A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar - FAKTORISASI BENTUK ALJABAR
A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar
Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstanta. Dari contoh sederhana tersebut, marilah kita definisikan istilah tersebut di atas.
a. Suku adalah bentuk aljabar yang memuat koefisien, variabel, dan konstanta atau memuat koefisien dan variabel saja.
b. Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah.
Variabel dituliskan dalam bentuk huruf abjad (huruf kecil).
c. Koefisien adalah bilangan yang diikuti oleh variabel
d. Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti variabel 2.
Suku-suku sejenis
Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama. Untuk lebih jelas memahami konsep suku-suku sejenis, perhatikan tabel berikut !
Suku Sejenis / tidak sejenis Keterangan 18p dan 10p Suku sejenis Variabel dan pangkat dari variabel sama
2
2
- 9a dan 1a Suku sejenis Variabel dan pangkat dari variabel sama 9a dan 9b Suku tidak sejenis Variabelnya tidak sama
3
4mn dan Suku tidak sejenis Pangkat dari variabelnya tidak sama
- –8mn
PENDALAMAN MATERI 1
BANYAK SUKU, KOEFISIEN, VARIABEL, DAN KONSTANTA.
1. Diketahui bentuk aljabar: 2a + 3b
- – 7ab + 8. Tentukan:
a. banyak suku,
b. konstanta, c. koefisien untuk variabel a.
2
2. Diketahui bentuk aljabar: 17x - 8x + 69y
- – 9xy – 8. Tentukan:
a. banyak suku,
b. konstanta,
c. variabel, d. koefisien untuk variabel y dan xy.
2
3. Diketahui bentuk aljabar: mn + n – m + mn. Tentukan :
a. banyak suku,
b. konstanta,
c. variabel, d. koefisien untuk variabel mn dan m.
4. Diketahui bentuk aljabar: 2pq
- – p + q. Tentukan:
a. banyak suku,
b. konstanta,
c. variabel,
5. Bentuk aljabar -3c + 7 – 10d + 17e. Tentukan :
a. banyak suku,
b. konstanta,
c. variabel, d. koefisien untuk variabel c dan d.
2. Operasi Bentuk Aljabar a. Penjumlahan Dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Dua suku atau lebih dapat dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan apabila suku-suku tersebut merupakan suku-suku yang sejenis.
Contoh : 1.1
1) 2p + 3p = 5p 2) 8xy = 2xy
- – 6xy
2
2
2
2
3) 3x + 7x + 6x = 3x + 6x + 7x
- – 4x – 2 – 4x – 2
2
= 9x + 3x
- – 2 4) (12d + 5e) – (8d – 2e) = 12d + 5e -8d + 2e
= 12d – 8d + 5e + 2e = 4d + 7e
PENDALAMAN MATERI 2
OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
1. Sederhanakan !
a. 6a
- – 6 + 4a – 4
b. 7b + 1
- – 9b – 3
c. 14x + 7x
- – 8y + 2y
d. -6x + 3y + 12x
- – 5y
e. 8ab + 15a
- – 4ab – 17a
f. 8k + 99j
- – 5k + 11j – 4
g. 30m + 8n + 4m – 7n – 10m + 3
h. 5p + 2q + 4r – 2p + 6q – 3r + 2
2. Sederhanakan !
a. (12a + 8) + (8a + 1)
b. (4b – 7) – (-3a + 11)
c. (2j + 4k) + (8j + 3k)
d. (3x – 4y) – (8y + 4x)
e. (5a – 4b) – (-6a – 7b)
f. (18h
- – 5i + 8j) – (3h + 4i – 6j)
g. (9m – 5n + 10k) – (-6n – 7m + 3k)
h. (7a + 8 b
- – 11) + (5b – 10b – 2)
3. Jumlahkan !
a. 18h + 3 dan 12h
- – 5
b. 3m + 3n
- – 4 dan 5m + 7n
c. 50a + 40b
- – 4 dan 10b – 40a + 9
d. 12f
- – 6g + 7h dan 8g – 11f – 5h
e. 24b + 15c -1 dengan -3 + 5 c
f. 8ab + 3b dengan ab – b + 7
2
g. -12a b – 8ab dengan 6ab + 3b
2
3
h. 9c d + 12 dengan 10cd – 14
4. Kurangkan !
a. 8p + 3 + 5q dari 12p + 2q – 5
b. -27h – 18 dari 32 + 17h
c. 15v + 4w dengan 20v – 3w + 8
d. 45c + 78 dengan 35c + 58
e. 5x + 3y + 7 oleh 4x
- – 3y + 4
f. 24a
- – 6b + 3 oleh 8b – 14a – 5
g. -7ab + 6a
- – 1 dari 3ab – 4b + 1
h. 2a
- – 3b + 4c dari -2a + 3b – 4c + 5
2
2
5. Jika p = d – 3d – 2 dan q = 3d + 2d – 4, hitunglah (p + q) dan (p – q) 6. Gambar pekarangan Pak Yasin membentuk huruf “L” seperti tampak pada gambar berikut.
a. Tentukan keliling pekarangan Pak Yasin dalam p!
b. Jika keliling pekarangan 56 cm, carilah nilai p! 3p + 3 1 + p
3p - 5
7. Alas kandang ayam Pak Amin berbentuk persegi panjang. Panjang kandang (4a + 4) meter dan lebarnya (5a
- – 4) meter, sedangkan panjang kayu yang diperlukan untuk membuat alas adalah 90 meter. Tentukan :
a. nilai a,
b. ukuran kandang, c. luas kandang (dalam are).
b. Perkalian bentuk aljabar 1) Perkalian suatu bilangan dengan dua suku
Bentuk umum perkalian suatu bilangan dengan dua suku antara lain : k(p + 2q) = kp + 2kq k(p - 2q) = kp – 2kq, dengan p, q variabel dan k konstanta.
Contoh : 1.2
a. 3(2x + y) = 6x + 3y
b. 4(5x = 20x
- – 3y) – 12y
c. -2(2a = -2a + 14
- – 7)
2
d. 5a(a = 5a
- – b) – 5ab
2) Perkalian antara dua suku
Perkalian antara dua suku bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif.
Contoh : 1.3
(2x + 5) ( 3x + 4) = 2x(3x + 4) + 5(3x + 4)
2
= 6x + 8x + 15x + 20
2
= 6x + 23x + 20 (3y – 4z) (8y – 1) = 3y(8y – 1) – 4z(8y – 1)
2
= 24y
- – 3y – 32yz + 4z (a + b) (2a + b = a(2a + b - 8) + b(2a + b
- – 8) – 8)
2
2
= 2a + ab
- – 8a + 2ab + b – 8b
2
2
= 2a + 3ab
- – 8a – 8b + b
3) Perkalian istimewa Perkalian istimewa adalah perkalian yang hasil kalinya bersifat khusus.
Beberapa perkalian istimewa :
2
2
2
a. (a + b) = a + 2ab + b
2
2
2
b. (a – b) = a – 2ab + b
2
2
c. (a + b) (a – b) = a – b
2
2
3
3
d. (a + b) (a – ab + b ) = a + b
2
2
3
3
e. (a – b) ((a + ab + b ) = a – b
Contoh : 1.4
Jabarkan !
2
2
2
2
a. (y + 2) = y + 2.y.2 + 2 = y + 4y + 4
2
2
2
2
b. (x = x + 2.x.(-3) + (-3) = x
- – 3) – 6x + 9
2
2
2
c. (p + 8) (p = p - 8 = p
- – 8) – 64
2
2
2
d. (3x + 5) (3x - 5 = 9x - 25
- – 5) = (3x)
2
3
3
3
e. (k + 3) (k = k + 3 = k + 27
- – 3k + 9)
2
3
3
3
f. (m +4m + 16) = m - 4 = m
- – 4) (m – 64
PENDALAMAN MATERI 3
OPERASI PERKALIAN BENTUK ALJABAR
1. Sederhanakan
a. 5(3x + 2y)
b. -5(4q – 3r)
c. -4(-8h – 5i)
d. 6(-2c – 4d)
e. 5(4m
- – 3n)
f. 2(8a + 5) + 4(6a + 10)
g. 5(7c
- – 4) – 9(4c – 3)
h. 10(4m + 5) - 8(5m + 6)
2. Jabarkan !
a. (x + 3) (x + 2)
b. (x – 4) (x + 5)
c. (2a – 1) (3a + 4)
d. (5p + 7q) (4p + 3q)
e. (8c – 5d) (-2c + 4d)
f. (5d – 4e + 2) (2d + 3)
g. (12x + 5) (5x – 4y – 6)
h. (2m – 3n – 6)(m + n+8)
3. Jabarkan !
2
a. (x + 2)
2
b. (y
- – 8)
2
c. (2a
- – 4)
2
d. (15b + 4c)
2
e. (3p + 5q)
2
f. (5mn
- – 4pq)
2
g. (6abc + 7def)
3
2
2
2
h. (13x y – 5x y )
4. Jabarkan bentuk aljabar berikut dalam bentuk perkalian istimewa !
2
a. a – 25
2
b. b – 121
2
c. 169 – c
2
d. 324 – h
2
2
e. 4d – 81e
2
2
f. 49m
- – 225n
2
2
g. 100x – 81y
2
2
2
2
h. 441p q s
- – 25r
5. Jabarkan bentuk aljabar berikut dalam bentuk perkalian istimewa!
3
a. j + 27
3
b. k
- – 8
3
c. 64
- – m
3
d. 1000 + n
3
e. g + 216
3
3
f. h – 729i
3
3
g. 8a + 125b
3
3
h. 343x – y
6. Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk aljabar di bawah ini!
2
2
2
b. (2a + 3b) (5a + 2ab – b )
2
2
c. (5x – 1) – (2x – 3)
2
2
d. (3x + 5y) – (2x – 4y)
2
2
1
1
e. 11x y 5x y
2
2
2
1
1
f. 4p
2 4p
16p
7. Tentukan hasil perpangkatan di bawah ini !
3
a. (2a + 5)
4
b. (3x - 1)
5
c. (3x + 2y)
6
d. (2a + b)
8. Jabarkan !
2
a. (2a + 4b + 5c)
2
b. (4c – 6d + 10)
2
c. (5m
- – 7n – 3k)
3
d. (8x + 5y
- – 12z)
2
2
e. (6v + 5w + 1)
- – (3v – 2w – 3) c.
Pembagian bentuk aljabar
Pada pembagian bentuk aljabar, jika pembagi merupakan suku satu maka hasil pembagian dapat ditentukan dengan cara seperti pembagian pada bilangan bulat, tetapi jika pembagi lebih dari satu suku maka dapat ditentukan dengan cara bersusun kebawah.
Contoh: 1.5
Tentukan hasil bagi dari bentuk aljabar berikut!
2
a. 18a : 9a
2
b. 2b - b – 1) : (b – 1) Penyelesaian:
2
a. 18a : 9a = 2a
2
b. 2b - b
- – 1) : (b – 1) = 2b + 1
2b +1 2 b – 1 2b – b – 1 2 2b – 2b
- b
- – 1 b
- – 1
PENDALAMAN MATERI 4
OPERASI PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR
1. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini!
a. 12a : 6
2
b. 27b : 9b
2
c. 20a b : 4ab
3
4
2
2
d. 48c d : 8c d
2
3
4
2
3
e. 8a b c : 4a bc
8
7
3
2
f. 32m n : (36m n : 9mn)
6
5
4
4
3
g. 100c d : (45c d : 9cd )
9
8
2
8
5
4
h. (18p q : 2p q) : (6p q : 2pq )
b c b
- – c
Ingat (a : a = a )
2. Tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini!
2
a. (2g + 3g + 1) : (g + 1)
2
b. (3h + 8h + 4) : (h + 2)
2
c. (2i + 11i – 6) : (2i – 1)
3
2
d. (5j + 15j + 2j + 6) : (j + 3)
3
2
e. (6k – 8k – 15k + 20) : (3k – 4)
3
2
f. (-3a + 11a
- – 2a – 15) : (5 – x)
4
3
2
2
g. (b – b – b + b) : (b + b)
4
h. (x – 1) : (x + 1)
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar 1. Bentuk ap + aq
Bentuk ap + aq dapat difaktorkan menjadi: ap + aq = a(p + q) ap – aq = a(p – q)
Contoh : 1.6
Faktorkan bentuk aljabar berikut ini
a. 2x + 2y = 2(x + y)
b. 3a + 6b = 3(a + 2b
- – 12c – 4c)
2
2
c. 8ab + 12abc = 4a(2b + 3bc
- – 20ac – 5c) 2.
Selisih kuadrat
Misalkan : (x + y) (x
- – y) = x(x – y) + y(x – y)
2
2
= x – xy + (yx) – y
2
2
= x – y
2
2 Jadi faktor dari : x – y = (x + y) (x – y)
Contoh : 1.7
Faktorkan bentuk aljabar berikuk ini :
2
a. x – 81 = (x + 9) (x – 9)
2
b. 16a – 25 = (4a + 5) (4a – 5)
2
2
c. 4x = (2x + 7y) (2x
- – 49y – 7y)
2
2
d. 32a = 2(16a
- – 98 – 49)
= 2(4a + 7) (4a
- – 7)
4
4
2
2
2
2
e. 16c = (4c + 25d ) (4c - 25d )
- – 625d
2
2
= (4c + 25d ) (2c + 5d) (2c
- – 5d)
PENDALAMAN MATERI 5
2
2 PEMFAKTORAN BENTUK (ap+ aq) = a(p + q) dan a – b = (a + b) (a – b)
1. Faktorkan !
a. 15x + 20
b. 36y – 12
c. 15a + 21b – 51
d. 2a + 20b – 8
2
e. 3x – 2xy + 20xz
2
3
f. 5a b + 10ab
3
3
g. 15cd – 51c d + 6cd
3
2
h. 12m n
- – 16mn – 9n
2. Faktorkan !
2
a. x
- – 225
2
b. 4x
- – 25
2
c. 81y
- – 1
2
2
d. 169x
- – 121y
2
2
2
2
e. 9a b – 25c d
2
2
2
2
f. 225y z – 49a b
2
2
g. (a + b) – c
2
2
h. (c + d) – d
3. Faktorkan bentuk aljabar berilkut ini :
2
a. 18p – 2
2
b. 10p – 40
2
2
c. 8p – 50q
2
2
d. 80p
- – 72q
2
2
2
2
e. 20p q y
- – 45x
2
2
2
2
f. 2a b - 242c d
2
2
2
g. 12a b c
- – 300
4
2
2
4
h. 20c d d
- – 125c
3. Bentuk Kuadrat a. Bentuk kuadrat ax
2 + bx + c.
2 + bx + c, a = 1
Karena nilai a = 1, maka bentuk ax
2
- bx + c menjadi x
- bx + c = (x + p) (x + q)
- qx + px + pq = x
- 5x + 6 y
- 2y – 35 Penyelesaian :
- 5x + 6 = x
- (2x + 3x) + 6 = (x
- 5x + 6 = (x + …) (x + …) = (x + 2) (x + 3) b= 5 danc = 6 Jadi p =2, q=3 y
- 2x + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) =(x + 3) (x + 2) x
- 2y – 35= y
- (7y – 5y) – 35 = (y
- 2y – 35 = (y +7) (y – 5) b= 2, c=-35
Misalkan faktor dari : x
- 7y) –(5y + 35) = y(y + 7) – 5(y + 7) = (y – 5y) (y + 7) y
- 35
- 5
- bx + c = a
- bx + c = a
- abx + ac = (ax + p) (ax + q) kedua ruas dikalikan a
- qax + pax + pq = a
- (p + q) ax + pq Dari informasi diatas, hubungana,b, pd an q adalah : b = p + q ac = p x q, Dengan p dan q sembarang bilangan
- 10y + 3 penyelesaian :
- 10y + 3 = = 8y
- 10y + 3 = =
- (4y + 6y) + 3 = (8y
- 4y) + (6y + 3) = 4y(2y + 1) + 3(2y + 1) = (4y + 3) (2y + 1)
8y
x
2
2
x
2
Contoh : 1. 9
Faktorkan : 8y
2
Cara tidak lansung Cara langsung Keterangan 8y
2
2
2
2
= ax(ax + q) + p(ax + q) ruas kanan dilakukan perkalian = a
8
1
(8y + 4) (8y + 6) =
8
1
.4(2y + 1). 2(4y + 3) = (2y + 1) (4y + 3)
B = 10 = p + q c = 8x3 = 24 = pq p= 4 dan q= 6
24
4
6
6
2
3
7
2
2
2 + bx + c = (x + p) (x + q).
2
Kita coba lakukan perkalian pada ruas kanan untuk mencari hubungan antara kedua ruas x
2
= x(x + q) + p(x + q) = x
2
2 + (p + q)x + pq.
Maka terdapat hubungan b, c terhadap p dan q. b = p + q c = p x q, Dengan p dan q merupakan sembarang bilangan.
Contoh : 1.8
Faktorkan ! x
2
2
Cara Tidak Langsung Cara Langsung Keterangan
X
2
2
x
2
2
2
2
2
Jadi p= 7, q= -5 b.
Bentuk kuadrat ax
2 + bx + c, a 1
Misalkan bentuk faktor dari : ax
2
1 (ax + p) (ax + q). Maka : ax
2
2
1 (ax + p) (ax + q). a
PENDALAMAN MATERI 6
2
2 MATERI PEMFAKTORAN BENTUK x + bx + c dan ax + bx + c, dengan a 1. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini.
2
a. x + 3x + 2
2
b. x + 8x + 12
2
c. y + 2y – 8
2
d. y + 14y – 51
2
e. p – p – 20
2
f. p
- – 11p – 60
2
g. k
- – 49k + 360
2
h. k
- – 68k + 256 2. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini.
2
2
a. h
- – 8hj + 12j
2
2
b. h
- – 11hj + 24 j
2
2
c. a + 10ab + 25b
2
2
d. a – 12ab + 36b
2
2
e. c - 14cd - 51d
2
2
f. c + 30cd + 225d
2
2
g. d – 40de + 400e
2
2
h. m + 16mn +64n 3. Faktorkan bentuk-bentuk berikut ini.
2
a. 10t + 17t + 3
2
b. 4k + 7k
- – 2
2
c. 9a
- – 24a + 16
2
d. 12b
- – 11b – 5
2
e. 10c + 17c + 3
2
f. 10d
- – 43d + 12
2
g. + 12g
- –g – 36
2
h. + 11g
- –g – 24 4. Sederhanakan dalam bentuk faktorisasi.
2
2
a. (4x + 4x + 1) – (9x – 12x + 4)
2
2
2
2
b. (3x – 5xy – 4y ) + 2(x – xy – y ) 5. Sederhanakan, kemudian faktorkan bentuk-bentuk berikut ini.
2
a. (5x – y) + 80x – 16y + 64 y
2
b. 9( x+ )
- – 30x – 10y + 25
3
6. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Tinggi bola (h meter) setelah t detik dinyatakan dengan
2 rumus h = 8 + 2t – 3t .
a. Bila bola dilempar setelah 1,5 detik, tentukan tinggi bola!
b. Jika h = 0, carilah nilai t! C.
Pecahan Bentuk Aljabar 1. Operasi pecahan bentuk aljabar a. Penjumlahan dan pengurangan
Dua pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan penjumlahan atau pengurangan apabila penyebutnya sama. Jika penyebut-penyebut dari pecahan tersebut tidak sama, samakan penyebut dengan menggunakan faktor persekutuan terkeci (KPK).
Contoh : 1.10
Sederhanakanlah!
5x 2x
a.
3
7
5
b. 1
3a 2b Penyelesaian : a.
21 29x 21 15x
21 14x 7 5x
3 2x b.
6ab 15a 2b 6ab 15a
6ab 2b 2b
5 3a 1
b. Perkalian
bd a c d c x b a , dengan a dan b
PENDALAMAN MATERI 7
OPERASI PECAHAN BENTUK ALJABAR
(Evaluasi kemampuan pemahaman)
1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan di bawah ini ! a.
3a
4 3a 8 b.
1 - d
3 1 d 3 c.
5 a 2y 1 - 10 2a 3 y
d.
3 5a 8 14a 6 10a :
1 a
2 1 a 2 2a
2
e.
8 2x x
5 4 5x x
9
2
2
4 7a 3 5a
4 7a
3 5a
6 10a 8 14a x 4 7a0. Contoh : 1.11 a.
Pembagian
35 6a b 7 3b x
5 2a
(ingat KPK (5 dan 7 adalah 35) b.
2y 1 y
1 y
3
. 6y 1 y1 y 1 y 3 x
6y 1 y
2
x c.
Pembagian pecahan bentuk aljabar mengikuti ketentuan :
2 4 7a 2 x
bc a d c d x b a d c : b a b a c b c x a c b : a bc a c
1 x b a
: c b a
Contoh : 1. 12 a.
2q 3p 4q
3 2p x 3 4q
: 2p
b.
Perkalian pecahan bentuk aljabar mengikuti ketentuan :
1 3 5a
2. Sederhanakan perkalian pecahan dibawah ini.
3
4 4cd 16c a.
3
3 2c 8d
2 4a 2 6b
b.
3b 2a
1
2 2m mn m n
c.
2 m mn 2m n
3 12j j 2k 2k
d.
3 j 2k 6jk
2 8h 4h 2h
1 e.
3
2 29h 4h
1
3. Sederhanakan pembagian pecahan di bawah ini.
2a b 4b :
a.
2 9a 18a
48a 2 b 16 b
2
b. :
3
4 27a 9a
3
2 4a 4 9a 9a
c. :
2 16a 5a
2 14c c d 28 c d
d. :
3 18 c -
2 3c 2c 4
2 2q 18 q 3 q
3
e. :
2
2 70 4q 2q q 2q
35
2. Menyederhanakan pecahan
a
Suatu pecahan dapat dikatakan sederhana, apabila faktor persekutuan
b a (pembilang) dan b (penyebut) adalah 1.
Contoh : 1. 13 Sederhanakan pecahan berikut ini.
2x
6
a.
4 2x 4
b.
2 x 5x
6
Penyelesaian : x x
2x
6 2 3
3 a. .
4
4
2 2x 4 2 x 2 x
2 b. .
2 x 2 x 3 x
3 x 5x 6
PENDALAMAN MATERI 8
MENYEDERHANAKAN PECAHAN
1. Sederhanakanlah.a.
2
2
d.
2x 1 x 2x 4 7x
2
2
e.
36 x 36 6x x
2
2
3. Ubahlah pecahan bersusun dibawah ini ke dalam bentuk yang paling sederhana.
a b b a b
c.
1 a 1
b. a
1 2b 1 a
2b 2b a
c. a
1 c b 1 a c b c b a
d.
3 2a 5b
3
5 b 2a
6x 12 14x 3x 6 7x
2
a.
2x y 9xy 18x
17xy 51x y
2
3 b.
2xy 8xy y 6x
2
2 c.
2
2
2 20y 10x 10xy 5x
d.
2
2
e.
10x y 12xy 8x 15xy 18y 12x
2
2
2. Sederhanakan bentuk pecahan di bawah ini.
a.
4 x 4 4x x
2
2
b.
35 12x x 5 6x x