Kuliah 5 Deret taylor dan mac laurin fun

DERET TAYLOR DAN
MAC LAURIN FUNGSI
DUA PERUBAH

Reni Novitalia
Sukirman

DERET TAYLOR UNTUK SATU
VARIABLE
BEBAS
Deret Pangkat:
ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……
Suatu fungsi yang didefenisikan sebagai deret pangkat
f(x)=ao + a1(x-h)+ a2 (x-h)2+ a3 (x-h)3………an(x-h)n ……
Deret Taylor untuk delta (kenaikan) yang kecil
f(x)=f(h) + f(b)’(x-h)+ f(h)’’ (x-h)2+ f(h)’’’ (x-h)3……… f(b)n(x-h)n ……
2!
3!
n!
Bila h=0 maka deret menjadi deret Maclaurin
f(x)=f(0) + f(0)’(x)+ f(0)’’ (x)2+ f(0)’’’ (x)3……… f(0)n(x)n ……

2!
3!
n!
(354)

DERTER TAYLOR UNTUK DUA
VARIABLE BEBAS
Jika z=f(x,y); kenaikan terjadi arah x dan y maka
Z+z=(x+h, y+k); dimana h = keneikan arah x dan k = kenaikan
arah y


Untuk R
(1)

fxx(x,y)=d2f(x,y)/dx2
konstan : y berubah

fx(x,y) = df(x,y)/dx dan
Dari R ke Q maka (x+h)

(2)

(y+k)

CONTINUE
Untuk mendapatkan formulasi kenaikan pada y dari persamaan
kenaikan terhadap x yaitu f(x+h,y) maka dapat dilakukan dengan
menurunkan persamaannya.

Turunan ke dua terhadap y
Persamaan (2) menjadi

TEOREMA TAYLOR UNTUK 2
VARIABLE
BEBAS
Bila persamaan yang diambil hanya sampai turunan kedua maka
akan menjadi

Jika z=f(x,y); h=dx dan k=dy maka teorema taylor dapat ditulis

Bila z dipindahkan ke kiri maka

Karena dx dan dy kenaikan yang kecil sehingga turunan berikutnya
akan menjadi lebih kecil sehingga bias diabaikan, maka
persamaannya akan menjadi

CONTINUE
Dapat digambarkan sbg berikut

CONTOH SOAL
 
Jari
– jarikerucutmeningkatdengankecepatanperubahansebesar 1.5
mm/s dantingginyameningkatsebesar 6.0 mm/s.
Tentukanpeningkatanperubahanvolumenyasaat r= 12mm dan
h=24mm
Solusi:
V= ;
dr/dt=1.5mm/s dan dh/dt=6.0 mm/s maka

Tidakterjadiperubahan volume pada r=12mm dan h=24mm

PERUBAHAN VARIABEL
Bila z=f(x,y) dimana x, y juga merupakan fungsi dari variable bebas
u dan v. formulasi untuk dz/du dan dz/dv. Persamaan awal adalah:
Dengan membagi dengan du dan dv maka:

CONTOH
Jika z= x2-y2 dan x=r cos  dan y= r sin  tentukan dz/d ; dz/dr; d2z/d2;
d2z/dr2
Solusi:

FUNGSI INVERS
Bila z=f(x,y) dan x dan y merupakan fungsi dari variable u dan v
yang dinyatakan dalam fungsi u=g(x,y) dan v= h(x,y). Kita bias
menentukan dx/du; dx/dv;dy/du; dy/dv serta dz/dx dan dz/dy
Contoh:
Jika z=f(x,y) dan u=excosy dan v=e-x sin y tentukan dx/du dan dx/dv

(1)

(2)

CONTINUE
(1)
(2)
Jumlahkan

Menentukan dy
(1)
(2)
Jumlahkan

RUMUSAN
Menentukan dx
Jika z=f(x,y) dan x=g(u,v); y=h(u.v)
maka

Untuk menentukan du dan dv eliminasi
dy

Kurangkan

Menentukan dy
Eliminasi dx

CONTINUE
Dari jawaban di atas terlihat bahwa pembaginya sama sehingga
bias dinyatakan dengan determinan yang disebut dengan Jacobian