9.M8 Sistem Tunggu 1 dan MM1

S1 Teknik Telekomunikasi
Fakultas Teknik Elektro

Sistem Tunggu 1:
Distribusi Antrian dan M/M/1
REKAYASA TRAFIK | TTH3J3 | Kur. 2016 | 2017/2018

SISTEM TUNGGU/ANTRIAN

AGENDA
•
•
•
•
•
•
•
•

Aplikasi Antrian
Model Antrian Dasar

Notasi Kendall
Hukum Little
Analisis Antrian M/M/1
Ukuran Kinerja Sistem Antrian
Beberapa Rumus Pendukung
Contoh Soal

APLIKASI SISTEM ANTRIAN









Telekomunikasi
Trafc control
Penentuan urutan operasi komputer

Prediksi performansi komputer
Layanan kesehatan (misalnya kontrol
penggunaan bed di rumah sakit)
Airport trafc, penjualan tiket airline
Layout sistem manufaktur

CONTOH

CONTOH SISTEM ANTRIAN
Sistem
Bank
Rumah Sakit

Pelayan
Teller
Dokter, perawat,
bed

Customer
Nasabah

Pasien

Sistem Komputer CPU, perangkat I/O

Job

Sistem Manufaktur

Mesin, pekerja

Part

Bandara

Landasan pacu,
gate, stasiun
security check-in

Pesawat,
penumpang

Jaringan
Komunikasi

Node, link

Pesan, paket

BLOCKED CALLS CLEARED (BCC)
REVIEW
2 sumber
Sumber #1
Offered Traffic

10 menit

1

Sumber #2

3

2

Offered Traffic

4

Total Trafik Ditawarkan:
TO = 0.4 E + 0.3 E
Hanya satu server
Traffic
Carried

TO = 0.7 E
1

2

3

Total Trafik Dilayani:
TC = 0.5 E

4

Panggilan pertama tiba dan
dilayani
Panggilan kedua tiba, tapi
server sibuk
Panggilan kedua ditolak
Panggilan ketiga tiba dan
dilayani
Panggilan keempat tiba dan
dilayani

BLOCKED CALLS HELD (BCH)
REVIEW
2 sumber
Sumber #1

Offered Traffic

10 menit

1

Sumber #2

3

2

Offered Traffic

4

Total Trafik Ditawarkan:
TO = 0.4 E + 0.3 E
TO = 0.7 E
Hanya satu server

Traffic
Carried

1

2

2

3

Total Trafik Dilayani:
TC = 0.6 E

4

Panggilan pertama tiba dan
dilayani
Panggilan kedua tiba, tetapi server
sibuk

Panggilan kedua ditahan sampai
server bebas
Panggilan kedua dilayani
Panggilan ketiga tiba dan dilayani
Panggilan keempat tiba dan
dilayani

BLOCKED CALLS WAIT (BCW)
2 sumber
Sumber #1
Offered Traffic

10 menit

1

Sumber #2

3

2

Offered Traffic

4

Total Trafik Ditawarkan:
TO = 0.4 E + 0.3 E
TO = 0.7 E
Hanya satu server
Traffic
Carried

1

2

2

3

Total Trafik Dilayani:
TC = 0.7 E

4

Panggilan pertama tiba dan
dilayani
Panggilan kedua tiba, tetapi
server sibuk
Panggilan kedua menunggu
sampai server bebas
Panggilan kedua dilayani
Panggilan ketiga tiba, menunggu,
dan dilayani
Panggilan keempat tiba,
menunggu, dan dilayani

MASALAH SISTEM ANTRIAN
• Proses
selama
pembangun
an
hubungan
untuk
komunikasi
suara

SUMBER DELAY DI JARINGAN
• Delay Proses
– Asumsi daya pemrosesan tidak terbatas

• Delay Antrian
– Waktu tunggu transmisi di bufer

• Delay Transmisi
• Delay Propagasi
– Waktu yang dihabiskan di link untuk transmisi
sinyal listrik
– Tidak bergantung pada trafk yang dibawa oleh
link

Fokus: Delay Antrian

MODEL ANTRIAN DASAR

MODEL ANTRIAN DASAR
Buffer

Server
Berakhir

Arrival
Antri

Dilayani

• Antrian memodelkan stasiun pelayanan dengan
– Satu atau beberapa server
– Daerah menunggu atau bufer
• Pelanggan datang untuk menerima layanan
• Pelanggan yang tidak menemui server bebas
akan menunggu di bufer

KARAKTERISTIK ANTRIAN

b

N

• Jumlah server N: 1, beberapa, tak hingga
(infnite)
• Ukuran bufer b
• Disiplin layanan (penjadwalan): FIFO, LIFO,
Processor Sharing (PS), dll
Proses kedatangan

PROSES PANGGILAN
• Random origination (dengan kondisi
t0)
– Peluang sebuah panggilan muncul dalam
interval (t,t+t] adalah lt (tidak tergantung
t) dan l adalah konstan
– Peluang dua atau lebih panggilan muncul
pada selang (t,t+t] adalah nol
– Setiap panggilan
bebas
n saling
Cukup besar
t
0

t

t=t/n

t

t

PROSES KEDATANGAN
n 1

n

n 1

n
tn

t

• n : waktu antar kedatangan antara pelanggan n dan n+1
•  adalah peubah acak
n
•
adalah proses stokastik

{n , n  1}

Waktu antar kedatangan terdistribusi identik dan memiliki
common mean

E [n ]  E []  1/ 

• l disebut laju kedatangan

KOMPONEN SISTEM
ANTRIAN
1)Proses Kedatangan
• Merupakan spesifikasi bagaimana pelanggan datang ke
sistem. Misal Ai menyatakan selang waktu antara kedatangan
pelanggan ke-(i - 1) dan ke-i  inter-arrival time. Secara
umum diasumsikan waktu A1, A2, …, An, … adalah peubah acak
IID (Independent Identically Distributed). Rata-rata atau
expected inter-arrival time dinyatakan E(A), dan l = 1/E(A)
adalah laju kedatangan pelanggan. Perhatikan satuan: jika Ai
dalam second, maka l dalam reciprocal (kebalikan)
second
• Perhatikan bahwa mengetahui laju kedatangan saja tidaklah
cukup – selalu dibutuhkan distribusi probabilitas, di mana
laju kedatangan memiliki mean – atau resiprok mean.
Kecuali disebutkan secara khusus, biasanya diasumsikan
distribusi eksponensial …

KOMPONEN SISTEM
ANTRIAN
2) Mekanisme Pelayanan
•Dispesifikasikan oleh jumlah server, biasanya dinyatakan
dengan peubah s, dan distribusi probabilitas waktu layanan. Jika
S1, S2, …, Sn, … adalah peubah acak IID untuk waktu layanan
sekumpulan pelanggan, maka mean service time pelanggan
dinyatakan oleh E(S), dan µ = 1/E(S) adalah service rate server.
3) Disiplin Antrian
•Merupakan aturan untuk memilih pelanggan berikutnya yang
akan dilayani. Beberapa disiplin:
• FIFO: First In First Out (antrian standar)
• LIFO: Last In First Out (stack)
• Prioritas: suatu cara didefinisikan untuk menentukan prioritas
pelanggan (priority queue)

PROSES WAKTU LAYANAN
n 1

n 1

n

sn
t

•

sn : waktu layanan pelanggan

•

adalah proses stokastik
Waktu layanan terdistribusi identik dengan common
mean

n di server

{sn , n  1}

E[ sn ]  E[ s ]  

• m disebut laju layanan
Untuk

paket, apakah waktu layanan benar-benar acak?

MODEL SISTEM ANTRIAN
Sistem Antrian

Antrian
Sistem Antrian

Server
Sistem Server

• Model antrian digunakan untuk
– Menggambarkan perilaku sistem antrian
– Evaluasi kinerja sistem

KARAKTERISTIK SISTEM
ANTRIAN
• Proses Kedatangan
– Distribusi yang menentukan bagaimana
task datang ke sistem.

• Proses Pelayanan
– Distribusi yang menentukan waktu
proses task

• Jumlah Server
– Jumlah total server yang tersedia untuk
memproses task

NOTASI KENDALL
1/2/3(/4/5/6)
• Enam parameter
•

1.
2.
3.
4.

Tiga parameter awal selalu digunakan,
nomor 4, 5, dan 6 dispesifkasikan secara
khusus

Distribusi Kedatangan
Distribusi Layanan
Jumlah Server
Kapasitas Total (tak hingga jika tidak
dituliskan)
5. Ukuran Populasi (tak hingga)
6. Disiplin Layanan (FCFS/FIFO)

DISTRIBUSI
• M: singkatan "Markovian",
menyatakan distribusi eksponensial
untuk waktu layanan atau waktu
antar kedatangan
• D: Deterministik (contohnya fied
constant)
• Ek: Erlang dengan parameter k
• Hk: Hypereiponential dengan
parameter k

CONTOH NOTASI KENDALL
• M/M/1:
– Kedatangan Poisson dan layanan eksponensial,
1 server, kapasitas dan populasi tak hingga,
FCFS (FIFO)
– Antrian realistik yang paling sederhana

• M/M/m
– Sama, tetapi dengan m server

• G/G/3/20/1500/SPF
– Distribusi kedatangan dan layanan general, 3
server, 17 slot antrian (20-3), 1500 total job,
Shortest Packet First

DESKRIPTOR ANTRIAN: CONTOH
• M/M/1: kedatangan Poisson, waktu
layanan terdistribusi eksponensial, 1
server, bufer tak hingga
• M/M/m: m server
• M/M/m/m: kedatangan Poisson, waktu
layanan terdistribusi eksponensial, m
server, no bufer
• M/G/1: kedatangan Poisson, waktu
layanan terdistribusi identik mengikuti
distribusi general, 1 server, bufer tak
hingga
• */D/∞ : sistem delay konstan

SIMBOL KENDALL
• Pada sistem tunggu, permintaan (panggilan) yang
datang pada waktu peralatan sedang sibuk
semua, tidak dihilangkan tetapi menunggu
sampai ada peralatan yang bebas, kemudian
diduduki.
• DG Kendall memberikan simbol pada sistem
antrian A/B/C, di mana
– A: pola kedatangan panggilan
– B: pola waktu pelayanan (pendudukan)
– C: jumlah pelayan (peralatan)
• Simbol untuk pola datang dan waktu pendudukan
– M: distribusi eksponensial negatif (m =
markov)
– D: distribusi tertentu (tetap/fied)
– G: distribusi yang umum (general)

HUKUM LITTLE
Sistem
Kedatangan

Keberangkatan

• Hukum Little:
Jumlah task rata-rata dalam sistem = laju
kedatangan rata-rata * waktu respon rata-rata
– Hukum Little tersebut akan kita buktikan !!

• Diterapkan pada sistem yang berada dalam
equilibrium, asalkan tidak ada sesuatu dalam
kotak hitam di atas yang menciptakan task baru
atau menghancurkan task

MENGHITUNG PROSES ANTRIAN
(t)
N(t)
b(t)

t

• N(t) : jumlah pelanggan dalam sistem pada
waktu t
• (t) : jumlah kedatangan pelanggan sampai
waktu t
• b(t) : jumlah keberangkatan pelanggan sampai
waktu t
• Ti : waktu yang dihabiskan dalam sistem oleh

RATA-RATA WAKTU
• Rata-rata waktu
dalam selang [0,t]
• Rata-rata waktu
keadaan
tunak
1
N  N ( s )ds N  lim N
t
t

t

0

a (t )
t
1 a (t )
Tt 
Ti

a (t ) i 1
 (t )
t 
t

t 

t 

t

• Teorema Little N=λT
• Little diterapkan pada
sistem antrian apapun
dengan syarat:
Limit T, λ, dan d
memiliki nilai, dan
λ= d

  lim t
t 

T  lim Tt
t 

  lim t
t 

Berikut diberikan bukti
grafs dengan beberapa
asumsi

BUKTI TEOREMA LITTLE UNTUK
FIFO

• Sistem FIFO,
N(0)=0
N(t)
i
T
(t) dan b(t):
b(t)
grafk anak
tangga
T
T
)  N ( sb(t)
)ds
t
N(t) =S (t(t)Daerah
yang
• Asumsi: N(t)=0, infnitely
often.
Untuk
diarsir
 (t )  T
sembarang t 1
(t)

i

2

t

1

0

t

 (t )

N ( s)ds   T  t N ( s)ds 
0

i

i 1

 (t )

t

0

1

t

 (t )

i

 N t  tTt

BUKTI LITTLE UNTUK FIFO
(t)
N(t)

i

Ti
b(t)
T1

T2

• Secara umum – bahkan jika antrian tidak kosong dengan
frekuensi sangat sering (tak hingga):


 (t )
 (t )
t
 (t )  T 1 t
 (t )  T
Ti  N ( s )ds   Ti 
 N ( s )ds 

0
t
 (t )
t 0
t  (t )
i 1
i 1
 tTt  N t  tTt
(t )

1

(t )

i

1

i

• Hasil berikut mengasumsikan limit Tt →T, λt→λ, and dt→d ada, dan
λ=d

BENTUK PROBABILISTIK
TEOREMA LITTLE

• Tinjau fungsi sampel tunggal untuk
proses stokastik
• Fokuskan pada probabilitas berbagai
fungsi sampel dari proses stokastik
• Probabilitas terdapat n pelanggan dalam
sistem pada waktu t
pn (t )  P{N (t )  n}

• Jumlah pelanggan rata-rata dalam
sistem pada
 t

E [ N (t )]   n.P{N (t )  n}   npn (t )
n 0

n 0

BENTUK PROBABILISTIK
LITTLE
• pn(t), E[N(t)] bergantung pada t dan distribusi
inisial pada t=0
• Tinjau sistem yang konvergen ke keadaan tunak
• Terdapat pn yang
lim pn (tidak
t )  pnbergantung
, n  0,1,... pada distribusi
t 
inisial


• Jumlah pelanggan
rata-rata
pada keadaan tunak
EN   np
n  lim E [ N ( t )]
t 
[rata-rata stokastik]
n 0

• Untuk proses ergodik, rata-rata waktu dari fungsi
 lim N t ekspektasi
lim E[ N (t )] keadaan
EN
sampel samaN dengan
tunak,
t 
t 
dengan probabilitas 1.

BENTUK PROBABILISTIK
LITTLE
• Pada prinsipnya, dapat dihitung distribusi
probabilitas dari delay Ti untuk pelanggan i,
dan dari nilai rata-rata E[Ti], konvergen ke
keadaan tunakET  lim E[T ]
i

i 

• Untuk sistem ergodik
T

T  lim
 lim E [T ]  ET


1

i 

i

i

i 

i

EN  .ET

Bentuk probabilitas dari Rumus Little:
Laju kedatangan didefnisikan
sebagai
E [ (t )]
  lim
t 

t

RATA-RATA WAKTU VS STOKASTIK

• “Time average = Stochastic average,”
untuk semua sistem yang dipelajari pada
kuliah ini
• Tercapai jika fungsi sampel tunggal dari
proses stokastik berisi semua kemungkinan
jika proses dijalankan pada t→∞
• Dapat dibuktikan berdasarkan sifat umum
dari rantai Markov

PEMBUKTIAN HUKUM LITTLE
Kedatangan
Jumlah 3
Paket 2
1

Berakhir
1 2 3 4 5 6 7 8
Waktu

Waktu
dalam
Sistem

3
2
1

Jumlah 3
Paket 2
dalam 1
Sistem

1 2 3 4 5 6 7 8
Waktu

J = Daerah arsir = 9
1 2 3
Jumlah Paket

Sama untuk semua
kasus!

DEFINISI
•
•
•
•

J: “Daerah” dari slide sebelumnya
N: Jumlah job (paket)
T: Waktu total
l: Laju kedatangan rata-rata
– N/T

• W: Waktu rata-rata job berada dalam sistem
– = J/N

• L: Jumlah rata-rata job dalam sistem
– = J/T

BUKTI: METODE 1: DEFINISI

Jumlah 3
Paket 2
dalam 1
Sistem (L)

=

Waktu
3
dalam
2
Sistem (W)1

1 2 3 4 5 6 7 8
Waktu (T)

J  TL  NW
L  ( TN )W

L  ()W

1 2 3
Jumlah Paket (N)

BUKTI: METODE 2: SUBSTITUSI

L  ()W
L  ( TN )W
J
T

J
T

 ( TN )( NJ )



J
T

Tautologi

ANALISIS ANTRIAN M/M/1
• Diketahui:

• l: Laju kedatangan job (paket pada link
input)
• m: Laju layanan server (link output)

• Hitung:
– L: jumlah paket rata-rata dalam sistem
– Lq jumlah paket rata-rata dalam antrian
– W: waktu tunggu rata-rata dalam
keseluruhan sistem
– Wq waktu tunggu rata-rata dalam antrian

MODEL ANTRIAN M/M/1
L
Lq
l

m
1


Wq
W

Beban trafk (intensitas trafk) = l/m

Contoh-contoh
• Bila rata-rata terdapat 10 panggilan per jam yang datang
secara acak, hitung
– Peluang terdapat dua atau lebih panggilan dalam waktu 12 menit
– Peluang waktu antar kedatangan tidak lebih dari 6 menit
Jawab
– Arrival rate = 10 call/jam = 1/6 per menit
– Peluang tidak ada panggilan dalam waktu 12 menit =p0(t)=e-lt = e12/6
= e-2
– Peluang muncul 1 panggilan dalam waktu 12 menit =

(12 / 6)1 12 / 6
p1 (12) 
e
 2e  2
1!

– Maka peluang muncul 2 panggilan atau lebih dalam waktu 12 menit
adalah = 1-(p0(t)+p1(t)) = 1-(e-2+2e-2) =1-3e-2= 0,5940
– Peluang waktu kedatangan tidak lebih dari 6 menit = A(t) = 1- e -lt =
1 – e-6/6 =1- e-1 = 0,6231

Contoh-contoh (2)
• Misalnya waktu pelayanan terdistribusi secara
eksponensial dengan rata-rata 3 menit, hitung
peluang bahwa waktu pelayanan melebihi 6 menit
Jawab :
– Service rate = 1/3 call per menit
– Peluang waktu pelayanan melebihi t = H(t) = e-mt
– Maka peluang waktu pelayanan melebihi 6 menit adalah
= e-(1/3)x6 = e-2 =0,1353

Contoh-contoh (3)
• Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon,
diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam satu
jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit.
Hitung :
– Jumlah telepon rata-rata yang digunakan
– Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang
menunggu
Jawab
– Arrival rate = l =50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit
– Service rate = m = 1/3
– Traffic load = l/m = (5/6)x3 = 2,5 Erlang
• Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5

– Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little
• Diketahui L=1,2 maka W=L/l =1,2/(5/6)=1,44 menit

MEMECAHKAN SISTEM ANTRIAN
• 4 tidak diketahui: L, Lq W, Wq
• Hubungan:
– L=lW
– Lq=lWq (argumen keadaan tunak)
– W = Wq + (1/m)

• Jika diketahui 1, yang lain dapat dicari
• Menghitung L bisa sulit atau mudah,
bergantung pada tipe sistem. Secara
umum:


L   nPn
n 0

ANALISIS ANTRIAN M/M/1

• Tujuan: Persamaan bentuk tertutup
dari probabilitas jumlah job dalam
antrian (Pi), diketahui hanya l dan m

SISTEM ANTRIAN M/M/1

• Persamaan kesetimbangan global
(    ) p j   p j 1   p j 1

pn   pn 1
pn1   n1 p0 ,

n  0,1,...

 p0   p1

KONDISI EQUILIBRIUM
l

l
n-1
m

l
n

m

l
n+1

m

m

Didefinisikan Pn (t ) sebagai probabilitas n task dalam sistem pada waktu t
P0 (t  t )  P0 (t )[(1  t )(1  t )  tt ]  P1 (t )[( t )(1  t )]
Pn (t  t )  Pn (t )[(1  t )(1  t )  tt ]  Pn 1 (t )[( t )(1  t )]  Pn 1 (t )[( t )(1  t )]
P0 (t  t )  P0 (t )
 P0 (t )  P1 (t )
t
Pn (t  t )  Pn (t )
 Pn 1 (t )  (   ) Pn (t )  Pn 1 (t )
t
P (t  t )  Pn (t )
Stablize when    ,
lim Pn (t )  Pn , lim n
0
t 
t 
t

KONDISI EQUILIBRIUM
l

l
n-1
m

l
n

m

l
n+1

m

P0  P1
(   ) Pn  Pn 1  Pn 1

m

PEMECAHAN UNTUK P0 DAN Pn

• Langkah 1
2

P1 

n

 
 




P0 , P2  
P
P

P0
0,
n





 
 

• Langkah 2




n

 
P

1
,
then
P

n
0 
 
  1, 
n 0
n 0  

P0 

1


n

 


 

n 0  

PEMECAHAN UNTUK P0 DAN Pn

• Langkah 3

ρ  , then


n



 
1

ρ
1
n


 
   ρ  1  ρ  1  ρ ρ  1
n 0  
n 0


• Langkah 4
P0 

1


ρ
n 0

n

 1  ρ and Pn  ρ n 1  ρ 

PEMECAHAN UNTUK L







n 0

n 0

n 1

L   nPn   n n (1   )  (1   )   n n1


n
d
(1   )  d     (1   )  dd 11 
n 0 

(1   ) 

 
1
(1 )2


(1 )




 

PEMECAHAN W, Wq DAN Lq

W 
L


   

 

Wq W  
1


Lq  Wq  

1


1
 

    
1
 


 (   )

1





 (   )

2
 (   )

PERSAMAAN UMUM
• Dengan substitusi dari persamaan satu ke
persamaan lainnya untuk n = 0, 1, 2, …
dst diperoleh
– P(n) = A
;n N
 n! P(0)
 A

P ( 0)
;n N
N! N
n

n

n N

– Di mana A = / = .h

Jaringan dan Teknik Penyambungan
Telekomunikasi|S1 TT

57

Jaringan dan Teknik Penyambungan
Telekomunikasi|S1 TT

58

TEORI ANTRIAN UNTUK
JARINGAN

• Jaringan dipandang sebagai
kumpulan antrian
– Struktur data FIFO

• Teori antrian menyediakan analisis
probabilistik untuk antrian
• Contoh:
– Panjang antrian rata-rata
– Waktu tunggu rata-rata
– Probabilitas antrian dengan panjang
tertentu
– Probabilitas paket hilang

UKURAN KINERJA SISTEM
ANTRIAN

Untuk suatu sistem antrian, elemen-elemen apa saja yang dapat
diukur? Misalkan:
1) Di = delay antrian dari pelanggan ke-i;
2) Wi = Di + Si = waktu tunggu dalam sistem dari pelanggan ke-i;
3) Q(t) = jumlah pelanggan dalam antrian pada waktu t;
4) L(t) = jumlah pelanggan dalam sistem pada waktu t = jumlah
pelanggan dalam antrian + jumlah pelanggan yang sedang
dilayani.
n

a) Delay Rata-rata Keadaan Tunak:

d  lim
n 

D
i 1

n

i

, w.p. 1

Di mana w.p. singkatan dari with probability dan berarti bahwa
limit berlaku untuk hampir semua D1, D2, ...

b) Waktu Tunggu Rata-rata Keadaan Tunak:
n

w  lim
n 

W
i 1

n

i

, w.p.1

c) Jumlah Paket Rata-rata Terhadap Waktu Dalam
T
Antrian pada Keadaan Tunak:

Q  lim

T 

t dt
Q
0

T

, w.p.1

c) Jumlah Paket Rata-rata Terhadap Waktu Dalam Sistem
T
pada Keadaan Tunak:

L  lim

T 

t dt
L
0

T

, w.p.1

• Perhatikan bahwa pada semua kasus, r < 1 adalah syarat perlu
agar limit memiliki nilai (jumlah rata-rata kedatangan harus
kurang dari jumlah rata-rata keberangkatan yang mungkin)

RUMUS TUNGGU ERLANG
•

Probabilitas P(0) diperoleh dari kondisi normal


 P(n )  1
n 0

j

 A A A  
 P(0) 

  
 n! N! N  
N 1

n

N

n 0

•



j0

Karena pola kedatangan panggilan adalah random (Poisson),
maka probabilitas bahwa suatu panggilan yang datang akan
menunggu sama dengan bagian waktu di mana semua
pelayan sibuk, jadi
A
N
.
1
1
– D(N,A) =


N

N! N  A
A
A
A
N
1 A 
 
 .
2!
( N 1)! N! N  A
2



N 1

N

D( N , A)

D(N,A)= P(t>0) = RN/[A(NA+R)]

B ( N , A)

1
B ( N 1, A)

RUMUS TUNGGU ERLANG
• Tabel B(N,A) ada, jadi D(N,A) dapat
dihitung secara mudah
A
n  D( N, A).
N A
q

• Jumlah pelanggan (panggilan) ratarata yang antri
• Waktu rata-rata pelanggan dalam
antrian (sebelum dilayani) untuk
semua panggilan termasuk yang tak
menunggu
h
t  D( N, A ).
q

N A

HASIL LAIN RUMUS TUNGGU
•

Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian dihitung untuk
pelanggan yang menunggu saja

h
t 
N A
qm

•

Waktu rata-rata lamanya pelanggan (panggilan) di dalam
sistem
t h t
s

q

•

Jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem
A
N  A  D( N, A).
N A

•

•

Probabilitas bahwa panggilan punya waktu tunggu T melebihi
harga t
– Prob(T>t) =nD(N,A).e
  -(N-A)t/h
Rumus Little

•

Penurunan rumus Little diawali dari (t), (t), dan (t)

WAKTU RESPON VS.
KEDATANGAN
Waiting vs. Utilization
0.25

W(sec)

0.2
0.15
0.1
0.05
0
0

0.2

0.4

0.6
 

W

1
 

0.8

1

1.2

DAERAH STABIL
Waiting vs. Utilization
0.025

W(sec)

0.02
0.015
0.01

linear region

0.005
0
0

0.2

0.4

0.6
 

0.8

1

DAERAH STABIL
Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem diberikan oleh
En  0 n pn   0 n 
1  n 




Penurunan dari
bentuk tertutup
1
d 
1 
d




penjumlahan
2
1   d 
1    d

diperoleh dari
pengamatan bahwa




1



 n 0  n   n0 n n1 




System Saturation

120
100

80
60

Series1

40

20
0
0

0.2

0.4

0.6
Utilization

0.8

1

1.2

1 
n
n


 n 0

CONTOH EMPIRIK

Sistem
M/M/m

CONTOH
• Suatu berkas saluran N = 8 saluran merupakan berkas sempurna.
Penawaran trafk A = 4,5 Erlang. Waktu pendudukan rata-rata h = 120
detik. Panggilan dilayani sesuai dengan urutan datangnya. Ditanyakan:
– P(t>0) = ?
– Waktu tunggu rata-rata dari panggilan yang harus menunggu
– Waktu tunggu rata-rata dari semua panggilan
– P(t>60 detik) = ?
• Hitung lagi untuk A = 4,5 Erlang, N = 5 saluran, h = 120 detik, dan i = 60
detik
• Untuk latihan, turunkan P(t>0) =
• Suatu tingkat group selector mengolah trafk pembicaraan = 360 Erl
dilayani oleh 1 marker. Waktu pembicaraan rata-rata = 3 menit = 0,05 jam.
Waktu kerja marker (untuk 1 panggilan) rata-rata = 100 mdet. Ditanyakan:
– Tr = ?
RN
– Tt = ?
A( N  A  R )
– P(t>300 mdetik) = ?

BEBERAPA RUMUS BENTUK
LAIN
•

Dalam suatu sistem terdapat pengertian utilization factor atau
facility utilization atau faktor pemakaian
• Faktor pemakaian ini didefnisikan sebagai berikut: (waktu
pendudukan per fasilitas)/(waktu yang tersedia)
• Menurut rumus yang dikembangkan oleh Khintchine dan
Pollaczek, jumlah pelanggan rata-rata
sistem adalah
N   dalam
t
t

2

2

  

2(1   )

2

h

•
•
•

Bila waktu pelayanan konstan (sistem M/D/1): h = 0
N

2

2(1   )
2



Bila waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif:
N   h =h
1  1 

Waktu lamanya rata-rata dlm sistem : s

  h

s  h 1 

1



 1 

ANTRIAN MELEBIHI HARGA
TERTENTU
• Probabilitas yang antri melebihi harga tertentu
– Probabilitas (nN) =  (1   )   


n

N

n N

– Dapat diturunkan dari persamaan kesetimbangan
2



N

1  1 
  h

s  h 1 

1



 1 

• Kedatangan yang enggan 
– Koefsien kelahiran bn n= 1
   .e
– Koefsien kematian dn = 
P(n ) 
n!
– Dari persamaan kesetimbangan akan didapat hasil
– Waktu lamanya rata-rata dalam sistem
N

S 
n



 (1  e
2

 / 

)





CONTOH SOAL

CONTOH
• Pada gateway jaringan, pengukuran
menunjukkan bahwa paket tiba dengan
laju rata-rata 125 paket per detik (pps)
dan gateway membutuhkan waktu sekitar
2 ms untuk forward. Dengan asumsi model
M/M/1, berapa probabilitas overfow jika
gateway hanya memiliki 13 bufer. Berapa
bufer yang dibutuhkan untuk menjaga
packet loss di bawah 1 paket per sejuta?

CONTOH
• Pengukuran gateway jaringan:
– Laju kedatangan rata-rata (l): 125 paket/dt
– Waktu respon rata-rata (m): 2 ms

• Asumsi kedatangan eksponensial
–
–
–
–

Berapa utilisasi gateway?
Berapa probabilitas n paket di gateway?
Jumlah rata-rata paket di gateway?
Jumlah bufer sehinnga P(overfow) < 10-6?

CONTOH
•
•
•
•

Laju kedatangan λ =
Laju layanan μ =
Utilisasi gateway ρ = λ/μ =
Probabilitas n paket berada di
gateway =

• Jumlah paket rata-rata dalam
gateway =

CONTOH







Laju kedatangan λ = 125 pps
Laju layanan μ = 1/0.002 = 500 pps
Utilisasi gateway ρ = λ/μ = 0.25
Probabilitas n paket di gateway =
n
n
(1  ρ)ρ  0.75(0.25)
Jumlah paket rata-rata di gateway =
ρ
0.25

 0.33
1  ρ 0.57

CONTOH
• Probabilitas bufer overfow:

• Untuk membatasi probabilitas loss
kurang dari 10-6:

CONTOH


Probabilitas buffer overflow:
= P(lebih dari 13 paket berada di
gateway)



Untuk membatasi probabilitas loss
kurang dari 10-6:

CONTOH




Probabilitas buffer overflow:
= P(lebih dari 13 paket di gateway)
= ρ13 = 0.2513 = 1.49x10-8
= 15 paket per milyar paket
Untuk membatasi probabilitas loss
kurang dari 10-6:

CONTOH




Probabilitas buffer overflow:
= P(lebih dari 13 paket di gateway)
= ρ13 = 0.2513 = 1.49x10-8
= 15 paket per milyar paket
Untuk membatasi probabilitas loss
kurang dari 10-6:
ρ n  10 6

CONTOH


Agar probabilitas loss kurang dari 10-6:
ρ n  10 6



atau

 / log0.25

n  log 10
= 9.96

6

CONTOH I M/M/1
Trafk ke suatu pusat message switching
untuk salah satu saluran komunikasi
outgoing datang dengan pola acak dan
laju rata-rata 240 pesan per menit.
Saluran memiliki laju transmisi 800
karakter per detik. Panjang pesan
(termasuk karakter kontrol) kira-kira
mengikuti distribusi eksponensial
dengan panjang rata-rata 176 karakter.
Hitung ukuran statistik dasar untuk
kinerja sistem berikut ini, asumsikan
tersedia kapasitas bufer pesan yang

CONTOH I M/M/1

1. Jumlah pesan rata-rata dalam sistem?
2. Jumlah pesan rata-rata dalam antrian yang
menunggu untuk dikirimkan
3. Waktu rata-rata suatu pesan berada dalam
sistem
4. Waktu rata-rata suatu pesan menunggu
transmisi
5. Probabilitas 10 pesan atau lebih menunggu
untuk dikirimkan

CONTOH I M/M/1
E[s] = Panjang pesan rata-rata/laju saluran
= {176 char/pesan} / {800 char/sec}
= 0.22 sec/pesan
m = 1 / 0.22 {pesan / sec}

=
l
=
r

4.55 pesan / sec
= 240 pesan / min
4 pesan / sec
= l E[s] = l / m= 0.88

CONTOH I M/M/1
1. N= r / (1 - r) = 7.33 (pesan)
2. Nq = r2 / (1 - r) = 6.45 (pesan)
3. W = E[s] / (1 - r) = 1.83 (sec)
4. Wq = r × E[s] / (1 - r) = 1.61
(sec)
5. P [11 pesan atau lebih dalam
sistem]
= r11 = 0.245

CONTOH II M/M/1
Kantor cabang dari suatu perusahaan rekayasa
memiliki 1 terminal online yang terhubung ke
sistem komputer pusat selama 8 jam pada hari
kerja normal. Insinyur yang bekerja di dalam kota,
selalu menggunakan terminal tersebut untuk
kalkulasi rutin. Statistik yang dikumpulkan selama
periode waktu tertentu menunjukkan bahwa pola
kedatangan orang di kantor cabang untuk
menggunakan terminal mengikuti distribusi Poisson
(acak) dengan rata-rata 10 orang datang tiap hari.
Distribusi waktu yang dihabiskan oleh insinyur di
terminal tersebut adalah eksponensial dengan

CONTOH II M/M/1
rata-rata 30 menit. Kantor cabang menerima
keluhan dari staf mengenai pelayanan terminal
tersebut. Dilaporkan bahwa seseorang sering
menunggu lebih dari 1 jam untuk menggunakan
terminal dan kadang-kadang memakan waktu
1,5 jam untuk menyelesaikan sedikit kalkulasi.
Manajer cukup bingung karena statistik
menunjukkan bahwa terminal hanya digunakan
rata-rata 5 jam dari 8. Tingkat utilisasi ini
sepertinya bukan merupakan justifkasi untuk
menambah terminal. Apa penjelasan yang dapat
diberikan dari teori antrian?

CONTOH II M/M/1
1. {10 orang / hari}×{1 hari / 8 jam}×{1 jam /
60 min}
= 10 orang / 480 min
= 1 orang / 48 min
 l = 1 / 48 (orang / min)
2. 30 menit : 1 orang
= 1 (min) : 1/30
(orang)
 m = 1 / 30 (person / min)
3. r = l / m = {1/48} / {1/30} = 30 / 48 = 5 /
8

CONTOH II M/M/1
1. Laju kedatangan l = 1 / 48
(pelanggan / min)
2. Utilisasi server r = l / m = 5 / 8 = 0.625
3. Probabilitas 2 pelanggan atau lebih
dalam sistem P[N ³ 2] = r2 = 0.391
4. Jumlah steady-state rata-rata dalam
sistem L = E[N] = r / (1 - r) = 1.667
5. S.D. jumlah pelanggan dalam sistem
sN = sqrt(r) / (1 - r) = 2.108

CONTOH II M/M/1
1. Waktu rata-rata pelanggan berada dalam
sistem W = E[w] = E[s] / (1 - r) = 80 (min)
2. S.D. waktu pelanggan berada di sistem sw
= E[w] = 80 (min)
3. Jumlah steady-state pelanggan rata-rata
dalam antrian Nq = r2 / (1 - r) = 1.04
4. Panjang antrian steady-state rata-rata dari
sistem yang tidak kosong (nonempty) E[Nq |
Nq > 0] = 1 / (1 - r) = 2.67
5. Waktu rata-rata dalam antrian
Wq = E[q]
= r×E[s] / (1 - r) = 50 (min)

CONTOH II M/M/1

1. Waktu rata-rata di antrian untuk
orang yang harus menunggu saja
E[q | q > 0] = E[w] = 80
(min)
2. Persentil 90 dari waktu menunggu
pq(90) = E[w] ln (10 r)
= 80 * 1.8326
= 146.6 (min)

Jaringan dan Teknik Penyambungan
Telekomunikasi|S1 TT

92