Optimasi Fortofolio Dengan Risiko Downside Fuzzy

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diuraikan konsep dan teori yang ada kaitannya dengan optimasi
portofolio dengan risiko downside fuzzy. Salah satu konsep yang dibahas adalah
f uzzy portf olio optimization downside risk measure (Bermudez et al., 2005).
Selanjutnya akan diuraikan juga mengenai investasi, portofolio, risiko, investasi
yang berisiko, risiko downside, himpunan fuzzy.
Pada era globalisasi, pasar saham tidak lagi didominasi oleh perusahaan
besar dan investor institusi, investor individu juga mulai memasukinya. Hal
tersebut disebabkan mudahnya menentukan alokasi aset keuangan sesuai dengan
yang diinginkan. Penentukan alokasi aset tersebut, sering berhubungan dengan
naik dan turunnya aset. Hal tersebut berakibat juga pada adanya ketidakpastian
pengembalian aset. Ketidakpastian pengembalian aset bisa juga berasal dari kondisi sosial, faktor analisis statistik data historis dan faktor ambigu seperti aspek
psikologi investor serta efisiensi informasi.
Persoalan pemilihan alokasi aset keuangan secara umum disebut persoalan
pemilihan portofolio. Persoalan tersebut kajiannya terus dilakukan sampai sekarang. Seperti penelitian pendekatan matematika Markowitz (1952) telah mengusulkan model mean − variance dalam persoalan pemilihan portofolio. Pendekatan ini menjadi pusat kegiatan penelitian di bidang keuangan.

Seperti dikemukakan sebelumnya bahwa dalam menentukan alokasi aset
berhubungan dengan naik dan turunya harga aset. Hubungan tersebut berkaitan dengan risiko downside (Sukono et al., 2008). Peneliti lainnya yang melakukan pemilihan portofolio dengan risiko downside diantaranya adalah Post et al.,
(2002), Nowrochi dan David (1999).

Ada juga beberapa penelitian mendasar tentang kondisi ketidakpastian yang
berhubungan dengan persoalan pemilihan portofolio, Bilbao-Terol et al., (2005),
Carlsson et al., (2002), Tanaka dan Guo (1999), Jones (1992), Ishibuchi dan
Tanaka (1990) dan Watada (1997).

4

Universitas Sumatera Utara

5
Leon et al., (2004) mengemukakan bahwa rata-rata dari sejumlah bilangan
fuzzy bisa digunakan untuk mengevaluasi pengembalian yang diharapkan dan
risiko portofolio yang diberikan. Dubois dan Prade (1987) memperkenalkan interval rata-rata dari bilangan fuzzy sebagai sebuah interval tertutup yang dibatasi
oleh beberapa ekspektasi yang dihitung dari probabilitas bawah dan atas.
Popularitas risiko downside kalangan investor tumbuh dan berkembang dalam seleksi portofolio. Ukuran risiko downside hanya mempertimbangkan pengembalian yang berada di bawah risiko. Ide di balik dunia risiko downside adalah
bahwa sisi kiri dari distribusi kembali melibatkan risiko sementara sisi kanan berisi
peluang investasi yang lebih baik .
2.1 Investasi
Setiap manusia pernah melakukan kegiatan investasi dalam hidupnya. Kegiatan
investasi sebenarnya adalah kegiatan yang penuh dengan ketidakpastian atas sesuatu yang terjadi pada waktu yang akan datang. Karena investasi merupakan

kegiatan investor yang menanamkan modalnya pada saat sekarang dengan harapan memperoleh pendapatan atau tingkat keuntungan di waktu yang akan datang
selama umur investasi tersebut.
Bilbao-Terol et al., (2006) mengatakan bahwa investasi secara sederhana
dapat diartikan sebagai komitmen atas sejumlah dana yang dilakukan pada saat
ini agar memperoleh sejumlah keuntungan di masa mendatang. Harapan keuntungan di masa depan tersebut merupakan konpensasi atas waktu dan risiko yang
berkaitan dengan investasi yang dilakukan. Harapan tingkat keuntungan tersebut
sering disebut sebagai return, sedangkan risiko merupakan seberapa jauh hasil
yang diperoleh atau return yang menyimpang dari nilai yang diharapkan. Dari
pengertian investasi tersebut, menunjukkan bahwa tujuan dari investasi tidak lain
adalah untuk meningkatkan kesejahteraan investor baik sekarang maupun di masa
mendatang.
Investasi ke dalam aktiva keuangan dapat berupa investasi langsung dan
investasi tidak langsung. Investasi langsung dilakukan dengan membeli langsung
aktiva keuangan dari suatu perusahaan baik melalui perantara maupun dengan
cara lain. Investasi tidak langsung dilakukan dengan membeli saham dari perusahaan investasi yang mempunyai portofolio aktiva keuangan perusahaan lain.
Universitas Sumatera Utara

6
Dalam melakukan investasi di pasar modal diperlukan pengetahuan yang
cukup, pengalaman dan naluri bisnis untuk menganalisa sekuritas atau mana

yang akan dibeli, dijual dan mana yang dapat dimiliki. Sebagai seorang investor
harus dapat bersikap rasional dalam menghadapi pasar jual beli saham. Selain
itu juga investor harus mempunyai ketajaman dalam memperkirakan masa depan
saham perusahaan yang akan di beli maupun di jual. Investor yang rasional tentunya tidak akan menyukai ketidakpastian atau risiko. Sikap investor terhadap
risiko yang sangat bergantung kepada preferensi investor terhadap risiko. Investor yang mempunyai sikap enggan terhadap risiko disebut sebagai risk averse
investors, yaitu investor yang tidak mau mengambil risiko jika investasi tersebut
tidak memberikan harapan return yang layak sebagai kompensasi terhadap risiko
yang ditanggung. Sedangkan investor yang berani mengambil risiko disebut sebagai risk taker investors, yaitu investor yang lebih berani memilih risiko investasi
yang tinggi dengan diikuti oleh harapan return yang tinggi juga (Carlsson et al.,
(2002)).
Pada umumnya investasi dibedakan menjadi dua, yaitu investasi pada f inan−
cial assets dan investasi pada real assets.

Investasi pada f inancial assets

dilakukan di pasar uang, misalnya berupa deposito, commercial paper, surat
berharga, dan yang lainnya. Atau dilakukan di pasar modal, misalnya berupa
saham, obligasi, waran, opsi, dan lainnya. Sedangkan investasi pada real assets
diwujudkan dalam bentuk pembelian aset produktif, pendirian pabrik, pembukaan
pertambangan, pembukaan perkebunan, dan lainnya.

2.2 Portofolio
Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset, baik berupa real assets maupun f inancial assets yang dimiliki oleh investor. Adapun tujuan membuat portofolio investasi untuk melakukan diversifikasi risiko agar dana
yang dimiliki mempunyai risiko yang minimum. Dalam melakukan portofolio yang
diinginkan maka ada dua tahap yang harus dipahami dalam mengelola portofolio
tersebut. Dua tahap tersebut, yaitu konstruksi portofolio dan evaluasi terhadap
portofolio investasi yang dimiliki.

Universitas Sumatera Utara

7
Dalam pembentukkan portofolio hubungan antar instrumen portofolio perlu diperhatikan agar risiko yang diperoleh dapat optimum atau terkecil. Dan
tahap akhir dalam tindakan portofolio yaitu melakukan evaluasi portofolio investasi. Tahap ini dilakukan bila ada konstruksi portofolio yang dibangun, begitu
juga sebaliknya. Dan untuk melakukan pembentukkan portofolio, investor selalu
menginginkan return yang maksimum dengan risiko yang minimum.
2.3 Risiko
Risiko adalah segala sesuatu yang dapat mempengaruhi pencapaian tujuan organisasi. Sedangkan manajemen risiko adalah serangkaian prosedur dan metodologi
yang digunakan untuk mengidentifikasi, mengukur, memantau, dan mengandalikan risiko yang timbul dari kegiatan usaha.
Model yang berkembang dalam manajemen risiko adalah mengintegrasikan
risiko dan pengelolaan usaha. Model tersebut dirancang supaya manajemen risiko
memberikan nilai. Ada beberapa jenis risiko yaitu:

1. Risiko lingkungan (eksternal environmental risk), yakni kerugian karena bencana alam, perubahan rasa dan preferansi pelanggan, kompetitor,
lingkunga politis, dan ketersediaan modal dan tenaga kerja.
2. Risko proses usaha (business process risk), yakni kerugian yang diakibatkan tidak efektif dan efisien dalam memperoleh, membiayai, mentransformasikan, dan memasarkan barang-barang dan jasa, serta ancaman kerugian
aktiva, termasuk reputasi perusahaan.
3. Risiko informasi (inf ormation risk), yakni kerugian yang diakibatkan informasi yang bermutu rendah untuk pengambilan keputusan usaha dan kesalahan memberikan informasi kepada pihak luar.
Faktor-faktor keberhasilan dalam pengelolaan risiko terdiri dari komitmen, tanggung jawab, kesadaran, kebijakan, metodologi, keterampilan, dan pemantauan.
2.4 Investasi yang Berisiko
Dalam konteks manajemen investasi, risiko merupakan besarnya penyimpangan
antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat
Universitas Sumatera Utara

8
pengembalian yang dicapai secara nyata (actual return). Semakin besar penyimpangannya maka semakin besar tingkat risikonya. Adapun alat yang digunakan
sebagai ukuran dalam menghitung tingkat pengembalian dan risiko dalam portofolio adalah sebagai berikut:
1. Return, return ekspektasi dan risiko saham
(a) Return
Pt − Pt−1
Pt−1

Return =

(2.1)

Dimana:
Pt

: Harga saham periode t

Pt−1 : Harga saham periode sebelumnya
(b) Return ekspektasi saham
E(Ri ) =

PN

j=1

Rij

(2.2)

N

E(Ri ) = Tingkat keuntungan yang diharapakan dari nvestasi
Rij

= Return saham i periode j

N

= Jumlah periode

(c) Risiko saham
σi2

=

PN

− E(Ri ))]2
N

j=1 [(Rij

(2.3)

PN

− E(Ri ))]2
σi =
N
Dimana N adalah return yang terjadi pada periode pengamatan
√

j=1 [(Rij

2. Return, return ekspekstasi dan risiko pasar
(a) Return pasar (IHSG)
Rm,t =

IHSGt − IHSGt−1

IHSGt−1

(2.4)

Dimana:
Rm,t

: Return pasar periode t

IHSGt

: IHSG periode t

IHSGt−1 : IHSG periode sebelumnya
Universitas Sumatera Utara

9
(b) Return ekspektasi pasar
E(Rm ) =

PN

Rm, t
N

t=1

(2.5)

Dimana E(Rm ) adalah return ekspektasi pasar
(c) Risiko pasar
2
σm

=

PN

− E(Rm )]2
N

t−1 [(Rm,t

(2.6)

2
Dimana σm
adalah varian pasar

3. Alpha dan beta sekuritas
(a) Alpha sekuritas
E(Ri ) = αi + βi .E(Rm )
(b) Beta sekuritas
βi =
atau
βi =

(2.7)

σim
2
σm

Pn

(2.8)

− E(Ri )).(Rm − E(Rm ))
i=1 (R
Pi n
2
i=1 (E(Rm ) − Rm )

(2.9)

4. Kesalahan residu dan varian dari kesalahan residu
(a) Kesalahan residu
Ri = αi + aβi.Rm + ̺i

(2.10)

Dimana ̺i adalah kesalahan residu
(b)Varian dari kesalahan residu
2
2
σi2 = βi2 σm
+ σei

(2.11)

Dimana:
2
σei
: Varian dari kesalahan residu sekuritas ke i

σi2 : Varian saham i
atau
σi2

=

PN

i=1 [(̺i

− E(̺i ))]2
N

(2.12)

5. Return dan risiko portofolio
(a) Return ekspektasi portofolio

Universitas Sumatera Utara

10
Beta dari portofolio (βp ) yang merupakan rata-rata terimbang dari βp masingmasing sekuritas.
βp =

n
X

ω.(βi )

(2.13)

i=1

Alpha dari portofolio (αp ) yang merupakan rata-rata tertimbang dari αp
tiap-tiap sekuritas.
αp =

n
X

(2.14)

ωi .αi

i=1

Dengan mensubstitusikan karakteristik antara βp dengan αp maka return
ekspektasi portofolio adalah sebagai berikut:
E(Rp ) = αp + βp .E(Rm )

(2.15)

(b) Risiko portofolio varian dari portofolio
X
σp2 = βp2 .σm2 + (
ωi − σei )2
dimana:

ωi =

X
Pk i
j=1

dan

Xi =

(2.16)

Xj

βi
2 (ERBi
σei

− C ∗)

Tanaka dan Guo (1999) mengemukakan sebuah alternatif untuk memilih
saham mana yang masuk dalam portofolio dengan menggunakan excess return to
beta (ERB). Dimana ERB merupakan selisih antara tingkat pengembalian saham
dengan tingkat pengembalian aset bebas risiko yang selanjutnya dibagi dengan
beta saham tersebut. Excess return to beta ini diurutkan dari terbesar sampai
yang terkecil. ERB juga mengukur tingkat tambahan pengembalian pada sebuah
saham per unit dari risiko yang tidak dapat diversifikasi. Untuk menghitung
excess return to beta adalah sebagai berikut:
ERB =

(Ri − Rf )
βi

(2.17)

Dimana:
ERB = Excess return to beta
Ri = Tingkat pengembalian saham ke i
Rf = Tingkat pengembalian aset bebas risiko
βi = Beta saham ke i
Universitas Sumatera Utara

11
Selanjutnya, Carlson et al., (2000) memberikan rumusan mengenai sahamsaham yang masuk dalam portofolio yaitu saham-saham yang memiliki ERB di
atas batas tertentu yang disebut dengan cut − of f − rate, yang dapat dihitung

sebagai berikut:

Ci =

2
σm

Pi

j=1

2
1 + σm

(Ri −Rf )βj
2
βcj

(2.18)

βj2
2
j=1 σej

Pi

Dimana:
Ci

= Cut − of f − rate

2
σm

= Varians tingkat pengembalian pasar

βj

= Beta saham ke j

2
σej

= Varians saham yang tidak dihubungkan dengan pasar ke j

Ri

= Tingkat pengembalian saham ke i

Rf

= Tingkat pengembalian aset bebas risiko
Dubois dan Prade (1987) juga memperkenalkan analisis network atau je-

jaring yang diaplikasikan kepada model portofolio. Model portofoloio ini selalu
dipresentasikan dalam bentuk node yang selalu berhubungan dengan input yang
masing-masing sebagai penawaran (supplies) dan permintaan (demands) dan ini
merupakan komponen pertama. Komponen kedua yang digunakan dalam model portofolio adalah titik transaksi (point transaction) atau node portofolio
(portf olio nodes).
2.5 Risiko Downside
Sebuah estimasi potensi keamanan mengalami penurunan nilai jika kondisi pasar
berubah, atau jumlah kerugian yang dapat diderita sebagai akibat dari penurunan. Pemilihan portofolio berpedoman pada optimisasi alokasi aset portofolio.
Dalam alokasi asset portofolio akan berkaitan dengan probabilitas penurunan harga asset. Hubungan demikian akan berkaitan dengan risiko downside.
Risiko downside menjelaskan ”kasus terburuk” skenario untuk investasi,
atau berapa banyak investor akan mengalami kerugian untuk sebuah investasi.

Universitas Sumatera Utara

12
Beberapa investasi memiliki jumlah terbatas risiko downside, sementara
yang lain memiliki risiko yang tak terbatas. Pembelian saham, misalnya, memiliki jumlah terbatas risiko downside; investor dapat kehilangan seluruh investasinya. Penjualan saham, seperti yang dicapai melalui penjualan pendek (atau
”short-selling”) memerlukan risiko downside terbatas, karena harga bisa terus
meningkat tanpa batas.
2.6 Himpunan Fuzzy
Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan
orang tinggi, dan sebagainya. Misalnya, pada himpunan orang tinggi, tidak dapat
ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak tinggi. Anggap
bahwa definisi orang tinggi adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama
dengan 1.75 meter, maka orang yang tingginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya
1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa batas
antara kelompok orang tinggi dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat
ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas
itu, L.A. Zadeh mengaitkan himpunan tersebut dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada interval [0, 1]. Himpunan tersebut disebut himpunan fuzzy dan fungsi
ini disebut fungsi keanggotaan (membershipf unction) dan nilai fungsi itu disebut
derajat keanggotaan.
2.6.1 Fungsi keanggotaan pada himpunan fuzzy
Ketika A adalah sebuah himpunan tegas (crisp), fungsi keanggotaannya hanya
terdapat 2 nilai kemungkinan, yaitu 0 dan 1, dengan fA (x) = 1 atau 0 tergantung
pada x termasuk anggota atau tidak termasuk anggota dalam A. Satu (1) berarti
suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan. Nol (0) berarti suatu item
tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
Sebuah himpunan fuzzy A pada X ditandai oleh fungsi keanggotaan fA (x)
yang berhubungan dengan setiap titik di X, sebuah bilangan real pada interval
Universitas Sumatera Utara

13
[0, 1] dengan nilai dari fA (x) pada x mewakili derajat keanggotaan x pada A.
Maka, semakin dekat nilai fA (x) ke semesta pembicaraan, semakin tinggi derajat keanggotaan x pada A. Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang
diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy.
Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa
naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan dan nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif atau negatif. Domain himpunan fuzzy
adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik titik input data ke
dalam nilai keanggotaan yang mempunyai interval antara 0 sampai 1.
Definisi 2.1:
X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy A pada X ditan−
dai oleh f ungsi keanggotaannya:
A : X → [0, 1]
dan A(x) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen x pada himpunan f uzzy A untuk setiap x ∈ X.
Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untuk mewakili keanggotaan penuh, dan nilainilai di antaranya digunakan untuk
mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan A juga disebut sebagai fungsi
keanggotaan dari himpunan fuzzy A.
Definisi 2.2:
Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya
sama dengan 0 pada X
Definisi 2.3
Dua himpunan fuzzy A dan B adalah sama, ditulis A=B,
jika dan hanya jika fA (x) = fB (x) untuk semua x pada X

Universitas Sumatera Utara

14
2.6.2 Bilangan fuzzy
Sebuah bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan biasa, dalam arti bahwa hal itu tidak mengacu pada suatu nilai tunggal melainkan pada suatu himpunan nilai-nilai yang mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan
memiliki bobot sendiri antara 0 dan 1. Bobot ini disebut sebagai fungsi keanggotaan. Dengan demikian, sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah kasus khusus dari
himpunan fuzzy konveks. Sama seperti Logika Fuzzy yang merupakan perluasan
dari Logika Boolean (di mana hanya menggunakan ya dan tidak dan tidak ada di
antaranya), bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan real. Perhitungan
dengan menggunakan bilangan fuzzy memungkinkan penggabungan ketidakpastian parameter, sifat, geometri, kondisi awal, dan sebagainya.
Sebelum menjelaskan tentang bilangan fuzzy, berikut beberapa hal dan
definisi yang penting dalam teori himpunan fuzzy: (Inuiguchi et al., 1990)
1. Sebuah himpunan fuzzy A pada R (barisan bilangan real) didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut A = {(x, µA (x))|x ∈ R}, di mana µA˜ (x)
disebut sebagai fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy.

2. Sebuah himpunan fuzzy A disebut normal jika terdapat paling sedikit satu
titik x ∈ R dengan µA˜ (x) = 1
3. Sebuah himpunan fuzzy A pada R adalah konveks jika untuk setiap x, y ∈ R
setiap λ ∈ [0, 1] sehingga µA (λx + (1 − λ)y) ≥ min{µA (x), µA (y)}.

4. Sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy pada barisan bilangan
real yang memenuhi kondisi normalitas dan konveksitas.
Definisi 2.4
Bilangan fuzzy A˜ adalah sebuah normalisasi himpunan fuzzy konveks pada barisan
bilangan R sehingga:
1. Terdapat paling sedikit satu x0 ∈ R dengan µA˜ (x0 ) = 1
2. µA˜ (x) setidaknya kontinu sebagian
Diasumsikan fungsi keanggotaan dari sebarang bilangan fuzzy A˜ adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara

15


1−



µA˜ (x) = 1 −




0,

mA −x
,
αA
x−mA
,
βA

m A − α A ≤ x ≤ mA
mA ≤ x ≤ mA+β

A

(2.19)

untuk yang lainnya

dimana mA adalah nilai rata rata dari A˜ dan αA dan β A adalah penyebaran kiri
dan kanan berturut-turut, ini disebut sebagai bilangan fuzzy triangular. Sebuah
bilangan fuzzy triangular ditunjukkan dengan A˜ = (mA , αA , β A ) dan F (R) adalah
himpuanan dari bilangan fuzzy triangular.
Definisi 2.5
Sebuah bilangan fuzzy A˜ = {(x, µA˜ (x))|x ∈ R} adalah non negatif jika dan hanya
jika µA˜ (x) = 0 untuk semua x < 0 . Jadi sebuah bilangan fuzzy triangular
A˜ = (mA , αA , β A ) adalah non negatif jika mA − αA ≥ 0.

Definisi 2.6:
˜ = (mB , αB , β B )
Dua buah bilangan fuzzy triangular A˜ = (mA , αA , β A ) dan B
dikatakan sama jika dan hanya jika mA = mB , αA = αB , danβ A = β B
Definisi 2.7:
Sebuah bilangan fuzzy A˜ = (mA , αA , β A ) dikatakan simetris jika αA = β A
2.6.3 Metode penyelesaian program linear
Permasalahan dalam bentuk Fuzzy Linear Programming (FLP) ditransformasi ke bentuk Linear Programming (LP), akan dicari solusi yang optimal dari
model tersebut dan solusinya digunakan sebagai solusi yang optimal dari FLP.
Linear Programming adalah sebuah metode matematika yang digunakan untuk mencari hasil paling optimum dalam suatu model matematika dengan beberapa daftar kendala yang direpresentasikan dalam persamaan linear. Sebuah
permasalahan LP dapat didefinisikan sebagai berikut:
M aks : z = cx

(2.20)

s.t : Ax ≤ b
x≥0
Universitas Sumatera Utara

16
dimana: x = (x1 , ..., xn )T , c = (c1 , ..., cn ), b = (x1 , ..., xn )T , danA = [aij ]mn
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan LP, diantaranya dengan
menggunakan metode grafik dan metode simplex. Metode grafik tidak dapat
digunakan dalam menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel
keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, jadi untuk menyelesaikannya
digunakan metode simplex.
Langkah-langkah penyelesaian program linear dengan metode grafik:
1. Bentuk model matematika dari persoalan untuk:
a. Fungsi tujuan (objective function)
b. Fungsi kendala (constraint)
2. Ubah bentuk pertidaksamaan pada kendala menjadi persamaan.
3. Gambarkan grafik pada langkah ke-2 dan tentukan daerah layak.
4. Uji titiktitik ekstrim yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai titik ke
fungsi tujuan.
Langkah-langkah penyelesaian program linear dengan metode simplex:
1. Formulasikan dan standarisasikan persoalan ke model linear.
2. Tambahkan variabel slack pada masing masing constraint (pembatas) untuk
memperoleh bentuk standar. Model ini digunakan untuk identifikasi solusi
feasible awal dari pembatas bernilai lebih kecil atau sama dengan.
3. Buat tabel simplex awal.
4. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai (cj − zj ) yang paling
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai (cj − zj ) yang paling

negatif untuk kasus minimasi.

5. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci.
6. Menentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci
dan baris kunci.
Universitas Sumatera Utara

17
7. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris z baru, dan
baris variabel-variabel slack baru.
(a) Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan
elemen cell.
(b) Baris z baru dan barisbaris lainnya ditentukan dengan cara: Baris
lama(nilai kolom kunci baris yang sesuai baris kunci baru)
(c) Letakkan nilai nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel
8. Lakukan uji optimalitas. Jika semua koefisien pada baris (cj − zj ) sudah

tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah
tidak ada lagi bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah ke-4.

Universitas Sumatera Utara