1 Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Bilangan Asli (ℕ)
Bilangan Nol
Bilangan Negatif
(1,2,3, ⋯ )
(0)
(⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat (ℤ )
5
1
( ; 3 ; 5%; 6,82; ⋯ )
7
2
Bilangan Irrasional
Bilangan Rasional (ℚ)
(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )
Bilangan Real (ℝ)
Bilangan Imajiner
atau Bilangan Nyata
atau Bilangan Tidak Nyata
𝑖 = √−1
Bilangan Kompleks (ℂ )
𝑥 = 𝑎 ± 𝑏𝑖
A. Bilangan Real (ℝ)
Definisi
Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti
23
2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan − ,
129
dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik
dalam garis bilangan.
B. Bilangan Imajiner
Definisi
Bilangan imajiner ditandai dengan adanya huruf, bilangan yang mempunyai sifat
2
𝑖 = − 1 ↔ 𝑖 = √−1.
C. Bilangan Kompleks (ℂ)
Definisi
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan
real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk
𝐶 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ dan 𝑖 adalah bilangan imajiner}.
D. Persamaan Kuadrat
Definisi
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ
1
keterangan: 𝑎
𝑏
𝑐
𝑥
=
=
=
=
koefisien 𝑥 2
koefisien 𝑥
konstanta
variabel
E. Akar-akar Persamaan Kuadrat
1) Pemfaktoran
𝑎2 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
misal: 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 jika dan hanya jika
𝑏𝑥 = (𝑝 + 𝑞)𝑥
𝑏 =𝑝+𝑞
𝑝+𝑞 =𝑏
𝑐 = 𝑝𝑞
𝑝𝑞 = 𝑐
dan
dan
atau
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑝 + 𝑞 = 𝑏
dan
𝑝𝑞 = 𝑐
𝑝 + 𝑞 = −3
dan
𝑝𝑞 = 6
misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain
misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain
Karena yang sama pada permisalan pertana dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka
dipakai 𝑝 = −5 dan 𝑞 = 2
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
Coba dicek
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 5𝑥 − 10
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10
Akar-akar persamaan kuadrat
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0
𝑥1 − 5 = 0 atau 𝑥2 + 2 = 0
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
2) Kuadrat Sempurna
misal:
𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
misal: 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑎 = 0
𝑏
𝑎
𝑐
𝑐
𝑥2 + 𝑥 + − = 0 −
𝑎
𝑎
𝑏
= 𝑥2 + 𝑥 +
𝑎
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
𝑎
2
𝑐
𝑏
𝑥 2 + 𝑥 = − ⋯ (1)
𝑎
𝑎
misal 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 6𝑥 + (3)2
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + (2 ⋅ 3)𝑥 + (3)2
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 2(3)𝑥 + (3)2
6 2
6
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 2 ( ) 𝑥 + ( ) ⋯ (2)
2
2
Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)
𝑏
𝑐
𝑏
𝑐
6
6 2
𝑥 2 + 𝑥 = − 𝑎 ke 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 2 (2) 𝑥 + (2)
𝑎
𝑥2 + 𝑥 = − 𝑎
𝑎
𝑏
𝑥2 + 1 ⋅ ( ) 𝑥 = −
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑥2 + 1 ⋅ ( ) 𝑥 = − 𝑎
𝑎
𝑏
2
2
2
1⋅2
2
𝑥 + ⋅( )𝑥 = −
𝑥2 +
2
2
𝑎
⋅( )𝑥 = −
𝑥 + ⋅(
1
𝑏
𝑐
𝑎
𝑎
𝑏
2⋅𝑎
𝑏
)𝑥 = −
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
2
𝑐
𝑏
𝑥2 + 2 ( ) 𝑥 + ( ) = − + ( )
2𝑎
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
2𝑎
𝑐
𝑏
) =− +( )
𝑎
2𝑎
𝑎
2
2𝑎
2
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10
(𝑥 +
(𝑥 +
2
𝑏
𝑐
𝑏
) =− +( )
2𝑎
(−3) 2
2(1)
𝑎
) =−
3
2
2𝑎
(−10)
1
2
+(
(−3) 2
2(1)
3 2
(𝑥 + (− )) = 10 + (− )
2
3 2
9
(𝑥 − ) = 10 + 4
2
3 2
(𝑥 − ) = 1 ⋅ 10 +
2
3 2
4
3 2
4
40
2
)
9
4
9
(𝑥 − ) = 4 ⋅ 10 + 4
2
3 2
(𝑥 − ) =
2
(𝑥 − ) =
2
3 2
(𝑥 − ) =
2
3 2
(𝑥 − ) =
2
3 2
4⋅10
4
49
4
49
4
+
+
9
4
9
4
√(𝑥 − ) = √49
2
4
3
2
2
√(𝑥 − 3) = √72
2
3 2
2
√(𝑥 − ) = √(7)
2
3
2
7
𝑥 − = ±2
2
3
7
𝑥 = ±2
2
3
7
2
3
𝑥1 = + atau 𝑥2 = −
2
2
10
2
−4
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
7
2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
3) Rumus 𝒂𝒃𝒄
(𝑥 +
2
𝑏
𝑐
𝑏
) =− +( )
2𝑎
𝑏 2
𝑎
𝑐
2𝑎
𝑏 2
𝑎
𝑐
2𝑎
𝑏
2
𝑏
(𝑥 +
) = − + ( )( )
2𝑎
(𝑥 +
) = − ⋅ 1 + 4𝑎2
2𝑎
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
2𝑎
𝑏2
) = − + 4𝑎2
2
𝑏
𝑎
𝑐
) =− ⋅
2𝑎
𝑏 2
) =−
4𝑎
4𝑎2
𝑏2
2
𝑏2
𝑏2
4𝑎𝑐
4𝑎2
4𝑎𝑐
) = 4𝑎2 + (−
2𝑎
𝑏
) = 4𝑎2 + (
2𝑎
𝑏 2
) =
2𝑎
𝑏 2
2𝑎
𝑏
2𝑎
𝑥12 +
) =
𝑏
2𝑎
=
𝑏
2𝑎
𝑥12 = −
𝑥12 =
𝑥12 =
2
𝑏2
+ 4𝑎2
+ 4𝑎2
) = 4𝑎2 −
2𝑎
𝑏 2
2𝑎
𝑏2
𝑎 4𝑎
4𝑎𝑐
𝑏2
2𝑎
𝑏 2
√(𝑥 +
𝑥+
𝑎
𝑐
2
𝑏
𝑏 2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
−4𝑎𝑐
4𝑎2
4𝑎2
)
)
𝑏 2 −4𝑎𝑐
(2𝑎)2
) =√
𝑏 2 −4𝑎𝑐
(2𝑎)2
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
√(2𝑎)2
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
=±
𝑏
±
2𝑎
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
2𝑎
−𝑏
±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
+
2𝑎
2𝑎
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10
4
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−3)±√(−3)2 −4(1)(−10)
3±√9+40
2
3±√49
2(1)
2
3±7
2
3+7
2
10
atau 𝑥2 =
3−7
−4
2
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
F. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat
Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan
(pembeda), yaitu: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Sifat akar-akar tersebut adalah
1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda (𝑥1 ≠ 𝑥2 ).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 16 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, dan 𝑐 = −16
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(0)±√(0)2 −4(1)(−16)
0±√0+64
2
0±√64
2(1)
2
±8
2
+8
2
8
atau 𝑥2 =
−8
2
−8
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 16 = 0 adalah 𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4
2) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama (𝑥1 = 𝑥2 ).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, dan 𝑐 = 16
5
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−8)±√(−8)2 −4(1)(16)
2(1)
8±√64−64
2
8±√0
2
8±0
2
8+0
8
2
atau 𝑥2 =
8
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = 4
8−0
2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0 adalah 𝑥1 = 𝑥2 = 4
3) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang kompleks (𝑥1 = ⋯ +
⋯ 𝑖 atau 𝑥2 = ⋯ − ⋯ 𝑖).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, dan 𝑐 = 13
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−6)±√(−6)2 −4(1)(13)
2(1)
6±√36−52
2
6±√−16
2
6±√16⋅(−1)
2
6±√16⋅√−1
2
6±4⋅𝑖
2
6±4𝑖
2
6+4𝑖
atau 𝑥2 =
2
2(3+2𝑖)
6−4𝑖
2
2(3−2𝑖)
𝑥1 =
atau 𝑥2 =
2
2
𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 adalah 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖
6
G. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥12 =
2𝑎
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
atau 𝑥2 =
2𝑎
1) Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐
+
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
2𝑎
−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−𝑏−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−2𝑏
2𝑎
−𝑏
𝑎
2) Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
𝑥1 𝑥2 = (
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐
)(
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
)
2𝑎
2𝑎
(−𝑏)(−𝑏)−(−𝑏)(−√𝑏2 −4𝑎𝑐)−(−𝑏)(√𝑏2 −4𝑎𝑐)+(√𝑏2 −4𝑎𝑐)(−√𝑏2 −4𝑎𝑐)
(2𝑎)(2𝑎)
𝑏 2 −𝑏√𝑏 2 −4𝑎𝑐+𝑏√𝑏 2 −4𝑎𝑐−√(𝑏2 −4𝑎𝑐)2
4𝑎2
𝑏 2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎2
𝑏 2 −𝑏2 +4𝑎𝑐
4𝑎2
4𝑎⋅𝑐
4𝑎⋅𝑎
𝑐
𝑎
Contoh: Jika diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = −1, 𝑐 = 3, maka carilah −
Jawab: −
1
𝑥1
−
1
−1
1
= ⋅1− ⋅1
𝑥1
𝑥2
−1 𝑥2 1 𝑥1
⋅ − ⋅
=
𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥1
−𝑥2
𝑥1
=
−
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2
−𝑥2 − 𝑥1
=
𝑥1 𝑥2
(−𝑥2 − 𝑥1 )
=
𝑥1 𝑥2
−(𝑥1 + 𝑥2 )
=
𝑥1 𝑥2
(𝑥1 + 𝑥2 )
=−
𝑥1 𝑥2
𝑥1 + 𝑥2
= −(
)
𝑥1 𝑥2
𝑥2
7
1
𝑥1
−
1
𝑥2
!
Jadi, −
1
𝑥1
−
1
𝑥2
−𝑏
= −( 𝑎
𝑐 )
𝑎
−𝑏 𝑎
= −( )( )
𝑎
𝑐
−(−1) 2
)( )
= −(
3
2
1 1
= −( )( )
1 3
1
=−
3
=−
1
3
H. Menyusun Persamaan Kuadrat
𝑥 = 𝑥1 atau 𝑥 = 𝑥2
𝑥 − 𝑥1 = 0 atau 𝑥 − 𝑥2 = 0
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0
𝑥 2 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥1 𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑥 2 − (𝑥2 + 𝑥1 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑏
𝑐
Contoh: Jika diketahui − = 3, 𝑎 = −10, maka bentuklah persamaan kuadratnya!
𝑎
Jawab:
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
−𝑏
𝑐
𝑥2 − ( ) 𝑥 + ( ) = 0
𝑎
𝑎
𝑥 2 − (3)𝑥 + (−10) = 0
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
Jadi, persamaan kuadratnya 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
Contoh: 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖, maka bentuklah persamaan kuadratnya!
Jawab:
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑥 2 − (3 + 2𝑖 + 3 − 2𝑖)𝑥 + (3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖) = 0
𝑥 2 − (3 + 3 + 2𝑖 − 2𝑖)𝑥 + (9 − 6𝑖 + 6𝑖 − 4𝑖 2 ) = 0
𝑥 2 − (6)𝑥 + (9 − 4√(−1)2 ) = 0
I.
𝑥 2 − 6𝑥 + (9 − 4(−1)) = 0
𝑥 2 − 6𝑥 + (9 + 4) = 0
𝑥 2 − 6𝑥 + 13 = 0
Bentuk Fungsi
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓(𝑥) = 𝑦
dimana 𝑥 merupakan domain dari fungsi 𝑓 dan disebut variabel bebas karena nilainya dapat
diganti dengan berbagai bilangan dan 𝑦 disebut variabel terikat (tak bebas)
8
J.
karena nilainya ditentukan oleh 𝑥.
Fungsi Kuadrat
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 atau 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑹
K. Grafik Fungsi Kuadrat
1) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 > 𝟎
9
2) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 = 𝟎
3) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 < 𝟎
10
4) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎
5) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 = 𝟎
11
6) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎
L. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh: Gambarlah grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 !
Jawab:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10
Langkah ke-1 (Menentukan titik potong sumbu 𝑿)
Jika 𝑦 = 0, maka 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
𝑥=
𝑥=
𝑥=
𝑥=
𝑥=
𝑥=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−3)±√(−3)2 −4(1)(−10)
3±√9+40
2
3±√49
2(1)
2
3±7
2
3+7
2
10
atau 𝑥 =
3−7
−4
2
𝑥 = atau 𝑥 = 2
2
𝑥 = 5 atau 𝑥 = −2
Koordinat (5,0) dan (−2,0)
Langkah ke-2 (Menentukan titik potong sumbu 𝒀)
Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = (0)2 − 3(0) − 10
𝑦 = 0 − 0 − 10
12
𝑦 = −10
Langkah ke-3 (Mencari titik puncak)
𝑥=
𝑥=
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
−𝑏
2𝑎
𝑥=−
2𝑎
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
±
𝑏
2𝑎
±
2𝑎
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, maka koordinat sumbu 𝑋 adalah 𝑥 = −
Jika 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑥 = −
𝑦 = 𝑎 (−
𝑦 = 𝑎 (−
𝑦 = 𝑎(
𝑏
2𝑎
𝑏
2𝑎
𝑏2
4𝑎2
𝑎𝑏 2
𝑦 = 4𝑎2 −
𝑎𝑏 2
𝑦 = 4𝑎 −
𝑏2
𝑦 = 4𝑎 −
𝑦=
𝑏2
4𝑎
𝑏2
−
𝑦 = 4𝑎 −
𝑦=
𝑦=
) + 𝑏 (−
) (−
)−
𝑏2
2𝑎
𝑏2
𝑦 = 4𝑎⋅𝑎 −
𝑏2
2
2𝑎
𝑏2
2𝑎
+𝑐
2𝑎
𝑏2
𝑏2
𝑏
2𝑎
+𝑐
+𝑐
∙1+𝑐⋅1
∙ +𝑐⋅
2𝑎 2
2𝑏 2
4𝑎𝑐
+
4𝑎
4𝑎
𝑏 2 −2𝑏2 +4𝑎𝑐
4𝑎
)+𝑐
, maka koordinat sumbu 𝑌 adalah
) − 2𝑎 + 𝑐
+𝑐
2𝑎
𝑏2 2
4𝑎
−𝑏 2 +4𝑎𝑐
𝑏
2𝑎
𝑏2
𝑏
2𝑎
𝑏
2𝑎
Jadi, (𝑥, 𝑦) = (−
𝑏
4𝑎
4𝑎
,
2𝑎
−𝑏 2 +4𝑎𝑐
4𝑎
)
Contoh: Jika 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10, maka (𝑥, 𝑦) = (−
(−3) −(−3)2 +4(1)(−10)
,
4(1)
2(1)
3 −9−40
(𝑥, 𝑦) = ( ,
2
4
3 −49
(𝑥, 𝑦) = ( ,
2
1
4
)
)
1
(𝑥, 𝑦) = (1 , −12 )
2
13
4
)
M. Menentukan Fungsi Kuadrat jika Titik Puncak dan salah satu Titik diketahui
Contoh: Jika diketahui titik puncak suatu fungsi kuadrat adalah (1,2) dan melalui titik (3,4),
maka carilah fungsi kuadratnya!
Diketahui: (ℎ, 𝑘) = (1,2) jika dan hanya jika ℎ = 1, 𝑘 = 2
(𝑥1 , 𝑦1 ) = (3,4) jika dan hanya jika 𝑥1 = 3, 𝑦1 = 4
Ditanya: 𝑦 ?
(𝑦1 − 𝑘) = 𝑎(𝑥1 − ℎ)2
Jawab:
(4 − 2) = 𝑎(3 − 1)2
2 = 𝑎(4)
𝑎(4) = 2
2
𝑎=
𝑎=
4
1
2
14
(𝑦 − 𝑘) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2
1
(𝑦 − 2) = (𝑥 − 1)2
2
1
(𝑦 − 2) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
2
1
(𝑦 − 2) = (𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
2
1
[dikalikan 2]
2(𝑦 − 2) = 2 ⋅ (𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
2
2𝑦 − 4 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1
2𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 4
1
2𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5
[dikalikan ]
1
1
2
⋅ 2𝑦 = (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
2
2
1
𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 +
2
5
2
15
Bilangan Asli (ℕ)
Bilangan Nol
Bilangan Negatif
(1,2,3, ⋯ )
(0)
(⋯ , −3, −2, −1)
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat (ℤ )
5
1
( ; 3 ; 5%; 6,82; ⋯ )
7
2
Bilangan Irrasional
Bilangan Rasional (ℚ)
(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )
Bilangan Real (ℝ)
Bilangan Imajiner
atau Bilangan Nyata
atau Bilangan Tidak Nyata
𝑖 = √−1
Bilangan Kompleks (ℂ )
𝑥 = 𝑎 ± 𝑏𝑖
A. Bilangan Real (ℝ)
Definisi
Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti
23
2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan − ,
129
dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik
dalam garis bilangan.
B. Bilangan Imajiner
Definisi
Bilangan imajiner ditandai dengan adanya huruf, bilangan yang mempunyai sifat
2
𝑖 = − 1 ↔ 𝑖 = √−1.
C. Bilangan Kompleks (ℂ)
Definisi
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan
real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk
𝐶 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ dan 𝑖 adalah bilangan imajiner}.
D. Persamaan Kuadrat
Definisi
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ
1
keterangan: 𝑎
𝑏
𝑐
𝑥
=
=
=
=
koefisien 𝑥 2
koefisien 𝑥
konstanta
variabel
E. Akar-akar Persamaan Kuadrat
1) Pemfaktoran
𝑎2 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
misal: 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞
𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 + (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 jika dan hanya jika
𝑏𝑥 = (𝑝 + 𝑞)𝑥
𝑏 =𝑝+𝑞
𝑝+𝑞 =𝑏
𝑐 = 𝑝𝑞
𝑝𝑞 = 𝑐
dan
dan
atau
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑝 + 𝑞 = 𝑏
dan
𝑝𝑞 = 𝑐
𝑝 + 𝑞 = −3
dan
𝑝𝑞 = 6
misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain
misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain
Karena yang sama pada permisalan pertana dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka
dipakai 𝑝 = −5 dan 𝑞 = 2
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
Coba dicek
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 5𝑥 − 10
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10
Akar-akar persamaan kuadrat
(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0
𝑥1 − 5 = 0 atau 𝑥2 + 2 = 0
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
2) Kuadrat Sempurna
misal:
𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
misal: 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑎 = 0
𝑏
𝑎
𝑐
𝑐
𝑥2 + 𝑥 + − = 0 −
𝑎
𝑎
𝑏
= 𝑥2 + 𝑥 +
𝑎
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
𝑎
2
𝑐
𝑏
𝑥 2 + 𝑥 = − ⋯ (1)
𝑎
𝑎
misal 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 6𝑥 + (3)2
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + (2 ⋅ 3)𝑥 + (3)2
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 2(3)𝑥 + (3)2
6 2
6
𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 2 ( ) 𝑥 + ( ) ⋯ (2)
2
2
Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)
𝑏
𝑐
𝑏
𝑐
6
6 2
𝑥 2 + 𝑥 = − 𝑎 ke 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 2 (2) 𝑥 + (2)
𝑎
𝑥2 + 𝑥 = − 𝑎
𝑎
𝑏
𝑥2 + 1 ⋅ ( ) 𝑥 = −
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑥2 + 1 ⋅ ( ) 𝑥 = − 𝑎
𝑎
𝑏
2
2
2
1⋅2
2
𝑥 + ⋅( )𝑥 = −
𝑥2 +
2
2
𝑎
⋅( )𝑥 = −
𝑥 + ⋅(
1
𝑏
𝑐
𝑎
𝑎
𝑏
2⋅𝑎
𝑏
)𝑥 = −
𝑏
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
2
𝑐
𝑏
𝑥2 + 2 ( ) 𝑥 + ( ) = − + ( )
2𝑎
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
2𝑎
𝑐
𝑏
) =− +( )
𝑎
2𝑎
𝑎
2
2𝑎
2
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10
(𝑥 +
(𝑥 +
2
𝑏
𝑐
𝑏
) =− +( )
2𝑎
(−3) 2
2(1)
𝑎
) =−
3
2
2𝑎
(−10)
1
2
+(
(−3) 2
2(1)
3 2
(𝑥 + (− )) = 10 + (− )
2
3 2
9
(𝑥 − ) = 10 + 4
2
3 2
(𝑥 − ) = 1 ⋅ 10 +
2
3 2
4
3 2
4
40
2
)
9
4
9
(𝑥 − ) = 4 ⋅ 10 + 4
2
3 2
(𝑥 − ) =
2
(𝑥 − ) =
2
3 2
(𝑥 − ) =
2
3 2
(𝑥 − ) =
2
3 2
4⋅10
4
49
4
49
4
+
+
9
4
9
4
√(𝑥 − ) = √49
2
4
3
2
2
√(𝑥 − 3) = √72
2
3 2
2
√(𝑥 − ) = √(7)
2
3
2
7
𝑥 − = ±2
2
3
7
𝑥 = ±2
2
3
7
2
3
𝑥1 = + atau 𝑥2 = −
2
2
10
2
−4
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
7
2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
3) Rumus 𝒂𝒃𝒄
(𝑥 +
2
𝑏
𝑐
𝑏
) =− +( )
2𝑎
𝑏 2
𝑎
𝑐
2𝑎
𝑏 2
𝑎
𝑐
2𝑎
𝑏
2
𝑏
(𝑥 +
) = − + ( )( )
2𝑎
(𝑥 +
) = − ⋅ 1 + 4𝑎2
2𝑎
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
(𝑥 +
2𝑎
𝑏2
) = − + 4𝑎2
2
𝑏
𝑎
𝑐
) =− ⋅
2𝑎
𝑏 2
) =−
4𝑎
4𝑎2
𝑏2
2
𝑏2
𝑏2
4𝑎𝑐
4𝑎2
4𝑎𝑐
) = 4𝑎2 + (−
2𝑎
𝑏
) = 4𝑎2 + (
2𝑎
𝑏 2
) =
2𝑎
𝑏 2
2𝑎
𝑏
2𝑎
𝑥12 +
) =
𝑏
2𝑎
=
𝑏
2𝑎
𝑥12 = −
𝑥12 =
𝑥12 =
2
𝑏2
+ 4𝑎2
+ 4𝑎2
) = 4𝑎2 −
2𝑎
𝑏 2
2𝑎
𝑏2
𝑎 4𝑎
4𝑎𝑐
𝑏2
2𝑎
𝑏 2
√(𝑥 +
𝑥+
𝑎
𝑐
2
𝑏
𝑏 2 −4𝑎𝑐
4𝑎2
−4𝑎𝑐
4𝑎2
4𝑎2
)
)
𝑏 2 −4𝑎𝑐
(2𝑎)2
) =√
𝑏 2 −4𝑎𝑐
(2𝑎)2
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
√(2𝑎)2
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
=±
𝑏
±
2𝑎
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
2𝑎
−𝑏
±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
+
2𝑎
2𝑎
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10
4
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−3)±√(−3)2 −4(1)(−10)
3±√9+40
2
3±√49
2(1)
2
3±7
2
3+7
2
10
atau 𝑥2 =
3−7
−4
2
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2
F. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat
Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan
(pembeda), yaitu: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Sifat akar-akar tersebut adalah
1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda (𝑥1 ≠ 𝑥2 ).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 16 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, dan 𝑐 = −16
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(0)±√(0)2 −4(1)(−16)
0±√0+64
2
0±√64
2(1)
2
±8
2
+8
2
8
atau 𝑥2 =
−8
2
−8
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 16 = 0 adalah 𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4
2) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama (𝑥1 = 𝑥2 ).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, dan 𝑐 = 16
5
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−8)±√(−8)2 −4(1)(16)
2(1)
8±√64−64
2
8±√0
2
8±0
2
8+0
8
2
atau 𝑥2 =
8
𝑥1 = atau 𝑥2 = 2
2
𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = 4
8−0
2
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0 adalah 𝑥1 = 𝑥2 = 4
3) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0,
maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang kompleks (𝑥1 = ⋯ +
⋯ 𝑖 atau 𝑥2 = ⋯ − ⋯ 𝑖).
Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 !
Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, dan 𝑐 = 13
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥12 =
𝑥1 =
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−6)±√(−6)2 −4(1)(13)
2(1)
6±√36−52
2
6±√−16
2
6±√16⋅(−1)
2
6±√16⋅√−1
2
6±4⋅𝑖
2
6±4𝑖
2
6+4𝑖
atau 𝑥2 =
2
2(3+2𝑖)
6−4𝑖
2
2(3−2𝑖)
𝑥1 =
atau 𝑥2 =
2
2
𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 6𝑥 + 13 = 0 adalah 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖
6
G. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥12 =
2𝑎
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
atau 𝑥2 =
2𝑎
1) Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐
+
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
2𝑎
−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−𝑏−𝑏+√𝑏 2 −4𝑎𝑐−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−2𝑏
2𝑎
−𝑏
𝑎
2) Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
𝑥1 𝑥2 = (
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐
)(
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
)
2𝑎
2𝑎
(−𝑏)(−𝑏)−(−𝑏)(−√𝑏2 −4𝑎𝑐)−(−𝑏)(√𝑏2 −4𝑎𝑐)+(√𝑏2 −4𝑎𝑐)(−√𝑏2 −4𝑎𝑐)
(2𝑎)(2𝑎)
𝑏 2 −𝑏√𝑏 2 −4𝑎𝑐+𝑏√𝑏 2 −4𝑎𝑐−√(𝑏2 −4𝑎𝑐)2
4𝑎2
𝑏 2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎2
𝑏 2 −𝑏2 +4𝑎𝑐
4𝑎2
4𝑎⋅𝑐
4𝑎⋅𝑎
𝑐
𝑎
Contoh: Jika diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = −1, 𝑐 = 3, maka carilah −
Jawab: −
1
𝑥1
−
1
−1
1
= ⋅1− ⋅1
𝑥1
𝑥2
−1 𝑥2 1 𝑥1
⋅ − ⋅
=
𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥1
−𝑥2
𝑥1
=
−
𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2
−𝑥2 − 𝑥1
=
𝑥1 𝑥2
(−𝑥2 − 𝑥1 )
=
𝑥1 𝑥2
−(𝑥1 + 𝑥2 )
=
𝑥1 𝑥2
(𝑥1 + 𝑥2 )
=−
𝑥1 𝑥2
𝑥1 + 𝑥2
= −(
)
𝑥1 𝑥2
𝑥2
7
1
𝑥1
−
1
𝑥2
!
Jadi, −
1
𝑥1
−
1
𝑥2
−𝑏
= −( 𝑎
𝑐 )
𝑎
−𝑏 𝑎
= −( )( )
𝑎
𝑐
−(−1) 2
)( )
= −(
3
2
1 1
= −( )( )
1 3
1
=−
3
=−
1
3
H. Menyusun Persamaan Kuadrat
𝑥 = 𝑥1 atau 𝑥 = 𝑥2
𝑥 − 𝑥1 = 0 atau 𝑥 − 𝑥2 = 0
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 0
𝑥 2 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥1 𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑥 2 − (𝑥2 + 𝑥1 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑏
𝑐
Contoh: Jika diketahui − = 3, 𝑎 = −10, maka bentuklah persamaan kuadratnya!
𝑎
Jawab:
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
−𝑏
𝑐
𝑥2 − ( ) 𝑥 + ( ) = 0
𝑎
𝑎
𝑥 2 − (3)𝑥 + (−10) = 0
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
Jadi, persamaan kuadratnya 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
Contoh: 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖, maka bentuklah persamaan kuadratnya!
Jawab:
𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 = 0
𝑥 2 − (3 + 2𝑖 + 3 − 2𝑖)𝑥 + (3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖) = 0
𝑥 2 − (3 + 3 + 2𝑖 − 2𝑖)𝑥 + (9 − 6𝑖 + 6𝑖 − 4𝑖 2 ) = 0
𝑥 2 − (6)𝑥 + (9 − 4√(−1)2 ) = 0
I.
𝑥 2 − 6𝑥 + (9 − 4(−1)) = 0
𝑥 2 − 6𝑥 + (9 + 4) = 0
𝑥 2 − 6𝑥 + 13 = 0
Bentuk Fungsi
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓(𝑥) = 𝑦
dimana 𝑥 merupakan domain dari fungsi 𝑓 dan disebut variabel bebas karena nilainya dapat
diganti dengan berbagai bilangan dan 𝑦 disebut variabel terikat (tak bebas)
8
J.
karena nilainya ditentukan oleh 𝑥.
Fungsi Kuadrat
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 atau 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑹
K. Grafik Fungsi Kuadrat
1) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 > 𝟎
9
2) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 = 𝟎
3) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 < 𝟎
10
4) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎
5) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 = 𝟎
11
6) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎
L. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh: Gambarlah grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 !
Jawab:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 10
Langkah ke-1 (Menentukan titik potong sumbu 𝑿)
Jika 𝑦 = 0, maka 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
𝑥=
𝑥=
𝑥=
𝑥=
𝑥=
𝑥=
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
−(−3)±√(−3)2 −4(1)(−10)
3±√9+40
2
3±√49
2(1)
2
3±7
2
3+7
2
10
atau 𝑥 =
3−7
−4
2
𝑥 = atau 𝑥 = 2
2
𝑥 = 5 atau 𝑥 = −2
Koordinat (5,0) dan (−2,0)
Langkah ke-2 (Menentukan titik potong sumbu 𝒀)
Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = (0)2 − 3(0) − 10
𝑦 = 0 − 0 − 10
12
𝑦 = −10
Langkah ke-3 (Mencari titik puncak)
𝑥=
𝑥=
−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐
−𝑏
2𝑎
𝑥=−
2𝑎
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
±
𝑏
2𝑎
±
2𝑎
√𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, maka koordinat sumbu 𝑋 adalah 𝑥 = −
Jika 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑥 = −
𝑦 = 𝑎 (−
𝑦 = 𝑎 (−
𝑦 = 𝑎(
𝑏
2𝑎
𝑏
2𝑎
𝑏2
4𝑎2
𝑎𝑏 2
𝑦 = 4𝑎2 −
𝑎𝑏 2
𝑦 = 4𝑎 −
𝑏2
𝑦 = 4𝑎 −
𝑦=
𝑏2
4𝑎
𝑏2
−
𝑦 = 4𝑎 −
𝑦=
𝑦=
) + 𝑏 (−
) (−
)−
𝑏2
2𝑎
𝑏2
𝑦 = 4𝑎⋅𝑎 −
𝑏2
2
2𝑎
𝑏2
2𝑎
+𝑐
2𝑎
𝑏2
𝑏2
𝑏
2𝑎
+𝑐
+𝑐
∙1+𝑐⋅1
∙ +𝑐⋅
2𝑎 2
2𝑏 2
4𝑎𝑐
+
4𝑎
4𝑎
𝑏 2 −2𝑏2 +4𝑎𝑐
4𝑎
)+𝑐
, maka koordinat sumbu 𝑌 adalah
) − 2𝑎 + 𝑐
+𝑐
2𝑎
𝑏2 2
4𝑎
−𝑏 2 +4𝑎𝑐
𝑏
2𝑎
𝑏2
𝑏
2𝑎
𝑏
2𝑎
Jadi, (𝑥, 𝑦) = (−
𝑏
4𝑎
4𝑎
,
2𝑎
−𝑏 2 +4𝑎𝑐
4𝑎
)
Contoh: Jika 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10, maka (𝑥, 𝑦) = (−
(−3) −(−3)2 +4(1)(−10)
,
4(1)
2(1)
3 −9−40
(𝑥, 𝑦) = ( ,
2
4
3 −49
(𝑥, 𝑦) = ( ,
2
1
4
)
)
1
(𝑥, 𝑦) = (1 , −12 )
2
13
4
)
M. Menentukan Fungsi Kuadrat jika Titik Puncak dan salah satu Titik diketahui
Contoh: Jika diketahui titik puncak suatu fungsi kuadrat adalah (1,2) dan melalui titik (3,4),
maka carilah fungsi kuadratnya!
Diketahui: (ℎ, 𝑘) = (1,2) jika dan hanya jika ℎ = 1, 𝑘 = 2
(𝑥1 , 𝑦1 ) = (3,4) jika dan hanya jika 𝑥1 = 3, 𝑦1 = 4
Ditanya: 𝑦 ?
(𝑦1 − 𝑘) = 𝑎(𝑥1 − ℎ)2
Jawab:
(4 − 2) = 𝑎(3 − 1)2
2 = 𝑎(4)
𝑎(4) = 2
2
𝑎=
𝑎=
4
1
2
14
(𝑦 − 𝑘) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2
1
(𝑦 − 2) = (𝑥 − 1)2
2
1
(𝑦 − 2) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)
2
1
(𝑦 − 2) = (𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
2
1
[dikalikan 2]
2(𝑦 − 2) = 2 ⋅ (𝑥 2 − 2𝑥 + 1)
2
2𝑦 − 4 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1
2𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + 4
1
2𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5
[dikalikan ]
1
1
2
⋅ 2𝑦 = (𝑥 2 − 2𝑥 + 5)
2
2
1
𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 +
2
5
2
15