BAB XIV. LIMIT FUNGSI - 14. Fungsi limit

BAB XIV. LIMIT FUNGSI

2. Bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan rumus : ~

a. membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat

Pengertian :

tertinggi penyebut Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil

Contoh : tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit.

3 ₂ −

Lim Lim x −

x x

Limit Fungsi Aljabar ² ²

x → ~ x x −

12 x → ~ x x

12 ₂ ₂ − + ₂

x x x

1. Bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan 2 cara :

3 − Lim x x

a. Memfaktorkan : =

x →

1 −

₂

Lim Lim

F ( x ) ( x − a ) f ( x ) x

x → a G ( x ) x → a ( x − a ) g ( x )

− = = 0

1 −

Contoh : ₂ ₂ Bentuk soal tersebut adalah seperti berikut:

Lim Lim

2 x −

2 ( x − 1 ) _{m m} ₁ −

Lim ax bx ...

x →

1 1 x →

x − ( x − 1 ) _{n n} ₁ − x → ~ px qx ...

2 ( x − 1 )( x 1 ) =

Lim

a x

1 ( 1 ) → x −

Jika m = 0 hasilnya

Jika m > n hasilnya ~

2 ( x 1 ) =

Lim

Jika m< n hasilnya 0

x →

1 1 ) maka dapat langsung dijawab dengan

= = 4

1 Lim

x −

3 ₂ = 0 Æ karena pangkat pembilang

b. L’Hospital

x ~ x x

→

12 − + pembilang dan penyebut didifferensialkan _' < pangkat penyebut

Lim Lim F ( x )

F(x) = _'

x → a x → a G ( x ) Lim f ( x )

3. Untuk , Jika f(x) atau g(x) merupakan

x a

→ g ( x ) Contoh : bentuk akar, maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan

Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan f(x) atau sekawan g(x). cara L’Hospital ₂ Rumus lain:

Lim Lim

2 x − 2 4x 4 .

1 = = = 1

x →

1 1 x →

x − Lim ₂ ₂ b − p ax bx c − ax px q = ;

( ) x → ~ ₂

2 a (turunan 2 x − 2 adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 ) berlaku jika konstanta kuadratnya sama (nilai a sama)

www.belajar-matematika.com - 1

14. SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI

− +

Lim )

2 5 )( 4 ( + + + − x x x

4 → x

Lim )

2 5 )( 4 (

x x x x

= 4 → x

Lim )

2 5 )( 4 ( )

4 (

x x x x

= 4 → x

Lim )

2 5 (

x x

x x x x

= 4 → x

1 jawab: 4 → x

Lim

5 −

x x x

= 4 → x

Lim

)

5 −

x x x

1 4 .

Lim

6 ²

x x x

x x

= 3 → x

Lim

)

1 5 (

16 )

5 4 )( 6 ( ²

x x x x

= 3 → x

6 ²

1 E.

3 → x

5 4 (

= -

1 UN2007

4. Nilai

Lim

6 ²

x x x

= ….

A. -8 B. -6 C. 6 D. 8 E. ~ jawab: 3 → x

Lim

1 C. 0 D.

Lim

5 ₂ ²

Lim

2 → x

EBTANAS2000 1.

4 → x

= ….

5 −

x x x

= ….

A. -

1 B. -

x x x x

−
−
− +
− +
−
−
−
−
− − −
−
−
− − −

)

Lim

2 − −

x x

3 2 .

x x x x

5 2 .

2 − −

1 1 − = -1 jawabannya adalah A

UMPTN2000

2. Jika f(x) =

= 2 → x

5 ₂ ²

Lim

1 jawabannya adalah D UAN2006

2 2 (

= )

A. -1 B. -

1 C. 0 D. 1 E. -5 jawab: kalau dimasukkan nilai x=2 didapat hasil = Gunakan L’HOSPITAL 2 → x

Lim

2 ₂ ² −

−

2 →

x Lim

2 ₂ ² −

−

x x x

2 →

x Lim

) 2 )( 2 (

) 2 (

x x x x

2 → x

1 Cara 2 : pemfaktoran

x x x

2 ₂ ² −

, maka 2 → x

Lim f(x) = ….

A. 0 B. ~ C. -2 D.

1 E. 2 jawab: Cara 1 : dengan L’HOSPITAL 2 → x

Lim

−

2 2 . 2 −

= 2 → x

Lim x x

2 2 −

= 2 .

x x x

− −
− − −
2 ( x
− − −
2 ( x
=
−
− −

−
− −

5 Jawab:

1 ₂ ²

3 D. 1 E. 3 jawab: cos ² x + sin ² x =1 ⇔ cos ² (x-2) + sin ² (x-2) = 1

⇒ cos ² (x-2) = 1 - sin ² (x-2) 2 → x

Lim

3 ) 2 ( cos

x x x

− −

= 2 → x

Lim

3 )) 2 ( sin

1 (

1 C.

2 → x

4 sin .

→

x Lim x x

4 sin = -2 .

2 . 4 . 4 = -4 jawabannya adalah A

UN2002 6.

Lim

− − −

3 ) 2 ( cos

1 ₂ ²

− −

x x x

= … A. 0 B.

1 ₂ ²

x x x

{(3x-1) -

−

x x

1 Jawabannya adalah B UAN2005

7. Nilai ~ → x

Lim

1 ₂ ² ) 2 (

9 ² + − x x }= … A. -1 B. 0 C.

1 D.

3 E.

) 2 ( sin −

→

− + −

2 → x

Lim

3 ) 2 ( sin

1 ₂ ²

x x x

Lim

= 2 → x

Lim

)

4 4 (

3 ) 2 ( sin ₂ ²

x x x

= 2 → x

x Lim x x

16 2 tan

x x

5 4 )( 2 )( 3 (

x Lim

= →

= 3 → x

Lim

)

1 5 (

16 )

5 4 )(

6 ( ²

x x x x

Lim x x x x

− = 3 → x

1 8 (cos 2 tan

16 )

Lim

= 3 → x

x x x x

− −

5 4 )( 2 )( 3 (

5 )

) 3 (

Lim

−

x x x −

= → x

15 )

x x =

Lim ₃ ²

= 3 → x

16 )

1 4 sin 2 1 (

2 tan

x − x x −

= → x

Lim ₃ ²

16 ) 4 sin

2 ( 2 tan

x − x x

5 )

5 4 )( 2 (

−

Lim ₃

→ x

= 1 - sin ² 4x - sin ² 4x = 1 - 2 sin ² 4x

cos 8x =cos(4x+4x) = cos 4x . cos 4x – sin 4x . sin4x = cos ² 4x - sin ² 4x

x x x −

1 8 (cos 2 tan

16 )

Lim ₃

= → x

x − x x x

16 2 tan 8 cos 2 tan

Lim ₃

A. -4 B.-6 C.-8 D.-16 E.-32 jawab: → x

− = …

x x x x

16 2 tan 8 cos 2 tan

Lim ₃

5. Nilai dari → x

UAN2005

40 = -8

)

−

5 4 )( 2 3 (

1 3 .

5 )

4 4 ( 5 +

−
−
− −

cos sin x −

Lim Lim ₂ ₂ b − p

ax bx − + c ax px q = 9. Nilai = ….

( ) x →

π x

x → ~

2 a

−

2 Lim

1 ² + {(3x-1) -

9 x

11 9 } A.

3 B.

3 C.

3 D.-2 3 E. -3 3

− x

x →

jawab:

Lim ² ² +

3 x − 1 ) - = { (

9 x − x

11 9 } x → ~

Kalau nilai x dimasukkan didapat nilai:

Lim ² ² +

= {

9 x − x − x +

1 9 x

11 - 9 } x → ~

Cara 1: L’Hospital

b − p −

6 − ( − 11 )

5 π

= = =

cos x − sin Lim

x →

π x 3 − Jawabannya adalah E

2 EBTANAS1994 Lim Lim

− sin x

Lim

3 x −

5 π π

= = 2 sin x 8. =….

x → x → ₂

x → ~

5 3 −

x x

3 π

1 A. 0 B.

D. 1 E. 6 = 2 . sin = 2. 3 =

2 jawab: Cara 2: pemfaktoran (agak panjang) dibahas disini sebagai perbandingan: rumus dasar: _{m m} ₁

π x

−

Dimisalkan : − = t

Lim ax bx ...

_{n n}

₁

− x → ~ px qx ...

x π

maka : = - t

6 membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat π x = 2 ( - t) tertinggi penyebut

6 π 3 x

5 = - 2t ₂ − ₂

3 Lim Lim 3 x −

x x ₂ = = ₂

x → ~

2 x 4 x 5 x → ~ 2 x 4 x

₂

3 untuk nilai x = maka t = − = − = 0

x x x

5 − ₂ Lim x x

5 x → ~

₂

x x

− = = = 0

2 Jawabannya adalah A

2 + +

π F (x) = 1. sin(2x-6) +(x-7) cos(2x-6). 2

Untuk x = - 2t dan t → 0 , maka _'

3 G (x) = 2x + 2 π

cos x − sin _' Lim

2 x − 6 ) 2 ( x − 7 ) cos( 2 x − 6 )

Lim Lim F ( x ) sin(

π =

→ π

x →

3 x →

2 G ( x ) x ^' 3 −

π 2 ( − 4 ). + 1 −

1 cos( − 2 t ) −

= = = -1

Lim

3 2 .

8 =

t → t

π π

2 t sin sin 2 t −

1 cos cos

Lim

3 =

t → t

2 t 3 sin 2 t −

1 cos

Lim

2 =

t → t

1 ² +

1 ( 1 − 2 sin t ) 3 ( 2 sin t cos t ) −

Lim

2 =

t → t

− sin t ² 3 sin t cos t −

Lim

2 =

→ t

sin t 3 sin t cos t − ²

Lim

t → t

sin t ( sin t 3 cos t ) −

Lim

t → t Lim Lim

sin t = . (-sin t + 3 cos t)

t → t → t

= 1 . (0 + 3 ) =

3 Jawabannya adalah C UAN2004

Lim

( 7 ) sin(

2 6 )

x − x − 10. Nilai = ….

x ² 2 x −

x →

15 A. -4 B. -1 C. 0 D. 1 E.4 jawab: cara yang cepat dengan menggunakan L’Hospital dengan catatan kita harus menguasai differensial/turunan Cara ini cocok untuk soal multiple choice seperti ini. _'

Lim F ( x ) _' x

3 → G ( x )

Ingat : y = uv, maka _{' ' '} y = u v + u v

Lim

sin k ( x − ) a 5. = k

Lim ₂ ₂ x → a x − a

( ) x → ~

2 x + + + Contoh: x − 5 − x 2 x 11 =

Lim

tan k ( x − ) a 6. = k

x → a x − a

Diketahui : a = 1, b = -2 , p =2

b − p −

2 − 2 −

4 = = = -2

2 2 a

1 Fungsi Irasional:

Jika menemui pembilang atau penyebut mengandung bentuk x - y maka bentuk tersebut disubstitusikan.

x y

x − y x − y x y
x y =

x − y Limit Fungsi Trigonometri :

Lim Lim Lim

sin ax ax sin ax a 1. = = =

x → bx x → sin bx x → sin bx b Lim Lim Lim

tan ax ax tan ax a 2. = = =

x → bx x → tan bx x → tan bx b Lim Lim

sin ax tan ax a 3. = =

x → tan bx x → sin bx b ₂ Lim Lim

1 − cos 2 ax 2 sin ax 4. = = ₂ ₂

x → x → x x Lim

2 sin ax sin ax ₂ = = 2 . a.a= 2a

x → x x

catatan: ₂ ₂ cos 2ax = cos ax - sin ax ₂ ₂ cos ax + sin ax = 1 ₂ ₂ cos 2ax = 1 - sin ax - sin ax ₂ = 1 - 2 sin ax

BAB XIV. LIMIT FUNGSI - 14. Fungsi limit