n Tunjukkan bahwa merupakan deret divergen. _{3 2}  _{n 1 n  n}

  3

  2 

  Jawab : ₃

n

  1 lim a  lim   _{n  n  n 3 2} 3 n 2 n

  3 ₃ 

   n Maka, berdasarkan Teorema 4, deret merupakan deret divergen. _{3 2}

   _{n 1}

  3 n  2 n

   TEOREMA 6 Kelinieran Deret Konvergen

    Jika a dan b merupakan deret-deret konvergen, dan c suatu konstanta, maka: _{n n}

    _{n  1 n  1}

     1) ca merupakan deret konvergen; dan ca   c a _{n n n}

     _{n  1 n}   _{1 n 1}

     

  2) a  b merupakan deret konvergen; dan a  b  a  b

     

_{n n n n n n}

 _{n  1}

     _{n  1 n  1 n  1} TEOREMA 7

    Jika deret takhingga a divergen dan c  , maka ca divergen. _{n n}

    _{n  1 n  1} Deret Ukur

  Suatu deret yang berbentuk  _n  ^{1 2 3}

ar a ar ar ar ...

        _{n  1} dengan a  disebut sebagai suatu deret ukur (deret geometri). _n a 1 r

    

  Deret ini: 1) konvergen jika r  dan memiliki jumlah

  1 S dengan _n  1  r

    a S  lim S  ; _{n  n}

  1 r 

  2) divergen jika r  1 . Contoh 5:  _{1 n n 1} Tunjukkan bahwa deret konvergen, lalu hitunglah jumlahnya.

  3 

  5   ^{8   3}

   _{n  1}   Jawab :

     _{1 n n n n 1 1 1}

  3  5  3 

  5   ^{8   3   8   3}

     _{n  1 n }

     

_{1 n  1}

   _{1 n 1 1}

  r

  1 Perhatikan bahwa

  3 merupakan suatu deret ukur dengan    . Berarti, _{8 8}   ⁸

     _n  ₁

   _{1 n} deret konvergen.

  3 ₈  

   _{n  1}  

   _{1 n 1 1} Begitu pula

  5 , juga merupakan suatu deret ukur dengan r    . Berarti,

  1

    ^{3 3 3}  _{n  1}  

   _{1 n} deret 5 konvergen.

    ³  _{n  1}  

   _{1 n n 1} Dengan demikian, berdasarkan Teorema 6 (2), deret

  3  5 konvergen.

    ^{8   3} 

    _n  ₁

     _{1 n n n n 1 1 1}

  3  5  3 

  5   ^{8   3   8   3}

     _{n  1 n }

     

_{1 n  1}

    _{1 n n 1}

   3 

  5   ^{8   3}

   

_{n }

_{1 n }

₈

₁

_{3 1 1} 

3 

₁

  5 ₁

1 

₈ 1  ₃

  3

  5  

  7

  2

  

29

 

  

14

TEOREMA 8

   Suatu deret ukur a dikatakan konvergen jika dan hanya jika lim a . Ini juga berarti _{n n} 

   _{n  1 n} 

   bahwa lim a  (atau lim a tidak ada) jika dan hanya jika deret ukur a divergen. _{n n n n  n }

   _{n  1} Bandingkanlah Teorema 8 dengan Teorema 4 dan 5! Apakah perbedaannya?

  Deret Harmonis Suatu deret yang berbentuk

  

  1

  

1

  1

   

1 ...

   _{n  1 n}

  

2

  3 merupakan deret harmonis.

  Contoh 6: Tunjukkan bahwa deret harmonis adalah deret yang divergen.

  Jawab :

  1

  1

  1 Misalkan S      _n 1 ... .

  2 3 n

  1

  1

  1

  1

  1 S = _n 1       ...

  2

  3

  4 5 n

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1      

  = 1           ...   ...

       

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9 16 n      

  1

  2

  4

  8

  1

  > 1 ...

       

  2

  4

  8 16 n

  1

  1

  1

  1

  1

  = 1       ...

  2

  2

  2 2 n ₁ Jelas bahwa dengan mengambil nilai n yang sangat besar, maka penjumlahan -nya akan ₂ semakin banyak dan tak terbatas. Oleh karena itu, jumlah dari deret ini juga semakin tak

  terbatas. Jadi, S divergen. Dengan demikian, deret harmonis adalah deret yang divergen.

    n

  Deret Hiperharmonis Suatu deret yang berbentuk

  

  1

  1

  1

  1 _{p p p p}   1    ...

   _{n  1 n}

  2

  3

  4 dengan p suatu konstanta disebut sebagai suatu deret hiperharmonis (deret-p). p  1;

  Deret ini: 1) konvergen jika 2) divergen jika p  1 . Contoh 7:

  

  1 Tentukan apakah deret konvergen atau divergen. _1,001  _{n  1 n}

  Jawab :

  

  1 Karena merupakan suatu deret hiperharmonis dan 1,001 > 1, maka deret tersebut _1,001  _n  n ₁ konvergen.

  _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ LATIHAN SOAL B Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen, tentukan jumlahnya.

     _{1 n n  1 1 n n 1 1} 1.

  4.

  7.

  3

  2     ^{5   3   4   5}

     _{n  1 n  1 n  1}  

     n _n ^{1 } _{n n 4}

  3 _{1 1} 2.

  5.

  8.

  2 

  3   ^{3 n  1   3   6}

       _n

    _{1 n 1 n} 5  _{2 1} 

  

   n 

  4 n 

  4

  2 1 3.

  6. ₂ 9.

     _{n  1 n n 1 n } n 

  1 _{1 ( n  2)( n  3)}

  

  >> DERET SUKU POSITIF Selain beberapa teorema yang telah dibahas di atas, uji konvergensi untuk deret suku positif ada beberapa macam lagi, diantaranya: a. uji integral,

  d. uji rasio, dan

  b. uji perbandingan, e. uji akar.

  c. uji perbandingan limit,

  Uji Integral

  Misalkan f fungsi yang kontinu, positif, tidak naik pada selang [1, )  , anggaplah a  f n ( ) _n untuk semua n bilangan asli. Maka deret takhingga 

  a

_n

 _n  ₁

  konvergen jika dan hanya jika integral tak wajar

   f x dx ( )

   ¹

  konvergen (nilai integralnya ada). Dengan kata lain: 

   (i) f x dx ( ) ada, maka a konvergen.

  Jika n

    ¹ _{n  1}

  

   (ii) f x dx ( ) tidak ada, maka a divergen.

  Jika n

    ¹ _{n  1} Catatan:

  Saat menggunakan uji integral, deret atau integral tidak harus dimulai dari n = 1. Misalnya, 

  

  1

  1 dalam menguji deret , maka digunakanlah dx . _{2 2}

   _{4 n 4 ( x  3)} 

   n 

  3

   

   t Perlu diingat: f x dx ( )  lim f x dx ( ) .

   ^{1 t   1} Contoh 8: 

  1 Tentukan apakah merupakan deret konvergen atau divergen.

   _{n  2} n ln n Jawab :

  1 Pertama, harus diperhatikan bahwa fungsi terdefinisi dan bernilai positif saat f x ( )  x ln x x  atau pada selang

  2 

  [2, ) , sehingga:

   t t t _t

  1

  1 1 d (ln ) x

  1

lim lim lim (ln ) lim ln ln

dx  dx   d x  x   _{2 2 2}

₁

₂   ₂

   t   t   t   t  x ln x x ln x x ln x ln x

_x

  

  1 Oleh karena itu, merupakan deret yang divergen.  _{n 2 n ln n}

  

  Uji Perbandingan

    Misalkan a dan b adalah deret-deret suku positif, dan a  untuk semua n. b _{n n n n}

    _n   _{1 n 1}

    (i) konvergen, maka juga konvergen.

  b a

  Jika n n

    _{n  1 n  1}

    (ii) a divergen, maka b juga divergen.

  Jika n n

    _{n  1 n  1} Catatan:

  Saat menggunakan uji perbandingan, tentunya harus mengetahui suatu deret yang sudah diketahui kekonvergenan/kedivergenannya sebagai bahan perbandingan. Seringkali digunakan deret ukur, harmonis, atau hiperharmonis karena dapat dengan mudah menentukan konvergen/divergennya deret tersebut, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

  Contoh 9: 

  n Tentukan apakah merupakan deret konvergen atau divergen. ₂  _{n  1 } 5 n

4 Jawab :

  Jelas bahwa semakin besar penyebutnya, maka nilainya akan semakin kecil, sehingga

  n n ₂



₂ 5 n  4 5 n

  Perhatikan bahwa

  n 1 1 1 ₂

  

5 n 5 n 5 n

  sehingga

  

n 1 1

₂

 

5 n  4 5 n

  

1 Pada Contoh 6, telah diketahui bahwa divergen, dan dengan menggunakan Teorema 7,

   _{n  1 n}

   

  1 1 n

  maka  juga divergen sehingga deret merupakan deret yang divergen. Jadi, ₂

    _{n  1 n } 5 n

₁

5 n

  

  n dengan menggunakan uji perbandingan (poin (ii)), didapatlah divergen. ₂  _n

   ¹

  5 n 

  4 Uji Perbandingan Limit

   

  a _n Misalkan a dan b adalah deret-deret suku positif dan lim L . _{n n} 

    _{n  1 n  1 n } b _n

    (i)    , maka a dan b kedua-duanya konvergen atau divergen.

  Jika 0 L n n

   

    (ii) b konvergen, maka a konvergen.

  Jika L = 0 dan diketahui n n

    _{n  1 n  1} Contoh 10: 

  1 Ujilah apakah deret konvergen atau divergen. _n  _{n  1}

  2 

  1 Jawab :

  1

1 Misalkan a  dan b  . Dengan menggunakan uji perbandingan limit, diperoleh

  _{n n n n}

  2

  1

  2  _{n n 1 n}

 

a _n

  2

  2 ₂

  1 _{n  n  n } lim  lim  lim   lim   1 0 _{n  n  1 n  n n 1} b _n 2 

  1 2 

  

1

₂ 1  ₂

 

  

1 Karena limit ini ada dan merupakan deret ukut yang konvergen (buktikan!),

  _n

   _{n  1}

  2

  

  1 berdasarkan uji perbandingan lmit, maka deret konvergen. _n



_{n }

₁

  2 

  1 Uji Rasio

  

  a _{n  1} Misalkan a adalah suatu deret suku positif, dan lim  L . _n  _{n  n  1} a _n

  (i) Jika L < 1, maka deret tersebut konvergen. (ii) Jika L > 1, maka deret tersebut divergen. (iii) Jika L = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apa-apa.

  Contoh 11: _n 

  2 Ujilah apakah deret konvergen atau divergen.

   _{n 1 n !}

  

  Jawab : _{n 1 n 1}

       

  a _{n 1} 2 ( n  1)! 2 n !

  2  lim lim lim lim 0 1

  L       

_{n n}

_{n n n n}    

     

  a _n 2 n ! ( n  1)! 2 n 

  1     _n

  

  2 Dengan demikian, berdasarkan uji rasio (poin (i)), deret konvergen.

   _{n 1} n !

  

  Uji Akar

   _{1 n} Misalkan a adalah suatu deret suku positif, dan lim a  L . _{n   n}

   _{n  n}  ¹

  (i) Jika L < 1, maka deret tersebut konvergen. (ii) Jika L > 1, maka deret tersebut divergen.

  Contoh 12: 

  1 Ujilah apakah deret konvergen atau divergen. _n

  

   ln n

    Jawab : _{n n n 1 n}

   

  1

  1

  1  

  1

  1   a   L  lim  lim   0 1 _{n n n →}  

    

    _{n n}    

  ln n

  ln n ln n

  ln n ln n    

       

  

  1 Dengan demikian, berdasarkan uji akar (poin (i)), deret deret konvergen. _n  _{n 2}  ln n

    _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ LATIHAN SOAL C Ujilah apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen.

   _{2  n n  3} 

  1 1. 7 n e 11. _n 

   _{n  1 2 n  1 } n

  2 ₂

  

  

  ( !) n

  n 2.

  12.

   ₃  _{n 1 n 1} (2 )! n

  

   n 

  7 

  

  n 1 3. _{5 2} 13. ₂

   _{n 1}  _{n  1 n }

  1

   n 

  2

    ₃

    ln n

    3 4.

  14. _{3 n}

   _{n 1 n  n } 

  7

   ^{n 1} 

  

  1 n ! 5. ₂ 15. _n

   _{n  1 n }  _n 16 n  ¹

  5 _n

  

  

  2

  1

  1  

  6. _n 16. 

      _{n 1  n }

  3

  1 ₁

  2 n 

   

   

  5 ^{1 n} 7. ₂

  17. e 

  1  

    _{n  1   n } 2 n 4 n

  3 ₁

   

  1 n ! 8. ₃ 18.

    _n  n  n  (2 n  1)! _{2 3 n 1 n}

  

   n 

  1 n 9. _{5 3} 19. _n

    _{n  1} n 

  4 n 

  3 _{n  1} 3 n 

  2

    _n

   

  2  n

  1  

  10. sin 20. ₂

    

   _{n  1} n _{n  1}   n 

  1

   

  >> DERET ALTERNATING Deret Alternating Suatu deret yang berbentuk a       a a a a a ... _{1 2 3 4 5 6} disebut sebagai suatu deret alternating (deret ganti tanda).

  Deret ini konvergen saat memenuhi: (i) a  a untuk semua nilai n; _{n n 1}  (ii) . _{n  n}

  Pada Contoh 6 telah ditunjukkan bahwa deret harmonis itu divergen. Namun, deret harmonis alternating itu tidak divergen, melainkan konvergen (buktikan!).

  Contoh 13:  _n

1 Tunjukkan bahwa merupakan deret yang konvergen.

  ( 1)   _{n  n !}

  Jawab :

   _n

  1

( 1) adalah suatu deret alternating. Jelas bahwa n ! ( n 1)! untuk semua bilangan



    _{n  n !} 

  1

  1 bulat non-negatif. Oleh sebab itu, . Jadi, terbuktilah bahwa a a .  _{n n}  ₁

  

  n ! ( n  1)!

  Selanjutnya, jika nilai dari n menuju tak hingga, maka secara otomatis nilai dari n ! juga pasti

  1

  menuju tak hingga. Hal ini mengakibatkan lim  . Dengan demikian, deret tersebut _{n }

  n ! merupakan deret yang konvergen.

  TEOREMA 9 Uji Konvergensi Mutlak

   

  Jika a merupakan suatu deret yang konvergen, maka a juga merupakan deret yang _{n n}

   _{n  1}  _{n  1} konvergen.

    Suatu deret a dikatakan konvergen mutlak jika a konvergen. Teorema 9 menjamin _{n n}

    _{n  1 n  1} bahwa kekonvergenan mutlak menjamin kekonvergenan.

  TEOREMA 10 Uji Rasio Mutlak

  

  a _{n  1} Misalkan a adalah suatu deret suku taknol, dan lim  L . _n  _{n  n  1} a _n

  (i) Jika L < 1, maka deret tersebut konvergen mutlak. (ii) Jika L > 1, maka deret tersebut divergen. (iii)

  Jika L = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apa-apa Contoh 14: _n

   _{n 1}

  3  Ujilah apakah deret ( 1)  konvergen atau divergen.

   _{n 1 n !}

  

  Jawab : _n  _{1 n} a _{n  1}

  3

  3

  3 L  lim  lim :  lim   0 1 _{n n n}    ( 1)! !

  1

  a n  n n  _n

  Jadi, berdasarkan Teorema 10 (i), maka deret tersebut konvergen mutlak. Dan, Teorema 9 menjamin bahwa kekonvergenan mutlak menjamin kekonvergenan. Dengan demikian, deret tersebut konvergen.

    

  Suatu deret a dikatakan konvergen bersyarat jika a konvergen tetapi a _{n n n}

   _{n  1}   _{n  1 n  1} divergen. Contoh 15: Tunjukkan bahwa deret harmonis alternating itu merupakan suatu deret konvergen bersyarat.

  Jawab :

  Ingat kembali bentuk deret harmonis alternating:

  1

  1

  1

  

1

  1 1       ...

  2

  3

  4

  

5

  6 Sebelumnya telah disebutkan bahwa deret harmonis alternating merupakan suatu deret yang

  konvergen karena a  a untuk semua nilai n dan lim . Namun, mutlak dari deret _{n n 1 n} a   _{n } harmonis alternating adalah deret harmonis:

  1

  1

  1

  

1

  1 1       ...

  2

  3

  4

  

5

  6

   Pada Contoh 6 telah ditunjukkan bahwa deret harmonis itu divergen. Jadi, oleh karena a _n

   _n  ₁

   yang merupakan deret harmonis alternating itu konvergen dan a yang merupakan deret _n

   _{n  1} harmonis itu divergen, maka deret harmonis alternating itu konvergen bersyarat.

  _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ LATIHAN SOAL D

  Tentukan apakah deret-deret berikut ini konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.

   _{n  1} 

  1 ^{n  1}

  1

  1. ( 1)  6. ( 1) 

   _{n  1} 

  5 n n  ¹ n

   _{n  1 n n sin n}  2. ( 1)  7. ( 1) 

   _{n  1} 

  10 n  1 n  ¹ _{4 } n n

   _{n 1 n n  1}

  1 

  3. ( 1)  _n 8. ( 1) 

   _{n 1} 

  2 n  ^{1 n n ( 1)}

   

   ^{n }  ¹ _{n  1 n ( 3) } 4. ( 1)  ₂ 9. ₂

   _{n  1 n }  1 n ^{1 n}

   

   

  cos( !) n cos n 5. ₂ 10.

   _{n  1 n n }  _{1 n}

  >> DERET KUASA Deret Kuasa Suatu deret yang berbentuk

  

a x a a x a x a x ...

_n

    

_{1 2 2 3}

   _{n } disebut sebagai suatu deret kuasa dalam x (deret pangkat dalam x).

  TEOREMA 11

   _{n 3} Misalkan S x ( )  a x  a  a x  a x  a x  ... adalah jumlah dari suatu deret kuasa _{n 1 2 2 3}

   _n 

  dalam selang I, maka apabila x ada dalam selang I, berlaku:   _{n  1 2}

  (i) S x  ( ) D a x ( ) na x a

  2 a x 2 a x ...       _{x n n n 1 2 3 x }   _{n  n  1}

    _{n a n  1 n}

  1 ²

  1 ³ (ii) S t dt ( )  a t dt  x  a x  a x  a x  ... _{n 1 2}     _{n  n  n }

  1

  2

  3 Sebagai contoh awal, ingat kembali tentang jumlah suku takhingga dari deret ukur

a

S 

  

  

1  r

r

  dengan a adalah suku pertama deret dan r adalah rasio deret dimana r  atau 1   

  1 1 .

  Sekarang misalkan suku pertama deret adalah 1 dan rasionya adalah x, 

  1 ₂

_{3 n}

  1

  1

     1 x x  x   ... x ;    x 

  1  x  _n

  Dengan menggunakan Teorema 11, dapat diperoleh dua formula baru: Turunkan kedua ruasnya; -

  

  1  _{2 3 n 1} 1 2 x 3 x 4 x ... nx ;   

  1 x

  1 ₂      

   _{n  1} 1  x

   

  Integralkan kedua ruasnya; - _{x x x x x}

  1 ^{2 3} dt  1 dt  t dt  t dt  t dt  ...

       1 t 

  maka diperoleh

  1 ₂

  1 ₃

  

1

₄

  ;    1 x

  1  ln(1  x )   x x  x  x  ...

  2

  3

  

4

Dan, jika x disubstitusikan oleh

• – x dan mengalikan kedua ruas dengan –1 maka diperoleh:

   n

  1 ₂

  1 ₃ 1 (  x ) ₄        

ln(1 x ) x x x x ... ;

  

  2

  3 4  n _{n 1}

     1 x

  1 Contoh 16:  ¹ Tentukan deret kuasa yang merepresentasikan tan x .

  Jawab : 1  ₁ Ingat kembali bahwa dx tan x c sehingga: ₂  

   1  x _x

   ¹

  1 tan x  dt ₂ 

  1  t

  1 ₂ Kemudian, dari jumlah suku takhingga dengan mensubstitusi x dengan  t , maka 1 x 

  didapat:

  1 ^{2 4 6} ₂

    

1 t t t ...

  1  t

  Jadi, _{x x}

  1

   ^{1 2 4 6}

  tan x  dt  ₂ 1     t t t ... dt  

    1  t

  Dengan demikian, _{2 n  1} 

   ¹

  1 ³

  1 ⁵

  1 ^{7 x} _n

tan x x x x x ... ( 1) ;   

  1 x

  1

         

  3

  5 7 n  2 n 

  1 Contoh 17:

  Tentukanlah suatu formula dari penjumlahan deret berikut _{2 3}

  x x S x ( ) 1    x   ...

  2! 3!

  Jawab :

  Jika deret tersebut diturunkan, maka didapat _{2 3}

  x x

   S x ( ) 1    x   ...

  2! 3!

  S x   S x S 