Hazrul Split Graph K 2n Tidak Sisi Ajaib 2003
GRAr Spl,rr f2nl, TrDAK Srsr-AJAIBUNTUKn =3(mod8)DANTrDAK StstAJArB SECARAKUAT UNTUKSETtAp N > 3
HAZRUL ISWADI
OepartemenMatematikadan IPA (MIPA)
UniversitasSurabaya(UBAYA)
JalanRayaKalirungkutSurabaya60292
e-mail:us617g@wolt.ubaya.ac.id
Absarrk.
Pelabelan
sisi-ajaib
pada
graf
pemetaan
X:It(G\w E(G) -+ \1,2,...,v+el. dim'n"u=ltl(c)l a* e = lf1C)l, densan
siratuntuk
setiapsisi ry di A, 2(x) + 2(xy) + X(i = n , untuk suab|konstanhk Bilangank disebutbilangan
ajaib G. Suatugraf C dengansebuahpelabelantotal sisi-ajaibdisebutsisi-ajaib.Pelabetantotal sisi-ajaib
dis€butkuatjika lab€ldari titik adalahlabelpalingkecil yangmrmgkinyaittt l,2, ... , v. craf c dis€butjisiajaib secarakuat jika mempunyaisuatupelabelantotal sisi-ajaib ktat. Cnaf spliaKr/ adalahgraf yang
mcmiliki jumlah titik v = 2q n t'uah titik n€nbentuk graf lengkapKn dan n buahtitik yang lain nasingmasingnyaterhubungke semuatitik di graf lengkap I(Il. Padatulisanini dibuktikanbahwa |g6f split K.y
tidak sisi-ajaibunhk '4 = 3(mod 8) dantidak sisi-ajaibsecarakuatuntuks€tiapn > 3.
Kats kunci: grafsplit, p€labelantotal sisi-ajaib
L Pendahuluan
Gr$ G adalahh\mpuran berhingga tak kosong dari tirik V(G) &n;ama denganhimpunan pasangantak
berurut dari dua titik yang berbedadi G yang dinamakandenganriri dan dinotasikandenganE(G).
Kardinalitasdari himpunantitik lZ(Gl di G dinotasikandenganv dan disebutdenganora&G, sedangkan
kardiwtitas darihimpunansisi lelCil alnotasikandengane dan disebutdenganukuran G. Sisi.ry = {-ty}
diseb& menghubungkantitik .x dan J,. Jika rJ,,suatu sisi di G maka x dan y disebut sebagaititik-tilik yang
bertetangga.Derajqt dx) dari suatu titik.x di C adalah himpunan dari semua titik lain y di G sehingga /
adalahtetanggar di G.
Beberapadefinisi b€rikut diambilkan dari Chartrand dan Lesniak (1996\. Gral lengkap li, dengan n
buah titik adalahgraf dengansetiapdua titik selalu bertetangga.Komplemenddari graf G adalahgraf
denganhimpunantitik yang samadenganC sehinggadua titik bertetanggadi C- jika dan hanyajika titiktitik tersebut tidak b€rtetanggadi G. Graf Null K-, adalah komplemen dari graf lengkap K^. Gro/ bipa it
K,n adalahgraf yang diperolehdenganmempartisihimpunan Z(G) menjadi'himpuanV1 dan V2 sehinga
setiap sisi di E(G) menghubungkantitik di I/1dengan Zr.
Dari Wallis (2001) diperoleh definisi-delinisibeikut. Pelabelan totol sisi-ajaib rt,da suatugraf c adalah
pemeraansatu-satu t tv(G)w E(G) -+ 11,2,..,,y+ el , 4r*"
u=lt lc{ aan e =lE(G)|, dengan sifat
diberikan sisi .r7 di G, l(x) + )(xy) + .l(.y) = t , untuk suatu konstantat. Bilangan & dlsebut 6ilangan ajaib
G. Suatugraf G dengansebuahpelabelantotal sisi-ajaibdisebrt sisi-ajqib. Pelabelantotal sisi-ajaibdisebut
,qs, jika lBbel dari titik adalah label paling kecil yang mungkin yaitu l, 2, ... , v, Sebuahgraf disebur riri
ajaib secaru hual jika mempunyai suatupelabelantotal sisi-ajaib kuat.
Misalkan 2 p€labelantotal sisi-ajaibgrafG denganjumlah ajaib t, denganhimpunanlabel untuk ritiktitik di G adalahlay a2,-. a,| . Kondisi perluyang harusdipenuhiadalah:
l. ai + a, + ai = * tidak mungkinterjadijika adadua ai, ai,dar' ah &rtetaeg$adi G.
2. jumlah ai + aj,dimana.r;x7 sisi di G, semuanyaberbeda.
3. 0 ar+2n'
a n = a n - t + 3 = a n - 2 + 6 = . . . =a l
HAZRUL IS\VADT
sehingga diperoleh d, > 2n. Betf,ntar.gan dengan i pelabetantotal sisi-ajaib s€carakuat. sedangkan
untuk 4/ = aL + 2 maka himpunan{ a! , d2 ,...,or1 &rupa himpunandenganz buah bilangangenapatau
ganjil saja. Padahal4 dan a, adalah dua bilangan yang berurutandi himpunan
\ar*1,ana2,...,a2n1
sehinggatidak terdapat, buah bilanganganjil atau genapsaja padahimpunan1a1,a2,...,an Kemudian
).
andaikan a, > 4 + 2. Untuk q> ai + 2, dengancarayang samadengandiatasakan diperoleh a2, > 2n.
Bertenlanganlagi dengan ,l pelabelantotal sisi-ajaib secarakuat. Jadi satu-satunyakemungkinanyang
t€rtinggaladalaha./= 4 + 2. Andaikanai=a1 ! ) maka himpunan lan
berupahimpunan
l,an*2.-,a2rl
dengann buahbilangangenapatauganjit saja.Jika himpunanI o11.s1,
ana2._, a2nl adalahhimpunann buah
bilangangenapmaka himpunan{q,02...dn
} adatahhimpunann buahbilanganganjil. Sehinggaal = l,
qn = 2n - l, ao*1 = 2, dan a2n = 2n. Kemudian diproleb
).(xrxr4) =k-(an
+ an+t)=k-(2n+ l) = &- (ar + a2)=
).(xyx2n),
Padahalrnr*' dan x1.r2,sisi-sisi di K2y. Berarti bertentangandengan 2 pelabelantotal sisi-ajaib.
Dengancarayang samauntuk himpunanlan+t,ah+2,.,.,a2nI adalahhimpunann buahbilanganganjil akan
diproleh juga
^ ( x n x n + t )= k - ( d n + a r , ; ) = k - ( 2 n + l ) = & - ( a r + a 2 ) = ) , ( 4 x 2 ) ,
Sehinggadiperolehlagi kontradiksidengan 2 pelabelantotal sisi-ajaib.Jadi tidak terdapatpelabelantotal
sisi-ajaibsecarakuat dari grafsplit Kr,7 , untuk n > 3. D
Daftar Pustaka
G. Chartranddan L. Lesniak (1996), Graptu and Digraphs, eAisike-3, Chapman&Hall, London
J. A. callian (2001), A dynanic suney of graph labeling, ElecEonic Joumal combinatorics, Dynamic survey
#DS6
G. Ringel dan A. S. Llado (1996), Another tree conjectwe,Bnlletin Inst. ComninatoricsApplication 18, hal. g385
W. D. Wallis(2001),Magicgrdpla,Bitkhauser,Basel
HAZRUL ISWADI
OepartemenMatematikadan IPA (MIPA)
UniversitasSurabaya(UBAYA)
JalanRayaKalirungkutSurabaya60292
e-mail:us617g@wolt.ubaya.ac.id
Absarrk.
Pelabelan
sisi-ajaib
pada
graf
pemetaan
X:It(G\w E(G) -+ \1,2,...,v+el. dim'n"u=ltl(c)l a* e = lf1C)l, densan
siratuntuk
setiapsisi ry di A, 2(x) + 2(xy) + X(i = n , untuk suab|konstanhk Bilangank disebutbilangan
ajaib G. Suatugraf C dengansebuahpelabelantotal sisi-ajaibdisebutsisi-ajaib.Pelabetantotal sisi-ajaib
dis€butkuatjika lab€ldari titik adalahlabelpalingkecil yangmrmgkinyaittt l,2, ... , v. craf c dis€butjisiajaib secarakuat jika mempunyaisuatupelabelantotal sisi-ajaib ktat. Cnaf spliaKr/ adalahgraf yang
mcmiliki jumlah titik v = 2q n t'uah titik n€nbentuk graf lengkapKn dan n buahtitik yang lain nasingmasingnyaterhubungke semuatitik di graf lengkap I(Il. Padatulisanini dibuktikanbahwa |g6f split K.y
tidak sisi-ajaibunhk '4 = 3(mod 8) dantidak sisi-ajaibsecarakuatuntuks€tiapn > 3.
Kats kunci: grafsplit, p€labelantotal sisi-ajaib
L Pendahuluan
Gr$ G adalahh\mpuran berhingga tak kosong dari tirik V(G) &n;ama denganhimpunan pasangantak
berurut dari dua titik yang berbedadi G yang dinamakandenganriri dan dinotasikandenganE(G).
Kardinalitasdari himpunantitik lZ(Gl di G dinotasikandenganv dan disebutdenganora&G, sedangkan
kardiwtitas darihimpunansisi lelCil alnotasikandengane dan disebutdenganukuran G. Sisi.ry = {-ty}
diseb& menghubungkantitik .x dan J,. Jika rJ,,suatu sisi di G maka x dan y disebut sebagaititik-tilik yang
bertetangga.Derajqt dx) dari suatu titik.x di C adalah himpunan dari semua titik lain y di G sehingga /
adalahtetanggar di G.
Beberapadefinisi b€rikut diambilkan dari Chartrand dan Lesniak (1996\. Gral lengkap li, dengan n
buah titik adalahgraf dengansetiapdua titik selalu bertetangga.Komplemenddari graf G adalahgraf
denganhimpunantitik yang samadenganC sehinggadua titik bertetanggadi C- jika dan hanyajika titiktitik tersebut tidak b€rtetanggadi G. Graf Null K-, adalah komplemen dari graf lengkap K^. Gro/ bipa it
K,n adalahgraf yang diperolehdenganmempartisihimpunan Z(G) menjadi'himpuanV1 dan V2 sehinga
setiap sisi di E(G) menghubungkantitik di I/1dengan Zr.
Dari Wallis (2001) diperoleh definisi-delinisibeikut. Pelabelan totol sisi-ajaib rt,da suatugraf c adalah
pemeraansatu-satu t tv(G)w E(G) -+ 11,2,..,,y+ el , 4r*"
u=lt lc{ aan e =lE(G)|, dengan sifat
diberikan sisi .r7 di G, l(x) + )(xy) + .l(.y) = t , untuk suatu konstantat. Bilangan & dlsebut 6ilangan ajaib
G. Suatugraf G dengansebuahpelabelantotal sisi-ajaibdisebrt sisi-ajqib. Pelabelantotal sisi-ajaibdisebut
,qs, jika lBbel dari titik adalah label paling kecil yang mungkin yaitu l, 2, ... , v, Sebuahgraf disebur riri
ajaib secaru hual jika mempunyai suatupelabelantotal sisi-ajaib kuat.
Misalkan 2 p€labelantotal sisi-ajaibgrafG denganjumlah ajaib t, denganhimpunanlabel untuk ritiktitik di G adalahlay a2,-. a,| . Kondisi perluyang harusdipenuhiadalah:
l. ai + a, + ai = * tidak mungkinterjadijika adadua ai, ai,dar' ah &rtetaeg$adi G.
2. jumlah ai + aj,dimana.r;x7 sisi di G, semuanyaberbeda.
3. 0 ar+2n'
a n = a n - t + 3 = a n - 2 + 6 = . . . =a l
HAZRUL IS\VADT
sehingga diperoleh d, > 2n. Betf,ntar.gan dengan i pelabetantotal sisi-ajaib s€carakuat. sedangkan
untuk 4/ = aL + 2 maka himpunan{ a! , d2 ,...,or1 &rupa himpunandenganz buah bilangangenapatau
ganjil saja. Padahal4 dan a, adalah dua bilangan yang berurutandi himpunan
\ar*1,ana2,...,a2n1
sehinggatidak terdapat, buah bilanganganjil atau genapsaja padahimpunan1a1,a2,...,an Kemudian
).
andaikan a, > 4 + 2. Untuk q> ai + 2, dengancarayang samadengandiatasakan diperoleh a2, > 2n.
Bertenlanganlagi dengan ,l pelabelantotal sisi-ajaib secarakuat. Jadi satu-satunyakemungkinanyang
t€rtinggaladalaha./= 4 + 2. Andaikanai=a1 ! ) maka himpunan lan
berupahimpunan
l,an*2.-,a2rl
dengann buahbilangangenapatauganjit saja.Jika himpunanI o11.s1,
ana2._, a2nl adalahhimpunann buah
bilangangenapmaka himpunan{q,02...dn
} adatahhimpunann buahbilanganganjil. Sehinggaal = l,
qn = 2n - l, ao*1 = 2, dan a2n = 2n. Kemudian diproleb
).(xrxr4) =k-(an
+ an+t)=k-(2n+ l) = &- (ar + a2)=
).(xyx2n),
Padahalrnr*' dan x1.r2,sisi-sisi di K2y. Berarti bertentangandengan 2 pelabelantotal sisi-ajaib.
Dengancarayang samauntuk himpunanlan+t,ah+2,.,.,a2nI adalahhimpunann buahbilanganganjil akan
diproleh juga
^ ( x n x n + t )= k - ( d n + a r , ; ) = k - ( 2 n + l ) = & - ( a r + a 2 ) = ) , ( 4 x 2 ) ,
Sehinggadiperolehlagi kontradiksidengan 2 pelabelantotal sisi-ajaib.Jadi tidak terdapatpelabelantotal
sisi-ajaibsecarakuat dari grafsplit Kr,7 , untuk n > 3. D
Daftar Pustaka
G. Chartranddan L. Lesniak (1996), Graptu and Digraphs, eAisike-3, Chapman&Hall, London
J. A. callian (2001), A dynanic suney of graph labeling, ElecEonic Joumal combinatorics, Dynamic survey
#DS6
G. Ringel dan A. S. Llado (1996), Another tree conjectwe,Bnlletin Inst. ComninatoricsApplication 18, hal. g385
W. D. Wallis(2001),Magicgrdpla,Bitkhauser,Basel