Soal dan solusi olimpiade matematika
1.
Nilai dari √
adalah ...
Solusi :
2.
√
Salah satu faktor dari
√
√
adalah ...
Solusi :
.
Jadi salah satu faktor dari
3.
Jika
adalah
dan
maka nilai dari
adalah ...
Solusi:
(
4.
Jika
dan
merupakan akar-akar persamaan
)
maka nilai adalah ...
Solusi:
Jelas
Jelas
Jadi
5.
Diketahui
dan
adalah 4 bilangan real positif yang memenuhi sistem persamaan:
Berapakah nilai dari
?
Solusi:
√
6.
Diketahui:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 1
Nilai dari
adalah ...
Solusi:
Sehingga bisa diperoleh:
Jadi
7.
√
Jika
√
Solusi :
√
√
8.
√
Jadi √
Jika
√
√
√
dan
nilai
adalah ...
Misalkan
√
maka
√
.
√
√
dan
√
, maka
Solusi :
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 2
√
√
9.
√
√
√
Nilai dari √
adalah ...
Solusi :
Ingat
√
10.
Jadi √
Jika
dari
dan
dengan
dan
adalah bilangan real berbeda, maka nilai
adalah ...
Solusi :
Karena
11.
maka
maka nilai dari
Jika
adalah ...
Solusi :
12.
Tentukan solusi untuk persamaan √
√
Solusi :
(√
√
)
√
√
(
13.
√ )(
Jadi solusi dari √
Jika
√ )
√
adalah
maka nilai dari
√ dan
adalah ...
√ .
Solusi:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 3
Jelas
,
dan
Jadi
14.
Jika
dan
merupakan persamaan garis yang sama, maka nilai dari
Solusi:
Karena
dan
merupakan persamaan garis yang sama, akibatnya:
untuk suatu
Pilih
dan
.
Sehingga didapat:
dan
Jadi
15.
Nilai
yang memenuhi persamaan
adalah ...
Solusi:
atau
Jadi nilai
16.
yang memenuhi adalah
atau
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan
persamaan
maka nilai
sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar
adalah ...
Solusi:
Misalkan akar-akar dari
Misalkan akar-akar dari
adalah
dan
adalah dan
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 4
Jelas
dan
Jelas
dan
Jelas
17. Diketahui kurva
dan garis
saling berpotongan dititik A dan titik B. Jarak
titik A dan B adalah ...
Solusi:
Saling berpotongan berarti ada kesamaan nilai
dan
atau
Untuk
Untuk
diperoleh:
diperoleh:
Jelas titik potongnya adalah
Jarak kedua titik potong
18. Diketahui fungsi
dan
√(
)
(
didefinisikan sebagai
Solusi:
)
√
√
Tentukan nilai dari:
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
Jelas
( )
(
)
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
(
)
( )
Page 5
19. Jika tiga akar
membentuk barisan geometri, maka nilai dari
Solusi:
Misalkan tiga akarnya adalah
dan
Jelas
Substituskan
pada persamaan
20. Bilangan bulat terbesar
sehingga diperoleh:
sehingga
habis dibagi oleh
adalah...
Solusi:
Jelas
harus habis dibagi
Jelas faktor terbesar dari
Jadi
21.
adalah
.
terbesar adalah 289.
Bilangan real
dan
memenuhi
dan
Nilai maksimum dari
adalah ...
Solusi:
(
22.
)
Tentukan semua bilangan real
(
)
sehingga
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 6
Solusi:
Misalkan
dan
Sehingga diperoleh
dan
Jadi nilai
23.
yang memenuhi adalah
dan
Tentukan semua bilangan bulat positif
sehingga
merupakan bilangan prima.
Solusi:
Karena [
[
][
]
Sehingga diperoleh [
Sehingga bisa didapatkan
24.
]
]
Buktikan bahwa
Solusi:
Dengan memnggunakan
√
√
√
Dari
√
diperoleh:
√
dan
√
diperoleh:
( √
25.
Diketahui
dan
)( √
)( √
(Terbukti)
)
adalah bilangan real positif. Jika
maka nilai maksimum dari
dan
adalah ...
Solusi:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 7
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
√
√
Jadi nilai maksimum untuk
26.
adalah
√
Tentukan nilai minimal dari
Solusi:
Dengan menggunakana
diperoleh:
√
√
Jadi nilai minimal dari
27.
Tentukan nilai minimal dari
adalah
untuk
Solusi:
Jelas
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
Jadi nilai minimum untuk
adalah
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 8
28.
Buktikan bahwa untuk
positif, maka
Solusi:
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
√
Dari
dan
diperoleh
(Terbukti)
29.
Diketahui
yang memenuhi
dan
Tentukan nilai terbesar dari
Solusi:
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
Dari
√
dan
diperoleh:
Jadi nilai terbesar dari
30.
Diketahui
dan
adalah
adalah penyelesaian dari
Tentukan nilai terbesar dan batasan
dari
Solusi:
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
Jadi nilai terbesar dari
adalah 100.
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 9
31.
Misalkan
dan
adalah bilangan real positif sehingga
. Carilah nilai
minimum dari
Solusi:
Dengan
(
diperoleh:
)
(
)
adalah 16.
Jadi nilai minimum dari
32.
Misalkan
dan
adalah bilangan real positif sehingga
. Berapakah nilai
minimum dari
Solusi:
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy Schwarz diperoleh:
Jadi nilai minimum dari
33.
For positive real numbers
adalah 64.
find the minimum value of the following expression:
)
(
Solusi:
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy Schwarz diperoleh:
(
Jadi nilai minimu dari
)
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
adalah
Page 10
Nilai dari √
adalah ...
Solusi :
2.
√
Salah satu faktor dari
√
√
adalah ...
Solusi :
.
Jadi salah satu faktor dari
3.
Jika
adalah
dan
maka nilai dari
adalah ...
Solusi:
(
4.
Jika
dan
merupakan akar-akar persamaan
)
maka nilai adalah ...
Solusi:
Jelas
Jelas
Jadi
5.
Diketahui
dan
adalah 4 bilangan real positif yang memenuhi sistem persamaan:
Berapakah nilai dari
?
Solusi:
√
6.
Diketahui:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 1
Nilai dari
adalah ...
Solusi:
Sehingga bisa diperoleh:
Jadi
7.
√
Jika
√
Solusi :
√
√
8.
√
Jadi √
Jika
√
√
√
dan
nilai
adalah ...
Misalkan
√
maka
√
.
√
√
dan
√
, maka
Solusi :
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 2
√
√
9.
√
√
√
Nilai dari √
adalah ...
Solusi :
Ingat
√
10.
Jadi √
Jika
dari
dan
dengan
dan
adalah bilangan real berbeda, maka nilai
adalah ...
Solusi :
Karena
11.
maka
maka nilai dari
Jika
adalah ...
Solusi :
12.
Tentukan solusi untuk persamaan √
√
Solusi :
(√
√
)
√
√
(
13.
√ )(
Jadi solusi dari √
Jika
√ )
√
adalah
maka nilai dari
√ dan
adalah ...
√ .
Solusi:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 3
Jelas
,
dan
Jadi
14.
Jika
dan
merupakan persamaan garis yang sama, maka nilai dari
Solusi:
Karena
dan
merupakan persamaan garis yang sama, akibatnya:
untuk suatu
Pilih
dan
.
Sehingga didapat:
dan
Jadi
15.
Nilai
yang memenuhi persamaan
adalah ...
Solusi:
atau
Jadi nilai
16.
yang memenuhi adalah
atau
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan
persamaan
maka nilai
sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar
adalah ...
Solusi:
Misalkan akar-akar dari
Misalkan akar-akar dari
adalah
dan
adalah dan
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 4
Jelas
dan
Jelas
dan
Jelas
17. Diketahui kurva
dan garis
saling berpotongan dititik A dan titik B. Jarak
titik A dan B adalah ...
Solusi:
Saling berpotongan berarti ada kesamaan nilai
dan
atau
Untuk
Untuk
diperoleh:
diperoleh:
Jelas titik potongnya adalah
Jarak kedua titik potong
18. Diketahui fungsi
dan
√(
)
(
didefinisikan sebagai
Solusi:
)
√
√
Tentukan nilai dari:
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
Jelas
( )
(
)
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
(
)
( )
Page 5
19. Jika tiga akar
membentuk barisan geometri, maka nilai dari
Solusi:
Misalkan tiga akarnya adalah
dan
Jelas
Substituskan
pada persamaan
20. Bilangan bulat terbesar
sehingga diperoleh:
sehingga
habis dibagi oleh
adalah...
Solusi:
Jelas
harus habis dibagi
Jelas faktor terbesar dari
Jadi
21.
adalah
.
terbesar adalah 289.
Bilangan real
dan
memenuhi
dan
Nilai maksimum dari
adalah ...
Solusi:
(
22.
)
Tentukan semua bilangan real
(
)
sehingga
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 6
Solusi:
Misalkan
dan
Sehingga diperoleh
dan
Jadi nilai
23.
yang memenuhi adalah
dan
Tentukan semua bilangan bulat positif
sehingga
merupakan bilangan prima.
Solusi:
Karena [
[
][
]
Sehingga diperoleh [
Sehingga bisa didapatkan
24.
]
]
Buktikan bahwa
Solusi:
Dengan memnggunakan
√
√
√
Dari
√
diperoleh:
√
dan
√
diperoleh:
( √
25.
Diketahui
dan
)( √
)( √
(Terbukti)
)
adalah bilangan real positif. Jika
maka nilai maksimum dari
dan
adalah ...
Solusi:
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 7
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
√
√
Jadi nilai maksimum untuk
26.
adalah
√
Tentukan nilai minimal dari
Solusi:
Dengan menggunakana
diperoleh:
√
√
Jadi nilai minimal dari
27.
Tentukan nilai minimal dari
adalah
untuk
Solusi:
Jelas
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
Jadi nilai minimum untuk
adalah
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 8
28.
Buktikan bahwa untuk
positif, maka
Solusi:
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
√
Dari
dan
diperoleh
(Terbukti)
29.
Diketahui
yang memenuhi
dan
Tentukan nilai terbesar dari
Solusi:
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
Dari
√
dan
diperoleh:
Jadi nilai terbesar dari
30.
Diketahui
dan
adalah
adalah penyelesaian dari
Tentukan nilai terbesar dan batasan
dari
Solusi:
Dengan menggunakan
diperoleh:
√
√
Jadi nilai terbesar dari
adalah 100.
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
Page 9
31.
Misalkan
dan
adalah bilangan real positif sehingga
. Carilah nilai
minimum dari
Solusi:
Dengan
(
diperoleh:
)
(
)
adalah 16.
Jadi nilai minimum dari
32.
Misalkan
dan
adalah bilangan real positif sehingga
. Berapakah nilai
minimum dari
Solusi:
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy Schwarz diperoleh:
Jadi nilai minimum dari
33.
For positive real numbers
adalah 64.
find the minimum value of the following expression:
)
(
Solusi:
Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy Schwarz diperoleh:
(
Jadi nilai minimu dari
)
Oleh : Wahyu Budi Hartanto, S.Si. (081217877215)
adalah
Page 10