Program linier bentuk standar Pengantar metode simpleks
Metode Simplex Program linier bentuk standar Pengantar metode simpleks Program Linier Bentuk Standar (1)
- Program linier dapat memiliki
- – Fungsi tujuan:
- Maksimal atau minimum
- – Fungsi kendala dengan bentuk pertidak samaan:
- =, ≤, atau ≥
– Dan variable dapat memiliki batas atas maupun
batas bawah- Program linier bentuk standar:
- – Fungsi tujuan: maksimum
- – Fungsi kendala: ≤
– Semua konstanta RHS (right hand side) positif
– Semua variable dibatasi pada nilai non-negative
- – Fungsi tujuan:
1 m1 2n 2 2n
11
b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a1
12
2
12
1n 1 1n1
22
2
1 m n mn 2 m2
1
2
2
Z x c x c x c ...
- – m fungsi kendala:
2 ≥ 0, …, x n ≥ 0. n n maks
1 ≥ 0, x
Program Linier Bentuk Standar (2) Bentuk aljabar untuk sebuah program linier yang memiliki m buah fungsi kendala dan n
buah variable, dapat dituliskan seperti berikut
ini:
- – n buah non-negatif, x
Metode-metode
- Grafis/Garis
- – Jumlah variable yang sedikit
- Simpleks;
- – Jumlah variable: small - large
- Interior-point
- – Jumlah variable: extra large
• Pembahasan difokuskan pada mekanisme
metode simpleks:- – Terminologi-terminologi
- – Mekanisme dasar metode simpleks
Definisi
- Solution: semua titik yang berada di bidang variable, dapat merupakan titik yang feasible atau infeasible (paling tidak memenuhi satu fungsi kendala).
- Corner point solution: terjadi jika dua atau lebih fungsi kendala saling berpotongan. Titik yang
dihasilkan disebut sebagai corner point, bisa di
dalam atau di luar feasible region. • Feasible corner point: corner point yang berada di
dalam feasible region.• Adjacent corner point: dua buah corner point yang
dihubungkan oleh bagian garis dari sebuah fungsi kendala.
Sifat-sifat penting Program linier
feasible corner- Titik optimum selalu ada di
point
- – hal ini merupakan hasil dari semua fungsi kendala dan fungsi tujuan bersifat linier
feasible corner point memiliki
- Jika sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari semua
, maka tiitk adjacent corner point tersebut dikatakan sebagai titik optimum.
Feasible corner point terbatas.
- ada dalam jumlah yang
Tahap-tahap metode simpleks (1)
feasible- Fase pertama (start-up): tentukan sembarang corner point .
- – Untuk program linier bentuk standar, titik origin (0,0) selalu berada dalam feasible region . Jadi, titik (0,0) adalah titik dimana iterasi metode simpleks akan dimulai.
- – Untuk program linier bentuk umum, penentuan titik dimana metode simpleks akan mulai sedikit lebih rumit.
- Fase kedua (iterasi): secara berulang berpindah ke
feasible corner point yang berdekatan sampai tidak
ada nilai fungsi tujuan yang lebih baik pada feasibel
corner point . same- Catatan: dimungkinkan terjadi keadaan
optimum value Tahap-tahap metode simpleks (2)
- Titik (0,0) merupakan titik awal, dengan nilai Z = 0
- Iteasi I, berpindah ke titik (2,0) dengan nilai Z = 30
- Iterasi II, berpindah ke titik (2,2), dengan nilai Z = 50
- Stop, dua buah
feasible corner point yang tidak dikunjungi adalah (1,3) dan (0,3)
Penentuan Corner Point Secara
Aljabar
- Dalam penerapannya, program linier dapat memiliki variable ratusan, ribuan bahkan lebih.
corner
- Program linier dengan skala besar, ditentukan secara aljabar.
point
– Untuk program linier bentuk standar, dilakukan
dengan cara mengkonversi bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan– Kemudian, dengan metode eliminasi gauss dapat
ditentukan titik-titik perpotongan antara dua atau lebih fungsi kendala.
Konversi pertidaksamaan ke
bentuk persamaan (1)
- Konversi dilakukan dengan cara menambahkan sebuah variable, disebut sebagai slack variable .
slack variable akan selalu berubah untuk menghasilkan
- – Nilai persamaan yang benar.
- – Contoh:
x x s 2
2
1
1
1 slack variable bernilai positif jika sebuah
- Catatan: fungsi kendala dalam keadaan tidak aktif (masih berada di dalam feasible region )
Konversi pertidaksamaan ke bentuk persamaan (2)
- Hasil konversi pertidaksamaan ke bentuk persamaan dari suatu program linier:
Z x x
15
10 max
1
2 x s
2
1
1 x s
3
2
2 x x s
4
1
2
3 x x s s s
, , , ,
1
2
1
2
3
- Pada awalnya, program linier tersebut hanya
memiliki dua buah variable yaitu ( dan ),
x x
1
2 setelah dikonversi variable berjumlah 5 bauh, yaitu ( , , , , ) x x s s s
1
2
1
2
3 Terminologi aljabar
Augmented solution variable, baik variable original dan slack variable
- : nilai dengan semua
- Basic solution : merupakan sebuah augmented
(bisa atau corner point solution feasible
) infeasible
Basic feasible solution . augmented feasible corner point solution basic
- : merupakan sebuah
- Catatan: metode simpleks fokus pada .
feasible solution
Setting nilai variable-variable (1)
- Dengan memperhatikan bentuk program linier yang telah dikonversi menjadi persamaan;
– Terdapat 5 variable dengan 3 buah persamaan fungsi
kendala- – Hal ini berarti, dua buah variable ditentukan nilai secara acak, dan variable yang lain dihitung menggunakan 3 persamaan fungsi kendala tersebut.
- Jumlah variable yang nilainya dapat ditentukan secara acak disebut sebagai
degree of freedom dari program linier tersebut, secara umum: df = (jumlah variable dalam bentuk persamaan)
- – – (jumlah persamaan fungsi kendala)
Setting nilai variable-variable (2)
• Metode simpleks secara otomatis memberikan
nilai pada variable-variable dan
df menghitung nilai variable-variable yang lain. nol pada
- Metode simpleks akan memberi nilai variable-variable df tersebut.
Setting nilai variable-variable (3)
Terminologi metode simpleks
Nonbasic variable diberi nilai no l oleh metode simpleks.
- : variable yang sedang
Basic variable diberi nilai nol oleh metode simpleks.
- : variable yang tidak sedang
- Basis : variable yang selalu berada pada nonbasic variable atau basic variable selama proses metode simpleks.
Nonbasic
kendala yang bersangkutan dalam keadaan
aktif .- , variable bernilai NOL , fungsi
Iterasi perpindahan titik (1)
• Cara yang termudah untuk berpindah dari suatu
titik basic feasible solution ke titik basic feasible
solution yang lain adalah dengan mencara titik
yang berdekatan.basic feasible solution yang berdekatan:
- Sifat-sifat titik-titik
nonbasic variable sama kecuali satu variable
- – Himpunan
basic variable sama kecuali satu variable
- – Himpunan
- Tiga kondisi yang harus dipenuhi dalam perpindahan ke titik basic feasible solution :
- – Corner point harus berdekatan
- –
Corner point harus berada di dalam feasible region
- – Corner point yang baru harus memiliki nilai fungsi
tujuan yang lebih baik
Iterasi perpindahan titik (2)
: entering basic variable- Penentuan
nonbasic variable yang akan menjadi basic
- – Menentukan variable .
nonbasic variable
- – Dilakukan dengan cara menentukan
manakah yang memberikan pengaruh yang paling
besar terhadap perubahan fungsi tujuan.
leaving basic variable :
- Penentuan
- – Entering basic variable yang telah ditentukan akan
bertambah nilainya sampai sebuah basic variable
nilainya menjadi NOL .- –
Basic variable yang nilainya menjadi NOL tersebut berubah menjadi nonbasic variable .
- Untuk menentukan persamaan fungsi kendala tertentu:
rhs
coeffiecie nt of entering basic variable
- Dua kasus untuk nilai MRT:
entering basic variable NOL, berarti
- – Jika koefisien fungsi kendala tersebut tidak berpotongan dengan fungsi kendala yang masih aktif.
entering basic variable NEGATIF, bearti
- – Jika koefisien fungsi kendala tersebut berpotongan dengan fungsi kendala yang aktif, tetapi arah kenaikan nilai entering
basic variable semakin mejauh dari titik perpotongan tersebut.
Contoh : Metode Simplex
- Ubah seluruh pertidaksamaan menjadi
persamaan dengan menambahkan variabel slack pada kendala <= , dan mengurangi variabel slack dari kendala >= .
Contoh : a X + a
X X <= b
- … + a
k1 1 k2 2 kn n k Pengubahan : a X + a
X X + S = b
- … + a
k1 1 k2 2 kn n k k Contoh : a X + a
X X >= b
- … + a
k1 1 k2 2 kn n k Pengubahan : a X + a
X X - S = b
- … + a
k1 1 k2 2 kn n k k
- 300X
- 1X
- S
- 6X
- S
1
3
, S
2
, S
1
, S
2
, X
1
X
= 2880 } pipa
3
2
12X
= 1566 } jam kerja
2
2
1
9X
= 200 } pompa
1
2
1
} keuntungan S.T.: 1X
2
1
Contoh Kasus
- 16X
- S
>= 0 } nonnegatif
- Jika terdapat n variabel pd sebuah sistem dengan m persamaan (dimana n>m), kita dapat memilih beberapa variabel m dan menyelesaikan persamaan tsb. (mengatur sisa n-m variabel menjadi nol.)
Langkah Umum Metode Simplex
Identifikasi beberapa solusi layak basis (titik-titik 1. ekstrim) untuk sebuah PL, kemudian berpindah pd titik ekstrim yang berdekatan, jika perpindahan tsb. betul-betul meningkatkan nilai f. tujuan.Perpindahan titik ekstrim tsb. Terjadi dgn 2.
mengganti sebuah variabel basis dgn sebuah
var non-basis untuk membuat sebuah solusi layak basis yang baru.Ketika tak ada lagi titik-titik ekstrim yg 3.
berdekatan mempunyai nilai f. tujuan yg lebih
baik, proses dihentikan- – berarti titik ekstrim
Tujuan
=0, S
, S
2 X
2
, S
3 X
1
=240, X
2
1
, S
=-40, S
2
=-594, S
3
=0 84,000 8* X
1
, S
2
, S
1
1
2
, S
3
=0 54,000 6* X
1
, X
2
, S
1 S
2
3 X
=0 67,500 7* X
1
=108, X
2
=99, S
1
=-7, S
2
=0, S
3
3 X
, S
2
X
3
=-320 60,000 10* X
2
, S
1
, S
1
, S2
1
2
=0, X
2
=261, S
1
=-61, S
2
=0, S
3
=-1296 78,300
=366, S
=0, S
1 X
, S
1
=200, X2=0, S
1
=0, S
2
=-234, S
3
=480 70,000 9* X
2
2
1
, S
3 X
1
, S
1 X
1
=0, X
2
=200, S
=486, S
=20, S
Proses Pencarian Kenungkinan Solusi Layak Basis Variabel Variabel
=0, S
, S
3 X
2
, S
2 X
1
=174, X
2
1
, S
=26, S
2
=0, S
3
=792 60,900
3 X
1
, X
2
1
1
3 S
2 X
Nilai Basis Non-Basis Solusi
1 S
1
, S
2
, S
3 X
1
, X
1
2 X
=0, X
2
=0, S
1
=200, S
2
=1566, S
3
=2880
, S
1
1
, S
1
=0, S
2
=126, S
3
=0 64,000
5 X
2
1
2
, S
2 X
1
, S
3 X
1
=0, X
2
=180, S
=120, S
=80, X
, S
3
2 X
1
=122, X
2
=78, S
1
=0, S
2
=0, S
=168 66,100
1
4 X
1
, X
2
, S
2 S
1
, S
3 X
- Solusi tak layak (mengandung nilai negatif)
Solusi Layak Basis & Titik-Titik Ekstrim
1
2
=78, S
1
=0, S
2
=0, S
3
=168
4 X
1
=80, X
2
=120, S
=0, S
1
2
=126, S
3
=0
5 X
1
=0, X
2
=180, S
1
=20, S
2
=486, S
3
=122, X
3 X
X
1
1 250 200 150 100
50
50 100
150
200 2505
2
3
4
1
1 X
1
=0, X
2
=0, S
=200, S
=792
2
=1566, S
3
=2880
2 X
1
=174, X
2
=0, S
1
=26, S
2
=0, S
3
=0 Solusi Layak Basis Sambungan metode simplex… Berapa banyak solusi basis yang terjadi ?!!!
Kemungkinan Banyaknya Solusi Basis Yg Dapat Dibuat Mis. n = jumlah variabel m = jumlah kendala Sesudah penambahan variabel slack, terdapat :(n + m)! n! m! cara untuk mendapatkan kemungkinan solusi basis.
Contoh: Jika n = 2 dan m = 3, maka 5!/(2! 3!) = 10.
Beberapa Istilah
- Solusi Augmented : solusi masalah sesudah variabel slack ditambahkan.
- Solusi Basis : solusi titik sudut augmented dengan mengatur sejumlah menjadi nol dan menyelesaikan sisa variabel lainnya.
- Solusi Layak Basis (SLB) : solusi basis yang layak menjadi kandidat solusi optimal
- Variabel Basis : variabel yang diselesaikan dalam solusi basis
- Variabel Non-Basis : Variabel yg sama dengan nol pada solusi basis
Outline Algoritma Simplex
- Mulai pada Solusi Layak Basis (SLB) /
basic feasible solution (BFS) (biasanya pd titik asal)
- Pindah ke SLB yg lebih baik
- – Mengembangkan fungsi tujuan
• Berhenti ketika bertemu SLB yg lebih baik
dibandingkan seluruh SLB yg ada- – Solusi Optimal ditemukan
- 4x
x
Subj. to:
1
2 = 0
- x
- x
2
1
3 = 12 x
2
1
- 2x
- x
- x
1
4 = 6 x
2
8 Max z - 6x
1
1
5
6 3 x
4
1 -2
3
Tabel Simplex Var Pers. Basis
z x
1
x
2
x
x
1 12 2 x
4
x
5 Solusi
z 1 -6 -4 1 x
3
1
1
5 = 8
- 4x
1
1
Pilihlah variabel non-basis yg punya nilai negatif terbesar z = 6x
8 Algoritma Simplex Step 1: Pilih sebuah variabel baru untuk masuk basis.
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
4
1 12 2 x
1
Var Pers. Basis
3
z 1 -6 -4 1 x
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
1
z x
2 Var Pers. Basis
z x
1
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
4
1 12 2 x
1
3
1
z 1 -6 -4 1 x
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
8 Step 2a: Pilih sebuah variabel basis untuk meninggalkan basis Var Pers. Basis
z x
1
Pilihlah variabel basis yg punya rasio paling kecil pd pembagian solusi terhadap koefisien positif dari variabel non-basis yg akan masuk
8 Step 2b: Pilih sebuah variabel basis untuk meninggalkan basis
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
4
1 12 2 x
1
1
3
z 1 -6 -4 1 x
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
Ratio 12/1 6/1
- 2x
- x
1 12 2 x
2
1
1x
Ratio 12/1 6/1 pivot point
Pilihlah variabel basis yg punya rasio paling kecil pd pembagian solusi terhadap koefisien positif dari variabel non-basis yg akan masuk
8 Step 2c: Select a basic variable to leave the basis.
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
4
1
Var Pers. Basis
1
3
z 1 -6 -4 1 x
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
1
z x
4 = 6 Var Pers. Basis
z x
5
z 1 -6 -4 1 x
3
1
1
1 12 2 x
4
1 -2
1
6 3 x
1
x
1
8 Step 3e: Gunakan operasi baris untuk menentukan solusi basis yg baru.
1 -2
1
6
3 1 -1
6
1 -16
6
5 Solusi
4
1
3
x
2
x
3
x
4
x
5 Solusi
z 1 x
2 x
x
1
3 x
Var Pers. Basis
z x
1
x
2
x
3
36
- 4x
2
x
- x
1
x
6
<= 8
2
<= 6 x
2
1
<= 12 x
1
2
x
2 Subj. to:
1
Max z = 6x
(10,2) z z
12
12
- 2x
8
(4,8)
- 3
- 4x
Var Pers. Basis
3 1 -1
1
z = 6x
8 Iterasi selanjutnya
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
1
6 2 x
3
z x
36 1 x
6
z 1 -16
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
1
2 Sekarang kamu ambil lagi variabel baru yang akan masuk basis !
- 4x
3
1
z = 6x
8 Iterasi selanjutnya Pilihlah variabel non-basis yg punya nilai negatif terbesar.
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
1
6 2 x
3 1 -1
36 1 x
Var Pers. Basis
6
z 1 -16
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
1
z x
2
- 4x
3 1 -1
Ratio 6/3 8/1
2
1
z = 6x
8 Iterasi selanjutnya
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
1
6 2 x
3
Var Pers. Basis
36 1 x
6
z 1 -16
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
1
z x
Tentukan rasio minimum
- 4x
3 1 -1
Ratio 6/3 8/1
2
1
z = 6x
8 Iterasi selanjutnya
1
1
5
6 3 x
1
1 -2
1
6 2 x
3
Var Pers. Basis
36 1 x
6
z 1 -16
5 Solusi
x
4
x
3
x
2
x
1
z x
Find minimum ratio Pivot point Var Pers. Basis
z x
1
x
5 Solusi
z 1 -16
6
36 1 x
3
3 1 -1
6 2 x
1 -2
x
1
6 3 x
5
1
1
8 1 2/3 1/3 10 1 1/3 -1/3
2
1 16/3 2/3
4
3
1
z 1 x
x
2
x
3
x
4
x
5 Solusi
2
x
2 x
1
3 x
Var Pers. Basis
z x
1
x
2
68 Iterasi selanjutnya Iterasi selanjutnya Var
z x x x x x Solusi
Pers. Basis
1
2
3
4
5 z
68
1 16/3 2/3 1 x
2
1 1/3 -1/3
2
2 x
1
1 2/3 1/3
10
3 x
5
- 1/3 1/3
1
6
- 4x
- x
<= 12 x
x
1
x
6
<= 8
2
<= 6 x
2
1
2
1
x
2 Subj. to:
1
Max z = 6x
- 2x
12 (10,2)
12
8
(4,8)
optimalnya adalah 68 Ini lho... Gambaran optimalmya…