Soal dan solusi olimpiade matematika

1.

Nilai dari √

adalah ...

Solusi :

2.



Salah satu faktor dari





adalah ...

Solusi :

.
Jadi salah satu faktor dari
3.

Jika

adalah

dan

maka nilai dari

adalah ...

Solusi:

(
4.

Jika


dan

merupakan akar-akar persamaan

)
maka nilai adalah ...

Solusi:
Jelas
Jelas
Jadi
5.

Diketahui

dan

adalah 4 bilangan real positif yang memenuhi sistem persamaan:


Berapakah nilai dari

?

Solusi:


6.

Diketahui:

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 1

Nilai dari

adalah ...

Solusi:


Sehingga bisa diperoleh:

Jadi
7.



Jika


Solusi :





8.




Jadi √
Jika







dan

nilai

adalah ...

Misalkan


maka




.




dan



, maka

Solusi :
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 2





9.







Nilai dari √

adalah ...

Solusi :
Ingat

10.

Jadi √


Jika
dari

dan

dengan

dan

adalah bilangan real berbeda, maka nilai

adalah ...

Solusi :

Karena

11.


maka

maka nilai dari

Jika

adalah ...

Solusi :

12.

Tentukan solusi untuk persamaan √



Solusi :

(√




)





(

13.

√ )(

Jadi solusi dari √

Jika

√ )




adalah
maka nilai dari

√ dan

adalah ...

√ .

Solusi:

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 3

Jelas

,

dan

Jadi
14.

Jika

dan

merupakan persamaan garis yang sama, maka nilai dari

Solusi:
Karena

dan

merupakan persamaan garis yang sama, akibatnya:
untuk suatu

Pilih

dan

.

Sehingga didapat:
dan
Jadi
15.

Nilai

yang memenuhi persamaan

adalah ...

Solusi:

atau
Jadi nilai
16.

yang memenuhi adalah

atau

Jumlah kuadrat akar-akar persamaan
persamaan

maka nilai

sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar
adalah ...

Solusi:
Misalkan akar-akar dari
Misalkan akar-akar dari

adalah

dan

adalah dan

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 4

Jelas

dan

Jelas

dan

Jelas

17. Diketahui kurva

dan garis

saling berpotongan dititik A dan titik B. Jarak

titik A dan B adalah ...
Solusi:
Saling berpotongan berarti ada kesamaan nilai

dan

atau
Untuk

Untuk

diperoleh:

diperoleh:

Jelas titik potongnya adalah
Jarak kedua titik potong
18. Diketahui fungsi

dan

√(

)

(

didefinisikan sebagai

Solusi:

)





Tentukan nilai dari:

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

Jelas
( )

(

)

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

(

)

( )

Page 5

19. Jika tiga akar

membentuk barisan geometri, maka nilai dari

Solusi:
Misalkan tiga akarnya adalah

dan

Jelas
Substituskan

pada persamaan

20. Bilangan bulat terbesar

sehingga diperoleh:

sehingga

habis dibagi oleh

adalah...

Solusi:

Jelas

harus habis dibagi

Jelas faktor terbesar dari

Jadi
21.

adalah

.

terbesar adalah 289.

Bilangan real

dan

memenuhi

dan

Nilai maksimum dari

adalah ...
Solusi:

(

22.

)

Tentukan semua bilangan real

(

)

sehingga

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 6

Solusi:
Misalkan

dan

Sehingga diperoleh
dan
Jadi nilai
23.

yang memenuhi adalah

dan

Tentukan semua bilangan bulat positif

sehingga

merupakan bilangan prima.

Solusi:

Karena [

[

][

]

Sehingga diperoleh [

Sehingga bisa didapatkan

24.

]

]

Buktikan bahwa
Solusi:
Dengan memnggunakan





Dari



diperoleh:


dan



diperoleh:
( √

25.

Diketahui

dan

)( √

)( √

(Terbukti)

)

adalah bilangan real positif. Jika

maka nilai maksimum dari

dan

adalah ...

Solusi:

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 7

Dengan menggunakan

diperoleh:








Jadi nilai maksimum untuk
26.

adalah



Tentukan nilai minimal dari
Solusi:
Dengan menggunakana

diperoleh:




Jadi nilai minimal dari

27.

Tentukan nilai minimal dari

adalah

untuk

Solusi:
Jelas
Dengan menggunakan

diperoleh:




Jadi nilai minimum untuk

adalah

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 8

28.

Buktikan bahwa untuk

positif, maka

Solusi:
Dengan menggunakan

diperoleh:







Dari

dan

diperoleh

(Terbukti)

29.

Diketahui

yang memenuhi

dan

Tentukan nilai terbesar dari

Solusi:
Dengan menggunakan

diperoleh:


Dari



dan

diperoleh:

Jadi nilai terbesar dari

30.

Diketahui

dan

adalah

adalah penyelesaian dari

Tentukan nilai terbesar dan batasan

dari
Solusi:
Dengan menggunakan

diperoleh:




Jadi nilai terbesar dari

adalah 100.

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

Page 9

31.

Misalkan

dan

adalah bilangan real positif sehingga

. Carilah nilai

minimum dari
Solusi:
Dengan

(

diperoleh:

)

(

)

adalah 16.

Jadi nilai minimum dari

32.

Misalkan

dan

adalah bilangan real positif sehingga

. Berapakah nilai

minimum dari
Solusi:
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy Schwarz diperoleh:

Jadi nilai minimum dari

33.

For positive real numbers

adalah 64.

find the minimum value of the following expression:
)

(

Solusi:

Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy Schwarz diperoleh:

(

Jadi nilai minimu dari

)

Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)

adalah

Page 10