Fungsi komposisi dan fungsi invers (3)

Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers Fungsi
Matematika
Saturday, November 2nd 2013. | rumus matematika
advertisement
Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers Fungsi Matematika - Sobat hitung kali ini kita akan
belajar tentang fungsi komposisi matematik SMA. Rumushitung telah merangkumkan materi
tersebut semoga bisa membantu belajarnya. Let’s check this out!

Apa itu Relasi?
Dalang fungsi matematika dikenal adanya relasi. Misal sobat punya dua himpunan cowok
ganteng dengan himpunan cewek jelek, kemudia sobat kaitkan anggota himpunan cowok
ganteng dengan cewek jelek berdasarkan suatu hubungan tertentu maka bisa dikatakan ada relasi
antera kedua himpunan tersebut. Jika himpunan cowok ganteng kita sebut himpunan A dan
himpunan cewek jelek kita sebut himpunan B, maka relasi A ke B bisa dinyatakan dalam kalimat
matematika

R :A→ B
Contoh lain :
A = {1,2,3,4} dan B = [1,2,3,4,5,6} jika sobat kaitkan kedua himpunan dengan hubungan “A
merupakan setengah dari B” maka relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram berikut

Fungsi atau Pemetaan
Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan? suatu relasi dari A ke B yang
memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau
pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil (f). Misalny f
adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis

f :A→ B
A
disebut
dengan
B disebut dengan daerah kawan [codomain]

daerah

asal

[domain]

Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari x
dan dapat ditulis f : x → y (f memetakan x ke y) atau y adalah fungsi dari x, y = f(x).

Contoh
Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan
daerah asal A = {a,b,c,d,e}
daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6}
f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 3; f(d) = 4; f(e) = 5, sehingga
didapat range (daerah hasil) H = {1,2,3,4,5}
fungsi yang memetakan daerah asal ke daerah kawan bermacam-macam sobat, bisa fungsi
sederhana, linier, kuadrat, dan sebagainya.
Contoh
Misal f: R → R dengan f(x+2) = x2-x, tentukan berapa nilai f(x) dan f(1)
Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2
f(y) = (y-2)2 – (y-2) = y2 – 4y + 4 – y +2 = y2 -5y + 6
sehingga bisa didapat f(x) = x2 -5x + 6
f(1) = 12 -5(1) + 6 = 2

Komposisi Fungsi
Jika sobat hitung menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi
baru. Apa yang sobat lakukan tersebut disebut dengan mengkomposisikan fungsi dan hasilnya
disebut komposisi fungsi. Coba sobat hitung simak ilustrasi berikut

Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h
dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g (sobat mungkin sering
sebut fog atau f bundaran g). Jadi jika kira rinci


g(y) = g(f(x))



h(x) = g(f(x)) atau h (x) = (g o f) (x) = g(f(x))

Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut

Jika f(x) = 2x2 + 1 dan g(x) = x+2
tentukan
a. (g o f ) (x)
b. (g o f ) (5)
c. (f o g) (x)
d. (f o g) (3)
Jawab:

mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati asas ketika
memasukkan nilai x.
a. (g o f ) (x) —> kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
(g o f ) (x) = g(f(x)) = g (2x2+1) = 2x2+1 + 2 = 2x2+3
b. (g o f ) (5) = 2(5)2 + 3 = 53
c. (f o g) (x) –> kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f
(f o g) (x) = f(g(x)) = f (x+2) = 2(x+2)2 +1 = 2 (x2+4x+4) +1 = 2x2 + 8x +8 + 1 = 2x2 + 8x + 9
d. (f o g) (3) = 2(3)2 + 8(3) + 9 = 51

Invers Fungsi
Apa itu invers fungsi? Misal sobat punya fungsi f: A → B maka invers fungsi dari f dinyatakan
dengan f-1: B → A
jika y = f(x) maka x = f-1(y).
Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers suatu
fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satu-satu.
Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya bukan merupakan
sebuah fungsi melainkan suatu relasi.
Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi?


Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya denga
y



Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y



Mengganti y dalam fungsi menjadi x

Contoh
Tentukan
Pembahasan

ivers

dari

fungsi

f(x)

f(x)
=
2x
misal
y
=
2x
2x
=
y
x
=
½
y
-1
-1
dengan demikian f (y) = ½ y – 3 atau f (x) = ½ x – 3

=

2x
+
+
–
–

+

6
6
6
6
3

Contoh
2
Tentukan

Invers
dari
fungsi
y
=
2x
+
3/
4x
+
5
jawab
:
y
=
2x
+
3/
4x
+

5
y
(4x
+
5)
=
2x
+
3
4yx
+
5y
=
2x
+
3
4yx
–
2x
=

3
–
5y
x
(4y-2)
=
3
–
5y
x
=
3
–
5y
/
4y-2
atau
x
=
-5y

+3
/
4y
–
2
jadi dengan dimikian f-1 (y) = 2x + 3/ 4x + 5 = -5y +3 / 4y – 2
atau
f-1(x)
=
-5x
+3
/
4x
–
2
Penyelesaian contoh soal fungsi komposisi nomor dua bisa sobat kerjakan dengan menggunakan
rumus cepat

Jika f(x) = ax + b/cx + d maka inversnya f-1(x) = -dx + b / cx – a
Invers Fungsi Komposisi
buat sobat hitung, postingan materi invers fungsi komposisi akan kita sajikan di postingan
selanjutnya karena materinya cukup panjang. Sekian dulu, semoga materi Fungsi, Komposisi
Fungsi, dan Invers Fungsi Matematika bisa bermanfaat buat sobat hitung yang duduk di SMA.
Selamat Belajar.