BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi - Operasi Bilangan Real

A . Deskripsi

Modul Operasi Bilangan Real ini terdiri atas 4 Kegiatan Belajar, yaitu:

1. Operasi Bilangan Real

2. Operasi Bilangan Berpangkat

3. Opreasi Bilangan Irasional (Bentuk Akar) dan

4. Operasi Bilangan Logaritma

B. Prasyarat

Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa telah mempelajari dan memahami berbagai konsep ilmu bilangan dan jenis-jenis bilangan yang telah dipelajari di SMP.

C. Tujuan A khir

Setelah mempelajari kegiatan belajar pada modul ini diharapkan siswa dapat :

1. Menjelaskan macam-macam bilangan real

2. Mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat

3. Mengoperasian dua atau lebih bilangan pecahan

4. Melakukan konversi pecahan ke bentuk persen, pecahan desimal, dan persen

5. Mengoperasikan perbandingan (senilai, dan berbalik nilai) skala dan persen

6. Menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan berpangkat

7. Mengoperasikan bilangan berpangkat

8. Menyederhanakan bilangan berpangkat

9. Menyelesaian masalah yang berhubungan dengan operasi bilangan berpangkat

10. Menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan irrasional

11. Mengoperasikan bilangan irasional

12. Menyederhanakan bilangan irasional

13. Menyelesaikan masalah pada bidang keahlian yang berhubungan dengan operasi bilangan irasional.

14. Menjelaskan konsep dan mengoperasikan bilangan logaritma.

15. Menerapkan konsep logaritma pada bidang keahlian/ kehidupan sehari-hari.

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

D. Cek Kemampuan

1. Tahukah Anda Pengertian Bilangan real?

2. Dapatkah Anda mengoperasikan dua bilangan bulat atau lebih?

3. Dapatkah Anda mengoperasian dua atau lebih bilangan pecahan?

4. Dapatkah Anda melakukan konversi pecahan ke bentuk persen, pecahan desimal, atau persen?

5. Dapatkah anda mengoperasikan perbandingan (senilai/ berbalik nilai), skala dan persen?

6. Dapatkah Anda menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan berpangkat?

7. Dapatkah Anda menyederhanakan bilangan berpangkat?

8. Dapatkah Anda Menjelaskan konsep dan sifat-sifat bilangan irrasional?

9. Dapatkah Anda mengoperasikan bilangan irasional?

10. Dapatkah Anda menyederhanakan bilangan irasional?

11. Dapatkah Anda menjelaskan konsep bilangan logaritma?

12. Dapatlah Anda mengopersikan bilangan logaritma?

13. Dapatkah Anda mengaplikasikan konsep opeasi bilangan real dalam bidang keahlian atau kehidupan sehari-hari?

Apabila Anda menjawab “ TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab “ YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

BA B II PEM BELA JA RA N

.docu-track.

A . Rancangan Belajar Siswa

1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Trigonometri, dengan menggunakan format sebagai berikut :

Paraf Kegiatan No

Pencapaian

Alasan perubahan bila

Mengetahui, Klaten, ..................... 2005 Guru Pembimbing

2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.

a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah anda pelajari. Selain ringkasan anda juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi- informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.

b. Administrasikan setiap tahapan kegiatan belajar/ lembar kerja yang anda selesaikan

c. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus dibetulkan/ dilengkapi, maka anda harus melaksanakan saran guru pembimbing anda.

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

1. Kegiatan Belajar 1

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan :

1. Dapat mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat.

2. Dapat mengoperasikan dua atau lebih bilangan pecah.

3. Dapat mengkonversikan dua atau lebih pecahan ke bentuk pecahan desimal atau persen.

4. Dapat menyelesaikan masalah kejuruan dengan konsep operasi bilangan real.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1

1. Sistem Bilangan Real

Menurut sejarah munculnya bilangan dilatarbelakangi akibat kebutuhan manusia. Karena hamper semua manusia (apapun profesi dan latar belakangnya) entah disadari atau tidak memerlukannya. Pada awalnya bilangan digunakan untuk menghitung, sehingga yang pertama kali dikenal orang adalah bilangan asli ( bilangan alam ). Kemudian bilangan nol maka muncullah bilangan cacah dan bilangan-bilangan yang lain. Pada kegiatan belajar ini kita akan mempelajari operasi-operasi pada bilangan real yang meliputi operasi pecahan, perbandingan, skala, dan persen. Macam-macam bilangan real antara lain sebagai berikut :

a. Bilangan Asli

Bilangan Asli biasa ditulis sebagai A = { 1, 2, 3, 4, … }

b. Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah gabungan antara bilangan nol dan bilangan Asli. Biasa ditulis sebagai C = { 0, 1, 2, 3, 4, … }

c. Bilangan Bulat

Bilangan Bulat tersusun dari bilangan negatif dan bilangan Cacah. Biasa dinotasikan sebagai B = { …-3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

d. Bilangan Rasional

Bilangan Rasional dinyatakan dalam bentuk

, dimana : a , b ∈

B dan b 0 biasa

dinotasikan Q = {

 a,b ∈

B, dan b 0 }

e. Bilangan Irasional

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai

, dimana :

a,b ∈

B dan b 0. Dalam matematika dilambangkan dengan huruf I. Berbagai contoh bilangan Irasional dalam matematika antara lain : π = 3,141592654, √ 2 = 1,414213562 ,

dan e = 2,718281828.

f. Bilangan Real

Bilangan Real adalah gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional, dan dilambangkan dengan huruf R.

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

Berdasar keterangan di atas maka dapat diambil penjelasan bahwa bilangan real .docu-track.

co m

merupakan gabungan dari bilangan asli, cacah, bulat, rsioanal dan irasional. Apabila dinyatakan dalam bentuk dagram Venn akan menghasilkan :

CQ

2. Operasi Bilangan Real

Dalam matematika yang dimaksud “ operasi” adalah operasi hitung, pengerjaan yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dengan segala sifat-sifatnya.

a. Operasi hitung pada bilangan bulat. 1). Penjumlahan

Jika a, b ∈ Bulat maka penjumlahan a dan b dinotasikan “ a + b” dibaca a plus b masing-masing a dan b disebut sebagai “ suku ”. Sifat-sifat penjumlahan ;

Tertutup dan tunggal

Jika a, b ∈ Bulat maka terdapat satu dan hanya satu bilangan bulat yang memenuhi, a + b = c ( c ∈ Bulat ).

Contoh; 5 + 4 = 9, 9 adalah bilangan bulat yang tunggal. Komutatif ( pertukaran ) Jika a, b ∈ Bulat maka a + b = b + a Contoh; 12 + 6 = 6 + 12 = 18

Assosiatif ( pengelompokan ) Jika a, b, c ∈ Bulat maka a + ( b + c ) = ( a + b ) + c Contoh; 3 + ( 6 + 4 ) = ( 3 + 6 ) + 4

Distributif ( penyebaran ) Jika a, b, c ∈ Bulat maka a ( b + c ) = ab + ac

Contoh; 5 ( 24 + 6 ) = 5x24 + 5x 6 Adanya elemen identitas penjumlahan Ada 0 yang merupakan elemen identitas penjumlahan artinya a + 0 = 0 + a = a. Invers terhadap penjumlahan Untuk setiap a ∈ Bulat ada -a yang apabila dijumlahkan menghasilkan elemen identitas, artinya a + (-a) = (-a) + a = 0

2). Pengurangan Penguarangan adalah lawan dari penjumlahan Jika a, b ∈ Bulat maka pengurangan a dan b dinotasikan “ a - b” dibaca a minus b masing-masing a dan b disebut sebagai “ suku ”. Jika a dan b bilangan bulat, maka akan berlaku aturan-aturan antara lain sebagai berikut:

a – b – c = a – (b + c) Contoh; 54 – 27 – 10 = 54 – ( 27 + 10 ) = 17 a–(b-c)= a– b+c

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

Distributif perkalian terhadap pengurangan p(a – b) = pa – pb Contoh; 2 x ( 7 – 3 ) = (2 x 7) – ( 2 x 3) = 8

(a + b) – c = a + (b – c) Contoh; (3 + 4) – 2 = 3 + (4 – 2) = 5

Catatan : a – b ≠

b – a ( pengurangan anti komutatif )

3). Perkalian

Jika a, b ∈ Bulat maka perkalian a dan b dinotasikan “ a x b” dibaca a kali b masing- masing a dan b disebut sebagai “ faktor ”. Sifat-sifat perkalian ; Tertutup dan tunggal

Jika a, b ∈ Bulat maka terdapat satu dan hanya satu bilangan bulat yang memenuhi, a x b = c ( c ∈ Bulat ). Contoh; 5 x 4 = 20, 20 adalah bilangan bulat yang tunggal. Komutatif ( pertukaran ) Jika a, b ∈ Bulat maka a x b = b x a Contoh; 12 x 6 = 6 x 12 = 72

Assosiatif ( pengelompokan ) Jika a, b, c ∈ Bulat maka a x ( b x c ) = ( a x b ) x c Contoh; 3 x (5 x 4 ) = ( 3 x 5 ) x 4 = 60

Distributif ( penyebaran ) perkalian terhadap penjumlahan Jika a, b, c ∈ Bulat maka a x ( b + c ) = ab x ac Contoh; 5 ( 24 + 6 ) = 5x24 + 5x 6 = 150

Adanya elemen identitas penjumlahan Ada 1 yang merupakan elemen identitas perkalian artinya a x 1 = 1 x a = a.

4). Pembagian Pembagian adalah kebalikan dari perkalian

Jika a, b ∈ Bulat maka pembagian a dan b dinotasikan “ a : b” atau “ a/ b” dibaca a dibagi b, di mana b 0. Jika a dan b bilangan bulat, maka akan berlaku aturan-aturan pembagian sebagai berikut:

ax(b:c)=(axb):c Contoh; 3 x ( 8 : 2 ) = ( 3 x 8 ) : 2 = 12 (a x b) : (p x q) = (a : p) x (b :q) Contoh; (4 x 9) : (2 x 3) = (4 : 2) x ( 9 : 3 ) = 6 a:(b:c)=ax(c:b) Contoh; 12 : ( 9 : 3) = 12 x ( 3 : 9 ) = 4

b. Operasi Bilangan Pecahan

Click to buy NOW! w co m w w Click to buy NOW! .docu-track.

a .docu-track. co m

Pecahan adalah bagian dari bilangan rasional, yang dapat ditulis dalam bentuk

b dengan a , b

0, selanjutnya a disebut “ pembilang” dan b disebut “ penyebut” . Secara simbolik pecahan dapat dinyatakan dengan berbagai bentuk, antara lain :

∈ Bulat dan b

§ Pecahan biasa § Pecahan decimal § Pecahan prosen § Pecahan campuran

Pecahan dalam bentuk akan mempunyai nilai yang sama apabila masing-masing

pembilang dan penyebut dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

b.

Penjumlahan pecahan campuran dapat diselesaikan dengan 2 (dua) cara, yaitu : Cara 1 dengan pecahan murni.

Cara 2 dengan menggabungkan komutatif dan asosiatif.

= 9 + = 9 + 1 = 10 ( coba bandingkan dengan cara pertama)

5 5 5 Sifat-sifat Penjumlahan :

Untuk semua bilangan pecahan a, b dan c akan berlaku : Sifat Komutatif ( pertukaran ) a+b=b+a

Contoh;

12 12 12 Sifat A sosiatif

(a + b) + c = a + (b + c) Contoh ; (a + b) + c = a + (b + c) Contoh ;

 .docu-track.  +  + = + + 3 4 6 3  4 6 

Elemen Identitas

Pecahan

adalah elemen identitas a + 0 = 0 + a = a

Contoh ;

Ada Invers Mempunyai pecahan –a sehingga berlaku a + (- a) = 0 (elemen identitas)

Contoh; + −

5  5  = 0 , artinya

invers jumlah dari

2. Pengurangan

Umumnya −

adalah suatu bilangan yang jika ditambahkan kepada

hasilnya .

Singkatnya + ( − ) = .

Jadi bila ( − ) =

maka + = .

Sifat-sifat pengurangan dan perluasannya, bila a, b dan c bilangan pecahan :

Penjumlahan atau pengurangan dua atau lebih bilangan pecahan dapat dilakukan jika penyebutnya senama (sama). Untuk menyenamakan penyebut menggunakan : kelipatan persekutuan terkecil penyebut- penyebut pecahan yang akan dijumlahkan atau dikurangkan.

3. Perkalian Perkalian dua pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut .

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

1. Pecahan Murni:

3 5 3 x 5 15

4 7 4 x 7 28

2. Pecahan Campuran : Dapat dilakukan dengan 2 cara :

Cara 1 : 3 x 4 = x

1 3 1 3 Cara 2 : 3 x 4 = ( 3 + ).( 4 + )

Bila a, b dan c bilangan pecahan, axb=c maka : a disebut pengali, b disebut yang dikalikan dan

c disebut hasil kali dan a dan b masing-masing disebut faktor. 1xa=ax1=a → setiap bilangan dikalikan 1 hasilnya bilangan itu sendiri (sifat identitas).

= 1 → disebut invers atau kebalikan dari a ( a ≠ 0 ).

a b axb

→ c ≠ 0 dan d ≠ 0.

c d cxd

Untuk setiap p, q dan r bilangan pecahan maka berlaku sifat-sifat :

1. Sifat Komutatif

→ pxq=qxp

2. Sifat Asosiatif

→ p x (q x r ) = (p x q ) x r

3. Sifat Distributif

→ p x (q + r ) = pq + pr → p x ( q – r ) = pq – pr

4. Sifat identitas

→ px1=1xp=p

Beberapa perkalian penting :

4. Pembagian Pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Umumnya b x ( a : b ) = a. Jadi apabila a : b = c maka b x c = a.

Pembagian dalam pecahan dilakukan dengan cara pembilang dibagi dengan pembilang dan penyebut dibagi dengan penyebut atau pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan pecahan kedua.

Contoh :

Cara 1 :

Click to buy NOW! w co m w w Click to buy NOW! co m .docu-track.

Sifat-sifat pembagian :

1. a x (b : c) = (a x b) : c

dimana p ≠ 0.

atau a x =

6. − b a = b + dan = −

2. (a x b) : (p x q) = (a : p) x (b : q)

7. Bila a, b dan c bilangan bulat , b ≠ 0

atau

dan c ≠ 0 maka :

atau a : = a x =

dimana p ≠ 0.

b bxp

4. Konversi Bilangan

a. Konversi Pecahan ke Desimal dan Persen Konversi (mengubah) pecahan ke bentuk desimal dilakukan dengan langkah membagi pembilang dengan penyebutnya. Hasil pembagian tersebut (dalam bentuk desimal) apabila dikali dengan 100% akan menghasilkan bentuk persen.

b. Konversi Desimal ke Pecahan dan Persen Konversi (mengubah) desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :

1. Bilangan desimal terbatas.

2. Bilangan desimal tak terbatas berulang.

a. Jika angka yang berulang satu kali, maka pecahannya adalah angka yang

berulang dibagi dangan 9.

3 Contoh : 0,7777… =

b. Jika angka yang berulang dua angka, maka pecahannya adalah angka yang

berulang dibagi dengan 99.

32 Contoh : 0,323232… =

c. Jika angka yang berulang tiga angka, maka pecahannya adalah angka yang

berulang dibagi dengan 999. 245

Contoh : 0,245245… = 999

Bentuk pecahan desimal dapat diubah menjadi persen dengan langkah mengalikan pecahan desimal tersebut dangan 100%.

c. Konversi Persen ke Pecahan dan Desimal

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

Konversi (mengubah) persen menjadi desimal dilakukan dengan langkah mengubah .docu-track.

co m

lambang % menjadi

, kemudian menyederhanakan bentuk. Setelah mendapatkan

100 bentuk pecahan tinggal mengubah ke desimal.

Contoh : Bentuk pecahan :

44% = 44 x

Bentuk desimal :

44% = 44 x

5. Perbandingan, Skala dan Persen

a. Perbandingan

Perbandingan dua nilai sebenarnya juga suatu bentuk pembagian, a : b dibaca a dibanding b

atau a dibagi b atau .

Ada dua macam perbandingan yaitu : perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai.

1. Perbandingan senilai atau berbanding lurus.

Contoh :

Mobil bergerak dengan kecepatan tetap 60 km/ jam.

Bila lama berjalan 1 jam jarak yang ditempuh : 1 x 60 = 60 km. Bila lama berjalan 2 jam jarak yang ditempuh : 2 x 60 = 120 km. Bila lama berjalan 3 jam jarak yang ditempuh : 3 x 60 = 180 km.

Jadi jika waktu yang digunakan bertambah maka jarak yang ditempuh juga bertambah. Perbandingan antara waktu dan jarak selalu tetap yaitu 1 : 60. Dua variabel dengan perbandingan yang demikian disebut perbandingan senilai (lurus).

Perhatikan tabel berikut !

Waktu (jam)

Jarak (km)

Perhatikan perbandingan yang terjadi !

→ konstan

2. Perbandingan berbalik nilai (berbanding terbalik)

Contoh :

Suatu pekerjaan jika dikerjakan :

1 orang selesai 60 hari

2 orang selesai 30 hari

3 orang selesai 20 hari , dst.

Jadi jika banyak orang bertambah maka banyak hari berkurang. Perbandingan banyak orang dan banyak hari tidak tetap, akan tetapi kebalikannya adalah hasil kali dua variabel tersebut tetap yaitu 60. Dua variabel dengan perbandingan demikian disebut perbandingan berbalik nilai (berbanding terbalik).

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

Perhatikan tabel berikut !

Tenaga (orang)

Waktu (hari)

Perhatikan : 1x60 , 2x30 , 3x20 , … , 60x1 → = 60

b. Skala

Skala adalah perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran benda yang digambar. Pada gambar diberi angka perbandingan, biasanya dinyatakan dengan angka satu.

Contoh :

Skala suatu peta 1 : 100.000. Jarak dua kota dapat dicari :

1. Apabila jarak dua kota pada peta 17,5 cm. Maka jarak kedua kota (jarak A dan B)

sebenarnya adalah :

A-B = 17,5 x 100.000 = 1.750.000 cm = 17,5 km.

2. Apabila jarak dua kota sebenarnya 60 km. Maka jarak kedua kota dalam peta adalah :

A-B = 6.000.000 : 100.000 = 60 cm.

c. Persen

Persen adalah lambang bilangan rasional yang berpenyebut seratus (100). Lambang dari persen adalah : %, jadi makna persen adalah per seratus. Jadi 1 % berarti

1 bagian dari jumlah dasar. 100

Contoh c. 1 :

Luas lembaran logam yang diperlukan untuk sebuah pintu adalah 3,6 m 2 dan untuk limbah

adalah 0,18 m 2 . Hitung limbah tersebut dalam persen ! Penyelesaian : Luas dasar : 3,6 m 2 2 (100%) jadi untuk 1 m 100 = %

Jadi 0,18 m 100 2 → 0,18 x

Contoh c. 2 :

Ubahlah ke bentuk persen : a. 5/ 8 dan b. 4,25. Penyelesaian :

Bentuk utuh = 1 → 100% =

Semua bilangan dikalikan dengan 1 adalah bilangan itu sendiri.

Jadi : a. x 1 = x 100 % =

b. 4,25 x 1 = 4,25 x 100% = 425 %

c. Rangkuman M ateri

1. Penyusun dari bilangan Real :

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

a. Bilangan Asli

A = { 1, 2, 3, 4, … }

.docu-track.

b. Bilangan Cacah

C = { 0, 1, 2, 3, … }

c. Bilangan Bulat

B = { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … }

d. Bilangan Rasional

Q= {

 a,b ∈

B, dan b 0 }

e. Bilangan Irasional

I={x  x ∈ ( R – Q )}

2. Operasi Bilangan Bulat

a. Penjumlahan

1. Komutatif

: a+b=b+a

2. Asosiatif

: a + (b + c) = (a + b) + c

3. Unsur Identitas

: a+0=0+a=a

b. Pengurangan

c. Perkalian

1. Komutatif

: axb=bxa

2. Asosiatif

: a x (b x c) = (a x b) x c

3. Distribusi thd penjumlahan

: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

4. Unsur Identitas

:ax1=1xa=a

3. Operasi Bilangan Pecahan

a c ad + bc

a. Penjumlahan

a c ad − bc

b. Pengurangan

c. Perkalian

d. Pembagian

d. Tugas Kegiatan Belajar 1

e. Test Formatif Kegiatan Belajar 1

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

1. Test Formatif 1.1

.docu-track.

5. Selesaikanlah pembagian berikut ! selesaikanlah !

1. Ubahlah ke dalam pecahan murni kemudian

2. Ubahlah ke dalam pecahan

campuran

kemudian selesaikanlah ! 3 1 1 3

6. Selesaikanlah ( 4 − 5 ) x ( 7 + 8 ) = ... 38 75 46 27 63 81 7 2 3 4

7 4 5 8 5 6 1 3 7. 4 Selesaikanlah ( 6 x 7 ) : ( 1 − 5 ) = ...

3. Sederhanakan pecahan berikut kemudian

2 1 11 2 selesaikanlah !

8. Selesaikanlah ( 3 : 4 ) x ( 11 x 4 ) = ... 11 12 13 3

4. Selesaikanlah perkalian berikut !

2. Test Formatif 1.2

1. Ubahlah pecahan biasa di bawah ini ke pecahan desimal dan persen ! 3 2 3

a. b. c. 5 3 7

2. Ubahlah dari bentuk persen ke bentuk pecahan biasa dan desimal !

3. Ubahlah dari pecahan desimal ke pecahan biasa dan persen !

4. Suatu barang dijual laku Rp 67.080. Barang itu dibeli ulang dengan harga Rp 62.400. Tentukan berapa persen labanya !

5. Seorang pengendara mobil menempuh jarak 150 km dalam waktu 3 jam. Berapa waktu diperlukan untuk menempuh jarak 300 km ?

6. Seorang mengendarai mobil selama 3 jam. Kecepatan rata-rata 60 km/ jam. Bila orang itu mengurangi waktunya hingga 2 jam. Berapakah kecepatan rata-rata ?

7. Barapa harikah 10 orang dapat menyelesaikan suatu pekerjaan apabila 15 orang dapat menyelesaikan pekerjaan itu selama 20 hari ?

8. Suatu peta berskala 1 : 1.500. Berapakah jarak sesungguhnya apabila pada peta 9 cm ?

9. Pada suatu peta 10 cm mewakili 1.000 m. Berapakah jarak dalam peta apabila jarak sesungguhnya 8 km ?

10. Sebuah gambar dengan skala 1.000 : 1 Berapakah panjang benda tersebut bila pada

gambar terlukis 2 cm ?

f. Kunci jawaban Test Formatif 1

1. Kunci Test Formatif 1.1

Click to buy NOW! co m w w w Click to buy NOW! .docu-track.

.docu-track. co m

2. Kunci Test Formatif 1.2

2 1. 6 a. 0,6 dan 60% b. 0,67 dan 66 % c. 0,49 dan 42 % 3 7 1 17 3

2. a.

dan 0,125 b.

dan 0,85

c. 1 dan 1,60

c. 2 dan 215%

g. Lembar Kerja Siswa KB 1

1. Lembar Kerja Siswa 1. 1 Selesaikanlah !

2. Lembar Kerja Siswa 1. 2

1. Ubahlah kedalam pecahan murni ! 1. Ubahlah kedalam pecahan murni !

.docu-track. co m

2. Ubahlah kedalam pecahan campuran !

3. Selesaikanlah perkalian di bawah ini !

4. Selesaikanlah pembagian di bawah ini !

a. 12 : (4 : 2 ) = ...

b. ( 23 : 5 ) : 7 = ...

5. Selesaikanlah : ( 5 − 3 ) x ( 8 + 4 ) = ...

6. Selesaikanlah : ( 6 x 4 ) : (3 − 6 ) = ...

7. Selesaikanlah : ( 3 : 4 ) x (5 x 4 ) = ...

8. Selesaikanlah : ( − 6 + 4 ) x ( 4 : 2 ) = ...

3. Lembar Kerja Siswa 1. 3

1. Ubahlah ke pecahan desimal dan persen ! 4 5 6

a. b. c. 5 6 7

2. Ubahlah ke bentuk pecahan biasa dan desimal !

3. Ubahlah ke pecahan biasa dan persen !

4. Apabila 5 tukang mendapat upah Rp 200.000. Berapakah upah untuk 7 orang ?

5. Seorang tukang dalam 6 hari kerja mendapatkan Rp 30.000. Berapa besar upah yang harus dibayar oleh seorang pemborong jika mempekerjakan 4 orang tukang dalam 9 hari kerja ?

6. 15 orang tukang dapat menyelesaikan suatu pesanan dalam 6 hari. Dalam berapa hari pesanan tersebut dapat diselesaikan oleh 9 orang tukang ?

7. Sebuah pompa air dapat memompa 1.800 liter air dalam 2 jam. Berapa waktu yang diperlukan untuk mengisi bak air dengan ukuran 2 m x 1,5 m x 3 m ?

8. Suatu peta berskala 1 : 1.500. Berapa luas daerah berbentuk persegi panjang yang pada gambar panjangnya 13,5 cm dan lebarnya 9,25 cm ?

9. Sebuah STM memiliki 88 siswa kelas I dengan persentase 22% dari seluruh siswa. Berapa jumlah siswa seluruh STM tersebut ?

10. Sebuah mesin dibeli dengan potongan harga 16%. Pembeli membayar Rp 820.000.

Hitunglah harga mesin tersebut jika tanpa potongan harga ?

2. Kegiatan Belajar 2

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan :

.docu-track.

1. Dapat memahami konsep dan sifat-sifat bilangan berpangkat.

2. Dapat menyelesaikan operasi hitung bilangan berpangkat.

3. Dapat menyederhanakan bilangan berpangkat.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 2

Pengertian pangkat berdasarkan perkalian berganda.

Misalnya : 3 4 artinya 3 x 3 x 3 x 3

Pada umumnya : a n =axaxaxax…xa

sebanyak n faktor.

Dalam bentuk a n , maka :

a disebut : bilangan pokok n disebut : eksponen

a n disebut : bilangan berpangkat dan dibaca : “ a pangkat n” atau “ pangkat n dari a “ .

1. Pangkat Sebenarnya. Pangkat sebenarnya adalah bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan Asli.

Rumus-rumus :

a. a m xa n a m + = n

Misal : a 3 xa 2 = ( axaxa ) x ( axa ) = a 5

a 3 xa 2 = a 3 + 2 = 5 a

b. a m : a n = a m − n (a 0)

Misal : a 3 : a 2 = ( axaxa ) : ( axa ) = a

c. ( a m ) n = a mxn

Misal : ( a 3 ) 2 = ( a 3 ) x ( a 3 ) = a 3 + 3 = a 6

2. Pangkat Tak Sebenarnya Pangkat tak sebenarnya adalah bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan Bulat negatif, nol atau pecahan positif maupun negatif.

Rumus-rumus :

a. a 0 = 1 (a 0)

Misal :

a 3 : a 3 = ( axaxa ) : ( axaxa ) = 1

Error! Objects cannot be created from editing field codes.

a axaxaxaxa axaxa

1. 1 p = 1 ( dimana p sembarang )

2. a 1 a ( dimana a sembarang )

= a 7. = tak terdefinisi =

3. 0 p

0 ( dimana p 0 )

4. a 0 = 1 ( dimana a 0 )

8. Bilangan tak tentu selain , adalah : 0 0 , ∞ − ∞ , ,

5. = tak tentu

Beberapa rumus yang perlu diperhatikan : Beberapa rumus yang perlu diperhatikan :

5. ( ) = a 2 . b 2 10. Bentuk baku (notasi Ilmiah) adalah ax 10 n dimana 1 a < 10

dan n ∈ B.

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 2.

1. a n = a x a x a x ………………x a

sebanyak n faktor

2. Pangkat sebenarnya adalah bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan Asli.

a m xa n a m + = n

a m ± a n = a m ± a n pa m ± qa m = ( p ± q ). a m pa m ± qb m = pa m ± qb m

3. Pangkat tak sebenarnya adalah : bilangan berpangkat dengan eksponen bilangan nol, negatif pecahan positif dan negatif.

a 0 = 1 (a 0)

(n 0)

4. Rumus : Notasi Ilmiah atau penulisan Bentuk Baku, a x n 10 dengan dimana 1 a < 10 dan n ∈ B.

5. Operasi hitung untuk 2 bilangan.

g. =

. a h. a ± b = a ± b

nq

d. Tugas Kegiatan Belajar 2

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

Setelah menyimak uraian materi kegiatan dan contoh soal di atas, selesaikanlah soal pada .docu-track.

co m

lembar kerja siswa ( LKS 2 ) secara berkelompok sesuai kelompok yang ada. Diskusikan jawaban Anda dengan jawaban kelompok lain untuk mengetahui jawaban Anda benar atau salah. Presentasikan jawaban Anda sesuai petunjuk guru. Tanyakan kepada guru apabila ada materi pelajaran yang belum jelas. Setiap siswa harus mengumpulkan tugas yang telah dikerjakan.

Contoh soal :

I. Pangkat berdasar perkalian ganda.

a n = axaxax ..... xa sebanyak n factor.

1. 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8

2. (-3) 4 = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81

3. (-2a) 5 = (-2a). (-2a). (-2a). (-2a). (-2a) = - 32 a 5

2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 16 a 4

3 b 3 b 3 b 3 b 3 b 81 b 4

II. Perkalian a m xa n a m + = n

1. 3 2 x 3 3 3 2 + 3 = 5 = 3 = 243

2. ( − 2 a 3 ) x ( 2 − 3 a ) 5 = ( 2 a 3 ) 1 + 5 ( 2 a 3 ) 6 6 3 6 − 18 = − = ( − 2 ) .( a ) = 64 . a

3. ( 5 ) 3 b + 2 x ( 5 ) b − 1 ( 5 ) 3 b + b + 2 − 1 ( 5 ) 4 b + = 1 =

4. ( 7 a ) 5 − 2 x x ( 7 a ) x − 7 ( 7 a ) 5 − 7 − 2 x + x ( 7 a ) − x − − 2 − = − = −

III. Pembagian a m : a n a m − = n

: 3 2 3 6 − 2 3 4 81 3. 5 − 3 6 − 4 2 2 = 2 = = 3 4 = 2 . a = 2 . a = 4 a

2. ( 5 ) 2 x + 5 : ( 5 ) 3 x − 2 2 x + 5 − ( 3 x − 2 )

− x + 7 3 . c 3 − 5 4 − 1 − 2 3 = c ( 5 ) = ( 5 ) 4.

IV. Perpangkatan ( a m ) n

= mxn a

1. ( 2 3 ) 2 3 x 2 = 6 2 = 2 = 64

V. Pangkat Nol a 0 = 1 (a 0)

2. ( − 15 a ) 0 1 ( 2 x 3 = 0 4. + 5 x + 6 ) = 1

VI. Pangkat Negatif

(n 0)

Click to buy NOW! mw w w co Click to buy NOW! co m .docu-track.

3 4 1 1 4 5 x 3 2 4 2 16 .docu-track.

VII. Pangkat Pecahan n

1. 3 4 = 3 2 = 3 2 = 9 3. 4 81 . x 6 = ( 3 4 . 1 x 6 ) 4 = 3 4 . x 4 = 3 . x 2 = 3 . x x

2. 3 8 = ( 2 3 ) = 2 4. 2 4 . a 3 x 2 3 . a 2 = 2 4 . a 2 = 2 4 . a 2

VIII. Pangkat Pecahan Negatif

IX. Bentuk Baku ( Notasi Ilmiah ) Tuliskan dalam bentuk baku hitungan di bawah ini !

3. 3,14x40x0,0008 = 125,6x8x 10 − 4 = 1004,8x 10 − 4 = 1,0048x 10 − 1

4. 2,14 x 750 : 3 = 535 = 5,35 x 10 2

X. Bentuk Persamaan Tentukan nilai x untuk persamaan di bawah ini !

1. 2 x − 4 = 1 karena 2 0 = 1 , maka :

2 x − 4 = 2 0 → x–4=0 → x =4

2. 16 ( − 2 x − 4 )

32 ( 5 + 2 ) ( 2 4 ) ( − 2 x − 4 ) = ( 2 − 5 ) ( x + 2 ) karena bil. pokok telah sama, maka :

4.(-2x – 4) = -5.(x + 2) - 8x – 16 = - 5x – 10 - 8x + 5x = - 10 + 16 - 3x = 6 x=-2

3. 5 1 ( 27 ) x + 4 −

− 4 x − 16 − 4 x − 16

w w Click to buy NOW! co m .docu-track.

4. ( x − 3 ) 5 = 32 →

x–3=2 x=5

x 2 − 5 x + 9 x 5. 2 2 = 8 2 → − 5 x + 9 = 2 3

( x − 3 )( x − 2 ) = 0 x 1 = 3 dan x 2 = 2

XI. Penjumlahan dan Pengurangan

1. 2 a 2 + 3 a 3 − 4 a 2 = ..

2. 3 a 3 + 2 b 3 + 4 a 3 b 3 − 7 ( ab ) 3

e. Test Formatif 2

Sederhanakan kemudian tulis dalam pangkat sebenarnya !

maka x = …

b. 3 4 a = ...

b. 27 2 x + 6 = 9 4 − 3 maka x = …

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

c. 3 a a : a a = ...

c. ( ) 2 x + 3 = 3 9 x

maka x = …

d. 8 2 x = 3 ( ) x + x maka x = …

8. Tuliskan dalam bentuk baku !

a. 180 x 2.000 : 30.000 = …

2 , 5 x 1 . 000 b. = ... 5 x 10 2

c. ( 20 x 0 , 6 ) : ( 0 , 4 x 10 ) 2 = ...

f. Kunci jawaban Test Formatif 2

a. Error!

cannot be created from editing field codes.

g. Lembar Kerja Siswa 2

3. Carilah harga x dari persamaan :

4. Tuliskan dalam bentuk baku !

a. 1

( ) x − 1 = 64 a. ( 4 , 5 x 80 x 10 − 4 ) : ( 400 x 10 − 8 ) = ...

1 b. 1

b. 1 . 500 x 4 x 10 6 x 2 x 10 = ...

.docu-track. co m

5. Jika a = 3 dan b = 4, hitunglah !

6. Carilah harga x ! (ingat a 0 = 1)

3. Kegiatan Belajar 3

a. Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan :

1. Memahami konsep bilangan irasional.

2. Memahami operasi bilangan bentuk akar.

3. Menyederhanakan bilangan bentuk akar.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 3

Bilangan Irasional atau bilangan tak terukur ada 3 macam :

a. Akar bilangan rasional yang tidak rasional (bentuk akar). Misal : √ 2, √ 3, √ 5, dsb. √

b. Logaritma bilangan rasional yang tidak rasional. Misal : log 2, log 3, log 5, dsb. log 2 = 0,3010… log 3

c. Nilai bilangan : π , e, M, dsb. Bilangan π = 3,141592654… Bilangan e = 2,718281828… Bilangan M = 2,30258509…

1. Menentukan perubahan bentuk akar menjadi bentuk pangkat pecahan Dalam pangkat tak sebenarnya.

Dasar :

Contoh :

2 2 2 2 x 1 1 1 3 x 1. 1 4 = 4 = ( 2 ) = 2 2 = 2 2. 3 27 = 27 3 = ( 3 3 ) 3 = 3 3 = 3

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

1 − 1 − 1 4 x − 1 1 6 − 3 .docu-track.

Dalam pangkat sebenarnya. Dasar :

artinya (a p ) m = a n

Contoh :

2 4 x 1. 1 16 = ( 2 4 ) = 2 2 = 2 2 artinya:

2. 3 27 = ( 3 3 3 3 ) x = 3 3 = 3 1 = 3 artinya : ( 3 1 ) 3 = 3 3 = 27

3. 4 32 5 = ( 2 5 ) 4 = 2 4 = 2 4 2 artinya : ( 2 4 2 ) 4 = 2 5 = 32

4. 6 , 25 = ( 2 , 5 ) 2 = 2 , 5 artinya : ( 2 , 5 ) 2 = 6 , 25

2. Operasi bentuk akar.

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Berlaku untuk bilangan dengan basis sama.

a b ± c b = ( a ± c ) b atau a m b n

b. Perkalian bilangan bentuk akar

1. Perkalian bilangan dengan basis index pangkat akar sama. Dasar Rumus : a . n b x c . n d = (axc). n (bxd)

Contoh :

1. 3 5 x 2 45 =

→ ( 3 x 2 ). ( 5 x 45 )

2. 15 3 4 x 3 3 64 =

→ ( 15 x 3 ). 3 ( 4 x 64 )

→ 45. 3 2 2 . 2 6 45 . = 3 2 8 45 x 2 2 x 3 2 2 = 180 3 4

2. Perkalian bilangan dengan basis index pangkat akar berbeda. Dasar : Index pangkat akar disamakan dahulu baru dikalikan.

Rumus : n a p x m b q = nm a pm x mn b qn

1. 2 3 4 x 12 →

2 . 3 x 2 4 2 x 2 x 3 12 3

2 . 6 ( 2 2 ) 5 x 3 3 = 2 → 6 . 2 10 x 3 = 2 . 2 . 6 2 4 x 3 3

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co → m

4 . 6 16 x 27 = 4 . 6 432

.docu-track.

2. 12 3 9 x 3 4 48 → ( 12 x 3 ). 3 x 4 9 4 . 48 3 = 36 . 12 ( 3 2 ) 4 .( 2 4 3 ) 3

c. Pembagian

1. Pembagian bilangan dengan basis index pangkat akar sama.

n Dasar Rumus : a

2. Pembagian bilangan dengan basis index pangkat akar beda.

a pm

Dasar Rumus :

1. → 5 x 3 a ( 13 x 3 − 2 x 5 ) = 15 a 39 − 10 = 15 = 29 a = 15 a 15 a 14 = a 15 a 14

2. = → 3 . 3 x 4 = 3 . 12 3 ( 20 − 6 2 ) x 3 = 3 . 12 3 14 = 3 . 12 3 12 . 3 2 = 9 12 3 2

d. Perpangkatan Dasar : Pangkat bilangan bentuk akar adalah bilangan dengan basisnya saja yang

dipangkatkan sedang index akarnya tetap.

nxm a ( pxrxm ) = =

a pxr

b qxr

qxrxn

Contoh :

1. ( 3 a 2 ) 4 = 3 a 8 = 3 a 6 . a 2 = a 2 . 3 a 2

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

e. Akar

.docu-track.

Dasar : akar dari bilangan bentuk akar disebut bentuk akar berlapis.

Rumus : mxnxp

f. Perkalian bentuk akar dalam perkalian 2 suku

1. (a + b).(c + d) = ac + bc + ad + bd

6) = 2 x 5 + 3 x 5 + 2 x 6 + 3 x 6

(2 √ 3+4 √ 2).( √ 6 – 2) = 2 3 x 6 + 4 2 x 6 − 4 3 − 8 2 = 2 18 + 4 12 − 4 3 − 8 2 = 6 2 + 8 3 − 4 3 − 8 2 = 4 3 − 2 2

2. (a + b).(a – b) = a 2 –b 2

3. (a + b).(a + c) = a 2 + a(b + c) + bc

( 7 + 18 ).( 7 + 8 ) = ( 7 ) 2 + 7 ( 18 + 8 ) + 18 . 8 = 7 + 7 ( 3 2 + 2 2 ) + 18 x 8 = 7 + 7 ( 5 2 ) + 144 = 7 + 12 + 5 14 = 19 + 5 14

( 2 5 + 5 2 )( 45 + 5 2 ) = 2 5 x 45 + ( 2 5 + 45 ) 5 2 + ( 5 2 ) 2 = 2 225 + ( 2 5 + 3 5 ) 5 2 + 25 . 2 = 2 . 15 + 5 5 . 5 2 + 25 . 2

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

4. (a ± b) 2 =a 2 ± 2ab +b 2

g. Merasionalkan penyebut

1. Penyebut berbentuk tunggal b

Dasar Rumus :

2. Penyebut berbentuk tunggal n b m

Dasar Rumus :

3. Penyebut berbentuk penjumlahan atau pengurangan Bentuk ( a + b ) sekawannya ( a − b ) atau (-a + b )

Bentuk ( a − b ) sekawannya ( a + b ) atau (-a − b ) Bentuk ( a + b ) sekawannya ( a − b ) atau (- a + b ) Bentuk ( a − b ) sekawannya ( a + b ) atau (- a − b )

Pada umumnya suku kedua yang dilawan (tandanya berlawanan). Jadi untuk penyebut a ± b adalah :

c c a − b c .( a − b )

a + b a + b a − b a 2 − b c c a + b c .( a + b )

Contoh :

x − 2 3 .( 5 − 2 ) 15 − 3 2 15 3 1. 2 = = = = −

Click to buy NOW! mw co

w w Click to buy NOW! co m .docu-track.

Jadi untuk penyebut a ± b adalah :

h. Bentuk akar berlapis yang tak berhingga

1. Bentuk Penjumlahan Bentuk Umum : a + a + a + ...

Contoh :

Tentukan nilai dari :

6 + 6 + 6 + ... Penyelesaian : dimisalkan 6 + 6 + 6 + ... =x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan 6+ 6 + 6 + 6 + ... =x 2 6+x=x 2 maka didapatkan : x 2 –x–6=0

memfaktorkan : (x – 3) (x + 2) = 0 x – 3 = 0 atau x + 2 = 0 x = 3 atau x = -2 (tidak memenuhi)

2 3 + 2 3 + 2 3 + ... Penyelesaian : dimisalkan 2 3 + 2 3 + 2 3 + ... =x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan

4 . 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + ... =x 2

12 + x = x 2 maka didapatkan : x 2 – x – 12 = 0 memfaktorkan : (x – 4) (x + 3) = 0

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

x – 4 = 0 atau x + 3 = 0

.docu-track.

x = 4 atau x = -3 (tidak memenuhi)

2. Bentuk Perkalian Bentuk Umum : a a a a ...

Contoh :

Tentukan nilai dari :

7 7 7 7 ... Penyelesaian : dimisalkan 7 7 7 7 ... =x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan

7 x = x 2 maka x 2 − 7 x = 0 memfaktorkan : x.(x – 7) = 0 didapatkan nilai : x = 0 (tm) atau x = 7

Penyelesaian :

Bentuk 3 6 6 6 ... diubah ke : 3 2 . 3 2 . 3 2 . 3 dimisalkan 3 2 . 3 2 . 3 2 . 3 =x

kemudian masing-masing ruas dikuadratkan 9 . 2 . 3 2 . 3 2 . 3 = x 2 18.x = x 2 maka x 2 – 18x = 0

memfaktorkan : x.(x – 18) = 0 didapatkan nilai : x = 0 (tm) atau x = 18

i. Bentuk akar diubah ke bentuk 2 suku dalam akar

Rumus : ( a + b ) + 2 ab = a + b ( a + b ) − 2 ab = a − b

Dasar : ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2

Contoh :

i.

ii.

11 − 120 = 11 − 2 = ( 5 + 6 ) − 2 ( 5 x 6 ) = 5 − 6 11 − 120 = 11 − 2 = ( 5 + 6 ) − 2 ( 5 x 6 ) = 5 − 6

j. Merasionalkan penyebut yang terdiri dari dua suku dengan index akar tiga ( 3 a ± 3 b )

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3.

1. Bilangan Irasional ada 3 macam :

1. Akar bilangan Rasional yang tidak rasional (Irasional).

Misal : 2 , 3 , 5 , 6 ,... dst

2. Logaritma bilangan rasional yang tidak rasional.

Misal : log 2, log3, log 5, …dst

3. Bilangan-bilangan tertentu.

Misal : π , e, M, … dst

2. Menentukan dari bentuk akar ke bentuk pangkat tak sebenarnya.

a. m

b. = a m

3. Operasional bentuk akar.

a. Penjumlahan dan pengurangan

Click to buy NOW! mw Click to buy NOW! co

w w co .docu-track. m .docu-track.

a b + c b = ( a + c ) b atau a m b n + c m b n = ( a + c ) m b n

a b − c b = ( a − c ) b atau a m b n − c m b n = ( a − c ) m b n

b. Perkalian bentuk akar

indek akar sama

indek akar tidak sama: m a p . n b q = n . m a p . b q

c. Pembagian bentuk akar m a a

indek akar sama

m . n a indek akar tidak sama: pn =

b qm

4. Perpangkatan bentuk akar

a p  = m a p . n = a  m 

5. Penarikan akar bentuk akar

mnp q

a q = a mnp

6. Perkalian 2 suku dalam bentuk akar

7. Merasionalkan penyebut

a. Penyebut satu suku (satu faktor)

a Bila indek akar lebih dari 2 : =

b. Merasionalkan penyebut yang terdiri dari dua suku

− b c .( a b )

c c a b c .( a + b ) c c a b c .( a + b )

8. Bentuk akar berlapis ( akar ganda )

a. Penjumlahan akar ganda Pada umumnya proses penyelesaian adalah dengan memisalkan kemudian dengan mengkuadratkan masing-masing ruas.

a + a + a + ..... = x

a b + a b + a b + ... = x

b. Perkalian akar ganda Pada umumnya proses penyelesaian adalah dengan memisalkan kemudian dengan mengkuadratkan masing-masing ruas.

a a a a ... = x

a b . a b . a b . a ... = x

9. Menarik akar menjadi dua suku dalam bentuk akar

( a + b ) + 2 ( axb ) = a + b ( a + b ) − 2 ( axb ) = a − b

10. Merasionalkan penyebut yang terdiri dari 2 suku dengan indek akar 3

d. Test Formatif 3

1. Selesaikanlah !

3 a. 1 0 , 125 + 5 + 0 , 25 = ... b. 3 2 + 2 27 − 4 3 = ... 32

2. Selesaikanlah !

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

b. −

e. Kunci jawaban Test Formatif 3

1. a. 1 1 2 b. 8 3

2. a. 9 3 9 b. 360 12 34992

f. Lembar Kerja Siswa 3

1. Selesaikanlah : 4 2 + 3 8 − 6 32 − 5 72 = ...

2. Selesaikanlah : 6 3 x 5 12 x 3 15 : 15 3 = ...

3. Selesaikanlah : 2 4 x 3 3 2 2 x 6 2 5 = ...

4. Selesaikanlah : ( 2 3 + 3 5 − 4 6 ).( 5 3 − 3 5 ) = ...

w Click to buy NOW! co m w Click to buy NOW! .docu-track.

.docu-track. co m

10. Sederhankanlah ! a.

4. Kegiatan Belajar 4

a. Tujuan Kegiatan Belajar 4

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar siswa diharapkan :

1. Siswa dapat memahami berbagai macam konsep logaritma.

2. Siswa dapat menyelesaikan permasalahan soal logaritma.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 4

1. Logaritma Briggs ( Biasa) Logaritma dari a dengan bilangan pokok g ialah suatu bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g yang harganya sama dengan a.

g log a = p berarti g p = a

Jadi jika g p = a berarti g log a = p , sehingga didapatkan dasar rumus :

g 1 = g berarti g log g = 1

g 0 = 1 berarti g log 1 = 0

Sifat-sifat logaritma Briggs :

2. g log( a . b ) g = g log a + log b 6. g log a = − g log a

3. g log( a ) = g log a − g b g log b 7. g log a = a

4. Error! Objects cannot be created from editing field codes.

c. 2 log 2 = 2 log 1 1 = 2 log( 1 2 ) = − 1 . 2 log 1 2 = − 1 . 1 = − 1

d. 3 log 3 = 3 3 log 3 2 = 1 . 2 3 log 3 = 1 2 . − 1 . log 3 = 1 2 . − 1 . 1 = − 1 2

e. Tentukan nilai x dari x log 125 = 3

Penyelesaian : x log 125 = 3 berarti x 3 = 125 Penyelesaian : x log 125 = 3 berarti x 3 = 125

.docu-track.

co m

f. Tentukan nilai x ( x bilangan nyata positif ) dari : log x - log 2 = log 6 Penyelesaian :

2. Logaritma Napier Logaritma Napier adalah logaritma dengan bilangan pokok e dengan e = 2,718.

Secara umum e log a dinyatakan sebagai : ln a. Sehingga didapat kesamaan :

e log a = ln a dengan a > 0.

Sifat-sifat logaritma Napier : Sifat-sifat logaritma Napier sama dengan sifat-sifat logaritma Briggs (biasa). Catatan :

ln 1 = 0 ln e = 1 ln a = 2,303. log a log a = 0,4342. ln a

Contoh 2 :

a. Tentukan nilai dari ln 15 ! Penyelesaian : ln 15 = 2,303. log 15

b. Tentukan nilai dari ln 0,1 ! Penyelesaian : ln 0,1 = 2,303. log 0,1

c. Tentukan nilai dari ln 35 = 2,303. log ( 35 ) 2 = 2,303. 1 2 . log 35

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 4.

1. Logaritma Briggs

g log a = p berarti g p = a

Sifat-sifat logaritma Briggs :

2. g log( a . b ) = g log a + g log b 6. g log a = − g log a

3. g log( a ) g log a g = g − log b 7. g log b a = a

4. Error! Objects cannot be created from editing field codes.

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

2. Logaritma Napier

e log a = ln a dengan a > 0. ln 1 = 0

ln e = 1 ln a = 2,303. log a log a = 0,4342. ln a

d. Tugas Kegiatan Belajar 4

1. Hitunglah nilai dari :

2. Jadikan bentuk jumlah dan atau selisih logaritma dari soal-soal berikut :

a. log( a . b . c . d ) = ...

c. 2 2 log( 1 a . b 3 ) = ... f. g log

3. Tentukan hasil dari :

4. Tentukan nilai x untuk :

5. Tentukan nilai x (x bilangan nyata positif)

a. log 15 – log x = log 3

d. log x = log 5 = log 20

b. 3 log( x + 1 ) − 3 log 4 = 3 log 5 e. log(x—3) + log 3 = log(2x-1)

c. log(x+1) + log(x-1) = log 1

6. a. Ubahlah menjadi logaritma biasa !

i. ln 79 = … ii. ln 32,1 = …

b. Hitumglah :

ln 22,24 - ln 55,3 + ln 5,642 = …

c. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma selesaikan : → ln 3 68 , 3 x 15 , 62 EV A LUA SI KOM PETENSI

Pilihlah jawaban yang paling benar !

1. Hitunglah : ( 2 4 ) 3 x ( 2 3 ) 2 : ( 2 5 ) 3 = ...

w Click to buy NOW! m w w Click to buy NOW! .docu-track. co

3 .docu-track. co m

3. Hitunglah : a a x 3 a a a = …

a. a 3 a 4 3 c. a b. 2 a a d. a a e. a

4. Hitunglah : jika x = 2 + 3 dan y = 3 − 2 maka x 2 + y 2 − 2 xy = ...

a. 5 − 2 3 − 2 2 + 2 6 c. 6 − 2 3 − 2 2 + 2 6 e. 12 6

b. 6 − 2 3 + 2 2 + 2 6 d. 6 − 2 6

5. Dalam bentuk baku hasil dari : ( 4 , 5 x 80 x 10 − 4 x 10 − 6 ) : ( 400 x 10 − 8 ) = …

a. 9 x 10 − 33 b. 9 x 10 − 17 c. 9 x 10 − 3 d. 9 x 10 − 2 e. 9 x 10 − 1

6. Himpunan penyelesaian dari : ( x 2 ) x = x 4 x − x adalah …

7. Harga x yang memnuhi persamaan : 3 2 x + 1 = 9 x − 2 adalah …

8. Jika 8 x + 2 = 3 2 3 x + 7 , maka nilai x = …

9. Jika 9 3 x + 2 = 1

81 2 x − 5 , maka nilai x = …

a. 2 1 b. 1 6 c. 1 1 d. 1 6 1 7 e. 1 7 1 12 4

10. Harga x untuk persamaan 5 x − 5 x + 6 = 1 adalah …

11. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 3 5 x − 2 = + 27 2 x 3 adalah …

12. Himpunan penyelesaian dari 2 4 x + 2 =

13. Nilai x yang memenuhi persamaan

14. Nilai x dari 3

81 x − 2 adalah …

a. − 2 2 b. 2 2 4 4 5 3 5 c. 5 d. − 5 e. 5

15. Jika 3 5 x − 1 − 27 x + 3 = 0 maka harga x =…

16. Nilai dari 5 log 10 + 5 log 50 – 5 log 4 adalah …

17. Jika log 3 = 0,477 dan log 5 = 0,699 maka log 45 = …

18. Nilai dari 2 log 4 + 2 log 12 – 2 log 6 = …

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

19. Jika log 3 = 0,477 dan log 5 = 0,699 maka nilai log 45 adalah …

20. Nilai dari 2 log 8 2 log 0 , 25 3 1 − 2 + log 27 + log 1 =…

21. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 log x + 2 log (x+2) = 3 adalah

a. {-4,2}

b. {-4}

22. Hitunglah 6 log 18 + 6 log 20 - 6 log 10 = …

23. Jika 3 log 2 a, maka 8 log 9 = ……

24. Jika 5 log 3 = p, maka 5 log 75 = ……

25. Nilai dari 5 log 10 + 5 log 50 − 5 log 4 …

DA FTA R PUSTA KA :

Daiman.E, Drs. Belajar Matematika I, SMU, 1994, Bandung, Ganeca Exact. Kasori Mujahid.Drs, dkk, Matematika 1 SMU, 1995, Surakarta, Nasyat Press. Soedadiatmodjo. Drs, dkk, Matematika 1, 1983, Proyek Pengadaan Buku Pendidikan Menengah

Kejuruan, Jakarta, Setia Beriman Offset. Team Penyusun Matematika, Matematika STM 1A, 1997, Surakarta, CV Setiaji. Team MGMP Matematika, Matematika 1 A SMU, Klaten, CV Prima Grafika. Team MGMD Matematika SMK eks. Karesidenan Semarang, Panduan Belajar Matematika, SMK

Kelompok Teknologi 1, 2004, Semarang. Team Penyusun Lembaga Pendidikan Gama Exacta, Modul Kegiatan Belajar-Mengajar Matematika, SMA, 1991, Yogyakarta. Team Penyusun Lembaga Bimbingan Belajar, Neutron Yogyakarta, Matematika IPS, SMU, Yogyakarta. Team Penyusun Lembaga Pendidikan Gama 88, Modul Belajar Matematika 3 SMTA, 1993, Surakarta.

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

M engaplikasikan Konsep Fungsi

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

BA B I PENDA HULUA N

A. Deskripsi

Modul Aproksimasi Kesalahan ini terdiri atas 2 Kegiatan Belajar, yaitu:

1. Kesalahan Pengukuran

2. Operasi Hasil Pengukuran

B. Prasyarat

Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul ini adalah siswa telah mempelajari dan memahmi berbagai konsep operasi bilangan real.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari kegiatan belajar pada modul ini diharapkan siswa dapat :

1. Menjelaskan konsep membilang dan mengukur

2. Menjelaskan konsep salah mutlak dan salah relatif

3. Menghitung salah mutlak dan salah relatif

4. Menjelaskan konsep persentase kesalahan dan toleransi

5. Menghitung persentase kesalahan

6. Menghitung toleransi

7. Menghitung jumlah dan selisih hasil pengukuran

8. Menghitung hasil kali pengukuran

9. Menerapkan hasil operasi pengukuran pada bidang kejuruan

D. Cek Kemampuan

1. Dapatkah Anda menjelaskan konsep kesalahan dalam pengukuran?

2. Dapatkah Anda menghitung salah mutlat dari suatu hasil pengukuran?

3. Dapatkah Anda menghitung nilai salah relatif dari suatu hasil pengukuran?

4. Dapatkah Anda menentukan persentase kesalahan dari suatu hasil pengukuran?

5. Dapatkah anda menghitung nilai toleransi dari suatu pengukuran?

6. Dapatkah Anda mengitung jumlah maksimum/ minimum dan selisih maksimum/ minimum dari dua hasil pengukuran yang berbeda?

7. Dapatkah Anda menghitung perkalian dua atau lebih hasil pengukuran?

8. Dapatkah Anda mengaplikasikan aproksimasi kesalahan dalam bidang keahlian atau kehidupan sehari-hari?

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

Apabila Anda menjawab “ TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, pelajarilah materi tersebut .docu-track.

co m

pada modul ini. Apabila Anda menjawab “ YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini

BA B II. PEM BELA JA RA N

A . Rancangan Belajar Siswa

1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Fungsi, dengan menggunakan format sebagai berikut :

Pencapaian

Alasan perubahan bila

Paraf

Kegiatan No

Mengetahui, Klaten, ..................... 2005 Guru Pembimbing

2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.

a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah anda pelajari. Selain ringkasan anda juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi- informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.

b. Administrasikan setiap tahapan kegiatan belajar/ lembar kerja yang anda selesaikan

c. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus dibetulkan/ dilengkapi, maka anda harus melaksanakan saran guru pembimbing anda.

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

.docu-track. co m

B. Kegiatan Belajar

1. Kegiatan Belajar 1

a. Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan :

1. Dapat membedakan antara membilang dan mengukur.

2. Dapat membulatkan bilangan kesatuan terdekat.

3. Dapat menentukan banyaknya angka signifikan.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1

1. Pengertian Membilang dan Mengukur Dalam perkataan sehari-hari sering kata membilang dan mengukur disamakan. Padahal kedua kata tersebut mempunyai pengertian yang berbeda. Hasil membilang merupakan sesuatu yang eksak, sedangkan mengukur merupakan suatu pendekatan.

Contoh 1. a :

Contoh hasil membilang antara lain :

1. Banyaknya siswa dalam satu kelas.

2. Banyaknya resistor yang rusak dalam suatu rangkaian elektronik.

Contoh 1. b :

Contoh hasil mengukur antara lain :

1. Kecepatan kendaraan per jam.

2. Luas halaman sekolah.

2. Aturan Pembulatan

a. Aturan pembulatan suatu bilangan ke satuan terdekat, yaitu :

Jika angka pada digit terakhir lebih besar 5 maka angka di depannya ditambah satu, jika kurang dari 5 angka di depannya tetap. Jika angka pada digit terakhir sama dengan 5 maka angka di depannya : o Jika berupa bilangan genap, maka angka didepan tersebut tetap. o Jika berupa bilangan ganjil, maka angka di depan tersebut ditambah satu.

Contoh-contoh pembulatan :

Pembulatan ke satuan pengukuran terdekat :

1. 74,5 cm = 75 cm

2. 45,49 lt = 45 lt Pembulatan ke banyaknya tempat desimal :

1. 7,24369 = 7,2437 ( 4 tempat desimal )

( 3 tempat desimal )

( 2 tempat desimal )

b. Aturan penentuan angka signifikan.

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

Semua angka selain nol adalah signifikan.

.docu-track.

Semua angka nol diantara angka selain nol adalah signifikan. Semua angka nol pada bilangan bulat bukan signifikan, kecuali diberi tanda. Angka nol pada bagian depan bukan signifikan.

Contoh-contoh :

( 4 angka signikan )

( 5 angka signikan )

( 2 angka signikan )

( 3 angka signikan )

c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1.

Hasil dari membilang berupa bilangan yang eksak ( pasti ). Hasil dari pengukuran berupa bilangan pembulatan atau pendekatan. Membulatkan suatu bilangan ada tiga cara, yaitu :

1. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat

2. Pembulatan ke banyaknya angka desimal

3. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan

d. Tugas Kegiatan Belajar 1

Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok Anda, kemudian presentasikan hasilnya sesuai yang ditugaskan oleh guru.

e. Test Formatif 1

1. Bulatkan sampai satu tempat desimal !

2. Bulatkan bilangan-bilangan ini sampai banyaknya angka signifikan yang dinyatakan dalam kurung !

3. Tuliskan banyaknya angka signifikan pada bilangan berikut.

f. Kunci Jawaban Test Formatif 1

3. a. 3 angka signifikan

c. 2 angka signifikan

b. 4 angka signifikan

d. 4 angka signifikan

g. Lembar Kerja Siswa 1

1. Tentukan banyaknya angka signifikan !

2. Nyatakan 3 1 7 sebagai pecahan desimal dan bulatkan sampai …

Click to buy NOW! mw w w Click to buy NOW! .docu-track. co

co m

a. 2 tempat desimal

c. 3 tempat desimal

.docu-track.

b. 2 angka signifikan

d. 3 angka signifikan

3. Bulatkan bilangan-bilangan berikut sampai 2 tempat desimal !

a. 7,54376

b. 56,12594 c. 0,57461

d. 17,39563

2. Kegiatan Belajar 2

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan :

1. Dapat menentukan salah mutlak dan salah relatif dari hasil pengukuran.

2. Dapat menentukan persentase dan toleransi kesalahan.

3. Dapat menyelesaikan soal-soal Kegiatan Belajar 2.

b. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 2

1. Salah mutlak dan salah relatif Salah mutlah adalah kesalahan maksimum yang mungkin terjadi.

Salah mutlak

= ½ . ( satuan ukuran terkecil ).

Salah relatif

salah mutlak hasil pengukuran

2. Persentase kesalahan dan Toleransi

Persentase kesalahan = salah relatif x 100%

salah mutlak

x 100%

hasil pengukuran Toleransi = batas atas pengukuran – batas bawah pengukuran

dimana : Batas atas pengukuran = hasil pengukuran + salah mutlak Batas bawah pengukuran

= hasil pengukuran – salah mutlak

Contoh :

Hasil pengukuran berat suatu barang 15,5 kg. Tentukan salah mutlak, batas atas pengukuran, batas bawah pengukuran dan salah relatif ! o Hasil pengukuran

= 15, 5 kg

o Satuan pengukuran terkecil

= 0,1 kg

o Salah mutlak

= ½ . 0,1 = 0,05 kg

o Batas atas pengukuran