5 dan Relasi Dan Fungsi

RELASI DAN FUNGSI
A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau
hubungan tertentu.
Misalnya :
A = { 2, 3, 5 }
B = { 1, 4, 7, 10, 14 }
Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan
elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :
2 adalah faktor dari 4
2 adalah faktor dari 10
2 adalah faktor dari 14
5 adalah faktor dari 10
Sedangkan 3 A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.
Relasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram panah. Gambarlah Diagram Panah
tersebut! Relasi itu dikatakan sebagai suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Perhatikan bahwa suatu relasi mempunyai arah tertentu. Dalam diagram diatas arah itu
dinyatakan dengan anak panah. Relasi tersebut juga dapat dinyatakan sebagai himpunan
pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B
di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan

elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut
diberi nama R, maka :
R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }
Jelaslah bahwa R  A x B
Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B
merupakan himpunan bagian dari AXB (produk Cartesius A dan B). sehingga dapat
didefinisikan:
R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb. R  A x B
Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 1

A disebut daerah asal (domain) dan B disebut daerah kawan (kodomain) dari relasi R
tersebut.
Jika (x,y)  R, maka dikatakan bahwa ”x berelasi dengan y” (ditulis ”xRy”). Jika R
adalah suatu relasi dari B ke A dengan R 1 = {(y, x)
1

(x,y)  R}, maka jelaslah bahwa R

 BxA

Contoh :
A = { -3, 3, 4, 7, 10 }
B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Relasi “berselisih 2 dengan” antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen
himpunan B dapat disajikan sebagai himpunan bagian dari A x B, yaitu :
R = { ( x,y )

x A, y B, x  y = 2 }

= { (3,5), (4,2), (4,6),(7,5),(10,8) }  A X B
( 4,6 )  R, maka dikatakan bahwa “ 4 berelasi dengan 6 “ ( 4 berselisih 2 dengan 6 )
atau 4R6.
R 1 = { (5,3),(2,4),(6,4),(5,7),(8,10)}
2. Relasi-relasi Khusus
Jika A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.
a) Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen

dari A

berrelasi R dengan dirinya sendiri.
R refleksif pada A bhb. (  xA). (x,x)  R
(  xA). x R x
Contoh :
A adalah suatu keluarga himpunan. R adalah relasi ”himpunan bagian” yaitu:
R ={ (x,y)

xA, yA, x  y }

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 2

R adalah relasi refleksif pada A karena untuk setiap xA berlakulah bahwa
x  x, yaitu (xA). (x,x) R
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non- refleksif bhb. ada elemen dari A
yang tidak berrelasi R dengan dirinya sendiri.
R non-refleksif pada A bhb. (  x  A).( x,x)  R
(  xA). x R x

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi irrefleksif bhb. setiap elemen dari A
tidak berelasi R dengan dirinya sendiri.
R irrefleksif pada A bhb. (  xA).( x,x)  R
(  xA). x R x
Perhatikan bahwa suatu relasi yang irrefleksif dengan sendirinya

adalah non-

refleksif, tetapi sebaliknya belum tentu.
Contoh :
A = himpunan semua bilangan nyata.
Relasi “ > “ adalah suatu relasi yang irrefleksif (jadi juga non- refleksif ) pada A
karena setiap bilangan nyata tidak lebih besar dari pada dirinya sendiri.
A = himpunan semua manusia
Relasi “ dapat menguasai” adalah relasi yang non – refleksif pada A ( karena ada
orang yang tidak dapat menguasai dirinya sendiri), tetapi bukan relasi yang irrefleksif (
karena tidak semua orang tidak dapat menguasai dirinya sendiri)
b) Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x
dan y dalam A, jika x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.
R simetris pada A bhb. (  x,yA) (x,y)  R  (y,x)  R

(  x,yA) (x,y)  R  (x,y)  R 1
(  x,yA) xRy

 yRx

Contoh :
A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.
Relasi “ sejajar” adalah relasi yang simetris pada A, karena untuk setiap dua garis lurus x
dan y, di mana x//y, maka pastilah y//x

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 3

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non – simetris bhb. Ada sepasang elemen
x dan y  A dimana x berrelasi R dengan y tetapi y tidak berrelasi R dengan x.
R non- simetris pada A bhb. (  x,yA). (x,y) R 

( y,x ) R

(  x,yA). (x,y) R  ( y,x ) R 1
(  x,yA). xRy

 y R x

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi asimetris bhb. Untuk setiap pasangan
elemen x dan yA di mana x berrelasi R dengan y, maka y tidak berrelasi R dengan x.
R asimetris pada A bhb. (  x,yA). (x,y) R  ( y,x ) R
(  x,yA). (x,y) R



( y,x ) R 1

(  x,yA). xRy



y R x

Jelas bahwa suatu relasi yang asimetris pada himpunan A pasti juga non-simetris pada A,
tetapi sebaliknya belum tentu.
Contoh:
A = Keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian sejati” adalah suatu relasi yang asimetris pada A (jadi juga nonsimetris ) karena untuk setiap dua himpunan x dan yA dimana x  y, maka pastilah
bahwa y  x
A = himpunan semua manusia.
Relasi “mencintai” adalah relasi yang non simetris pada A, tetapi bukan relasi yang
asimetris pada A.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi anti-simetris bhb. Untuk setiap pasang
elemen x dan y  A, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan x, maka x = y.
R antisimetris pada A bhb.
(  x,yA). (x,y)  R  ( y,x ) R  x = y
(  x,yA). (x,y)  R  ( y,x ) R 1  x = y
(  x,yA). xRy  y R x  x = y
Contoh:
A = keluarga himpunan.
Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena untuk setiap dua
himpunan x dan y, jika x  y dan y  x, maka x = y.

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 4

c). Suatu relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan
z  A, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z.
R transitif pada A bhb.
(  x,yzA). (x,y) R  ( y,z ) R  (x,z) R
(  x,yzA). xRy  yR z  x Rz
Contoh:
A = himpunan semua bilangan nyata.
Relasi “adalah faktor dari” adalah relasi yang transitif pada A.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non-transitif bhb. Ada tiga elemen x,y dan z
A dimana x berrelasi R dengan y dan y berrelasi z, tetapi x tidak berrelasi R dengan z.
R non-trasitif pada A bhb :
(  x,yzA). (x,y) R  ( y,z ) R  (x,z) R
(  x,yzA). xRy  yR z  x R z
Jelaslah bahwa relasi yang intransitif pada himpunan A pasti juga non-transitif pada A.
Contoh:
A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.

Relasi “ tegaklurus” adalah relasi yang intransitif pada A (jadi juga non-transitif) karena
untuk setiajp tiga garis x,y dan z, jika x tegak lurus y dan y tegaklurus z maka pastilah
bahwa x tidak tegak lurus z.
A = himpunan semua manusia.
Relasi “ mengenal” adalah relasi yang non – transitif tetapi bukan relasi yang intransitif
pada himpunan A tersebut.
d) Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif
disebut relasi ekuivalensi pada A.
Contoh:
A = himpunan semua segitiga.
Relasi “sebangun” adalah relasi ekuvalensi pada A sebab relasi tersebut sekaligus
bersifat refleksif, simetris dan transitif pada A
A = himpunan semua bilangan bulat

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 5

Relasi “kongruen” (lambangnya “  ”) dalam suatu modulo m (m = bilangan asli ) yang
didefinisikan sbb :

x  y ( mod.m ) bhb. x – y = k. m, dimana k adalah suatu bilangan bulat, adalah
suatu relasi ekuivalensi pada A, karena:
(1) Untuk setiap bilangan bulat x :
x – x = 0.m, sehingga x  x ( mod.m )
Jadi relasi kongruensi bersifat refleksif.
(2) Untuk setiap pasang bilangan bulat x dan y dimana
x  y ( mod.m ), maka :
x – y = k.m(k = bilangan bulat)
Sehingga y – x = - (k.m) = (-k).m
Dimana –k adalah bilangan bulat sebab k adalah bilangan bulat.
Jadi : x  x ( mod.m ).
Maka : (  x,yA). x  y  y  x
Jadi relasi kongruensi bersifat simetris.
(3) Untuk setiap tiga bilangan bulat x,y dan z diman x  y ( mod.m ) dan

y  z

( mod.m ) maka : x – y = k 1 .m (k 1 = bilangan bulat).
y – z= k 2 .m (k 2 = bilangan bulat).
( x – y ) + ( y – z ) = k 1 .m + k 2 .m

x– z = (k 1 + k 2 ).m
x– z = k 3 .m
dimana k 3 = k 1 + k 2 = bilangan bulat sebab k 1 dan k 2 masing-masing adalah
bilangan bulat. Jadi x  z ( mod.m ).
Maka (  x,yz  A). x  y  y  z  x  z
Jadi relasi kongruensi bersifat transitif.
Karena relasi kongruensi sekaligus bersifat refleksif, simetris dan transitif, maka
relasi tersebut adalah relasi ekuivalensi.

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 6

B. Fungsi
1. Pengertian Fungsi
Antara anggota-anggota dari suatu himpunan dapat terjadi suatu relasi dengan
anggota-anggota dari himpunan yang lain. Misalnya antara anggota-anggota himpunan
semua pria dengan anggota-anggota semua wanita dapat diadakan relasi “ suami “.
Secara matematis suatu relasi R antara anggota-anggota himpunan A dengan
anggota-anggota himpunan B dapat dipandang sebagai himpunan bagian dari produk
Cartesius kedua himpunan itu.
R  A x B.
Misalnya : A = { 1, 3, 5 } dan B = { 2, 0, 4 }, maka relasi ”lebih kecil” antara
anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dapat disajikan
dengan: R = { (1, 2), (1, 4), (3, 4) }  A x B.
Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi khusus antara anggota-anggota dua buah
himpunan. Sehingga fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut.
Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan
B disebut Fungsi (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
Suatu fungsi biasanya disajikan dengan lambang f. Jika fungsi f mengkaitkan
anggota-anggota himpunan A, maka dikatakan bahwa f adalah fungsi dari A ke B dan
disajikan dengan lambang:
f:A  B
A disebut daerah asal (daerah sumber, domain ) dari fungsi f, sedangkan B disebut daerah
kawan. (daerah jajahan , kodomain) dari fungsi f. Jika xA oleh fungsi f dikaitkan
(dikawankan) dengan suatu anggota dari B, maka anggota dari B itu disebut ”bayangan
Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 7

dari x” dan disajikan dengan lambang ”f(x)”. f(x) seringkali juga disebut ”nilai fungsi”
untuk x.
Secara simbolis matematis, definisi fungsi f dapat disajikan sbb.
f : A  B bhb. (  xA).(  ! yB) . y = f (x)
Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai
dua sifat khusus, yaitu:
a. Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota himpunan B
(Seringkali dikatakan bahwa ”daerah asal dihabiskan”
b. Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini
dapat dinyatakan secara simbolis:
(  x 1 , xA). x 1 = x 2  f (x 1 ) = f (x 2 )
Pada umumnya, untuk suatu fungsi f : A  B, anggota-anggota dari himpunan B
(daerah kawan ) tidak perlu mempunyai kawan anggota himpunan A (daerah kawan tidak
perlu di habiska), dan jika anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A,
kawannya diA itu tidak harus tunggal.
Suatu fungsi f dari A ke B dapat diilustrasikan dengan diagram panah sebagai
berikut.
f

x

y

A

B

Himpunan semua anggota himpunan B yang merupakan bayangan dari suatu anggota
himpunan A disebut daerah hasil (range) dari fungsi f dan disajikan dengan R f . Jadi:

R f = { yB

(  xA). y = f (x) }

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 8

Misalnya untuk fungsi f : A  B yang disajikan dengan diagram panah sebagai
berikut.


6

1
2

7
8

3
4

9
 10

5

 11
A

B

f (1) = f (2) = 7 ; f (3) = 9 ; F (4) = f (5) = 10
R f = { 7, 9, 10 }
Seperti telah diuraikan di atas, jika suatu anggota dari daerah kawan mempunyai
kawan anggota dari daerah asal, maka kawannya itu tidak harus tunggal. Himpunan semua
anggota dari daerah asal yang merupakan kawan dari suatu anggota daerah kawan disebut
bayangan invers dari y dan disajikan dengan lambang f 1 (y). Jadi:

f 1 (y) = {xA

y = f (x) }

Pada contoh fungsi : f : A  B di atas:
f 1 ( 7 ) = { 1, 2 };
f 1 ( 9 ) ={ 3 } ;
f 1 ( 10 ) ={ 4, 5 };
f 1 ( 6 ) = f 1 ( 8 ) = f 1 ( 11 ) =  .
Jika f : A  B adalah suatu fungsi dari A ke B, maka yang dimaksud dengan invers
dari fungsi f, disajikan dengan f 1 , adalah relasi yang mengkaitkan anggota-anggota
himpunan B dengan anggota-anggota himpunan A. Jelaslah bahwa pada umumnya invers
dari suatu fungsi tidak merupakan fungsi (dari B ke A) melainkan hanyalah merupakan
suatu relasi biasa.
Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 9

2. Cara menyajikan fungsi
Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi , yaitu :
a. Cara aturan :

fungsi itu

disajikan

dengan cara menyatakan

aturan yang

menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota – anggota
daerah kawannya.
Contoh :
f: R  R dimana f (x) = x 2
R = himpunan semua bilangan nyata.
b. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang
sebagai himpunan bagian ( khusus ) dari A x B.
Maka fungsi f : R 

R dimana f ( x ) = x 2 dapat juga disajikan

sebagai suatu

himpunan, yaitu himpunan bagian dari R x R :
f = { (x,y)

x R, y  R y = x 2 }

Fungsi f : A  B yang digambarkan dengan diagram panah pada contoh diatas
dapat juga disajikan sebagai :
f = { (1,7),(2,7),(3,9),(4,10),(5,10)}
Perhatikan bahwa dalam penyajian fungsi dengan cara himpunan, setiap

anggota

dari daerah asalnya muncul tepat satu kali sebagai komponen yang pertama dari
anggota – anggota himpunan itu.
3. Kesamaan dua buah fungsi.
Dua buah fungsi f : A  B dan g : A  B dikatakan sama jika kedua fungsi itu
mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota- anggota yang sama di
daerah kawannya.
f=g

bhb (  xA).

f(x) = g (x)

Contoh :
f : R  R dengan f (x) = 2(x+1) (x-2), dan g : R  R dengan g(x) = 2 x 2 -2x-4
Karena f (x) = 2(x+1) (x-2) = 2( x 2 -x-2) = 2 x 2 -2x-4 = g (x), maka f = g

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 10

4. Fungsi – fungsi Khusus.
Beberapa fungsi khusus yang diberi sebutan karena sifat-sifat/ karakteristiknya
adalah sebagai berikut.
a. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B jika setiap
anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. Jadi pada fungsi yang surjektif,
daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ).
f : A  B adalah fungsi surjektif bhb.
(  yB) (  xA). y = f (x) bhb R f = B

bhb (  yB) f

1

(y)  

Contoh :
A = {x x = bilangan bulat }
B = {x x = bilangan cacah}
f : A  B dimana f(x) = x
b. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B yang
merupakan bayangan dari A, merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. Dengan
perkataan lain f : A  B adalah fungsi injektif bhb.(  x 1 , x 2 A ). x 1  x 2  f(x 1
)  f (x 2 ) bhb. (  x 1 , x 2 A ). f(x 1 ) = f (x 2 ) 

x1 = x 2

Contoh:
A = {x

x = bilangan asli}

B = {x

x = bilangan nyata}

Fungsi f ini adalah fungsi yang injektif, karena jika f (x 1 ) = f (x 2 ), maka

x1 -1 =

x2 -1 sehingga x 1 = x 2 .
Fungsi f ini tidak surjektif karena ada anggota B yang tidak merupakan bayangan dari
suatu anggota A, misalnya ½ B.
c. Suatu fungsi f : A  B yang sekaligus surjektif dan injektif disebut daerah kawannya
merupakan bayangan dari tepat suatu anggota dari daerah asalnya. Dengan demikian
jika f adalah fungsi bijektif maka setiap anggota dari daerah asal mempunyai satu
kawan di daerah kawan dan sebaliknya setiap anggota dari daerah kawan mempunyai
satu kawan di daerah asal. Karena itu fungsi bijektif seringkali disebut juga
korespondensi satu-satu.
Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 11

Contoh :
A = {x

x = bilangan positif}

B = {x

x = bilangan nyata}

f : A  B di mana f (x) = log x
Fungsi f surjektif karena setiap yB merupakan bayangan suatu xA, yaitu x =
10 y .
Fungsi f ini injektif karena jika f (x 1 ) = f (x 2 ), maka log x 1 = log x 2 , sehingga
10 log x1 = 10 log x2
x1 = x 2 .
Dengan demikian f adalah fungsi bijektif. Mudah dibuktikan bahwa f adalah fungsi
bijektif bhb. f 1 merupakan fungsi.
Invers dari suatu fungsi bijektif disebut fungsi invers.
Jadi jika f : A  B adalah fungsi bijektif, maka fungsi inversnya adalah

f 1 : B

 A.
Pada contoh diatas fungsi invers dari fungsi bijektif f : A  B di mana

f (x) =

log x ialah f 1 : B  A dimana f 1 ( y )= 10 y .
d. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi konstan jika bayangan semua anggota A adalah
satu anggota yang sama dari B.
f : A  B adalah fungsi konstan bhb (  !cB) (  xA) . f ( x ) = c
e. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi indentitas jika bayangan dari setiap anggota dari
A ialah dirinya sendiri. ( Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits
adalah himpunan yang sama ).
f : A  A adalah fungsi indentitas bhb.(  xA). f ( x ) = x
Jelaslah bahwa suatu fungsi identitas adalah fungsi yang bijektif.

Relasi dan Fungsi – Haniek Sri Pratini, M. Pd.

Page 12