Soal dan Penyelesaian Turunan pdf

Soal dan Penyelesaian Turunan (Differensial)

1. Jika f (3x + 2) = x √𝑥 + 1 dan f’ adalah turunan pertama fungsi f, maka 12 f’ (11) = ....
A. 9
B. 11
C. 12
D. 14
E. 15
Penyelesaian :
f (3x + 2) = x √𝑥 + 1 turunanya :
1

3 f’ (3x + 2) = x (𝑥 + 1)2

1

1
2

−1

3 f’ (3x + 2) = (1) (𝑥 + 1)2 + (x)( (𝑥 + 1) 2 )
3 f’ (3x + 2) = √𝑥 + 1 +

2 √𝑥+1

Untuk x = 3, diperoleh :

3 f’ (3 . 3 + 2) = √3 + 1 +

3 f’ (11) = 2 +
3 f’ (11) =

11
4

3
4

𝑥

3

2 √3+1

12 f’ (11) = 11
Jawaban : B
2. Turunan dari y = 𝑠𝑖𝑛3 (2x – 4) adalah y’ = ....
A. 3 cos (2x – 4) 𝑠𝑖𝑛2 (2x – 4)
B. 3 𝑠𝑖𝑛2 (2x – 4)
C. 3 sin (2x – 4) 𝑐𝑜𝑠 2 (2x – 4)
D. 6 sin (2x – 4) 𝑐𝑜𝑠 2 (2x – 4)
E. 6 cos (2x – 4) 𝑠𝑖𝑛2 (2x – 4)
Penyelesaian :
y = 𝑠𝑖𝑛3 (2x – 4)
y’ = 3 𝑠𝑖𝑛2 (2x – 4) cos (2x – 4) (2)
= 6 cos (2x – 4) 𝑠𝑖𝑛2 (2x – 4)
Jawaban : E

3. Turunan pertama dari f(x) = 𝑠𝑖𝑛4 (3x² – 2) adalah ....
A. 2x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin (6x² - 4)

B. 12x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin (6x² - 4)
C. -12x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin (6x² - 4)
D. 24x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin (6x² - 4)
E. -24x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin (6x² - 4)

Penyelesaian
f(x) = 𝑠𝑖𝑛4 (3x² – 2)
f’(x) = 4 𝑠𝑖𝑛3 (3x² – 2) cos (3x² - 2) (6x)
= 2.6x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) (2. sin (3x² - 2) cos (3x² - 2))
= 12x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin 2(3x² - 2)
= 12x 𝑠𝑖𝑛2 (3x² – 2) sin (6x² - 4)

:

Jawaban : B

1

4. Turunan pertama dari y = 4 sin 4x adalah ....
A. – cos 4x

1
B. - 16 cos 4x
1

C. - 2 cos 4x

D. cos 4x
1
E. 16 cos 4x

Penyelesaian :
1
y = sin 4x
4
1

y’ = 4 cos 4x (4) = cos 4x
Jawaban : D

5. Diketahui f(x) = 3x³ + 4x + 8 jika turunan pertama f(x) adalah f’(x), maka nilai f’(3) = ....

A. 85
B. 101
C. 112
D. 115
E. 125
Penyelesaian :
f(x) = 3x³ + 4x + 8
f’(x) = 9x² + 4
f’(3) = 9 (3)² + 4 = 85
Jawaban : A
6. Suatu peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik dirumuskan dengan
h(t) = 120t -5t², maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah ....
A. 270 m
B. 320 m
C. 670 m
D. 720 m
E. 770 m
Penyelesaian :
h(t) = 120t – 5t²
tinggi h mencapai maksimum bila h’(t) = 0

h’(t) = 0

120 – 10t = 0
t = 12 (t detik maksimum)
h(12) = 120(12) – 5(12)² = 720 m
Jawaban : D
7. Jumlah dua bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum x . y adalah ....
A. 100
B. 81
C. 80
D. 77
E. 72
Penyelesaian :
Jumlah dua bilangan x dan y adalah 18. Berarti,
x + y = 18
x = 18 – y
x . y = (18 – y) y
= 18y - y²
Nilai maksimum x . y berarti,
Turunan x. y = 0

18 – 2y = 0
y=9
x = 18 – y = 18 – 9 = 9
x . y = 9 . 9 = 81

Jawaban : B
8. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000 + 1000x + 10x²)
rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp
5000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan
ntersebut adalah ....
A. Rp 149.000,00
B. Rp 249.000,00
C. Rp 391.000,00
D. Rp 609.000,00
E. Rp 757.000,00
Penyelesaian :
x = produk
Biaya total = (9000 + 1000x + 10x²)
Jual = 5000 untuk satu produk = 5000x
Laba = harga jual – biaya total

L(x) = 5000x - (9000 + 1000x + 10x²)

= 4000x – 9000 – 10x²
Laba maksimum untuk nilai x dengan L’(x) = 0
4000 – 20x = 0
x = 200
Jadi, laba maksimum yang diperoleh, L(200) = 4000(200) – 9000 – 10(200)² = 391.000
Jawaban : C
9. Jika f(x) =
A.

1
4

𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥

B. 1
3
C. 4

, maka f’(13 𝜋) = ....

1
3

D. 1

E. 2

Penyelesaian :
f(x) =
f’(x) =

𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑖𝑛 𝑥
(cos 𝑥+sin 𝑥)(sin 𝑥)−(sin 𝑥−cos 𝑥)(cos 𝑥)

=

=
1

f’(3 𝜋) =

sin 𝑥
1

2 +sin 𝑥

𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
1

1 2
(sin 𝜋)
3

=

𝑠𝑖𝑛 2 𝑥

𝑐𝑜𝑥 𝑥−sin 𝑥 cos 𝑥+ cos 𝑥 2
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
1

(sin 60°)2

=

1
(
2

1

√3)2

1

=1

3

Jawaban : D

10. Turunan pertama fungsi y = √𝑥 + √𝑥 adalah y’ = ....
A.

B.
C.
D.
E.

2 √𝑥 − 1

4√𝑥 2 +𝑥 √𝑥
2 √𝑥 + 1
4√𝑥 2 +𝑥 √𝑥
2 √𝑥 + 1

4√𝑥 2 +𝑥
√𝑥 + 2

4√𝑥 2 +𝑥
2 √𝑥 + 1

4√𝑥√𝑥+𝑥

Penyelesaian :
y = √𝑥 + √𝑥
y’ = (x

1 1

+ 𝑥 2 )2

1
2

=
=
=
=

=

−1
2

1
2

(x + 𝑥 )
1

2 √𝑥+ √𝑥
1

2 √𝑥+ √𝑥
2 √𝑥+1

. (1 +

1

2 √𝑥

2 √𝑥+1

.(

−1

1

(1 + 𝑥 2 )

2 √𝑥

2

)

)

4 √𝑥(𝑥+ √𝑥
2 √𝑥+1

4 √𝑥²+ 𝑥 √𝑥

Jawaban : B

11. Nilai maksimum dari fungsi y = (x – 3)√𝑥 adalah ....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Penyelesaian :
y = (x – 3)√𝑥
1

y = (x – 3)(𝑥 2 )
1

1

y’ = (1)(𝑥 2 ) + (x – 3) (𝑥
2
= √𝑥 +
=

=

(𝑥−3)

−1
2

)

2 √𝑥
2x + x – 3

2√𝑥
3x – 3
2√𝑥

Nilai maksimum apabila y’ = 0
0=

3x – 3
2√𝑥

0 = 3x – 3
x=1
Jawaban : D

12. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x) . g(x) = x² - 3x untuk setiap bilangan real x. Jika
g(1) = 2, f’(1) = f(x) = -1, maka g’(1)= ....
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
E. -3

Penyelesaian :
Misalkan, H(x) = f(x) . g(x) = x² - 3x
H’(x) = f’(x) . g(x) + f(x) . g’(x) = 2x – 3
H’(1) = f’(1) . g(1) + f(1) . g’(1) = 2(1) – 3
= (-1)(2) + (-1) g’(1) = -3
-2 + 3 = g’(1)
1 = g’(1)
Jawaban : B
13. Jika f(3x + 2) = x√𝑥 + 1 dan f’ adalah turunan pertama fungsi f, maka 12 f’(11) = ....
A. 9
B. 11
C. 12
D. 14
E. 15
Penyelesaian :
f(3x + 2) = x√𝑥 + 1 turunannya :
1

3 f’(3x + 2) = x (𝑥 + 1)2

1

1

−1

3 f’(3x + 2) = (1) (𝑥 + 1)2 + (x)(2 (𝑥 + 1) 2 )
3 f’(3x + 2) = √𝑥 + 1 +

Untuk x = 3, maka :

2√𝑥+1

3 f’(3 . 3 + 2) = √3 + 1 +
3 f’(11) = 2 +
3 f’(11) =

11
4

3
4

𝑥

3

2√3+1

12 f’(11) = 11
Jawaban : B
14. Turunan pertama y = 𝑐𝑜𝑠 2 (2x - 𝜋) adalah y’ = ....
A. -2 sin (4x -2π)
B. – sin (4x -2π)
C. -2 sin (2x – π) cos (2x – π)
D. 4 sin (2x – π)
E. 4 sin (2x – π) cos (2x – π)
Penyelesaian :
y = 𝑐𝑜𝑠 2 (2x - 𝜋)
y’ = 2 cos (2x - 𝜋) (− sin (2x − 𝜋)) (2)
= -2 . 2 sin (2x – π) cos (2x – π)
= -2 sin 2(2x – π)
= -2 sin (4x - 2π)
Jawaban : A

15. Turunan pertama dari fungsi y = (𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2 adalah y’ = ....
A. 0
B. 4 𝑠𝑖𝑛 2 x
C. 4 𝑠𝑖𝑛 2 x - 2
D. 4 𝑐𝑜𝑠 2 x - 2
E. 4 𝑠𝑖𝑛 2 x – 4
Penyelesaian :
y = (𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2
y’ = 2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥) (cos x – sin x)
= 2 (sin x cos x - 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 x – sin x cos x)
= 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 - 𝑠𝑖𝑛2 𝑥)
= 2 cos 2x = 2 (2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 – 1)
= 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 – 2
Jawaban : D

16. Suatu peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru pada t detik dirumuskan oleh h(t) = 40t 5t² (dalam meter). Tinggi maksimum yang ditempuh oleh peluru tersebut adalah ....
A. 75 m
B. 80 m
C. 85 m
D. 90 m
E. 95 m
Penyelesaian :
h(t) = 40t – 5t²
tinggi maksimum yang dapat ditempuh apabila h’(t) = 0
h’(t) = 40 – 10t
0 = 40 – 10t
t=4
h(t) = 40(4) – 5(4)² = 80 m
Jawaban : B

17. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan
120
biaya per jam (4x – 800 + 𝑥 ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut
dapat diselesaikan ....
A. 40 jam
B. 60 jam
C. 100 jam
D. 120 jam
E. 150 jam
Penyelesaian :
Biaya total = x (4x – 800 +

120
𝑥

) = 4x² - 800x + 120

Agar biaya minimum diperoleh, maka : turunan biaya total = 0
8x – 800 = 0

x = 100 jam
Jawaban : C

18. Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan f(x) =
A.

-

B.

-

C.
D.
E.

10

(𝑋+5)2
5

𝑥−5

𝑥+5

adalah f’(x) = ....

(𝑋+5)2
10

(𝑋+5)2
5

(𝑋+5)2
𝑋+5

(𝑋+5)2

Penyelesaian :
f(x) =
f’(x) =
=

𝑥−5

𝑥+5
(1)(𝑥+5)−(𝑥−5)(1)
10

(𝑥+5)2

(𝑋+5)2

Jawaban : C

19. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = √3𝑥 2 + 5 adalah f’ maka f’(x)
= ....
A.

B.
C.
D.
E.

3𝑥

√3𝑥 2 +5
3

√3𝑥 2 +5
6

√3𝑥 2 +5
𝑥
√3𝑥 2 +5
6𝑥
√3𝑥 2 +5

Penyelesaian :
f(x) = √3𝑥 2 + 5

1

f’(x) = (3𝑥 2 + 5)2
1

−1

= 2 (3𝑥^2 + 5) 2 (6x)
=

6𝑥

2 √3𝑥 2 +5

=

3𝑥

√3𝑥 2 +5

Jawaban : A

20. Turunan pertama fungsi f(x) =
1

2

1

2

A. 12 √𝑥 + 𝑥² √𝑥
2

1

B. 22 √𝑥 + 𝑥² √𝑥

𝑥 2 −4
√𝑥

C. 12 √𝑥 + 2𝑥² √𝑥
1

2

D. 2 √𝑥 +
√𝑥
2
2𝑥²
4

1

E. 1 √𝑥 + √𝑥
𝑥²
2

Penyelesaian :

f(x) =
f’(x) =
=
=
=

𝑥 2 −4
√𝑥

1
2

−1

(2𝑥)(√𝑥)−(𝑥 2 −4)( (𝑥) 2 )
(√𝑥)²

𝑥2 −4
(2𝑥 √𝑥)−(
)
2√𝑥

𝑥

4𝑥2 −(𝑥2 −4)
2√𝑥

𝑥
3𝑥 2 +4

.

1

𝑥
√𝑥
=
.
2𝑥 √𝑥 √𝑥
3𝑥 2 √𝑥+4√𝑥
2 √𝑥
3𝑥 2 +4

=

2𝑥²
3𝑥2 √𝑥 4√𝑥
=
+
2𝑥²
2𝑥²
1

2

= 1 √𝑥 + √𝑥
2
𝑥²

adalah ....