Metode Eliminasi Gauss dan Aturan Cramer
MINGGU
01
PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SIMULTAN
DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS DAN ATURAN CRAMER
Pada bagian ini akan dijelaskan cara menyelesaikan persamaan aljabar linear simultan
misalnya mencari arus loop dan tegangan simpul dengan menggunakan metode eliminasi
Gauss dan aturan Cramer. Pada metode pertama ada dua tahap yang dilakukan yaitu
eliminasi maju dan subtitusi balik, sedangkan pada metode kedua melibatkan perhitungan
determinan matriks. Pada bab ini juga diberikan contoh membuat subprogram dengan
bantuan algoritma.
ELIMINASI GAUSS
Persamaan arus loop dan tegangan simpul yang diuraikan pada bagian terdahulu pada
dasarnya adalah persamaan aljabar linear simultan. Persoalan pada persamaan [Z ] [I ] =
[V ] dan juga pada persamaan [Y simpul ] [ V simpul ] = [ I], adalah menentukan matriks [I ]
jika [ Z ] dan [ V] diketahui demikian juga menentukan [ V simpul ] jika [ Y simpul ] dan [ I ]
diketahui. Secara umum persamaan aljabar linear simultan dapat dituliskan sebagai
berikut :
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = c1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = c 2
...............................................
..............................................
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = c n
(M.01)
Untuk mencari solusi persamaan (M.01) dapat digunakan beberapa metode antara lain :
•
•
•
Secara grafis (cocok untuk persamaan yang jumlahnya sedikit )
Eliminasi Gauss
Aturan ( rule) Cramer
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
Pada metode eliminasi Gauss dilakukan dua tahap untuk mendapatkan solusi seperti yang
diperlihatkan pada persamaan M.02. Tahap pertama dari metode ini disebut sebagai
eliminasi maju sedangkan tahap kedua disebut proses subtitusi balik. Misal untuk kasus
m = n =3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 | c1
a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 | c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 | c3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 | ..c1
Eliminasi maju
0........a 22 x 2 + a 23 x3 | c2 '
'
'
0..........0........a33 ' x3 | c3 '
'
x3 = c3' / a33
Subtitusi balik
'
'
x 2 = (c 2' − a 23
x3 ) / a 22
x1 = (c1 − a12' x 2 − a13' x3 ) / a11
(M.02)
Contoh 1
Tentukan nilai x pada persamaan [ A ] [X ] = [c] berikut ini dengan eliminasi Gauss
1
x1
2 3 1 2
1 1 3 -1
x2
1
-1
2 -1
1
2
x3
x4
1
Jawab
A|c =
1
2 -1 1 | 0
2
3
1 1
-1 1
1
2 |7
3 - 1 | 14
2 1 |5
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
0
=
7
14
5
Langkah eliminasi maju :
•
Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R 2 -2R 1 ), baris 3 dengan baris 1 (R 3 –
R 1 ), baris 4 tambah baris 1 (R 4 + R 1 ) sehingga didapat matriks berikut :
•
1
0
2 -1
-1 3
1 |0
0 |7
0
-1
4 - 2 | 14
0
3
1
2 |5
Kurangkan baris 3 dengan baris 2 ( R 3 -R 2 ), baris 4 tambah 3 kali baris 2 ( R 4 + 3
R 2 ), diperoleh
1
•
2 -1
1 |0
0
-1
3
0 |7
0
0
1
-2 |7
0
0 10
2
| 26
Kurangkan baris 4 dengan 10 kali baris 3 ( R 4 – 10 R 3 ), diperoleh
1
0
2 -1
-1 3
1 |0
0 |7
0
0
1
-2 |7
0
0
0
22 | -44
Persamaan AX = c sekarang menjadi :
x1 + 2 x 2 - x 3 + x 4
- x2 + 3 x3
=0
=7
x3 - 2 x4 = 7
22 x 4
= -44
(M.03)
Untuk menentukan nilai x dilakukan langkah subtitusi balik, yaitu mula-mula didapat
nilai x 4 pada persamaan (5.3), x 4 = -44/22 =-2, kemudian nilai x 3 =3, x 2 =2, dan x 1 =1.
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
Jebakan pada eliminasi Gauss
Terdapat beberapa jebakan yang harus diselidiki sebelum mengimplementasikan metode
ini pada program komputer ( guna menghindari memperoleh solusi yang tidak tepat ).
Jebakan yang mungkin pada metode ini adalah : terdapat pembagian dengan nol, error
karena pembulatan. Definisi error adalah :
e t = (Nilai sesungguhnya – Nilai pendekatan )/(Nilai sesungguhnya) x 100 %
atau
e a = (Nilai pendekatan sekarang – Nilai pendekatan sebelumnya )/(Nilaipendekatan
sekarang ) x 100 %
Jebakan yang lain pada metode ini adalah sistem kondisi buruk ( ill condition ). Untuk
memperbaiki metode Eliminasi Gauss ( pada komputer) dilakukan beberapa cara, antara
lain : menggunakan angka penting yang lebih banyak, pivoting dan penskalaan ( scaling).
ATURAN CRAMER
Persamaan linear berbentuk [A ] [ X ] = [c] juga dapat diselesaikan dengan aturan
Cramer. Pada aturan ini diharuskan terlebih dahulu mencari determinan matriks. Misal
untuk kasus m = n = 3
A=
•
•
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22 a 23
a 31
a 32 a 33
c1
c=
c2
c3
Tentukan determinan matriks A, misal D = determinan matriks A
Gantikan elemen matriks A pada kolom 1 dengan matriks c dan tentukan nilai
determinannya
c1 a 12 a 13
A1=
•
c 2 a 22 a 23
, D 1 = determinan ( A 1 )
c 3 a 32 a 33
Gantikan elemen matriks A pada kolom 2 dengan matriks c dan tentukan nilai
determinannya
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
a 11 c1 a 13
A2 =
•
a 21 c 2 a 23
, D 2 = determinan (A 2 )
a 31 c 3 a 33
Gantikan elemen matriks A pada kolom 3 dengan matriks c dan tentukan nilai
determinannya
a 11 a 12 c1
A3 =
a 21 a 22 c 2
, D 3 = determinan ( A 3 )
a 31 a 32 c 3
•
Tentukan nilai x
x1 =
D1
D2
D3
, dan x3 =
, x2 =
D
D
D
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
(5.4)
Determinan
Jika A adalah suatu matriks berukuran m x n, maka determinan A
didefinisikan sebagai berikut :
∑ (−1)
n
Det A =
1+ j
a1 j M 1 j , dimana M 1j disebut sebagai minor dari elemen
j =1
a 1j .
Contoh untuk n = 3
A=
Det A = (-1)1+1 a 11
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 22
a 23
a 32
a 33
+ (-1)1+2 a 12
, maka determinan A adalah
a 12
a 23
a 31
a 33
+ (-1)1+3 a 13
a 21
a 22
a 31
a 32
Jika
A=
1
-4
2
1
3
1
2
0
3
Maka determinan A adalah
Det A =
1
3 1
0 3
6) =1
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
+4
1
2
1
3
+2
1 3
2 0
= 1(9-0) + 4( 3-2 ) + 2 (0-
Persamaan untuk menetukan determinan juga dapat dituliskan sebagai
berikut :
∑a
n
Det A =
j =1
1+j
1j
C1 j , dengan C 1j = (-1 )
M 1j
Dimana C 1j = cofactor dari elemen a ij .
Contoh 2
Carilah nilai x 1 , x 2 , x 3 dan x 4 pada contoh 1
Jawab
1
2 -1
1
x1
2
3
1
2
x2
1
-1
1
1
3 -1
2 1
x3
⎡ 1 2 -1 1
⎢ 2 3 1 2
�=⎢
⎢ 1 1 3 -1
⎣ -1 1 2 1
∑a
j =1
1j
=
x4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
n
det A =
0
⎡
⎢
�=⎢
⎢
⎣
x1
7
14
5
⎤
⎥
⎥,
⎥
⎦
x2
x3
x4
1+j
C1 j , dengan C 1j = (-1 )
⎡
⎢
�=⎢
⎢
⎣
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
7
14
5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
M 1j
3 1 2
2 1 2
2 1
det A = 1 �1 3 −1�- 2� 1 3 −1�- 1 � 1 1
1 2 1
−1 2 1
−1 1
= -22
0
2
1 2 −1
−1� -1 � 2 3 1 �
1
−1 1 2
⎡
⎢
�1 = ⎢
⎢
⎣
0
7
14
5
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, D1 = determinan A1
D1 = -22, nilai x1 = D1/det A = -22/-22 =1
⎡ 1 0 -1
⎢ 2 7 1
�2 = ⎢
⎢ 1 14 3
⎣ -1 5 2
1
2
-1
1
⎤
⎥
⎥,
⎥
⎦
D2 = determinan A2
D2 =-44, nilai x2 = D2/det A = -44/-22 =2
⎡ 1 2
⎢ 2 3
�3 = ⎢
⎢ 1 1
⎣ -1 1
0 1
7 2
14 - 1
5
1
⎤
⎥
⎥ , D3 = determinan A3
⎥
⎦
D3 =-66, nilai x3 = D3/det A = -66/-22 =3
⎡ 1 2 -1
⎢ 2 3 1
�4 = ⎢
⎢ 1 1 3
⎣ -1 1 2
0
7
14
5
⎤
⎥
⎥, D4 = determinan A4
⎥
⎦
D4 = 44, nilai x3 = D4/det A = 44/-22 =-2
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
Contoh 3
Selesaikan contoh 1 dan contoh 2 dengan bantuan program computer
Jawab
Pakai program Matlab ( Install di PC/Laptop atau di HP dengan OS Android)
Program contoh 1
%
coba eliminasi Gauss
clc
clear
disp ('======================================================')
% Matriks [AA] [XX]=[cc]
AA=[ 1 2 -1 1
2 3 1 2
1 1 3 -1
-1 1 2 1]
cc=[ 0
7
14
5]
% Gabung AA dengan cc
A_C = [AA cc]
% cari matriks baris
baris_1 = A_C(1,:); % baris 1 semua kolom
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
baris_2 = A_C(2,:);
baris_3 = A_C(3,:);
baris_4 = A_C(4,:);
% Eliminasi Gauss proses 1
% Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R2-2R1),
% baris 3 dengan baris 1 (R3 – R1 ),
% baris 4 tambah baris 1 (R4 + R1) sehingga didapat matriks berikut :
R1 = baris_1;
R2= baris_2;
R3 =baris_3;
R4 =baris_4;
A1= R2-2*R1;
A2 = R3-R1;
A3 = R4+R1;
disp (' ========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ========')
AA1= [R1
A1
A2
A3];
A_C_1= AA1
%======================Proses 2======================
%
Kurangkan baris 3 dengan baris 2 ( R3-R2),
% baris 4 tambah 3 kali baris 2 ( R4 + 3 R2 ),
% diperoleh
R1
R2
R3
R4
=
=
=
=
AA1(1,:);
AA1(2,:);
AA1(3,:);
AA1(4,:);
B3 =R3-R2;
B4 =R4+ 3*R2;
disp (' ==========Eliminasi Proses 2=============')
BB =[R1
R2
B3
B4];
A_C_2=BB
%======================Proses 3======================
% Kurangkan baris 4 dengan 10 kali baris 3 ( R4 – 10 R3 ), diperoleh
R1
R2
R3
R4
= BB(1,:);
= BB(2,:);
=BB(3,:);
= BB(4,:);
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
C4 = R4 - 10* R3;
disp (' ==========Eliminasi Proses 3=============')
CC= [R1; R2; R3; C4] ;
A_C_3 =CC
% ====================================================
disp (' subtitusi balik')
disp (' pakai format aX = c')
disp ('=================================================')
a= CC(:,1:4)
c= CC (:,5)
disp (' =================================================')
Hasil
')
disp ('
x4=c(4)/a(4,4)
x3= (c(3)-a(3,4)*x4)/a(3,3)
x2= (c(2)-a(2,3)*x3-a(2,4)*x4)/a(2,2)
x1= (c(1)-a(1,2)* x2-a(1,3)*x3 -a(1,4)* x4)/a(1,1)
Hasil Program
======================================================
AA =
1
2
1
-1
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
cc =
0
7
14
5
A_C =
1
2
1
-1
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
0
7
14
5
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ========
A_C_1 =
1
0
0
0
2 -1 1
-1 3 0
-1 4 -2
3 1 2
0
7
14
5
==========Eliminasi Proses 2=============
A_C_2 =
1
0
0
0
2 -1 1
-1 3 0
0 1 -2
0 10 2
0
7
7
26
==========Eliminasi Proses 3=============
A_C_3 =
1
0
0
0
2 -1 1 0
-1 3 0 7
0 1 -2 7
0 0 22 -44
subtitusi balik
pakai format aX = c
=================================================
a=
1
0
0
0
2 -1 1
-1 3 0
0 1 -2
0 0 22
c=
0
7
7
-44
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
=================================================
Hasil
x4 =
-2
x3 =
3
x2 =
2
x1 =
1
>>
Program contoh 2
%
coba Cramer rule
clc
clear
disp ('======================================================')
% Matriks [AA] [XX]=[cc]
AA=[ 1 2 -1 1
2 3 1 2
1 1 3 -1
-1 1 2 1]
cc=[ 0
7
14
5]
%---------------------Determinan AA-----------------------------det_AA= det (AA)
K1
K2
K3
K4
=
=
=
=
AA(:,1); % semua kolom bari 1
AA(:,2);
AA(:,3);
AA(:,4);
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
D1= [cc K2 K3 K4]
det_D1= det (D1)
D2= [K1 cc K3 K4]
det_D2= det (D2)
D3= [K1 K2 cc K4]
det_D3= det (D3)
D4= [K1 K2 K3 cc]
det_D4= det (D4)
disp ('===========================================')
disp (' Harga x')
x4= det_D4/det_AA
x3= det_D3/det_AA
x2= det_D2/det_AA
x1= det_D1/det_AA
Hasil Program
======================================================
AA =
1
2
1
-1
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
cc =
0
7
14
5
det_AA =
-22
D1 =
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
0
7
14
5
2 -1
3 1
1 3
1 2
1
2
-1
1
det_D1 =
-22.0000
D2 =
1 0 -1
2 7 1
1 14 3
-1 5 2
1
2
-1
1
det_D2 =
-44.0000
D3 =
1
2
1
-1
2 0
3 7
1 14
1 5
1
2
-1
1
det_D3 =
-66
D4 =
1
2
1
-1
2 -1 0
3 1 7
1 3 14
1 2 5
det_D4 =
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
44.0000
===========================================
Harga x
x4 =
-2.0000
x3 =
3
x2 =
2.0000
x1 =
1.0000
>>
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
01
PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SIMULTAN
DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS DAN ATURAN CRAMER
Pada bagian ini akan dijelaskan cara menyelesaikan persamaan aljabar linear simultan
misalnya mencari arus loop dan tegangan simpul dengan menggunakan metode eliminasi
Gauss dan aturan Cramer. Pada metode pertama ada dua tahap yang dilakukan yaitu
eliminasi maju dan subtitusi balik, sedangkan pada metode kedua melibatkan perhitungan
determinan matriks. Pada bab ini juga diberikan contoh membuat subprogram dengan
bantuan algoritma.
ELIMINASI GAUSS
Persamaan arus loop dan tegangan simpul yang diuraikan pada bagian terdahulu pada
dasarnya adalah persamaan aljabar linear simultan. Persoalan pada persamaan [Z ] [I ] =
[V ] dan juga pada persamaan [Y simpul ] [ V simpul ] = [ I], adalah menentukan matriks [I ]
jika [ Z ] dan [ V] diketahui demikian juga menentukan [ V simpul ] jika [ Y simpul ] dan [ I ]
diketahui. Secara umum persamaan aljabar linear simultan dapat dituliskan sebagai
berikut :
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = c1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = c 2
...............................................
..............................................
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = c n
(M.01)
Untuk mencari solusi persamaan (M.01) dapat digunakan beberapa metode antara lain :
•
•
•
Secara grafis (cocok untuk persamaan yang jumlahnya sedikit )
Eliminasi Gauss
Aturan ( rule) Cramer
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
Pada metode eliminasi Gauss dilakukan dua tahap untuk mendapatkan solusi seperti yang
diperlihatkan pada persamaan M.02. Tahap pertama dari metode ini disebut sebagai
eliminasi maju sedangkan tahap kedua disebut proses subtitusi balik. Misal untuk kasus
m = n =3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 | c1
a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 | c2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 | c3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 | ..c1
Eliminasi maju
0........a 22 x 2 + a 23 x3 | c2 '
'
'
0..........0........a33 ' x3 | c3 '
'
x3 = c3' / a33
Subtitusi balik
'
'
x 2 = (c 2' − a 23
x3 ) / a 22
x1 = (c1 − a12' x 2 − a13' x3 ) / a11
(M.02)
Contoh 1
Tentukan nilai x pada persamaan [ A ] [X ] = [c] berikut ini dengan eliminasi Gauss
1
x1
2 3 1 2
1 1 3 -1
x2
1
-1
2 -1
1
2
x3
x4
1
Jawab
A|c =
1
2 -1 1 | 0
2
3
1 1
-1 1
1
2 |7
3 - 1 | 14
2 1 |5
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
0
=
7
14
5
Langkah eliminasi maju :
•
Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R 2 -2R 1 ), baris 3 dengan baris 1 (R 3 –
R 1 ), baris 4 tambah baris 1 (R 4 + R 1 ) sehingga didapat matriks berikut :
•
1
0
2 -1
-1 3
1 |0
0 |7
0
-1
4 - 2 | 14
0
3
1
2 |5
Kurangkan baris 3 dengan baris 2 ( R 3 -R 2 ), baris 4 tambah 3 kali baris 2 ( R 4 + 3
R 2 ), diperoleh
1
•
2 -1
1 |0
0
-1
3
0 |7
0
0
1
-2 |7
0
0 10
2
| 26
Kurangkan baris 4 dengan 10 kali baris 3 ( R 4 – 10 R 3 ), diperoleh
1
0
2 -1
-1 3
1 |0
0 |7
0
0
1
-2 |7
0
0
0
22 | -44
Persamaan AX = c sekarang menjadi :
x1 + 2 x 2 - x 3 + x 4
- x2 + 3 x3
=0
=7
x3 - 2 x4 = 7
22 x 4
= -44
(M.03)
Untuk menentukan nilai x dilakukan langkah subtitusi balik, yaitu mula-mula didapat
nilai x 4 pada persamaan (5.3), x 4 = -44/22 =-2, kemudian nilai x 3 =3, x 2 =2, dan x 1 =1.
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
Jebakan pada eliminasi Gauss
Terdapat beberapa jebakan yang harus diselidiki sebelum mengimplementasikan metode
ini pada program komputer ( guna menghindari memperoleh solusi yang tidak tepat ).
Jebakan yang mungkin pada metode ini adalah : terdapat pembagian dengan nol, error
karena pembulatan. Definisi error adalah :
e t = (Nilai sesungguhnya – Nilai pendekatan )/(Nilai sesungguhnya) x 100 %
atau
e a = (Nilai pendekatan sekarang – Nilai pendekatan sebelumnya )/(Nilaipendekatan
sekarang ) x 100 %
Jebakan yang lain pada metode ini adalah sistem kondisi buruk ( ill condition ). Untuk
memperbaiki metode Eliminasi Gauss ( pada komputer) dilakukan beberapa cara, antara
lain : menggunakan angka penting yang lebih banyak, pivoting dan penskalaan ( scaling).
ATURAN CRAMER
Persamaan linear berbentuk [A ] [ X ] = [c] juga dapat diselesaikan dengan aturan
Cramer. Pada aturan ini diharuskan terlebih dahulu mencari determinan matriks. Misal
untuk kasus m = n = 3
A=
•
•
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22 a 23
a 31
a 32 a 33
c1
c=
c2
c3
Tentukan determinan matriks A, misal D = determinan matriks A
Gantikan elemen matriks A pada kolom 1 dengan matriks c dan tentukan nilai
determinannya
c1 a 12 a 13
A1=
•
c 2 a 22 a 23
, D 1 = determinan ( A 1 )
c 3 a 32 a 33
Gantikan elemen matriks A pada kolom 2 dengan matriks c dan tentukan nilai
determinannya
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
a 11 c1 a 13
A2 =
•
a 21 c 2 a 23
, D 2 = determinan (A 2 )
a 31 c 3 a 33
Gantikan elemen matriks A pada kolom 3 dengan matriks c dan tentukan nilai
determinannya
a 11 a 12 c1
A3 =
a 21 a 22 c 2
, D 3 = determinan ( A 3 )
a 31 a 32 c 3
•
Tentukan nilai x
x1 =
D1
D2
D3
, dan x3 =
, x2 =
D
D
D
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
(5.4)
Determinan
Jika A adalah suatu matriks berukuran m x n, maka determinan A
didefinisikan sebagai berikut :
∑ (−1)
n
Det A =
1+ j
a1 j M 1 j , dimana M 1j disebut sebagai minor dari elemen
j =1
a 1j .
Contoh untuk n = 3
A=
Det A = (-1)1+1 a 11
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 22
a 23
a 32
a 33
+ (-1)1+2 a 12
, maka determinan A adalah
a 12
a 23
a 31
a 33
+ (-1)1+3 a 13
a 21
a 22
a 31
a 32
Jika
A=
1
-4
2
1
3
1
2
0
3
Maka determinan A adalah
Det A =
1
3 1
0 3
6) =1
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
+4
1
2
1
3
+2
1 3
2 0
= 1(9-0) + 4( 3-2 ) + 2 (0-
Persamaan untuk menetukan determinan juga dapat dituliskan sebagai
berikut :
∑a
n
Det A =
j =1
1+j
1j
C1 j , dengan C 1j = (-1 )
M 1j
Dimana C 1j = cofactor dari elemen a ij .
Contoh 2
Carilah nilai x 1 , x 2 , x 3 dan x 4 pada contoh 1
Jawab
1
2 -1
1
x1
2
3
1
2
x2
1
-1
1
1
3 -1
2 1
x3
⎡ 1 2 -1 1
⎢ 2 3 1 2
�=⎢
⎢ 1 1 3 -1
⎣ -1 1 2 1
∑a
j =1
1j
=
x4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
n
det A =
0
⎡
⎢
�=⎢
⎢
⎣
x1
7
14
5
⎤
⎥
⎥,
⎥
⎦
x2
x3
x4
1+j
C1 j , dengan C 1j = (-1 )
⎡
⎢
�=⎢
⎢
⎣
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
7
14
5
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
M 1j
3 1 2
2 1 2
2 1
det A = 1 �1 3 −1�- 2� 1 3 −1�- 1 � 1 1
1 2 1
−1 2 1
−1 1
= -22
0
2
1 2 −1
−1� -1 � 2 3 1 �
1
−1 1 2
⎡
⎢
�1 = ⎢
⎢
⎣
0
7
14
5
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, D1 = determinan A1
D1 = -22, nilai x1 = D1/det A = -22/-22 =1
⎡ 1 0 -1
⎢ 2 7 1
�2 = ⎢
⎢ 1 14 3
⎣ -1 5 2
1
2
-1
1
⎤
⎥
⎥,
⎥
⎦
D2 = determinan A2
D2 =-44, nilai x2 = D2/det A = -44/-22 =2
⎡ 1 2
⎢ 2 3
�3 = ⎢
⎢ 1 1
⎣ -1 1
0 1
7 2
14 - 1
5
1
⎤
⎥
⎥ , D3 = determinan A3
⎥
⎦
D3 =-66, nilai x3 = D3/det A = -66/-22 =3
⎡ 1 2 -1
⎢ 2 3 1
�4 = ⎢
⎢ 1 1 3
⎣ -1 1 2
0
7
14
5
⎤
⎥
⎥, D4 = determinan A4
⎥
⎦
D4 = 44, nilai x3 = D4/det A = 44/-22 =-2
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
Contoh 3
Selesaikan contoh 1 dan contoh 2 dengan bantuan program computer
Jawab
Pakai program Matlab ( Install di PC/Laptop atau di HP dengan OS Android)
Program contoh 1
%
coba eliminasi Gauss
clc
clear
disp ('======================================================')
% Matriks [AA] [XX]=[cc]
AA=[ 1 2 -1 1
2 3 1 2
1 1 3 -1
-1 1 2 1]
cc=[ 0
7
14
5]
% Gabung AA dengan cc
A_C = [AA cc]
% cari matriks baris
baris_1 = A_C(1,:); % baris 1 semua kolom
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
baris_2 = A_C(2,:);
baris_3 = A_C(3,:);
baris_4 = A_C(4,:);
% Eliminasi Gauss proses 1
% Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R2-2R1),
% baris 3 dengan baris 1 (R3 – R1 ),
% baris 4 tambah baris 1 (R4 + R1) sehingga didapat matriks berikut :
R1 = baris_1;
R2= baris_2;
R3 =baris_3;
R4 =baris_4;
A1= R2-2*R1;
A2 = R3-R1;
A3 = R4+R1;
disp (' ========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ========')
AA1= [R1
A1
A2
A3];
A_C_1= AA1
%======================Proses 2======================
%
Kurangkan baris 3 dengan baris 2 ( R3-R2),
% baris 4 tambah 3 kali baris 2 ( R4 + 3 R2 ),
% diperoleh
R1
R2
R3
R4
=
=
=
=
AA1(1,:);
AA1(2,:);
AA1(3,:);
AA1(4,:);
B3 =R3-R2;
B4 =R4+ 3*R2;
disp (' ==========Eliminasi Proses 2=============')
BB =[R1
R2
B3
B4];
A_C_2=BB
%======================Proses 3======================
% Kurangkan baris 4 dengan 10 kali baris 3 ( R4 – 10 R3 ), diperoleh
R1
R2
R3
R4
= BB(1,:);
= BB(2,:);
=BB(3,:);
= BB(4,:);
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
C4 = R4 - 10* R3;
disp (' ==========Eliminasi Proses 3=============')
CC= [R1; R2; R3; C4] ;
A_C_3 =CC
% ====================================================
disp (' subtitusi balik')
disp (' pakai format aX = c')
disp ('=================================================')
a= CC(:,1:4)
c= CC (:,5)
disp (' =================================================')
Hasil
')
disp ('
x4=c(4)/a(4,4)
x3= (c(3)-a(3,4)*x4)/a(3,3)
x2= (c(2)-a(2,3)*x3-a(2,4)*x4)/a(2,2)
x1= (c(1)-a(1,2)* x2-a(1,3)*x3 -a(1,4)* x4)/a(1,1)
Hasil Program
======================================================
AA =
1
2
1
-1
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
cc =
0
7
14
5
A_C =
1
2
1
-1
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
0
7
14
5
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ========
A_C_1 =
1
0
0
0
2 -1 1
-1 3 0
-1 4 -2
3 1 2
0
7
14
5
==========Eliminasi Proses 2=============
A_C_2 =
1
0
0
0
2 -1 1
-1 3 0
0 1 -2
0 10 2
0
7
7
26
==========Eliminasi Proses 3=============
A_C_3 =
1
0
0
0
2 -1 1 0
-1 3 0 7
0 1 -2 7
0 0 22 -44
subtitusi balik
pakai format aX = c
=================================================
a=
1
0
0
0
2 -1 1
-1 3 0
0 1 -2
0 0 22
c=
0
7
7
-44
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
=================================================
Hasil
x4 =
-2
x3 =
3
x2 =
2
x1 =
1
>>
Program contoh 2
%
coba Cramer rule
clc
clear
disp ('======================================================')
% Matriks [AA] [XX]=[cc]
AA=[ 1 2 -1 1
2 3 1 2
1 1 3 -1
-1 1 2 1]
cc=[ 0
7
14
5]
%---------------------Determinan AA-----------------------------det_AA= det (AA)
K1
K2
K3
K4
=
=
=
=
AA(:,1); % semua kolom bari 1
AA(:,2);
AA(:,3);
AA(:,4);
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
D1= [cc K2 K3 K4]
det_D1= det (D1)
D2= [K1 cc K3 K4]
det_D2= det (D2)
D3= [K1 K2 cc K4]
det_D3= det (D3)
D4= [K1 K2 K3 cc]
det_D4= det (D4)
disp ('===========================================')
disp (' Harga x')
x4= det_D4/det_AA
x3= det_D3/det_AA
x2= det_D2/det_AA
x1= det_D1/det_AA
Hasil Program
======================================================
AA =
1
2
1
-1
2 -1 1
3 1 2
1 3 -1
1 2 1
cc =
0
7
14
5
det_AA =
-22
D1 =
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
0
7
14
5
2 -1
3 1
1 3
1 2
1
2
-1
1
det_D1 =
-22.0000
D2 =
1 0 -1
2 7 1
1 14 3
-1 5 2
1
2
-1
1
det_D2 =
-44.0000
D3 =
1
2
1
-1
2 0
3 7
1 14
1 5
1
2
-1
1
det_D3 =
-66
D4 =
1
2
1
-1
2 -1 0
3 1 7
1 3 14
1 2 5
det_D4 =
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017
44.0000
===========================================
Harga x
x4 =
-2.0000
x3 =
3
x2 =
2.0000
x1 =
1.0000
>>
Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017