Matematika Geodesi Regresi dan Interpola
Regresi &
Interpolasi
Mata Kuliah Matematika Geodesi
S1 Departemen Teknik Geomatika
Fakultas Teknik Sipil, Lingkungan dan Kebumian
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Meet Our Team
Abdul Hafidh
Hidayatulloh
Nugraheni Dewi
Mustikawati
03311640000022
03311640000002
Ananda Ayu Febri
Anggreyni
03311640000004
Friska Margaretta
Tobing
03311640000025
As Team Leader
Markus Juliano Sinaga
03311640000043
Ladyana Septyadewi
Arik Yumna Pratiwi
Ahmad Saifudin
03311640000006
03311640000012
03311640000046
-John Louis von Neumann-
-Anonymous-
Regresi
Linear
1
Pengertia
n
Interpolas
i
3
2
4
Regresi
Non-Linear
Interpolasi
Linear
Apa itu
Regresi
Linear?
Regresi Linear
• Regresi merupakan alat ukur
yang digunakan untuk
mengetahui ada tidaknya korelasi
antar variabel.
• Regresi linier adalah regresi
yang variabel bebasnya (variabel
X) berpangkat paling tinggi satu.
Untuk regresi sederhana, yaitu
regresi linier yg hanya
melibatkan dua variabel (variabel
X dan Y).
Tujuan Regresi
Linear?
untuk melakukan prediksi
yang sangat bergantung
pada kemampuan dalam
menempatkan garis
‘best-fitting’ yaitu garis
dua regresi pada dua set
data yang berkolerasi.
Analisis regresi lebih akurat dalam
analisis korelasi karena tingkat
perubahan suatu variabel terhadap
variabel lainnya dapat ditentukan).
Jadi pada regresi, peramalan atau
perkiraan nilai variabel terikat pada
nilai variabel bebas lebih akurat pula
Persamaan Regresi
Linear
:
nilai prediksi dari variabel
dependen
variable independen
perpotongan garis regresi
dengan sumbu y (\yintercept")
gradien (kemiringan) dari
garis regresi
Mencari nilai a dan b
X
Y
X2
Y2
XY
2
5
4
25
10
3
8
9
64
24
2
8
4
64
16
5
7
25
49
35
6
11
36
12
1
66
1
3
1
9
3
4
10
16
10
0
40
1
4
1
16
4
24
56
96
44
8
19
8
Contoh Soal 1
Berikut ini data mengenai
pengalaman kerja dan
penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)
Y=omzet penjualan (ribuan)
X
2
3
2
5
6
1
4
1
Y
5
8
8
7
11
3
10
4
• Tentukan nilai a dan b
dengan menggunakan
ketiga cara!
• Buatkan persamaan
regresinya!
• Berapa omzet pengjualan
dari seorang karyawan yg
Penyelesaian
Cara 1
Penyelesaian
Cara 2
Pendekatan
Matriks
Contoh Soal 1
Berikut ini data mengenai
pengalaman kerja dan
penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)
Y=omzet penjualan (ribuan)
X
Y
X2
Y2
XY
2
5
4
25
10
3
8
9
64
24
2
8
4
64
16
5
7
25
49
35
6
11
36
12
1
66
1
3
1
9
3
4
10
16
10
0
40
X
2
3
2
5
6
1
4
1
1
4
1
16
4
Y
5
8
8
7
11
3
10
4
24
56
96
44
8
19
8
• Tentukan nilai a dan b
dengan menggunakan
ketiga cara!
• Buatkan persamaan
regresinya!
• Berapa omzet pengjualan
dari seorang karyawan yg
Penyelesaian
Cara
3
Contoh Soal 1
Berikut ini data mengenai
pengalaman kerja dan
penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)
Y=omzet penjualan (ribuan)
X
2
3
2
5
6
1
4
1
Y
5
8
8
7
11
3
10
4
• Tentukan nilai a dan b
dengan menggunakan
ketiga cara!
• Buatkan persamaan
regresinya!
• Berapa omzet pengjualan
dari seorang karyawan yg
X
Y
X2
Y2
XY
2
5
4
25
10
3
8
9
64
24
2
8
4
64
16
5
7
25
49
35
6
11
36
12
1
66
1
3
1
9
3
4
10
16
10
0
40
1
4
1
16
4
44
Jadi,
24 56 96
8
• Dari ketiga cara pengerjaan tersebut diperoleh
nilai a = 3,25 dan nilai b = 1,25
• Persamaan regresi linearnya Y=3,25+1,25X
• Nilai duga Y, jika X=3,5 adalah
Y=3,25+1,25X
Y=3,25+1,25(3,5) =7,625
19
8
Koefisien Determinasi
(R2)
• Nilai determinasi (R2) sebesar
0,6696, artinya sumbangan atau
pengaruh pegalaman
• Kerja terhadap naik turunnya omzet
penjualan adalah sebesar 66,96%.
Sisanya 33,04%
• Disebabkan oleh faktor lain yang
tidak dimasukkan dalam model.
Standar Deviasi
Selisih Taksir Standar
Angka indeks yang digunakan untuk
mengukur ketepatan suatu penduga atau
mengukur jumlah variasi titik-titik
observasi di sekitar garis regresi.
Jika semua titik observasi berada
tepat pada garis regresi, standar
deviasinya
sama
dengan
nol.
Menunjukkan pencaran data.
Selisih taksir standar
berguna
mengetahui batasan seberapa jauh
melesetnya
perkiraan
dalam
meramal data.
Sy/x = Sxy = S
atau
Sx/y = Syx = S
Keterangan :
Sy/x = Sx/y = Selisih taksir standar
Y=X = nilai variabel sebenarnya
Y’=X’ = nilai variabel yang
diperkirakan
n = jumlah frekuensi
Contoh Soal 2
Berikut hubungan antara
variable X dan variable Y:
X
1
2
3
4
5
6
Y
6
4
3
5
4
2
a) Buatkan persamaan
regresinya
b) Tentukan nilai duga
Y, bila X=8
c) Tentukan selisish
taksis standarnya
Penyelesaian
X
Y
X2
Y2
XY
Y’
YY’
(YY’)2
1
6
1
36
6
5.2
5
0.7
5
0.562
5
2
4
4
4
8
4.7
5
0.8
0.562
5
3
3
9
9
9
4.2
5
1.3
1.562
5
4
5
16
25
20
3.7
5
1.2
5
1.562
5
5
4
25
16
20
3.2
5
0.7
5
0.562
c) 5Standar Deviasi
2
36
4
12
2.7
5
0.8
0.562
5
6
a) Persamaan garis regresi
b) Nilai duga10Y, jika X=8
21 24
91
6
75
5.375
Langkah
3:
Menentukan
koefisien a dan
koefisien b
Latihan Soal 1
Diketahui suatu penelitian
terhadap hubungan antara
nilai biaya periklanan
dengan tingkat penjualan
dari sebuah koperasi
adalah sebagai berikut
(dalam
Biayaribuan rupiah)
Tingkat
periklanan
50
51
52
53
54
Penjualan
40
46
44
55
49
a. Tentukan persamaan
regresinya
b. Tentukan koefisien
korelasi dan koefisien
determinasinya?
c. Hitunglah besarnya
kesalahan standar
estimasi!
Jawaban :
A. Menentukan persamaan
regresinya
Langkah 1 :
Menentukan variable X dan
variable Y. Dalam soal ini variable
biaya periklanan merupakan
variable X dan tingkat penjualan
merupakan variable Y.
Langkah 2 :
Membuat table
regresi sederhana
Tkt.
Periklana
n (X)
50
51
52
53
54
Penjualan (
Y)
40
46
44
55
49
X2
2500
2601
2704
2809
2916
260
234
13530
Y2
(XY)
1600 2000
2116 2346
1936 2288
3025 2915
2401 2646
1107
12195
8
Langkah 4:
Menentukan
persamaan regresi
linier sederhana
Maka persamaan
regresi dalam soal ini
adalah :
B. Menentukan besarnya koefisien korelasi dan koefisien determinasi
Koefisien korelasi :
r = n (∑XY) – (∑X) (∑Y)
[ n (∑X2) – (∑X2)]1/2 [ n (∑Y2) – (∑Y)2]1/2
r = 5(12195) – (260) (234)
[ 5 (13530) – (260)2] 1/2 [ 5 (11078) – (234)2]1/2
r = A.
0,76 HJ
B. GHN
C. Menentukan besarnya kesalahan standar estimasi
Se = ∑Y2 – a ∑Y – b ∑XY) n-2
Se= √( 11078 - (-93,6) (234) – (2,7) (1915)) 5 -2
Se= 4,24
Penyelesaian
Latihan Soal 2
Hitung regresi linier untuk
data panjang aliran sungai
(s) vs luas basin (y) dari
Kalimantan berikut. Berapa
luas basin apabila panjang
aliran sungainya 14 km?
x
(km)
y(k
m)
x2
12,0
16,4
15,8
21,0
17,5
26,3
23,0
25,4
28,6
30,0
6,3
7,3
9,5
10,5
11,4
11,7
12,5
13,6
14,5
16,3
144,00
268,96
249,64
441,00
306,25
691,69
529,00
645,16
817,96
900,00
216
113,
6
4993,6 2609.7
6
7
Konvarians:
S
X-varians :
xy
75,60
119,72
150,10
220,50
199,50
307,71
287,50
345,44
414,70
489,00
Gradien :
b=
=
= 0,476
Perpotongan dengan y (y-intercept)
= 113,36-(0,476x21,6)=1,088
Sehingga diperoleh persamaan regresi:
Y=1,088+0,476x
Latihan Soal 3
Sebuah penelitian terhadap
pohon Mahoni, dimana akan
diteliti apakah ada hubungan
antara tinggi pohon dengan
diameter batang pohon, dengan
artian apakah ada pengaruh
diameter batang pohon
Tinggi
Diameter
terhadap tinggi pohon tersebut.
Pohon (y)
Batang (x)
35
8
49
9
27
7
33
6
60
13
21
7
45
11
51
12
Ʃ=321
Ʃ=73
Maka dIperoleh :
Jawaban :
Penyelesaian
Menentukan persamaan Y' = a +
bX + e
konstanta a dan koefisien b, kita
ikuti langkah sebagai berikut :
Persamaan regresi diperoleh :
Y' = -1,3147 + 4,5413X + e
Koefisien Determinasi R2 :
r = 0,886 bernilai positif dan
kuat
artinya terdapat hubungan atau
korelasi yang kuat antara tinggi
pohon mahoni dengan diameter
batang pohon mahoni. Semakin
besar diameter batang pohon
mahoni maka semakin tinggi
batang pohon mahoni.
R2 = 0,8862 = 0,785
artinya sekitar 78,5% variasi dari
variabel diameter batang pohon
mahoni dapat menjelaskan
variasi dari variabel tinggi pohon
mahoni.
dar Error Estimate Persamaan Regresi:
(cukup tinggi)
Pengujian Koefisien Regresi :
> Hipotesis Uji
Ho : b = 0
Ha : b ≠ 0
> Taraf Signifikansi
Pilih nilai signifikansi a = 5%
> Daerah Kritis
dengan nilai a = 5% dan derajat bebas n-2=8-2=6,
maka diperoleh nilai t-tabel pada 5%/2 = 2,5% yaitu
2,447.
Statistik Uji
> Keputusan
nilai t-hitung = 4,6805 > t-tabel = 2,447 sehingga Ho
ditolak dan Ha diterima.
> Kesimpulan
Dengan tingkat signifikansi 5% cukup menjelaskan
bahwa ada pengaruh diameter batang pohon mahoni
terhadap tinggi pohon mahoni.
Apa itu
Regresi NonLinear?
Regresi Non•Linear
Regresi Non-Linear adalah
•
metode untuk mendapatkan
model linear yang
menyatakan hubungan
variable dependen (Y) dan
independen (X).
Tidak seperti regresi linear
yang dibatasi oleh waktu
menaksir/meramal, regresi
non-linear dapat
mengestimasi model
hubungan variable dependen
dan independan dalam
bentuk non linear dengan
keakuratan yang lebih baik.
Macam-Macam
Regresi NonLinear:
1 Model Polinom
2 Model Eksponen
3 Model Geometris
4 Model Logistik
5 Model Hiperbola
1
Model Polinom
Polinom Derajat 2 (Kuadratik)
Untuk polinom derajat dua, k=2 mempunyai
model kuadratik (parabola), dengan bentuk
umum:
dimana ci adalah konstanta (bil. bulat positif)
Dalam model statistis parabola ditulis:
= Peubah Statis
= Koefisien regresi/pramaeter yang
tidak diketahui
= Rerata Y dan X
Jadi, taksiran untuk model parabola kuadratik dapat
ditulis dengan;
dengan
koefisien dan ditentukan berdasarkan data hasil
pengamatan. Jika menyatakan data hasil pengamatan
data hasil pengamatan dalam sebuah sampel berukuran
n, metode kuadratik terkecil memberikan nilai-nilai dan
dengan cara menyelesaikan persamaan normal berikut
1
Model Polinom
Polinom Derajat 3 (Kubik)
Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk
menentukan a, b, c, dan d adalah:
Persamaan Umum:
dengan koefisien a, b, c dan d dihitung dari
data hasil pengamatan.
Persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan
secara serentak dengan menggunakan metode
eliminasi, juga dengan metode Cramer.
2
Model Eksponen
Model eksponen adalah salah
satu model yang juga banyak
digunakan apabila situasi tidak
memungkinkan model linear atau
polinom.
Model tersebut dapat dikembalikan kepada
model linear apabila diambil logaritmanya.
Dalam logaritma menjadi:
Apabila diambil , maka
Persamaan Umum:
3
Model Geometri
Persamaan Umum:
Jika dikembalikan dalam logaritma menjadi:
Koefisien a dan b dapat dicari dengan:
Sama halnya dengan model
eksponen, model geometri juga
dapat dikembalikan kepada model
linear
4
Model Logistik
Bentuk paling sederhana model logistic
dapat ditaksir oleh
Jika diambil logaritmanya, maka didapat:
Koefisien a dan b dapat dicari dengan:
Untuk , persamaan diatas dapat ditulis
sebagai
5
Model Hiperbola
Bentuk paling sederhana
model logistic dapat ditaksir
Untuk , persamaan diatas
dapat ditulis sebagai
yang ternyata merupakan bentuk linier dalam variable-variabel
X dan
Contoh Soal 1
Diketahui data model
geometric. Tentukan
model regresi
geometriknya!
X
Y
X
Y
Penyelesaian
Pertama-tama kita perhatikan nilai-nilai yang perlu
untuk menghitung a dan b pada model ini.
log X
log Y
log X log Y
log2 X
20
20
35
35
150
150
126
126
1.301029996
2.176091259
2.831160001
1.69267905
1.544068044
2.096910013
3.237771743
2.384146126
60
60
100
100
105
105
100
100
1.77815125
2.021189299
3.593980279
3.161821869
2
2
4
4
150
150
300
300
92
92
97
97
2.176091259
1.963787827
4.273381526
4.735373168
2.477121255
1.986771734
4.921474491
6.136129711
500
500
800
800
97
97
62
62
2.698970004
1.986771734
5.362237316
7.284439084
2.903089987
1.792391689
5.203474367
8.427931473
1200
1200
1300
1300
58
58
40
40
3.079181246
1.763427994
5.429914407
9.481357146
3.113943352
1.602059991
4.98872406
9.696643201
1500
1500
1600
1600
38
38
35
35
3.176091259
1.579783597
5.017536872
10.08755569
3.204119983
1.544068044
4.947379275
10.26638486
7565
999
29.45185764 22.51325318 53.80703434 77.35446138
Contoh Soal 1
Dari
hitungan dalam table
didapatkan:
Contoh Soal 2
Seorang peneliti ingin
mengetahui hubungan
antara dosis obat
tertentu (X) dengan
kadar Creatinin Ginjal
(Y) kelinci percobaan,
dari hasil peneitiannya
diperoleh hasil pada
table disamping!
Tentukan model
regresi polinom
berderajat dua!
Penyelesaian
Kita tentukan dulu nilai yang perlu untuk regresi polinom berderajat dua, yaitu
No
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
14
13
15
14
15
Dosis Obat
(X)
Kadar
Kreatin (Y)
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
7
7
3
3
2
2
4
4
6
6
7
8
7
8
1
8
3
1
10
10
13
13
15
15
20
20
16
16
11
11
14
14
12
12
21
21
17
17
10
7
10
6
7
11
6
16
11
3
16
64
199
X2
X3
X4
XY
X2Y
1
4
9
16
25
49
9
4
16
36
49
64
64
1
9
356
1
8
27
64
125
343
27
8
64
216
343
512
512
1
27
2278
1
16
81
256
625
2401
81
16
256
1296
2401
4096
4096
1
81
15704
10
26
45
80
80
77
42
24
84
102
70
56
48
11
48
803
10
52
135
320
400
539
126
48
336
612
490
448
384
11
144
4055
No
X
Y
X2
X3
X4
XY
X2Y
1
1
10
1
1
1
10
10
2
2
13
4
8
16
26
52
3
3
15
9
27
81
45
135
4
4
20
16
64
256
80
320
5
5
16
25
125
625
80
400
6
7
11
49
343
2401
77
539
7
3
14
9
27
81
42
126
8
2
12
4
8
16
24
48
9
4
21
16
64
256
84
336
,
10
6
17
36
216
1296
102
612
, dan
11
7
10
49
343
2401
70
490
12
8
7
64
512
4096
56
448
13
8
6
64
512
4096
48
384
14
1
11
1
1
1
11
11
15
3
16
9
27
81
48
144
64
199
356
2278
15704
803
4055
Dari table kita dapat persamaan normal:
Setelah persamaan simultan ini diselesaikan,
diperoleh
Jadi, persamaan regresi parabola dapat ditulis:
Bulan
(X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
300
Profit (Y)
150
270
480
750
1350
2310
3625
5390
9950
15510
26500
40350
77510
111950
165300
311600
627480
804250
1540980
2314250
3923250
6010500
12334230
15975210
44303145
Latihan Soal 1
Diketahui data penjualan suatu
produk dari mulai diproduksi
sampai produk tersebut berumur
24 bulan (2 tahun) serta
keuntungannya ditunjukkan oleh
table disamping.
Tentukan
persamaan regresi
model Logistik nya!
Latihan Soal 2
Menit
(X)
Pengunju
ng (Y)
5
150
10
125
15
105
20
100
25
92
30
97
35
97
40
62
45
58
50
40
Kedai Burger Enak pada hari
pertama pembukaan memiliki
jumlah pengunjung yang
berbeda pada setiap
menitnya. Pada menit-menit
pertama pembukaan,
terdapat banyak pengunjung
yang tertarik untuk melihatlihat dan membeli di toko
tersebut. Data pengunjung
diberikan sebagai berikut:
X
= menit setelah
toko dibuka
Tentukan
persamaan
Y
= jumlah
pengunjung
took
regresi
Model
Polinom
berderajat dua!
Latihan Soal 3
Tentukan
persamaan regresi
Model Geometrik
dari data pada
latihan soal 2!
Apa itu
Interpolasi?
INTERPOL
?
?
Interpolasi
adalah perkiraan suatu nilai
tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpolasi
dalam arti luas merupakan upaya mendefinisikan
suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak
diketahui atau pengganti fungsi yang tak mungkin
diperoleh persamaan analitiknya.
Interpolasi adalah metode untuk mendapatkan data
baru di dalam rentang sebuah himpunan data diskrit.
Seorang mahasiswa diminta untuk melakukan eksperimen
di Lab Sensor dan Telekontrol untuk mengukur tegangan
keluaran sensor PIR (passive infrared) yang dapat
digunakan untuk mendeteksi orang dengan jarak tertentu.
Hasilnya berupa tabel dan grafik berikut ini.
Jar
ak
V
2
5
2.5
4.2
3
3.4
4
2.4
5
1.8
6
1.2
7
0.8
8
0.5
9
0.4
10
0.3
Si mahasiswa kebingungan karena dia
tidak mengukur tegangan keluaran pada
jarak yang diminta dosennya tersebut.
Dia juga tidak bisa lagi melakukan
eksperimen karena semua alat yang
digunakan sudah dikembalikan.
6
5
5
4.2
4
V
3.4
3
2.4
1.8
2
1.2
0.8
1
0
1
"kalau jarak obyeknya adalah
5.5 m dari sensor, tegangan
keluarannya berapa?”
2
3
4
5
6
7
Jarak/d (m)
0.5 0.4
0.3
8
9
10
11
Dalam kasus ini, kita dapat melakukan 2
cara untuk memperoleh data yang tidak
terdapat dalam himpunan data diskrit
yang ada, yaitu dengan membuat kurva
yang mencakup titik yang hendak dicari.
Interpolasi
Regresi
6
5
6
5
5
5
4.2
4
V
4.2
4
3.4
3
V
2.4
1.8
2
3.4
3
2.4
1.8
2
1.2
0.8
1
0
1
1.2
2
3
4
5
6
7
0.8
1
0.5
0.4
0.3
8
9
10
Jarak/d (m)
kurva yang terjadi dipaksakan untuk melewati
titik-titik data yang tersedia
11
0
1
2
3
4
5
6
7
0.5
0.4
0.3
8
9
10
11
Jarak/d (m)
bentuk kurvanya mengikuti fungsi tertentu yang
belum tentu melewati titik-titik data yang tersedia
Pengantar
Umumnya data engineering banyak
yang berupa tabulasi, dikarenakan
pada kenyataannya data yang bisa
diperoleh adalah bersifat diskrit atau
juga karena keterbatasan dalam
pengukuran sehingga hanya
sebagian data yang dapat
X
Y
disimpan/dicatat.
0.2
10.1
0.3
12.5
0.4
14.2
0.5
17.8
0.6
19.3
Contoh
Berupa
Tabulasi
Beberapa cara dalam
menginterpretasikan
manipulasi data
diskrit:
1 Numerical
Interpolation
2 Curve Fitting
3 Numerical
Differentiation
4 Numerical Integration
Interpolasi
Interpolasi: Metode yang digunakan
untuk menaksir harga (-harga) yang
terletak diantara titik-titik data
dalam table yang terbebas dari
kesalahan
Untuk (n+1) titik data, ada satu
dan hanya satu polinom yang
melewati semua titik data (derajat
polinom n atau kurang dari n).
Interpolasi
Interpolasi berbeda
berbeda dengan
dengan
ekstrapolasi,
ekstrapolasi, namun
namun keduanya
keduanya samasamasama
sama digunakan
digunakan untuk
untuk menaksir.
menaksir.
linear
kuadratik
kubik
Interpolasi
Ekstrapolasi
y
y
y3
e
y
3
y2
yi
2
y
y1
1
x1 xi
x2
x3
x1
x2
x3
x
e
Xi terletak diantara simpul-simpul
yang ada
Xe tidak terletak diantara simpulsimpul yang ada atau berada di
luar simpul.
Biasanya taksirannya kurang teliti
INTERPOLASI
LINEAR
?
Apa
Interpola
itu
si
?
Linear?
Interpolasi Linear
Ide
Menentukan
Menentukan titik-titik
titik-titik antara
antara dari
dari
Dasar
2
2 buah
buah titik
titik dengan
dengan menggunakan
menggunakan
garis
garis lurus.
lurus.
Persamaan garis lurus yang
melalui
2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)
dapat dituliskan dengan:
Persamaan Interpolasi Linear
(x-x1) + y2
Algoritma Interpolasi Linear
Menentukan dua titik P1 & P2
dengan koordinatnya (x1, y1)
dan (x2, y2)
1
2
Menghitung nilai y
dengan:
(x – x1) + y2
Menentukan nilai
x dari titik yang
akan dicari
3
4
Menampilkan
nilai titik yang
baru Q(x,y)
Interpolasi Linear
Interpolasi Linear merupakan
interpolasi dua buah titik
dengan sebuah garis lurus.
Misal diberikan dua buah titik,
(x0, y0) dan (x1, y1).
Polinom yang menginterpolasi
kedua titik itu adalah
persamaan garis lurus yang
berbentuk:
P(x) = a0 + a1x
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan
proses subsitusi dan eliminasi.
Dengan mensubstitusikan (x0, y0)
dan (x1, y1) ke dalam persamaan
. . . . . . (1)
. . . . . . (2)
Kemudian,
eliminasi kedua persamaan
tersebut:
Substitusikan nilai a1 ke dalam
persamaan 1
Dengan melakukan manipulasi aljabar
untuk menentukan nilai p1(x) dapat
dilakukan sbb:
Contoh Soal 1
Diketahui:
Perkirakan atau prediksi
jumlah penduduk Purworejo
pada tahun 1995
berdasarkan data tabulasi
berikut:
Tahun
1990
2000
Jumlah
Penduduk
187.900
205.700
Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Purworejo tahun
1995.
Ingat:
Misalkan x=1995
196.800
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada
tahun 1995 adalah 196.800 orang
Contoh Soal 2
Diketahui:
2.2513
Ditanya: tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka
bena kemudian dibandingkan dengan nilai sejati
ln(9.2)=2.2192
Dari data:
ln(9.0) = 2.1972,
ln(9.5) = 2.2513,
Tentukan ln(9.2) dengan
interpolasi linier sampai 4
desimal.
Bandingkan hasil yang
diperoleh dengan nilai sejati
ln(9.2)=2.2192. Hitung galat!
Ingat:
2.21884
Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) interpolasi
linear
Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4
Contoh Soal 3
Jarak yang dibutuhkan sebuah
kendaraan untuk berhenti
adalah fungsi kecepatan. Data
percobaan berikut ini
menunjukkan hubungan antara
kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan
untuk
Kecepat
menghentikan
kendaraan.
an
(mil/jam
)
10
20
30
40
50
Jarak
henti
12
21 henti
46 yang
65 90
Perkirakan
jarak
(feet)
dibutuhkan
bagi sebuah
Diketahui:
x = 45
Ditanya: Perkiraan jarak henti kecepatan 45
mil/jam.
Ingat:
60
70
Jadi, Jarak henti yang dibutuhkan kendaraan yang
11
1
kenderaan yang melaju dengan
kecepatan 45 mil/jam.
14
8
melaju dengan kecepatan 45 mil/jam adalah 77.5
feet.
Latihan soal
1
1000
901.67
900
800
700
v(t) (m/s)
T (s)
V[t]
602.97
600
0
(m/s)
0
10
227.04
300
15
362.78
200
20
517.35
22.5
602.97
100
0
0
0
30
901.67
517.35
500
362.78
400
227.04
5
10
15
20
t (sekon)
The upward velocity of a rocket is given as a
function of time in Table 1.
Find the velocity at t=16 seconds using linear
interpolation.
25
30
35
Latihan Soal 3
Latihan Soal 2
Diketahui suatu nilai
tabel distribusi
‘Student t’ sebagai
berikut :
t5% = 2,015
t2,5% = 2,571
Hitunglah nilai t4% !
Diketahui:
log (3) = 0,4771213
log (5) = 0,698700,
Tentukan :
Harga log (4,5) yang
dihitung dengan
interpolasi dan kesalahan
relatifnya jika harga
sebenarnya log
(4,5)=0,6532125
(kalkulator).
Daftar Pustaka
SEARCH
Tiro, Arif. 2010. Analisis Korelasi dan Regresi.
Makassar: Andra Publisher
Sudjana. 2005. Metoda Statistika Edisi ke-6.
Bandung: Penerbit Tarsito
Terima Kasih
Ada Pertanyaan?
Interpolasi
Mata Kuliah Matematika Geodesi
S1 Departemen Teknik Geomatika
Fakultas Teknik Sipil, Lingkungan dan Kebumian
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Meet Our Team
Abdul Hafidh
Hidayatulloh
Nugraheni Dewi
Mustikawati
03311640000022
03311640000002
Ananda Ayu Febri
Anggreyni
03311640000004
Friska Margaretta
Tobing
03311640000025
As Team Leader
Markus Juliano Sinaga
03311640000043
Ladyana Septyadewi
Arik Yumna Pratiwi
Ahmad Saifudin
03311640000006
03311640000012
03311640000046
-John Louis von Neumann-
-Anonymous-
Regresi
Linear
1
Pengertia
n
Interpolas
i
3
2
4
Regresi
Non-Linear
Interpolasi
Linear
Apa itu
Regresi
Linear?
Regresi Linear
• Regresi merupakan alat ukur
yang digunakan untuk
mengetahui ada tidaknya korelasi
antar variabel.
• Regresi linier adalah regresi
yang variabel bebasnya (variabel
X) berpangkat paling tinggi satu.
Untuk regresi sederhana, yaitu
regresi linier yg hanya
melibatkan dua variabel (variabel
X dan Y).
Tujuan Regresi
Linear?
untuk melakukan prediksi
yang sangat bergantung
pada kemampuan dalam
menempatkan garis
‘best-fitting’ yaitu garis
dua regresi pada dua set
data yang berkolerasi.
Analisis regresi lebih akurat dalam
analisis korelasi karena tingkat
perubahan suatu variabel terhadap
variabel lainnya dapat ditentukan).
Jadi pada regresi, peramalan atau
perkiraan nilai variabel terikat pada
nilai variabel bebas lebih akurat pula
Persamaan Regresi
Linear
:
nilai prediksi dari variabel
dependen
variable independen
perpotongan garis regresi
dengan sumbu y (\yintercept")
gradien (kemiringan) dari
garis regresi
Mencari nilai a dan b
X
Y
X2
Y2
XY
2
5
4
25
10
3
8
9
64
24
2
8
4
64
16
5
7
25
49
35
6
11
36
12
1
66
1
3
1
9
3
4
10
16
10
0
40
1
4
1
16
4
24
56
96
44
8
19
8
Contoh Soal 1
Berikut ini data mengenai
pengalaman kerja dan
penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)
Y=omzet penjualan (ribuan)
X
2
3
2
5
6
1
4
1
Y
5
8
8
7
11
3
10
4
• Tentukan nilai a dan b
dengan menggunakan
ketiga cara!
• Buatkan persamaan
regresinya!
• Berapa omzet pengjualan
dari seorang karyawan yg
Penyelesaian
Cara 1
Penyelesaian
Cara 2
Pendekatan
Matriks
Contoh Soal 1
Berikut ini data mengenai
pengalaman kerja dan
penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)
Y=omzet penjualan (ribuan)
X
Y
X2
Y2
XY
2
5
4
25
10
3
8
9
64
24
2
8
4
64
16
5
7
25
49
35
6
11
36
12
1
66
1
3
1
9
3
4
10
16
10
0
40
X
2
3
2
5
6
1
4
1
1
4
1
16
4
Y
5
8
8
7
11
3
10
4
24
56
96
44
8
19
8
• Tentukan nilai a dan b
dengan menggunakan
ketiga cara!
• Buatkan persamaan
regresinya!
• Berapa omzet pengjualan
dari seorang karyawan yg
Penyelesaian
Cara
3
Contoh Soal 1
Berikut ini data mengenai
pengalaman kerja dan
penjualan
X=pengalaman kerja (tahun)
Y=omzet penjualan (ribuan)
X
2
3
2
5
6
1
4
1
Y
5
8
8
7
11
3
10
4
• Tentukan nilai a dan b
dengan menggunakan
ketiga cara!
• Buatkan persamaan
regresinya!
• Berapa omzet pengjualan
dari seorang karyawan yg
X
Y
X2
Y2
XY
2
5
4
25
10
3
8
9
64
24
2
8
4
64
16
5
7
25
49
35
6
11
36
12
1
66
1
3
1
9
3
4
10
16
10
0
40
1
4
1
16
4
44
Jadi,
24 56 96
8
• Dari ketiga cara pengerjaan tersebut diperoleh
nilai a = 3,25 dan nilai b = 1,25
• Persamaan regresi linearnya Y=3,25+1,25X
• Nilai duga Y, jika X=3,5 adalah
Y=3,25+1,25X
Y=3,25+1,25(3,5) =7,625
19
8
Koefisien Determinasi
(R2)
• Nilai determinasi (R2) sebesar
0,6696, artinya sumbangan atau
pengaruh pegalaman
• Kerja terhadap naik turunnya omzet
penjualan adalah sebesar 66,96%.
Sisanya 33,04%
• Disebabkan oleh faktor lain yang
tidak dimasukkan dalam model.
Standar Deviasi
Selisih Taksir Standar
Angka indeks yang digunakan untuk
mengukur ketepatan suatu penduga atau
mengukur jumlah variasi titik-titik
observasi di sekitar garis regresi.
Jika semua titik observasi berada
tepat pada garis regresi, standar
deviasinya
sama
dengan
nol.
Menunjukkan pencaran data.
Selisih taksir standar
berguna
mengetahui batasan seberapa jauh
melesetnya
perkiraan
dalam
meramal data.
Sy/x = Sxy = S
atau
Sx/y = Syx = S
Keterangan :
Sy/x = Sx/y = Selisih taksir standar
Y=X = nilai variabel sebenarnya
Y’=X’ = nilai variabel yang
diperkirakan
n = jumlah frekuensi
Contoh Soal 2
Berikut hubungan antara
variable X dan variable Y:
X
1
2
3
4
5
6
Y
6
4
3
5
4
2
a) Buatkan persamaan
regresinya
b) Tentukan nilai duga
Y, bila X=8
c) Tentukan selisish
taksis standarnya
Penyelesaian
X
Y
X2
Y2
XY
Y’
YY’
(YY’)2
1
6
1
36
6
5.2
5
0.7
5
0.562
5
2
4
4
4
8
4.7
5
0.8
0.562
5
3
3
9
9
9
4.2
5
1.3
1.562
5
4
5
16
25
20
3.7
5
1.2
5
1.562
5
5
4
25
16
20
3.2
5
0.7
5
0.562
c) 5Standar Deviasi
2
36
4
12
2.7
5
0.8
0.562
5
6
a) Persamaan garis regresi
b) Nilai duga10Y, jika X=8
21 24
91
6
75
5.375
Langkah
3:
Menentukan
koefisien a dan
koefisien b
Latihan Soal 1
Diketahui suatu penelitian
terhadap hubungan antara
nilai biaya periklanan
dengan tingkat penjualan
dari sebuah koperasi
adalah sebagai berikut
(dalam
Biayaribuan rupiah)
Tingkat
periklanan
50
51
52
53
54
Penjualan
40
46
44
55
49
a. Tentukan persamaan
regresinya
b. Tentukan koefisien
korelasi dan koefisien
determinasinya?
c. Hitunglah besarnya
kesalahan standar
estimasi!
Jawaban :
A. Menentukan persamaan
regresinya
Langkah 1 :
Menentukan variable X dan
variable Y. Dalam soal ini variable
biaya periklanan merupakan
variable X dan tingkat penjualan
merupakan variable Y.
Langkah 2 :
Membuat table
regresi sederhana
Tkt.
Periklana
n (X)
50
51
52
53
54
Penjualan (
Y)
40
46
44
55
49
X2
2500
2601
2704
2809
2916
260
234
13530
Y2
(XY)
1600 2000
2116 2346
1936 2288
3025 2915
2401 2646
1107
12195
8
Langkah 4:
Menentukan
persamaan regresi
linier sederhana
Maka persamaan
regresi dalam soal ini
adalah :
B. Menentukan besarnya koefisien korelasi dan koefisien determinasi
Koefisien korelasi :
r = n (∑XY) – (∑X) (∑Y)
[ n (∑X2) – (∑X2)]1/2 [ n (∑Y2) – (∑Y)2]1/2
r = 5(12195) – (260) (234)
[ 5 (13530) – (260)2] 1/2 [ 5 (11078) – (234)2]1/2
r = A.
0,76 HJ
B. GHN
C. Menentukan besarnya kesalahan standar estimasi
Se = ∑Y2 – a ∑Y – b ∑XY) n-2
Se= √( 11078 - (-93,6) (234) – (2,7) (1915)) 5 -2
Se= 4,24
Penyelesaian
Latihan Soal 2
Hitung regresi linier untuk
data panjang aliran sungai
(s) vs luas basin (y) dari
Kalimantan berikut. Berapa
luas basin apabila panjang
aliran sungainya 14 km?
x
(km)
y(k
m)
x2
12,0
16,4
15,8
21,0
17,5
26,3
23,0
25,4
28,6
30,0
6,3
7,3
9,5
10,5
11,4
11,7
12,5
13,6
14,5
16,3
144,00
268,96
249,64
441,00
306,25
691,69
529,00
645,16
817,96
900,00
216
113,
6
4993,6 2609.7
6
7
Konvarians:
S
X-varians :
xy
75,60
119,72
150,10
220,50
199,50
307,71
287,50
345,44
414,70
489,00
Gradien :
b=
=
= 0,476
Perpotongan dengan y (y-intercept)
= 113,36-(0,476x21,6)=1,088
Sehingga diperoleh persamaan regresi:
Y=1,088+0,476x
Latihan Soal 3
Sebuah penelitian terhadap
pohon Mahoni, dimana akan
diteliti apakah ada hubungan
antara tinggi pohon dengan
diameter batang pohon, dengan
artian apakah ada pengaruh
diameter batang pohon
Tinggi
Diameter
terhadap tinggi pohon tersebut.
Pohon (y)
Batang (x)
35
8
49
9
27
7
33
6
60
13
21
7
45
11
51
12
Ʃ=321
Ʃ=73
Maka dIperoleh :
Jawaban :
Penyelesaian
Menentukan persamaan Y' = a +
bX + e
konstanta a dan koefisien b, kita
ikuti langkah sebagai berikut :
Persamaan regresi diperoleh :
Y' = -1,3147 + 4,5413X + e
Koefisien Determinasi R2 :
r = 0,886 bernilai positif dan
kuat
artinya terdapat hubungan atau
korelasi yang kuat antara tinggi
pohon mahoni dengan diameter
batang pohon mahoni. Semakin
besar diameter batang pohon
mahoni maka semakin tinggi
batang pohon mahoni.
R2 = 0,8862 = 0,785
artinya sekitar 78,5% variasi dari
variabel diameter batang pohon
mahoni dapat menjelaskan
variasi dari variabel tinggi pohon
mahoni.
dar Error Estimate Persamaan Regresi:
(cukup tinggi)
Pengujian Koefisien Regresi :
> Hipotesis Uji
Ho : b = 0
Ha : b ≠ 0
> Taraf Signifikansi
Pilih nilai signifikansi a = 5%
> Daerah Kritis
dengan nilai a = 5% dan derajat bebas n-2=8-2=6,
maka diperoleh nilai t-tabel pada 5%/2 = 2,5% yaitu
2,447.
Statistik Uji
> Keputusan
nilai t-hitung = 4,6805 > t-tabel = 2,447 sehingga Ho
ditolak dan Ha diterima.
> Kesimpulan
Dengan tingkat signifikansi 5% cukup menjelaskan
bahwa ada pengaruh diameter batang pohon mahoni
terhadap tinggi pohon mahoni.
Apa itu
Regresi NonLinear?
Regresi Non•Linear
Regresi Non-Linear adalah
•
metode untuk mendapatkan
model linear yang
menyatakan hubungan
variable dependen (Y) dan
independen (X).
Tidak seperti regresi linear
yang dibatasi oleh waktu
menaksir/meramal, regresi
non-linear dapat
mengestimasi model
hubungan variable dependen
dan independan dalam
bentuk non linear dengan
keakuratan yang lebih baik.
Macam-Macam
Regresi NonLinear:
1 Model Polinom
2 Model Eksponen
3 Model Geometris
4 Model Logistik
5 Model Hiperbola
1
Model Polinom
Polinom Derajat 2 (Kuadratik)
Untuk polinom derajat dua, k=2 mempunyai
model kuadratik (parabola), dengan bentuk
umum:
dimana ci adalah konstanta (bil. bulat positif)
Dalam model statistis parabola ditulis:
= Peubah Statis
= Koefisien regresi/pramaeter yang
tidak diketahui
= Rerata Y dan X
Jadi, taksiran untuk model parabola kuadratik dapat
ditulis dengan;
dengan
koefisien dan ditentukan berdasarkan data hasil
pengamatan. Jika menyatakan data hasil pengamatan
data hasil pengamatan dalam sebuah sampel berukuran
n, metode kuadratik terkecil memberikan nilai-nilai dan
dengan cara menyelesaikan persamaan normal berikut
1
Model Polinom
Polinom Derajat 3 (Kubik)
Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk
menentukan a, b, c, dan d adalah:
Persamaan Umum:
dengan koefisien a, b, c dan d dihitung dari
data hasil pengamatan.
Persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan
secara serentak dengan menggunakan metode
eliminasi, juga dengan metode Cramer.
2
Model Eksponen
Model eksponen adalah salah
satu model yang juga banyak
digunakan apabila situasi tidak
memungkinkan model linear atau
polinom.
Model tersebut dapat dikembalikan kepada
model linear apabila diambil logaritmanya.
Dalam logaritma menjadi:
Apabila diambil , maka
Persamaan Umum:
3
Model Geometri
Persamaan Umum:
Jika dikembalikan dalam logaritma menjadi:
Koefisien a dan b dapat dicari dengan:
Sama halnya dengan model
eksponen, model geometri juga
dapat dikembalikan kepada model
linear
4
Model Logistik
Bentuk paling sederhana model logistic
dapat ditaksir oleh
Jika diambil logaritmanya, maka didapat:
Koefisien a dan b dapat dicari dengan:
Untuk , persamaan diatas dapat ditulis
sebagai
5
Model Hiperbola
Bentuk paling sederhana
model logistic dapat ditaksir
Untuk , persamaan diatas
dapat ditulis sebagai
yang ternyata merupakan bentuk linier dalam variable-variabel
X dan
Contoh Soal 1
Diketahui data model
geometric. Tentukan
model regresi
geometriknya!
X
Y
X
Y
Penyelesaian
Pertama-tama kita perhatikan nilai-nilai yang perlu
untuk menghitung a dan b pada model ini.
log X
log Y
log X log Y
log2 X
20
20
35
35
150
150
126
126
1.301029996
2.176091259
2.831160001
1.69267905
1.544068044
2.096910013
3.237771743
2.384146126
60
60
100
100
105
105
100
100
1.77815125
2.021189299
3.593980279
3.161821869
2
2
4
4
150
150
300
300
92
92
97
97
2.176091259
1.963787827
4.273381526
4.735373168
2.477121255
1.986771734
4.921474491
6.136129711
500
500
800
800
97
97
62
62
2.698970004
1.986771734
5.362237316
7.284439084
2.903089987
1.792391689
5.203474367
8.427931473
1200
1200
1300
1300
58
58
40
40
3.079181246
1.763427994
5.429914407
9.481357146
3.113943352
1.602059991
4.98872406
9.696643201
1500
1500
1600
1600
38
38
35
35
3.176091259
1.579783597
5.017536872
10.08755569
3.204119983
1.544068044
4.947379275
10.26638486
7565
999
29.45185764 22.51325318 53.80703434 77.35446138
Contoh Soal 1
Dari
hitungan dalam table
didapatkan:
Contoh Soal 2
Seorang peneliti ingin
mengetahui hubungan
antara dosis obat
tertentu (X) dengan
kadar Creatinin Ginjal
(Y) kelinci percobaan,
dari hasil peneitiannya
diperoleh hasil pada
table disamping!
Tentukan model
regresi polinom
berderajat dua!
Penyelesaian
Kita tentukan dulu nilai yang perlu untuk regresi polinom berderajat dua, yaitu
No
1
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
14
13
15
14
15
Dosis Obat
(X)
Kadar
Kreatin (Y)
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
7
7
3
3
2
2
4
4
6
6
7
8
7
8
1
8
3
1
10
10
13
13
15
15
20
20
16
16
11
11
14
14
12
12
21
21
17
17
10
7
10
6
7
11
6
16
11
3
16
64
199
X2
X3
X4
XY
X2Y
1
4
9
16
25
49
9
4
16
36
49
64
64
1
9
356
1
8
27
64
125
343
27
8
64
216
343
512
512
1
27
2278
1
16
81
256
625
2401
81
16
256
1296
2401
4096
4096
1
81
15704
10
26
45
80
80
77
42
24
84
102
70
56
48
11
48
803
10
52
135
320
400
539
126
48
336
612
490
448
384
11
144
4055
No
X
Y
X2
X3
X4
XY
X2Y
1
1
10
1
1
1
10
10
2
2
13
4
8
16
26
52
3
3
15
9
27
81
45
135
4
4
20
16
64
256
80
320
5
5
16
25
125
625
80
400
6
7
11
49
343
2401
77
539
7
3
14
9
27
81
42
126
8
2
12
4
8
16
24
48
9
4
21
16
64
256
84
336
,
10
6
17
36
216
1296
102
612
, dan
11
7
10
49
343
2401
70
490
12
8
7
64
512
4096
56
448
13
8
6
64
512
4096
48
384
14
1
11
1
1
1
11
11
15
3
16
9
27
81
48
144
64
199
356
2278
15704
803
4055
Dari table kita dapat persamaan normal:
Setelah persamaan simultan ini diselesaikan,
diperoleh
Jadi, persamaan regresi parabola dapat ditulis:
Bulan
(X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
300
Profit (Y)
150
270
480
750
1350
2310
3625
5390
9950
15510
26500
40350
77510
111950
165300
311600
627480
804250
1540980
2314250
3923250
6010500
12334230
15975210
44303145
Latihan Soal 1
Diketahui data penjualan suatu
produk dari mulai diproduksi
sampai produk tersebut berumur
24 bulan (2 tahun) serta
keuntungannya ditunjukkan oleh
table disamping.
Tentukan
persamaan regresi
model Logistik nya!
Latihan Soal 2
Menit
(X)
Pengunju
ng (Y)
5
150
10
125
15
105
20
100
25
92
30
97
35
97
40
62
45
58
50
40
Kedai Burger Enak pada hari
pertama pembukaan memiliki
jumlah pengunjung yang
berbeda pada setiap
menitnya. Pada menit-menit
pertama pembukaan,
terdapat banyak pengunjung
yang tertarik untuk melihatlihat dan membeli di toko
tersebut. Data pengunjung
diberikan sebagai berikut:
X
= menit setelah
toko dibuka
Tentukan
persamaan
Y
= jumlah
pengunjung
took
regresi
Model
Polinom
berderajat dua!
Latihan Soal 3
Tentukan
persamaan regresi
Model Geometrik
dari data pada
latihan soal 2!
Apa itu
Interpolasi?
INTERPOL
?
?
Interpolasi
adalah perkiraan suatu nilai
tengah dari satu set nilai yang diketahui. Interpolasi
dalam arti luas merupakan upaya mendefinisikan
suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang tidak
diketahui atau pengganti fungsi yang tak mungkin
diperoleh persamaan analitiknya.
Interpolasi adalah metode untuk mendapatkan data
baru di dalam rentang sebuah himpunan data diskrit.
Seorang mahasiswa diminta untuk melakukan eksperimen
di Lab Sensor dan Telekontrol untuk mengukur tegangan
keluaran sensor PIR (passive infrared) yang dapat
digunakan untuk mendeteksi orang dengan jarak tertentu.
Hasilnya berupa tabel dan grafik berikut ini.
Jar
ak
V
2
5
2.5
4.2
3
3.4
4
2.4
5
1.8
6
1.2
7
0.8
8
0.5
9
0.4
10
0.3
Si mahasiswa kebingungan karena dia
tidak mengukur tegangan keluaran pada
jarak yang diminta dosennya tersebut.
Dia juga tidak bisa lagi melakukan
eksperimen karena semua alat yang
digunakan sudah dikembalikan.
6
5
5
4.2
4
V
3.4
3
2.4
1.8
2
1.2
0.8
1
0
1
"kalau jarak obyeknya adalah
5.5 m dari sensor, tegangan
keluarannya berapa?”
2
3
4
5
6
7
Jarak/d (m)
0.5 0.4
0.3
8
9
10
11
Dalam kasus ini, kita dapat melakukan 2
cara untuk memperoleh data yang tidak
terdapat dalam himpunan data diskrit
yang ada, yaitu dengan membuat kurva
yang mencakup titik yang hendak dicari.
Interpolasi
Regresi
6
5
6
5
5
5
4.2
4
V
4.2
4
3.4
3
V
2.4
1.8
2
3.4
3
2.4
1.8
2
1.2
0.8
1
0
1
1.2
2
3
4
5
6
7
0.8
1
0.5
0.4
0.3
8
9
10
Jarak/d (m)
kurva yang terjadi dipaksakan untuk melewati
titik-titik data yang tersedia
11
0
1
2
3
4
5
6
7
0.5
0.4
0.3
8
9
10
11
Jarak/d (m)
bentuk kurvanya mengikuti fungsi tertentu yang
belum tentu melewati titik-titik data yang tersedia
Pengantar
Umumnya data engineering banyak
yang berupa tabulasi, dikarenakan
pada kenyataannya data yang bisa
diperoleh adalah bersifat diskrit atau
juga karena keterbatasan dalam
pengukuran sehingga hanya
sebagian data yang dapat
X
Y
disimpan/dicatat.
0.2
10.1
0.3
12.5
0.4
14.2
0.5
17.8
0.6
19.3
Contoh
Berupa
Tabulasi
Beberapa cara dalam
menginterpretasikan
manipulasi data
diskrit:
1 Numerical
Interpolation
2 Curve Fitting
3 Numerical
Differentiation
4 Numerical Integration
Interpolasi
Interpolasi: Metode yang digunakan
untuk menaksir harga (-harga) yang
terletak diantara titik-titik data
dalam table yang terbebas dari
kesalahan
Untuk (n+1) titik data, ada satu
dan hanya satu polinom yang
melewati semua titik data (derajat
polinom n atau kurang dari n).
Interpolasi
Interpolasi berbeda
berbeda dengan
dengan
ekstrapolasi,
ekstrapolasi, namun
namun keduanya
keduanya samasamasama
sama digunakan
digunakan untuk
untuk menaksir.
menaksir.
linear
kuadratik
kubik
Interpolasi
Ekstrapolasi
y
y
y3
e
y
3
y2
yi
2
y
y1
1
x1 xi
x2
x3
x1
x2
x3
x
e
Xi terletak diantara simpul-simpul
yang ada
Xe tidak terletak diantara simpulsimpul yang ada atau berada di
luar simpul.
Biasanya taksirannya kurang teliti
INTERPOLASI
LINEAR
?
Apa
Interpola
itu
si
?
Linear?
Interpolasi Linear
Ide
Menentukan
Menentukan titik-titik
titik-titik antara
antara dari
dari
Dasar
2
2 buah
buah titik
titik dengan
dengan menggunakan
menggunakan
garis
garis lurus.
lurus.
Persamaan garis lurus yang
melalui
2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)
dapat dituliskan dengan:
Persamaan Interpolasi Linear
(x-x1) + y2
Algoritma Interpolasi Linear
Menentukan dua titik P1 & P2
dengan koordinatnya (x1, y1)
dan (x2, y2)
1
2
Menghitung nilai y
dengan:
(x – x1) + y2
Menentukan nilai
x dari titik yang
akan dicari
3
4
Menampilkan
nilai titik yang
baru Q(x,y)
Interpolasi Linear
Interpolasi Linear merupakan
interpolasi dua buah titik
dengan sebuah garis lurus.
Misal diberikan dua buah titik,
(x0, y0) dan (x1, y1).
Polinom yang menginterpolasi
kedua titik itu adalah
persamaan garis lurus yang
berbentuk:
P(x) = a0 + a1x
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan
proses subsitusi dan eliminasi.
Dengan mensubstitusikan (x0, y0)
dan (x1, y1) ke dalam persamaan
. . . . . . (1)
. . . . . . (2)
Kemudian,
eliminasi kedua persamaan
tersebut:
Substitusikan nilai a1 ke dalam
persamaan 1
Dengan melakukan manipulasi aljabar
untuk menentukan nilai p1(x) dapat
dilakukan sbb:
Contoh Soal 1
Diketahui:
Perkirakan atau prediksi
jumlah penduduk Purworejo
pada tahun 1995
berdasarkan data tabulasi
berikut:
Tahun
1990
2000
Jumlah
Penduduk
187.900
205.700
Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Purworejo tahun
1995.
Ingat:
Misalkan x=1995
196.800
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada
tahun 1995 adalah 196.800 orang
Contoh Soal 2
Diketahui:
2.2513
Ditanya: tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka
bena kemudian dibandingkan dengan nilai sejati
ln(9.2)=2.2192
Dari data:
ln(9.0) = 2.1972,
ln(9.5) = 2.2513,
Tentukan ln(9.2) dengan
interpolasi linier sampai 4
desimal.
Bandingkan hasil yang
diperoleh dengan nilai sejati
ln(9.2)=2.2192. Hitung galat!
Ingat:
2.21884
Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) interpolasi
linear
Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4
Contoh Soal 3
Jarak yang dibutuhkan sebuah
kendaraan untuk berhenti
adalah fungsi kecepatan. Data
percobaan berikut ini
menunjukkan hubungan antara
kecepatan dan jarak yang
dibutuhkan
untuk
Kecepat
menghentikan
kendaraan.
an
(mil/jam
)
10
20
30
40
50
Jarak
henti
12
21 henti
46 yang
65 90
Perkirakan
jarak
(feet)
dibutuhkan
bagi sebuah
Diketahui:
x = 45
Ditanya: Perkiraan jarak henti kecepatan 45
mil/jam.
Ingat:
60
70
Jadi, Jarak henti yang dibutuhkan kendaraan yang
11
1
kenderaan yang melaju dengan
kecepatan 45 mil/jam.
14
8
melaju dengan kecepatan 45 mil/jam adalah 77.5
feet.
Latihan soal
1
1000
901.67
900
800
700
v(t) (m/s)
T (s)
V[t]
602.97
600
0
(m/s)
0
10
227.04
300
15
362.78
200
20
517.35
22.5
602.97
100
0
0
0
30
901.67
517.35
500
362.78
400
227.04
5
10
15
20
t (sekon)
The upward velocity of a rocket is given as a
function of time in Table 1.
Find the velocity at t=16 seconds using linear
interpolation.
25
30
35
Latihan Soal 3
Latihan Soal 2
Diketahui suatu nilai
tabel distribusi
‘Student t’ sebagai
berikut :
t5% = 2,015
t2,5% = 2,571
Hitunglah nilai t4% !
Diketahui:
log (3) = 0,4771213
log (5) = 0,698700,
Tentukan :
Harga log (4,5) yang
dihitung dengan
interpolasi dan kesalahan
relatifnya jika harga
sebenarnya log
(4,5)=0,6532125
(kalkulator).
Daftar Pustaka
SEARCH
Tiro, Arif. 2010. Analisis Korelasi dan Regresi.
Makassar: Andra Publisher
Sudjana. 2005. Metoda Statistika Edisi ke-6.
Bandung: Penerbit Tarsito
Terima Kasih
Ada Pertanyaan?