3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1

3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS

Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :  Menghitung integral lintasan kompleks.

Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam perhitungan integral
Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral

4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil

adalah fungsi kompleks dari variabel riil t , ditulis sebagai ) ( ) ( ) ( F t v i t u t   dengan )

  ) ( Re ) ( Re 2.

Misalkan )

  ^b _a ^b _a ) dt t v i k dt t u k ( ) (

 ^b _a ^b _a ) dx x f k dx x f k ( ) (  

  ^b _a ^b _a ) dt t v i k dt t u k ( ) (

(sifat integral fungsi riil :

 

  ^b _a ^b _a F dt t v i t u k dt t k )] ( ) ( [ ) (  

Bukti sifat 3 :  

F dt t dt t F ^b _a ^b _{ a }  ) ( ) ( Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.

F dt t k dt t F k ^b _a ^b _{ a }  ) ( ) ( 4. F dt t dt t F ^a _b ^b _{ a }   ) ( ) ( 5.

  ) ( Im ) ( Im 3.

  dt t F dt t F ^b _a ^b _{ a }     

(t u

Sifat-sifat 1.

(t F

, maka   

kontinu pada interval tertutup  b t a 

(t v

dan )

(t u

adalah fungsi riil. Jika )

(t v

dan )

  ^b _a ^b _a ^b _a F dt t v i dt t u dt t ) ( ) ( ) ( .

b b  k u ( t ) dt  i v ( t ) dt

   a  a _b

( )  k F t dt (terbukti).

 a Bukti sifat 4 : _{b b b} _{a a a} F ( t ) dt  u ( t ) dt  i v ( t ) dt

   _{b a} (sifat integral fungsi riil : ( ) ( ) ) _{a b} f x dx   f x dx _{a a}     u ( t ) dt  i v ( t ) dt _{b b}

  _{a a}   u ( t ) dt  i v ( t ) dt

  _{b b}   _a

  _b  _a (terbukti).

( ) ( )   u t  i v t dt  

  F ) ( t dt  b

4.2 Lintasan

interval

Jika g dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel t dalam

tertutup , maka himpunan titik-titik di bidang xy dapat dinyatakan a  t  b

dalam bentuk parametrik ) , ) ,

x  g (t y  h (t a  t  b . Oleh karena itu, himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik.

Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj

Definisi 4.1

kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil ( ) , ( ),

x g t y h t  t 

   

( ) ( )

sedemikian sehingga g ' t dan h ' t ada dan kontinu

dx  dy 

dt dt

dalam interval  t  .

 

Kurva dengan bentuk parametrik

Contoh 1



2 cos , 2 sin ,

x  t y  t  t  merupakan kurva mulus.

Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :

( ) , ( ),

x  g t y  h t   t  

maka  titik pada C yang berpadanan dengan t   disebut titik awal C .

  titik pada C yang berpadanan dengan t  disebut titik akhir C .

Selanjutnya, C disebut lintasan (path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus,



C  C  C   C ₁ _{2 n}

, , , dengan C C  C merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat ₁ _{2 n} penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.

Catatan : 1. C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik awal C .

2. C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C .

3. C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.

4. C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.

Contoh 2 C ₂ C C ₁ ₂ C C ₁ ₃ C ₃

a. Lintasan tertutup

b. Lintasan terbuka

c. Lintasan sederhana

d. Lintasan berganda Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang

Teorema 4.1

datar itu dibagi oleh C menjadi 3 bagian, yaitu

( Kurva Jordan ) 1. kurva C .

)

2. bagian dalam C , ditulis Int (C , yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.

) 3. bagian luar C , ditulis Ext (C , yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.

C ) ) Kurva merupakan batas dari himpunan Int (C dan Ext (C .

4.3 Integral Garis ) , ) , .

Misalkan kurva mulus C disajikan dengan x  g (t y  h (t a  t  b ) ) . ( ) ( ) . Kurva

g (t dan h (t kontinu di a  t  b g ' t dan h ' t kontinu di a  t  b ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

C mempunyai arah dari titik awal A g a h a ke titik akhir B g b h b dan

( , ) C P x y suatu fungsi yang terdefinisi di .

Teorema 4.2 1.

 

  

  

 

 

   .

Contoh 3

Tentukan integral garis fungsi y x y x M   ) , ( sepanjang lintasan K C  dengan

C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K : garis dari (2,0) ke (2,2).

Penyelesaian : (2,2)

: 2 ,    x y C

2 , 2 :

   y x K

Pada kurva C :  dy dan pada kurva K :  dx .

  dy dx y

(0,0) C (2,0)

   

   

 _C ^{K K C C} dx y x M dx y x dx y x M dx y x M

) ( ) , ( ) , ( ) , (

  ² dx x = 2.

   

   

 _K ^{K K C C} dy y x M dy y x dy y x M dy y x M

) ( ) , ( ) , ( ) , (

   ² )

P x Q Q dy dx P _R _C

serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan tertutup C , maka

Jika ) , (

3. Jika ) , (

P y x

kontinu di

C , maka  C

P dx y x

) , ( dan

 C P dy y x

) , ( ada dan

   ^b _{C a} P dt t g t h t g dx y x P ) ( ' ] ) ( ), ( [ ) , (

 



^b _{C a} P dt t h t h t g dy y x P ) ( ' ] ) ( ), ( [ ) , (

    ^B _A

P dx y x dx y x P ) , ( ) , (

P y x

Q y x

dan ) , (

Q y x

kontinu di

C , maka  

  

   _{C C C}

Q dx y x dx y x P dx y x Q dx y x P

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( .

Teorema 4.3

Jika ) , (

P y x

dan ) , (

2 ( dy y = 6.

4.4 Integral Lintasan Kompleks

jika  : garis lurus dari i z  ke i z   2 ₁ .

( 1 ) ) (

1  y dan mempunyai bentuk parametrik :



(0,1) (2,1) Persamaan garis

 i z i z   2 ₁

Penyelesaian :

  dz e z ^z ²

t h y t t g x

Hitung

Contoh 4

) ( ) ( ) ( ) (

dz z g dz z f dz z g z f

   _{C C C}

    

) ( ) ( 3.

dz z f k dz z f k

   

, ]

 

Sehingga,

 i t u  )

(gunakan subtitusi : ² ) (

  ² ^{) (} ² ) (

 

 dt e i t ^{i t}

  ² ^{) (} ( 1 ) ² ² dt e i t dz e z ^{i t z}

  

e i t i t f t h i t g f       .

[ 2 ,  t ( 4.1 )

) ( ) ( ) ( ) ( ^{i t}

 e z z f maka   ² ^{) (}

Karena ² ) ( ^z

( 1 ) ' ) ( '   

  . dt dt t h i t g dz

) ( ) (

 i t t h i t g z   

Dari (4.1) diperoleh :

 _{C C}

Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik )

(t g x  , )

, maka titik-titik z terletak C . Arah pada kurva C

dan )) ( ), ( (

 a h a g 

 z sampai   z dengan )) ( ), ( (

b h b g atau dari



)) ( ), ( (

a h a g ke

)) ( ), ( (

 

  .

 b t a  . Jika y i x z

' t h kontinu di

' t g dan ) (

. ) (

(t h kontinu di b t a  

(t g dan )

 b t a  . )

(t h y  dengan

b h b g

Definisi 4.2

    dz z f dz z f



   

) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ) ( Sifat-sifat 1.

  ^b ^a dt t h i t g t h i t g f dz z f

    

z adalah    

sampai  

Integral fungsi ) (z f sepanjang lintasan C dengan arah dari 

Diberikan fungsi ) , ( ) , ( ) (

  .

b t a

yang kontinu sepotong-potong pada

dari

u dan v fungsi

dengan

 y x v i y x u z f 

) ( ) ( 2.

  ¹ ⁴ ³

1  

  e e ⁱ .

4.5 Pengintegralan Cauchy

Jika ) (z f analitik dan ) (

1  

. Penyelesaian : ₂

) 3 (

1 ) ( '

  

z z f ,

) (z

tidak analitik di

3  z dan

3  z terletak di luar C . Oleh karena itu, )

(z f analitik di dalam dan pada lintasan

C , sehingga ) 3 (

 dz z ^C .

Teorema 4.6 (Bentuk lain Teorema Cauchy Goursat )

Jika fungsi ) (z f

analitik di seluruh domain terhubung sederhana D , maka untuk setiap lintasan tertutup C di dalam D , berlaku



 _C

dz z f ) ( .

Teorema 4.7 (Teorema Cauchy

Diberikan suatu lintasan tertutup

C ,

sedangkan _n

C C C

, , , ₂ ₁  adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak

1 ) (   z z f

) ( jika

' z f kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana

, maka



 _C

dz z f ) ( .

C )

(z f analitik dan ) ( ' z f kontinu

Contoh 4 Misalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.

1. ² ) (

 z z f 

 _C

dz z ² .

( 1 )  z f

 C dz z f



 _C

dz .

Teorema 4.5 ( Teorema Cauchy- Goursat)

Jika ) (z f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana

C , maka 

 _C

dz z f ) ( .

C )

(z f analitik

Contoh 5

Teorema 4.4 ( Teorema Cauchy)

. Hitunglah

Diketahui 1 :  z C

Goursat yang diperluas)

Jika fungsi

dt e dz ^{t i}

1 

. Menurut Teorema Cauchy Goursat yang diperluas,

   

 ^{C C} z dz z dz ₁

) ) 3 ( 3 (





 ² ₂ ₁ ₂ ¹ _{t i} ^{t i} e dt e i

 

 ² dt i i



2  .



z ke z

F F dz z f .

   

) ( ) ( ) (



 

Jika  dan  di dalam D , maka

Teorema 4.8

seluruhnya terletak di dalam D . Jadi ) (z F juga analitik di dalam D .

, asalkan lintasan pengintegralan dari

analitik di dalam domain terhubung sederhana D , maka

F z f z 

di dalam D dengan ) ( ) ( '

mempunyai turunan untuk setiap titik

 

  ^z _z F d f z ) ( ) (

2   t dan

di interior

   

Contoh 6

) (z f analitik

) (z f tidak analitik

C ₁ C

dz z f dz z f dz z f dz z f

₁

₂ ) ( ) ( ) ( ) (  .

    _{C C C C} _n

, , , ₂ ₁  , maka



C C C

(z f analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C , kecuali titik-titik interior _n

, , , ₂ ₁  tidak saling berpotongan. Jika fungsi )

C C C

sedemikian sehingga _n

Hitung

 ^C

 

3  z yaitu

e z

. Diperoleh ^{t i}

1 3 : ₁   z C

3  z yang berada di dalam interior C . Dibuat lintasan tertutup ₁ C di dalam C berpusat di

z dz

tidak analitik di

1 ) (   z z f

Penyelesaian :

2 2 :   z C .

) 3 ( , jika

4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu

D  ) analitik f (z

 Contoh 7 _{2 i}



2 1  i ₂  

2 2 .

z dz z i _i    

 

( )

(Karena merupakan fungsi utuh, maka dapat dibuat sebarang domain

f z  z z i

terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari  ke z  2  i ).

4.7 Rumus Integral Cauchy

Jika ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C dan

f (z Teorema 4.9 (Rumus sebarang titik di dalam C , maka z

Integral

1 ( )

f z

( )

f z  dz  C

Cauchy )

 i z  z

atau

( )

f z 2  . ( ) .

dz  i f z

 C z  z

) analitik

z f (z

1 ( ) ( )

f z f z Turunan

' ( ) 2 . ' ( )

 f z  dz  dz  i f z

_{C C}

₂

 

Fungsi

2  ( ) ( )

i z  z z  z Analitik

2 ! ( ) ( ) 2 

f z f z i

' ' ( ) . ' ' ( )

f z  dz  dz  f z

_{C C}

₃

 

2  ( ) ( ) 2 !

i z  z z  z

 ! ( ) ( ) 2  _n n f z f z i _n

( ) . ( )

f z dz dz f z

   _n _{1 n} ₁ _{C C}

 

 

2  ( ) ( ) !

i z  z z  z n Contoh 8 dz

2 C z   1. Hitung dengan .

 C

3 z 

Penyelesaian : ( ) 1 )

Diambil : f z  ( f (z analitik di dalam dan pada C )

3 z  di dalam C .

( ) ( 3 )

f z  f 

Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh

dz 2 . ( ) 2 .

2 .   i f z   i   i

 C

3 z  dz

2 2. Hitung dengan C z   . _C ₃ ₂



( 2 )

z z  Penyelesaian :

1 ( ) )

Diambil : f z  ( f (z analitik di dalam dan pada C ) ₃

2 z  di dalam C .

3 ' ( ) ' ( ) ' ( 2 ) f z    f z  f   . ₄

16 z

Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh 2  2 

dz i ' i

. ( ) .( )

f z  i _C ₃ ₂      .



( 2 ) 1 !

z z 

4.8 Teorema Morera dan Teorema Liouville

Jika ) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk

f (z Teorema 4.10 (Teorema Morera)

( ) setiap lintasan tertutup dalam D berlaku ,

C f z dz  _C  maka ) analitik di seluruh D . f (z

Teorema 4.11 ) ) (z f (z

Jika f analitik dan terbatas di seluruh bidang

(Teorema

)

kompleks, maka f adalah suatu fungsi konstan.

Liouville)

4.9 Teorema Modulus Maksimum

) )

Jika f (z analitik dan M nilai maksimum dari f (z untuk z di dalam : ( ) ) daerah D  z z  z  r , dan jika f z  M , maka (z konstan di seluruh

  f

) daerah D . Akibatnya, jika f (z analitik dan tidak konstan pada D , maka ( ) f z  M .

)

Prinsip Modulus Jika fungsi tak konstan (z analitik di z , maka di setiap

Maksimum

( ) ( ) kitar dari z , terdapat titik dan f z  f z .

Jika )

f (z analitik di dalam dan pada lintasan tertutup Teorema 4.12 (Teorema ) )

sederhana C , dan f (z tidak konstan, maka f (z mencapai

Modulus

nilai maksimum di suatu titik pada C , yaitu pada perbatasan

Maksimum) daerah itu dan tidak di titik interior.

Jika )

f (z analitik di dalam dan pada lintasan tertutup Teorema 4.13 (Ketaksamaan : )

sederhana C z  z  r , dan f (z terbatas pada C ,

Cauchy) ! _n n M

( ) , ( ) , ,

1 , 2 , f z  M  z  C maka f z  n   _n r .

Ringkasan

Sifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup merupakan hal yang harus diperhatikan dalam p erhitungan integral fungsi kompleks.

Soal-soal _z ₂ ₂ 1. Hitung z e dz jika  : kurva y x dari z ke z i .

  1  ₁

  ₃

( ) ( ) :

2. Hitung f z dz jika f z  z dengan C setengan lingkaran z  dari

 C

2 z   i ke z  i .

)

3. Hitung integral fungsi f (z sepanjang lintasan tertutup C berikut : _z

z e

( ) :

1 a. f z  , C z  (counterclockwise). ₂ ( 4 )

z   i _{2 z} e ₂ ₂

( ) :

4 b. f z  , C ellips x  y  (counterclockwise). ₂ ₂ ( 1 ) ( 4 )

z z

  ( 3 ) cos

Ln z   z

( ) : z

c. f z , C segiempat dengan titik-titik sudut    ₂

( 1 )

z 

2 dan z   i (counterclockwise). ₃

z 

( ) :

d. f z  , C terdiri dari z  (counterclockwise) dan ₂ ( 1 )

z z i

 

1 z  (clockwiswe).

( 1 ) sin  z z

( ) :

2 e. f z  , C z  i  (counterclockwise). ₂ (

2 1 )

z  _z ₂ e

( ) :

f. f z  , C segiempat dengan titik-titik sudut z    i ₂

( 2 ) z z  i

1 (counterclockwise) dan z  (clockwiswe). ₃ sin

z  z

( )

f z :

2 ,

g.  , C segitiga dengan titik-titik sudut z   z  i ₃ ( )

z  i (counterclockwise).

3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS